MTM5163 - Cálculo C - Luiz Alberto Radavelli - 2015.2 - Prova2

Prévia do material em texto

Departamento de Matema´tica
Prof. Luiz RADAVELLI
Prova 2
MTM 5163 Cálculo C
Instruc¸o˜es:
• Prova individual, sem consulta a materiais;
• As resoluc¸o˜es podera˜o ser feitas a` la´pis. Respostas a` caneta; Enumere cada resoluc¸a˜o;
• Confira a numerac¸a˜o das pa´ginas;
• Hora´rio da prova: 07:30 as 09:00.
Aluno(a):
1. (2,5 pontos) Considere a integral de linha∫
C
(y2 − xy) dx+ k(x2 − 4xy) dy
(a) Determine a constante k para que a integral seja independente do caminho.
(b) Usando k encontrado no intem anterior, calcule o valor da integral de A = (0, 0) a B = (1, 1).
Aluno(a):
2. (2,5 pontos) Uma laˆmina tem a forma da superf´ıcie lateral do cone z2 = 4(x2+y2), com 0 ≤ z ≤ 2.
Determinar a massa da laˆmina, sabendo que a densidade do ponto (x, y, z) e´ proporcional a`
distaˆncia desse ponto ao eixo z.
Page 2
Aluno(a):
3. (2,5 pontos) Determine o fluxo do campo F (x, y, z) =
(
ey + co¢ (yz),−2zy + £en (xz), z2 + 3√
2
)
atrave´s da superf´ıcie S, orientada positivamente, dada pela unia˜o das superf´ıcies S1 definida por
z = 4− 2x2− y2 com 0 ≤ z ≤ 2, e S2 definida por z = 1+x2 + y
2
2 com 1 ≤ z ≤ 2. Justifique cada
etapa de sua resoluc¸a˜o. Qual a interpretac¸a˜o do resultado obtido?
Page 3
Aluno(a):
4. (2,5 pontos) Um fluido tem vetor densidade de fluxo F = x i− (2x+ y) j+ k. Determine a massa
de fluido que atravessa a superf´ıcie S, onde S e´ dada por x2 + y2 + z2 = 4 com z ≥ 0 e orientada
positivamente, isto e´, o campo normal aponta para fora de S. Interprete o resultado.
Boa prova!
Page 4