VETORES

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Introdução 
O final do século XIX e o princípio do século XX assistiram a grandes transformações 
das ciências, de uma forma geral, e da matemática, em particular. O surgimento da 
chamada física moderna com a teoria da relatividade proposta por Einstein e a 
mecânica quântica proposta por Schrödinger fez com que a matemática adotasse um 
tratamento, primordialmente, “vetorial” e “matricial.” É o surgimento do que 
conhecemos como álgebra linear que vai permear todos os ramos da matemática e de 
outras ciências. 
Nos anos 70 do século XX, com o avanço da ciência da computação e de suas 
múltiplas aplicações a todos os ramos do conhecimento, a Geometria Analítica passa 
a conhecer outras aplicações até então insuspeitadas. Surgem ramos do 
conhecimento como, por exemplo, a computação gráfica e visão computacional. 
Grandezas Escalares 
Grandezas físicas como tempo, por exemplo, 5 segundos, ficam perfeitamente definidas 
quando são especificados o seu módulo (5) e sua unidade de medida (segundo). Estas 
grandezas físicas que são completamente definidas quando são especificados o seu 
módulo e a sua unidade de medida são denominadas grandezas escalares. A 
temperatura, área, volume, são também grandezas escalares. 
Grandezas Vetoriais 
Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que 
percorreu uma distância igual a 5 m? 
Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que 
ocorre este deslocamento. Estas grandezas que são completamente definidas quando são 
especificados o seu módulo, direção e sentido, são denominadas grandezas vetoriais. 
Outras grandezas vetoriais: velocidade, aceleração, força. . . 
VETORES 
Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e 
o sentido de uma grandeza física vetorial. 
 Parece ser bem complicado, mas na realidade é uma coisa bastante simples. Para 
facilitar, imagine uma situação em que você está em uma rua movimentada de São 
Paulo e visualiza um carro muito bonito. Impressionado com a imagem corre para 
contar a um colega sobre o tal carro, e no mesmo instante este colega lhe pergunta: 
 - Uau! Onde você viu este carro? 
 - No centro de São Paulo. 
 - Mas o carro ia em que direção? 
 - Ele ia na mesma direção da Av. Rebouças. 
 - Mas em que sentido o carro seguia? 
 - Ele ia pela Rebouças sentido ao centro. 
 - E qual era a velocidade em que o carro se movia? 
 - Pô! uma máquina daquelas só podia estar a uns 190 km/h. 
 Sem perceber você acabou de determinar ao seu colega o VETOR que representa o 
carro visto. 
 Antes de lembrá-los como é que se pode enxergar um vetor em uma história como 
esta, precisamos lembrar da definição de um vetor. 
Outros exemplos: A força ou a velocidade, para serem caracterizadas, precisam, além 
de um valor, de uma direção e um sentido. É intuitivo por exemplo que, se um sólido se 
desloca com uma certa velocidade (numa certa direção), cada um de seus pontos possui 
esta velocidade. 
 
 Ao dizer que a velocidade do vento é de 7 km/h norte, temos, no plano da 
superfície terrestre, um vetor de tamanho (intensidade) 7 com direção perpendicular ao 
equador e sentido de sul para norte. Como ventos de 7 km/h norte podem ocorrer em 
vários pontos da superfície, todos os ventos de 7 km/h norte representam um mesmo 
vetor, independentemente do local de sua atuação. 
 
 Na geometria, os vetores são representados por flechas num plano bidimensional 
ou num espaço tridimensional. O ponto inicial da flecha é chamado de origem do vetor 
e o ponto final da flecha é chamado de extremidade do vetor. Como no caso da 
velocidade do vento, flechas de mesmo tamanho, direção e sentido representam o 
mesmo vetor, independentemente da posição de sua origem e de sua extremidade. 
Tanto a flecha com origem em A e extremidade em B, quanto a outra flecha com 
origem no sistema de coordenadas, representam o mesmo vetor u. 
O QUE É VETOR 
 Vetor (do latim vector = condutor), como já dissemos é um instrumentos usado, 
principalmente pela física, que reúne "dentro de si" três informações sobre um corpo ou 
um móvel. 
 MÓDULO (intensidade, número real não-numérico) 
 SENTIDO 
 DIREÇÃO 
 Os vetores são representados por qualquer letra e por uma seta desenhada por sida da 
letra, como ou em livros e apostilas v (em negrito sem a seta). 
 O módulo deste vetor é representado pela letra que representa o vetor, porém sem a seta 
em cima, v, ou então pelo símbolo do vetor entre os sinais matemáticos que representam 
módulo, | |. 
 Para facilitar a nossa compreensão vamos pegar um exemplo simples 
 
Neste exemplo temos um vetor que possui todas as informações necessárias. veja: 
 Direção: como vemos, o vetor acima possui a mesma direção da reta r, 
horizontal; 
 Sentido: Fica notável que o vetor segue de P para O, da esquerda para direita, 
neste caso; 
 Módulo: O módulo é a intensidade do vetor, como já sabemos. O módulo é, 
graficamente representado, pelo tamanho do vetor desenhado, que em nossa 
caso é de três unidades de medidas u, ou seja 3u. 
OBS.: Devemos sempre notar que se a unidade de medida fosse centímetros, o 
módulo do vetor seria 3 cm, e se a unidade de medida fosse metros, o módulo do 
vetor possuiria 3 metros, etc. 
 Agora, possuímos todo o conhecimento necessário para retornar àquela história e 
dela tirar todas as informações do vetor que representa o carro visto. Então faça isto 
antes de continuar o seu estudo. 
 As informações do vetor são: 
 Sentido: Sentido centro de São Paulo. 
 Direção: A mesma direção da Av. Rebouças. 
 Módulo: Aproximadamente 190 km/h. 
Para compreendermos a idéia de vetor precisaremos antes entender como é a 
representação de um ponto no espaço: 
 
Se quisermos somar as coordenadas de dois pontos quaisquer fazemos: 
 
Para formalizarmos a idéia do que é um vetor definiremos: 
 
Definição Um vetor é um par ordenado de pontos, no plano ou no espaço, que 
denotamos por 𝐴𝐵 . Visualizamos o vetor como uma seta cujo ponto inicial é A e o 
ponto final é B. 
OBS: Um vetor sempre pode ser encontrado usando apenas dois pontos 
quaisquer que o definam. 
𝑢 = 𝐴𝐵 , isto é , 𝑢 = B – A (ponto final menos ponto inicial) 
 
 𝑢 B 
 A 
Ex: Dados dois pontos A= (2, 3, -2) e B = (4, 5, 1), podemos encontrar o vetor 
determinado por 𝐵𝐴 = A – B = (2, 3, -2) – (4, 5, 1) = (-2, -2, -3). 
 
VETORES IGUAIS E VETORES DIFERENTES 
 Este é outro item muito importante para entendermos, definitivamente, um vetor. 
Para que dois vetores sejam iguais eles, necessariamente, precisam possuir módulos, 
sentidos e direção iguais. Por exemplo: 
 
Os vetores acima são iguais, pois possuem as três informações, que constitui um vetor, 
iguais. 
 
 Se tivermos dois vetores que possuem módulos e direções iguais, porém sentidos 
diferentes, dizemos que que estes vetores são diferentes e opostos. Por exemplo: 
 
Estes dois vetores são diferentes, pois possuem a mesma direção (horizontal), o mesmo 
módulo, porém o sentido contrário e opostos. 
 
CÁLCULOS COM VETORES 
 PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR 
 
 O produto de um número a por um vetor , resultará em um outro vetor dado por: 
 Módulo: | | = a · 
 Direção: A mesma de ; 
 Sentido: 1) se a > 0 : o mesmo sentido de 
 2) se a < 0 : contrário de . 
Em coordenadas, se u = ( xu , yu , zu ) e r é um número real, então: 
r.u = r ( xu , yu , zu ) = (r xu , r yu , r zu) 
_____________________________________________________________________ 
Exemplo: Veja na figura seguinte, o escalar r =1.5 multiplicando o vetor u=(-2,2,3): 
 
 
 
 
 
 
 Vetor Oposto 
 
 Antes de entrarmos em outra parte importantedo estudo de vetor, precisamos 
entender o que é um vetor oposto. Denomina-se vetor oposto de um vetor , o vetor 
com as seguintes características: 
 
 
 A figura representa o vetor e o seu oposto . 
Preste Atenção para dois detalhes: 
1. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e o mesmo sentido (a = 0º), o 
vetor resultante (soma) será: 
 
2. Quando dois vetores tiverem a mesma direção e os sentidos opostos (a = 180º), 
o vetor resultante(soma) será: 
 
Adição de dois vetores 
Considere que um bloco realizou os seguintes deslocamentos: 3,0 cm na direção 
vertical, no sentido de baixo para cima (d1), e 4,0 cm na direção horizontal (d2), no 
sentido da esquerda para a direita: 
 
O deslocamento resultante não é simplesmente uma soma algébrica 
(3 + 4), porque os dois vetores d1 e d2 têm direções e sentidos 
diferentes. 
 
Há dois métodos, geométricos, para realizar a adição dos dois vetores, dr = d1 + d2, que 
são: 
 
Figura 1 - Adição de dois vetores: 
Método da triangulação 
 Método da triangulação: consiste em colocar a 
origem do segundo vetor coincidente com a 
extremidade do primeiro vetor, e o vetor soma (ou 
vetor resultante) é o que fecha o triângulo (origem 
coincidente com a origem do primeiro e 
extremidade coincidente com a extremidade do 
segundo) (Fig. 1). 
 
 
 
Figura 2 - Adição de dois 
 vetores: 
Método do paralelogramo 
 Método do paralelogramo: consiste em colocar 
as origens dos dois vetores coincidentes e construir 
um paralelogramo; o vetor soma (ou vetor 
resultante) será dado pela diagonal do 
paralelogramo cuja origem coincide com a dos dois 
vetores (Fig. 2). A outra diagonal será o vetor 
diferença. 
 
 Exemplo: Determinar o vetor soma dos vetores abaixo. 
 
Resolução: Fixando o ponto O arbitrariamente 
 
Note que: 
 Quando a extremidade do último vetor coincidir com a origem do primeiro, 
isto é, quando o polígono for fechado, o vetor resultante será nulo. (R = 0) 
 
 Em qualquer ordem de colocação dos vetores, o vetor Resultante terá o mesmo 
módulo. 
 
 
Exemplo: Veja a soma dos vetores u=(-3,1,2) e v=(2,3,1) na figura seguinte: 
 
 
 
VETOR UNITÁRIO (VERSOR) 
 
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à 
unidade, ou seja: | u | = 1. 
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo: 
 
 
poderemos escrever: 
P = O + u 
u = P - O 
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por 
conseguinte, O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abscissa) e y (ordenada), teremos o 
ponto P(x,y). 
Substituindo acima, vem: 
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - , y - 0 ) = (x, y). 
Portanto, 
u = (x, y) 
 
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema 
de coordenadas cartesianas. 
 
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u , conforme convenção adotada 
acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por: 
𝑢 2 = 𝑥² + 𝑦² , aplicando Pitágoras no triângulo determinado por 𝑢 , x e y, então: 
 
𝑢 = 𝑥² + 𝑦² 
 
 
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS 
 
Vimos acima que um VERSOR é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um 
versor a cada eixo, ou seja: o versor i =(1, 0) no eixo dos x e o versor j =(0, 1) no eixo dos 
y, conforme figura abaixo: 
 
 
 
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, 
base do plano cartesiano Oxy. 
 
Verifica-se que um vetor u = (x, y), pode ser escrito univocamente como: 
u = x.i + y.j , onde i = (1,0) e j = (0, 1) 
 
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos 
considerar os versores i = (1, 0 , 0) , j = (0, 1, 0) e k =(0, 0, 1) , respectivamente dos eixos 
Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria: 
 
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k 
 
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 . 
 
O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por: 𝑢 = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
01- Represente num sistema de coordenadas cartesianas: 
a) o vetor do plano v(3, 5); 
b) o vetor do espaço w(1, 2, 3). 
02- Determine as componentes do vetor 
 ABv
onde A(3, 4, 7) e B(5, -3, 4) 
03- Se u = (3, -2) e v = (5, 1) , calcule u + v. 
04- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule u + v. 
05- Se u = (3, -2), calcule 2u. 
06- Se u = (5, -3, 7) e v = (0, 5, 1), calcule 2u + 3v. 
07- Dados u = (5, -3, 7) e v= (0, 5, 1), encontre os vetores: 
a) w = 2v -3u; 
b) t = (u – 3v)/5. 
08- Qual é a norma do vetor 
 ABv
, se A(3, -5) e B(-2, 4)? 
09- Qual a norma do vetor nulo? 
10- Qual a norma dos vetores canônicos do plano e do espaço? 
 
GABARITO 
 
01- a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
02- (2,-7,-3) 
03- (8,-1) 
04- (5,2,8) 
05- (6,-4) 
06- (10,9,17) 
07- a) (-15,19,-19) 
b) (1, -
18
5
,
4
5
) 
08- 106 
09- 0 
10- Os vetores canônicos tanto no plano quanto no espaço são vetores unitários, por 
tanto a norma desses vetores sempre serão iguais a 1.