Contagem e diagrama de árvore

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
Centro de Cieˆncias Exatas - Departamento de Matema´tica
MAT 103 - Pra´tica de Ensino de Matema´tica II
PLANO DE AULA
Docente:Roge´rio Grego´rio.
Pu´blico-alvo: 9o ano do ensino fundamental.
Durac¸a˜o: 2 ou 3 aulas de 50 minutos.
1 Tema
Contagem e Problema de Diagrama de A´rvores
2 Objetivo Geral
1. Interpretar e resolver problemas utilizando me´todo de contagem.
2.1 Objetivos Espec´ıficos
1. Associar a multiplicac¸a˜o de nu´meros naturais a` adic¸a˜o de parcelas iguais e as situac¸o˜es simples de
combinato´ria.
2. Resolver problemas de contagem utilizando o me´todo do diagrama da a´rvore.
3. Identificar as poss´ıveis maneiras de combinar elementos de uma colec¸a˜o e de contabiliza´-las usando
estrate´gias pessoais;
3 Pre´-requisitos
Conceitos de multiplicac¸a˜o
4 Conteu´do Programa´tico
1. Diagrama de a´rvore
2. Introduc¸a˜o aos me´todos de Contagem
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5 Metodologia
Exposic¸o˜es dialogadas com resoluc¸a˜o de exerc´ıcios.
6 Recursos Dida´ticos
Quadro, giz, materiais concretos(la´pis de cor e exerc´ıcio).
7 Avaliac¸a˜o
A avaliac¸a˜o sera´ de modo cont´ınuo, com exerc´ıcios resolvidos em sala, tarefas para casa e atividades avalia-
tivas(testes).
8 Desenvolvimento da Aula
Desafio
Em um cassino as fichas podem ser azuis, amarelas, verdes, vermelhas, roxas ou pretas; circulares,retangulares,triangulares,
pentagonais ou hexagonais; finas ou grossas; ale´m disso pode ser enumeradas com o nu´mero 0 ou 1. Quantos
tipos de fichas existem?
Diagrama de A´rvore
Problema 1:
Thiago decidiu padronizar os azulejos de seu restaurante. Ele os quer em forma de hexa´gonos regulares, com
um pequeno c´ırculo em seu interior.
Thiago dispo˜e, segundo suas prefereˆncias pessoais, de 3 cores distintas para pintar o hexa´gono e de 4 cores
distintas para pintar o c´ırculo. Sabendo que as duas formas (hexa´gono e c´ırculo) sera˜o unicolores(uma cor),
quantas sa˜o as opc¸o˜es para o novo modelo de azulejo?
Resoluc¸a˜o:(Folha para atividade em anexo)
Suponha que as cores para pintar o hexa´gono sejam verde, vermelho e preto, e para pintar o c´ırculo seja azul,
amarelo, roxo e marrom.
Assim,
• Se a primeira cor escolhida para pintar o hexa´gono for verde, a cor para o circulo podera´ ser qualquer
uma entre as 4 cores, logo teremos 4 padro˜es de azulejos diferentes.
• Se na segunda vez escolhermos para o hexa´gono a cor vermelha, teremos para o circulo 4 cores tambe´m,
resultando em mais 4 padro˜es de azulejos.
• A u´ltima cor que pode ser escolhida para o hexa´gono e´ a cor preta, que podera´ ser combinado com as
4 cores do circulo, o que nos da mais 4 padro˜es de azulejos.
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Logo, temos um resultado de 4 + 4 + 4 = 12 tipos de azulejos diferentes, ou seja, 3× 4 = 12.
Problema 2:
Ra´ıza tem 2 calc¸as e 3 camisetas de cores diferentes. Ela vai a` escola de segunda a sexta, mas na˜o quer
repetir um mesmo conjunto de calc¸a e camiseta na mesma semana. Ra´ıza conseguira´ realizar seu desejo?
Resoluc¸a˜o:
Vamos supor que ela tem um calc¸a branca e uma preta, e as camisetas sa˜o vermelha, amarela e verde.
• Se a primeira calc¸a que ela usar for a preta , ela podera´ combina´-la com qualquer uma das treˆs camisetas,
o que nos da´ 3 visuais.
• Agora se ela ja´ usou a calc¸a preta, ela tem que usar a branca, que tambe´m podera´ ser combinada com
qualquer uma das treˆs camisetas , que nos da mais 3 visuais diferentes.
O total de maneiras de combinar as pec¸as e´ 3+3, ou seja, 2× 3 = 6. Enta˜o, Ra´ıza conseguira´ realizar o seu
desejo de ir para a aula durante a semana sem repetir nenhum look. E ainda sobrara´ um look.
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Princ´ıpio Multiplicativo ou Princ´ıpio Fundamental da Contagem
Se uma ac¸a˜o e´ composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m modos e,
para cada um destes, a segunda pode ser feita de nmodos, enta˜o o nu´mero de modos de realizar a ac¸a˜o e´m×n.
Este princ´ıpio pode ser estendido a ac¸o˜es compostas de mais de duas etapas.
Problema 3:
Numa reunia˜o havia 6 professores do Mato Grosso do Sul e 7 do Ceara´. Quando o grupo se reuniu, cada
professor do Mato Grosso do Sul cumprimentou cada professor do Ceara´ exatamente uma vez. Quantos
cumprimentos ocorreram?
Resoluc¸a˜o:
Como cada cumprimento aconteceu entre um professor do Mato Grosso do Sul e um professor do Ceara´, o
total de cumprimentos e´ o total de maneiras de se escolher um professor do Mato Grosso do Sul e um do
Ceara´, simultaneamente. Pelo Princ´ıpio Multiplicativo, o total e´ 6× 7 = 42, ou seja, 42 cumprimentos.
Problema 4:
Samanta vai a` lanchonete do Pedra˜o comer um sandu´ıche, fritas e tomar um suco. Ela pode escolher o
sandu´ıche de carne, queijo ou frango, as fritas pode ser a porc¸a˜o grande ou pequena, e o suco de laranja,
abacaxi ou morango. De quantos modos ela podera´ compor o seu pedido?
Resoluc¸a˜o:
Samanta pode comec¸ar escolhendo 3 tipos de sandu´ıches, depois as fritas ela pode escolhe 2 tamanhos dife-
rentes, e finalmente o suco podera´ ser escolhido de 3 formas.
Pelo Princ´ıpio Multiplicativo, o total e´ 3× 2× 3 = 18, ou seja, 18 opc¸o˜es de lanches .
Exerc´ıcios:
1. Quantos sa˜o os nu´meros naturais de 2 algarismos?
2. Quantos sa˜o os nu´meros ı´mpares entre 10 e 98?
3. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com o alfabeto de 26 letras?
4. Exerc´ıcios do livro dida´tico sobre o conteu´do estudado.
9 Bibliografia
http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_006-principio-fundamental-de-contagem/
http://www.ideiasnacaixa.com/laboratoriovirtual/
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	Tema
	Objetivo Geral
	Objetivos Específicos
	Pré-requisitos
	Conteúdo Programático
	Metodologia
	Recursos Didáticos
	Avaliação
	Desenvolvimento da Aula
	Bibliografia