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Departamento de Matema´tica Prof. Luiz RADAVELLI Prova 2 MTM 5163 Cálculo C Instruc¸o˜es: • Prova individual, sem consulta a materiais; • As resoluc¸o˜es podera˜o ser feitas a` la´pis. Respostas a` caneta; Enumere cada resoluc¸a˜o; • Confira a numerac¸a˜o das pa´ginas; • Hora´rio da prova: 07:30 as 09:00. Aluno(a): 1. (2,5 pontos) Considere a integral de linha∫ C (y2 − xy) dx+ k(x2 − 4xy) dy (a) Determine a constante k para que a integral seja independente do caminho. (b) Usando k encontrado no intem anterior, calcule o valor da integral de A = (0, 0) a B = (1, 1). Aluno(a): 2. (2,5 pontos) Uma laˆmina tem a forma da superf´ıcie lateral do cone z2 = 4(x2+y2), com 0 ≤ z ≤ 2. Determinar a massa da laˆmina, sabendo que a densidade do ponto (x, y, z) e´ proporcional a` distaˆncia desse ponto ao eixo z. Page 2 Aluno(a): 3. (2,5 pontos) Determine o fluxo do campo F (x, y, z) = ( ey + co¢ (yz),−2zy + £en (xz), z2 + 3√ 2 ) atrave´s da superf´ıcie S, orientada positivamente, dada pela unia˜o das superf´ıcies S1 definida por z = 4− 2x2− y2 com 0 ≤ z ≤ 2, e S2 definida por z = 1+x2 + y 2 2 com 1 ≤ z ≤ 2. Justifique cada etapa de sua resoluc¸a˜o. Qual a interpretac¸a˜o do resultado obtido? Page 3 Aluno(a): 4. (2,5 pontos) Um fluido tem vetor densidade de fluxo F = x i− (2x+ y) j+ k. Determine a massa de fluido que atravessa a superf´ıcie S, onde S e´ dada por x2 + y2 + z2 = 4 com z ≥ 0 e orientada positivamente, isto e´, o campo normal aponta para fora de S. Interprete o resultado. Boa prova! Page 4
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