Teoria_5_-_Transformacoes_Lineares_e_Matrizes

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5. Transformações Lineares e Matrizes
Relembre que o propósito central deste curso era o estudo de sistemas de equações lineares que
acabámos de fazer no capítulo anterior. Para fazer esse estudo fomos levados a introduzir novos
objectos matemáticos, a que chamámos matrizes, e que foram definidos como ”quadros cheios de
números”. Neste capítulo vamos ver que as matrizes representam mais do que ”quadros cheios de
números” correspondendo também a certas funções especiais entre espaços vectoriais.
5.1 - Definições e propriedades elementares.
Começamos esta secção por definir um tipo especial de transformações entre espaços vectoriais
que respeitam as operações que definem esses espaços: a soma de vectores e a multiplicação por
reais.
Definição 5.1.1: Uma transformação T : x ∈ n → Tx ∈ m é dita uma transformação
linear se para todos os x e y em n e reais arbitrários , se tem Tx  y  Tx  Ty.
Repare que o que a definição anterior afirma é que T é linear se for indiferente fazer uma
combinação linear de x com y em n, x  y, e depois obter a sua imagem Tx  y ∈ m ou,
por outro lado, obter primeiro as imagens Tx e Ty e depois fazer a combinação linear
Tx  Ty em m. Ou seja, T é linear se respeita a soma de vectores e a multiplicação por
reais.
Para perceber melhor quando uma transformação é linear tente confirmar as seguintes
afirmações para transfomações da recta real nela própria T : x ∈  → Tx ∈ :
(i) Tx  x é linear.
(ii) Tx  x2 não é linear.
(iii) Tx  x   não é linear.
Uma vez compreendida a natureza das transformações lineares vamos agora ver que elas estão
intimamente ligadas com os ”quadros cheios de números” a que chamámos matrizes.
Teorema 5.1.2: As transformações lineares T de n em m são representadas por
matrizes A m  n, isto é temos Tx  Ax, onde a matriz A é tal que as suas colunas são as
imagens em m dos vectores da base B em que n está representado.
Prova: Considere então uma base de n, B  v1,v2,… ,vn, e seja x ∈ n. Sabemos que x
se escreve, de uma maneira única, como combinação linear dos vectores de B, ou seja,
x  x1v1  x2v2 …xnvn. Isto equivale a dizer que as coordenadas de x na base B são
x1,x2,… ,xnT.
Vamos agora obter a imagem de x pela transformação T . Teremos:
Tx  Tx1v1  x2v2 …xnvn  x1Tv1  x2Tv2 …xnTvn
onde a última igualdade decorre da linearidade de T.
Repare agora que podemos construir uma matriz A m  n tendo por colunas os vectores
Tv1,Tv2,… ,Tvn de m, ou seja A  Tv1 ∣ Tv2 ∣  ∣ Tvn .
Utilizando esta matriz a igualdade anterior escreve-se:
1
Tx  x1Tv1  x2Tv2 …xnTvn  Tv1 ∣ Tv2 ∣  ∣ Tvn
x1
x2

xn
 Ax
o que conclui a prova. 
Vamos agora dar dois exemplos para tornar esta ideia mais clara. Considere então uma
transformação T de 2 em si próprio, T : x ∈ 2 → Tx ∈ 2, em que o transformado do vector
x é obtido rodando-o de 90o no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Trata-se
evidentemente (verifique!) de uma transformação linear que é ilustrada na figura abaixo onde os
vectores e1 e e2 (a azul) representam a base canónica de 2.
90o
T(x)
x
e1
e2
-e1 x1
x2
-x2
x1
Repare que Te1  e2  0,1T e Te2  −e1  −1,0T o que significa que a matriz que
reprenta T é:
A  Te1 ∣ Te2  0 −1
1 0
e portanto
T x1
x2
  0 −1
1 0
x1
x2
 −x2
x1
como se deprende da figura.
O segundo exemplo que vamos analisar destina-se a ilustrar um facto importante: em bases
diferentes a mesma transformação linear representa-se, eventualmente, por matrizes diferentes.
Considere então uma transformação T de 2 em si próprio, T : x ∈ 2 → Tx ∈ 2, em que o
transformado do vector x é obtido projectando-o sobre o eixo dos yy. Trata-se de novo de uma
transformação linear (verifique!) que é ilustrada na figura abaixo onde os vectores e1 e e2 (a azul)
representam novamente a base canónica de 2.
2
T(x) x
e1
e2
v1v2
2e2
x
y
0
Na base canónica (a azul) é fácil de ver que Te1  02  0,0T e Te2  e2  0,1T o que
significa que a matriz que reprenta T nesta base é:
A  Te1 ∣ Te2  0 0
0 1
Agora se considerar 2 na base v1,v2 (a verde na figura) verifica facilmente que
Tv1  Tv2  e2. Note que, na base v1,v2, o vector e2 escreve-se e2  12 v1  12 v2 logo as
suas coordenadas nesta base são 1/2,1/2T. Assim a matriz que reprenta T na base v1,v2 é:
à  Tv1 ∣ Tv2  1/2 1/2
1/2 1/2
O facto de a mesma transformação linear ser representada (em bases diferentes) por matrizes
diferentes, A e Ã, vai levar-nos mais tarde a estudar as relações entre estas matrizes.
Por agora vamos examinar algumas propriedades elementares das transformações lineares.
Teorema 5.1.3: O contradomínio da transformação linear T de n em m, representada
pela matriz A m  n, Tx  Ax, é o sub-espaço de m gerado pelas colunas de A e a sua
dimensão é rankA.
Prova: Repare que Tx pode ser escrito como Tx  Ax  A1x1A2x2   Anxn onde
A1,A2,,An representam as colunas da matriz A. Quando as coordenadas x1,x2,,xn precorrem
todos os valores possíveis Tx precorre SpanA1,A2,,An , o sub-espaço de m gerado pelas
colunas de A, CA, cuja dimensão é rankA. 
Teorema 5.1.4: Seja uma transformação linear T de n em si próprio, representada pela
matriz A n  n. Se a matriz A tem inversa então T é biunivoca (one-to-one).
Prova: Repare que, como Tx  y  Ax, se a matriz A tiver inversa T−1y  A−1y  x. Isto
é, a cada objecto x corresponde uma só imagem y e vice versa x → Ax  y → A−1y  x. 
Teorema 5.1.5: A transformação composta de transformações lineares é linear. A matriz
que a representa é o produto das matrizes dos factores por ordem inversa.
Esquematicamente:
3
Rn Rp Rm
T1 T2
A1
(pxn)
A2
(mxp)
T=T2(T1)
A=A2A1
(mxn)
Prova: Vamos primeiro verificar que a transformação composta Tx  T2T1x é linear
quando T2 e T1 o são:
Tx  y  T2T1x  y  T2T1x  T1y 
 T2T1x  T2T1y  Tx  Ty
A segunda igaualdade é consequência da linearidade de T1enquanto que a terceira deriva da
linearidade de T2.
Agora repare que Tx  T2T1x  T2A1x  A2A1x logo a matriz da transformação
composta é A  A2A1. 
4
5.2 Mudanças de base.
A partir de agora vamos ocupar-nos exclusivamente de transformações lineares de um espaço
vectorial nele próprio T : x ∈ n → Tx ∈ n. Consequentemente as matrizes que representam
estas transformações (qualquer que seja a base de n tomada) são sempre matrizes n  n, ou
seja, matrizes quadradas.
Recorde que vimos atrás (no segundo exemplo) que a mesma transformação linear se pode
representar (em bases diferentes) por matrizes diferentes, A e Ã. Vamos, nesta secção, estudar as
relações entre estas matrizes.
Para atacar esse problema temos que começar por um outro mais simples.
Considere em n duas bases, E  e1,e2,,en e V  v1,v2,,vn, e tome um vector w de
n.
Este vector escreve-se, de uma maneira única, como combinação linear dos vectores de E ,
w  1e1  2e2   nen, e portanto as suas coordenadas nessa base são 1,2,,n ET.
De um modo semelhante w escreve-se, de uma maneira única, como combinação linear dos
vectores de V , w  1v1  2v2   nvn, e portanto as suas coordenadas nessa base são
1,2,,n VT .
O que nós gostavamos de fazer, por agora, era relacionar as coordenadas 1,2,,n ET com
as coordenadas 1,2,,n VT .
Para compreender melhor o raciocínio considere o seguinte exemplo em 2:
e1
e2
v1v2
x
y
0
w=2v1
Aqui E  e1,e2 (base azul) e V  v1,v2 (base verde).
O vector w (a vermelho) escreve-se como combinação linear dos vectores de E , w  2e1  2e2,
e portanto as suas coordenadas nessa base são wE  2,2ET. De um modo semelhante w escreve-se
como combinação linear dos vectores de V , w  2v1  0v2, e portanto as suas coordenadas nessa
base são wV  2,0VT . O que pretendemos fazer é calcular as coordenadas wV  2,0VT a partir das
coordenadas wE  2,2ET e vice-versa.
Voltemosentão ao caso geral.
Comece por observar que w se escreve simultaneamente como w  1e1  2e2   nen
(no exemplo w  2e1  2e2) e como w  1v1  2v2   nvn (no exemplo w  2v1  0v2).
Então teremos forçosamente a igualdade 1e1  2e2   nen  1v1  2v2   nvn (no
exemplo 2e1  2e2  2v1  0v2).
Agora forme uma matriz E cujas colunas são as coordenadas dos vectores da base
E  e1,e2,,en (coordenadas tomadas numa base qualquer de n, por exemplo na base
5
canónica). Virá então E  e1 ∣ e2 ∣  ∣ en . No exemplo teriamos E  1 0
0 1
.
De um modo semelhante forme uma matriz V cujas colunas são as coordenadas dos vectores da
base V  v1,v2,,vn (na mesma base arbitrária de n usada anteriormente, por exemplo na
base canónica). Virá então V  v1 ∣ v2 ∣  ∣ vn . No exemplo teriamos
V  1 −1
1 1
.
Repare que a igualdade 1e1  2e2   nen  1v1  2v2   nvn pode agora ser
escrita
e1 ∣ e2 ∣  ∣ en
1
2

n E
 v1 ∣ v2 ∣  ∣ vn
1
2

n V
ou seja, chamando wE  1 2  n E
T
ao vector das coordenadas de w na base E e
wV  1 2  n V
T
ao vector das coordenadas de w na base V, teremos a equação
EwE  VwV. No exemplo esta igualdade é:
EwE  1 0
0 1
2
2
E
 1 −1
1 1
2
0
V
 VwV
Note que ambas as matrizes E e V têm inversa uma vez que as suas colunas (vectores de uma
base) são certamente linearmente independentes. Podemos então escrever wE  E−1VwV e
wV  V−1EwE expressões que nos permitem calcular wE a partir de wV e vice-versa. É usual
chamar às matrizes M  E−1V e M−1  V−1E matrizes de mudança de base. Assim teremos
wE  MwV e wV  M−1wE. No nosso exemplo temos
M  E−1V  1 0
0 1
−1
1 −1
1 1
 1 −1
1 1
e
M−1  V−1E  1 −1
1 1
−1
1 0
0 1

1
2
1
2
− 12 12
repare que obtemos, como previmos:
MwV  1 −1
1 1
2
0
V
 2
2
E
 wE
e
M−1wE 
1
2
1
2
− 12 12
2
2
E
 2
0
V
 wV
Sabemos, portanto, calcular as coordenadas de um vector numa base E  e1,e2,,en de n
a partir das suas coordenadas noutra base V  v1,v2,,vn de n e vice-versa. Isto vai
ajudar-nos a relacionar as matrizes que representam a mesma transformação linear
T : x ∈ n → Tx ∈ n nessas duas bases diferentes.
Suponha então que n está representado numa ”base azul” E e considere uma transformação
6
linear T de n nele próprio que, nessa base, é representada por uma matriz A (a azul na figura).
Dadas as coordenadas de um vector x na ”base azul” E, xE, a sua imagem pela transformação T é
um vector y  Tx cujas coordenadas na ”base azul” E são dadas por yE  AxE.
Agora tome n representado numa ”base verde” V. A mesma transformação linear T nessa
base é representada por uma matriz à (a verde na figura). Dadas as coordenadas do mesmo vector
x na ”base verde” V, xV, a sua imagem pela transformação T é o vector y  Tx cujas coordenadas
na ”base verde” V são dadas por yV  ÃxV.
Estas situações são sugeridas na figura abaixo (por enquanto esqueça a linha vermelha):
Rn Rn
Rn Rn
Ã
A
M M-1
xV yV=ÃxV
xE yE=AxE
Recorde agora que dadas as coordenadas de um vector na ”base verde” V pode obter as
coordenadas do mesmo vector na ”base azul” E através de uma matriz de mudança de base, M, que
sabe calcular. Terá então, para as coordenadas do vector x, a expressão xE  MxV e, para as
coordenadas do vector y  Tx, a igualdade yE  MyV
Lembre que yE  AxE, isto é, a matriz que permite obter as coordenadas de y  Tx na ”base
azul” E a partir das coordenadas de x na mesma base é a matriz A.
Então, usando as igualdades de mudança de base anteriores, vemMyV  AMxV ou seja
yV  M−1AMxV. Isto significa que a matriz à que permite obter as coordenadas yV de y  Tx
na ”base verde” V a partir das coordenadas xV de x na mesma base é:
Ã=M-1AM
Outra maneira de ”ver” este facto é olhar para o ”trajecto” a vermelho na figura acima. A
”passagem” xV → yV pode ser concebida ao longo do trajecto vermelho do seguinte modo:
xV → xE → yE → yV. Estamos então perante a composição de três transformações lineares e o
Teorema 5.1.5 assegura que a matriz à da transformação composta é o produto das matrizes dos
factores do fim para o princípio, ou seja, Ã  M−1AM.
Terminamos esta secção ilustrando estes factos no exemplo que vimos utilizando:
Recorde então a transformação T de 2 em si próprio, T : x ∈ 2 → Tx ∈ 2, em que o
transformado do vector x é obtido projectando-o sobre o eixo dos yy.
7
T(x) x
e1
e2
v1v2
x
y
0
Tinhamos visto anteriormente que a matriz que representa esta transformação na base
E e1,e2 (base azul) é A  0 0
0 1
enquanto que a matriz que a representa na base
V v1,v2 (base verde) é Ã  1/2 1/2
1/2 1/2
.
Recorde ainda que a matriz de mudança de base que permitia passar das coordenadas na base
V v1,v2 (base verde) para as coordenadas na base E e1,e2 (base azul) era
M  1 −1
1 1
e portanto M−1 
1
2
1
2
− 12 12
efectua a mudança de base no sentido inverso.
Pode então confirmar que se tem:
M−1AM 
1
2
1
2
− 12 12
0 0
0 1
1 −1
1 1
 1/2 1/2
1/2 1/2
 Ã
8