Aula - Matrizes

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Matrizes
Chama-se matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
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 Lê-se: matriz A de ordem três por dois, ou seja, três linhas e duas colunas. 
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes. 
 
 
Matrizes: representação 
Dispomos os elementos de uma matriz entre parênteses, colchetes ou duas barras. 
coluna
 
linha
 
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Matrizes: Representação genérica
 
Com m, n ϵ 
 
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
ão genérica
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Matriz Quadrada: número de linhas é igual ao números de colunas (m = n). 
 Matrizes: Tipos especiais
Matriz -Linha : é aquela onde m = 1.
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Matrizes: Tipos especiais
Matriz Nula é aquela em que aij = 0, para todo i e j. 
Matriz – Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
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Matrizes: Tipos especiais
Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na “diagonal” são nulos. 
Matriz Identidade Quadrada é aquela em que aii = 1 e a aij = 0, para i ≠ j. 
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Matrizes: Tipos especiais
Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, para i > j. 
Matriz Triangular Inferior é aquela em que m = n e aij = 0, para i < j. 
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Matrizes: Igualdade de Duas Matrizes
Duas matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)mxn são iguais se, e somente se, aij = bij, i = {1,2,...,m} e o mesmo tipo, dizemos que A = B se somente se, j = {1,2,...,n}.
A = B aij=bij
Determine o valor de cada incógnita para que as matrizes sejam iguais. 
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Matrizes:Operações com Matrizes
Adição
Dados duas matrizes A = ( aij )mxn e B = ( bij )mxn chama-se Soma de A com B, e indica-se por A + B, a matriz m x n cujo termo geral é dado por: 
 aij + bij, isto é, 
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Matrizes:Operações com Matrizes
Propriedades: 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n , temos:
A + B = B + A (comutatividade) 
2) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) 
3) A + 0 = A, sendo 0 a matriz nula m x n
4) A + (-A) = 0, sendo – A , matriz oposta. 
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Matrizes: Operações com Matrizes
Multiplicação de uma matriz por um escalar.
Dada uma matriz A = ( aij )mxn é um escalar chama-se Produto as Matriz A pelo escalar a matriz dada por:
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Matrizes:Operações com Matrizes
Propriedades: 
Dadas as matrizes A e B de mesmo tipo, m x n, e pertencente a IR (ou C) temos: 
 ( A + B) = A + B 
2) ( + ) A = A + A 
 
3) ( A ) = ( ) A
4) 1 . A = A
5) 0 . A = 0 
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Matrizes: Transposição
Matriz Transposta é aquela obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linha. 
 então 
Propriedades:
(At)t = A 
(A + B)t = At + Bt
 
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Matriz simétrica e matriz anti -simétrica 
 
Matriz Simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é, se, e somente se A = At . (aij = aji). 
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Matriz simétrica e matriz anti -simétrica 
Observação:
Dois elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são opostos. Além disso, os elementos dessa diagonal são todos nulos. 
Matriz Anti -Simétrica uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica se, e somente se, A = - At . 
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Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica 
C = A . B a matriz m x p definida por
 Cij=ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj
Observações:
O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p,
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Observações 
 O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A.B = B.A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.
 Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
 Quando A e B se comutam temos (A+B)2 = A2 + 2AB +B2