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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 1 U.A. 1: JURO SIMPLES Todos os direitos autorais reservados à MARCIA REBELLO DA SILVA OBJETIVOS: Ao final desta unidade, você será capaz de: 1- Entender o valor do dinheiro ao longo do tempo em regime de capitalização simples 2- Conhecer e compreender o conceito fundamental da matemática financeira: Juro 3- Entender o conceito de taxa de juros: taxa unitária, taxa percentual 4- Conhecer e compreender os outros conceitos fundamentais: Capital, Montante, Período e Taxa de Juros 5- Compreender homogeneidade entre taxa e tempo, e transformar o tempo ou a taxa quando as unidades de tempo não forem homogêneas. 6- Calcular as variáveis: Juro; Montante; Capital; Período; e Taxa de Juros no Período de Capitalização Simples. 7- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA 1. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 2 1- OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira preocupa-se com o estudo de duas variáveis; uma delas é representada pelo denominador financeiro comum, o dinheiro; e a outra variável é representada pelo tempo. Portanto, como a Matemática Financeira tem por essência o estudo do dinheiro ao longo do tempo, o objetivo básico é fazer análises financeiras que envolvem o estudo simultâneo do dinheiro no tempo, isto é, fazer comparações dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiros de caixa verificados em vários momentos. Assim sendo nada mais é do que o estudo da equivalência de "valores datados". 2- DIAGRAMA DO CAPITAL NO TEMPO Como os problemas financeiros dependem basicamente do fluxo de entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo, o fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, permitindo assim, uma melhor visualização do que ocorre com o capital. Convenções: a) Reta horizontal: registra a escala de tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação, com a progressão de tempo dando-se da esquerda para a direita. b) Períodos de tempo: aparecem em intervalos contíguos, de modo que cada número representa os períodos de tempo (datas) acumulados. O ponto zero indica o momento inicial. c) Setas: significam entradas de dinheiro (para cima) da linha de tempo ou saídas de dinheiro (para baixo) da linha de tempo. d) Tamanho das setas: deveria representar proporcionalmente o valor do capital que está entrando ou saindo. Tempo Entradas de Caixa (+) Saídas de Caixa (−) 0 1 2 3 4 5 (+) (+) (−) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 3 3- CONCEITO DE JURO O Juro é o conceito fundamental na matemática financeira e é a diferença absoluta entre o valor futuro e o valor presente; é a remuneração a qualquer título do capital utilizado durante certo período de tempo sob o ponto de vista do investidor, isto é, a renda do capital investido. As definições de JURO são: rendimento do capital, remuneração do capital, ganho sobre o capital ou “aluguel“ do capital. Representamos o juro pela letra J. O juro por ser a remuneração referente ao uso do capital por um determinado, tempo, então existem outros conceitos essenciais para a matemática financeira. 4- OUTROS CONCEITOS FUNDAMENTAIS 4.1- Capital O capital pode ser definido como a quantia que se tem ou que se recebe no início do prazo. O capital também pode ser chamado de: principal, depósito inicial, valor inicial, valor aplicado. Representamos o capital pela letra P, de principal. 4.2- Montante O montante é o resultado que se obtém da aplicação de um capital, ou seja, é quanto se paga pelo empréstimo do capital ou quanto se recebe. Outras definições para o montante são: valor de resgate (recebido), valor final, quantia, valor capitalizado. Adotamos a notação letra S, que vem do inglês sum (montante) 4.3- Período Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital ficou aplicado. Este dado vem representado por um número de períodos que podem ser, por exemplo anos, semestres, quadrimestres, bimestres, trimestres, meses, dias. Representamos o número de períodos pela letra n. 4.4- Taxa de Juros A taxa de juros por ser a relação entre o juro e o capital, ou seja, o fator que determina qual é a remuneração do capital em determinado espaço de tempo; o coeficiente que determina os juros, portanto, é o elemento fundamental para a transposição e análise de valores datados. Adotamos a notação i., que vem do inglês interest (taxa). A seguir veremos que a taxa de juros pode ser representada de duas formas e que é fácil passar de uma para a outra. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 4 4.4.1- TAXA UNITÁRIA A taxa unitária é a taxa que se refere-se a uma unidade do capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. Esta é a forma que deve ser usada nas fórmulas para cálculo de juros, capital, montante e período. Ex. 1: Taxa de 0,30 ao mês, então a aplicação de $ 1 por um mês gera um juro de $ 0,30. Solução: Taxa Unitária = 0,30 a.m. ($ 1) (0,30) = $ 0,30 Ex. 2: Taxa de 0,50 ao ano, então a aplicação de $ 20 por um ano gera um juro de $ 10. Solução: Taxa Unitária = 0,50 a.a. ($ 20) (0,50) = $ 10 4.4.2- TAXA PERCENTUAL A taxa percentual é a taxa de juros que se refere a cem unidades de capital (percentual = por cem), isto é, o valor dos juros para cada centésima parte do capital; e esta é a forma mais usual de se apresentar. Ex. 3: Um capital de $ 100 rende $ 10 em um mês; então a taxa de juros é 10% a.m. Solução: Taxa Percentual = 10% a.m. Juro = ($ 100) (10 ) 100 Juro = $ 10 NOTA: � Para transformar a taxa percentual em unitária basta dividir a notação da porcentagem por 100. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 5 Ex. 4: Para uma taxa percentual de juros de 40% a.s, qual será a taxa unitária? Solução: Taxa Unitária = .40 a.s. = 0,40 a.s. 100 Taxa Unitária = 0,40 a.s. Resposta: 0,40 a.s. Ex. 5: Se a taxa de juros for 0,54 a.t, qual será a taxa percentual? Solução: Taxa Percentual = (0,54) (100%) Taxa Percentual = 54% a.t Resposta: 54% a.t. NOTA: � Para transformar a taxa unitária em percentual basta multiplicar por 100 e acrescentar o “%”. Ex. 6: Para uma taxa de juros de 1,5% a.m, calcular a taxa unitária? Solução: Taxa Unitária = 1,5 a.m. 100 Taxa Unitária = 0,015 a.m Resposta: 0,015 a.m NOTA: � Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 6 5- CÁLCULO DO JURO No regime de juros simples somente o principal produz juros durante o período de tempo da transação. Os juros que um capital produz são constantes e proporcionais ao capital aplicado, na razão da taxa de juros. J = (P) (i)(n). Onde: Unidades J : Juros; Rendimento => [$] P : Principal ou Capital => [$] i : Taxa de Juros Unitária; Rentabilidade Unitária => [1/T] n : Períodos de Tempo da Transação => [T] Sendo: $ => Unidades Monetárias (U.M.) T => Tempo (anos; semestres, meses; dias; etc.) NOTA: � O Principal ou o Capital só acontecem no momento inicial, isto é, no tempo igual a zero. Ex. 7: Um capital de $ 140.000; foi aplicado a uma taxa de juros de 15% a.s. durante nove semestres. Calcular o juro simples. P = $ 140.000 n = 9 sem. i = 15% a.s. J = ? Solução: J = (P) (i) (n). J = ($ 140.000) (0,15) (9 sem.) (sem.) J = $ 189.000 Resposta: $ 189.000 Ex. 8: Se o principal for 13.400 u.m, o prazo vinte e cinco trimestres e a taxa de juros simples 7,8% a.t, qual será o rendimento? P = 13.400 u.m. n = 25 trim. i = 7,8% a.t. J = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 7 Solução: J = (P) (i) (n). J = (13.400 u.m.) (0,078) (25 trim.) (trim.) J = 26.130 u.m. Resposta: 26.130 u.m. Ex. 9: Um varejista aplicou $ 17.000 em um fundo que pagou uma taxa de juros simples de 28,5% a.s. Decorridos quatro semestres ele retirou toda quantia deste fundo e aplicou pelo prazo de treze meses 85% dos rendimentos em um outro fundo a uma taxa de juros simples de 3,5% a.m. Quanto recebeu de rendimento total o varejista? P1 = $ 17.000 i1 = 28,5% a.s. n1 = 4 sem. P2 = (0,85) J1 i2 = 3,5% a.m. n2 = 13 m. JT = J1 + J2 Solução: .J = (P) (i) (n). J1 = (P1) (i1) (n1) = (17.000) (0,285/sem) (4 sem) = $ 19.380 P2 = (0,85) (J1) = (0,85) (19.380) = $ 16.473 J2 = (P2) (i2) (n2) = (16.473) (0,035/mês) (13 meses) = $ 7.495,22 J1 + J2 = 19.380 + 7.495,22 J1 + J2 = $ 26.875,22 Resposta: $ 26.875,22 Ex. 10: Dispondo de $ 250.000, Beto aplica (2/10) dessa importância a uma taxa de juros de 4% a.m.; (5/10) a uma taxa de juros de 3,5% a.m.; e o restante a uma taxa de 2,7% a.m. Quanto receberá Beto de juros simples decorridos dezoito meses? P = $ 250.000 i1 = 4% a.m. i2 = 3,5% a.m. i3 = 2,7% a.m. n = 18 meses J = ? Solução: P1 = (2/10) (250.000) = $ 50.000 P2 = (5/10) (250.000) = $ 125.000 P3 = [(10 − 2 − 5)] (250.000) = $ 75.000 10 P3 = 250.000 – 50.000 − 125.000 = $ 75.000 Como: UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 8 .J = (P) (i) (n). J = (50.000) (0,04) (18) + (125.000) (0,03) (18) + (75.000) (0,027) (18) J = $ 151.200 Resposta: $ 151.200 6- CÁLCULO DO MONTANTE O montante é o capital acrescido dos Juros. S = P + J. Como: J = P i n Então: S = P + P i n Colocando “P” em evidência fica: .S = P [1 + (i) (n)]. Onde: S: Montante, ou Valor de Resgate, ou Valor de Vencimento: [$]. (1 + i n): Fator de Acumulação a Juros Simples; ou Valor Acumulado de $ 1,00 (Juros Simples). Ex. 11: Qual é o valor acumulado no final de duzentos dias para um capital $ 6.900 que ficou aplicado a uma taxa de juros simples de 0,4% a.d? P = $ 6.900 i = 0,4% a.d. n = 200 dias S = ? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)]. S = $ 6.900 [1+ (0,004) (200 dias)] dia S = $ 12.420 Solução 2: S = P + J. J = (P) (i) (n). S = $ 6.900 + [($ 6.900) (0,004/dia) (200 dias)] S = $ 12.420 Resposta: $ 12.420 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 9 Ex. 12: Foi aplicado $ 35.820 inicialmente em um fundo de investimento, a uma taxa de juros simples de 20% ao mês. Decorridos dezoito meses, foi aplicado 75% do valor recebido em uma poupança a uma taxa de juros simples de 13,20% a.t, por nove trimestres. Qual foi rendimento da poupança? P1 = $ 35.820 i1 = 20% a.m. = 0,2 a.m. n1 = 18 meses P2 = (0,75) S1 i2 = 13,20% a.t. n2 = 9 trim. J2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)]. S1 = ($ 35.820) [1 + (0,2/mês) (18 meses)] S1 = ($ 35.820) (1 + 3,6) S1 = ($ 35.820) (4,6) = $ 164.772 P2 = (0,75) ($ 164.772) = $ 123.579 J = (P) (i) (n). J2 = ($ 123.579) (0,132/trim) (9 trim) J2 = $ 146.811,85 Resposta: $ 146.811,85 Ex. 13: Foram aplicados $ 22.600 por dez meses a 8% a.m. Ao final do prazo (2/7) do montante foi aplicado a 9% a.t. por quatro trimestres; (4/7) a 11% a.s. por sete semestres; e o restante a 7,5% a.b. por cinco bimestres. Qual foi o montante das três últimas aplicações, se o regime para todas as aplicações foi de capitalização simples? P = $ 22.600 i = 8% a.m. n = 10 m. (2/7) (S) = P1 i1 = 9% a.t. n1 = 4 trim. (4/7) (S) = P2 i2 = 11% a.s. n2 = 7 sem. (1/7) (S) = P3 i3 = 7,5% a.b. n3 = 5 bim. ST = S1 + S2 + S3 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. S = (22.600) [1+ (0,08) (10)] S = (22.600) (1+ 0,8) = (22.600,00) (1,8) = $ 40.680 S1 = (2/7) (40.680) [1 + (0,09) (4)] S1 = (2/7) (40.680) (1 + 0,36) = (2/7) (40.680) (1,36) = $ 15.807,09 S2 = (4/7) (40.680) [1 + (0,11) (7)] = (4/7) (40.680) (1 + 0,77) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 10 S2 = (4/7) (40.680) (1,77) = $ 41.144,91 S3 = (1/7) (40.680) [1 + (0,075) (5)] S3 = (1/7) (40.680) (1 + 0,375) = (1/7) (40.680) (1,375) = $ 7.990,71 ST = S1 + S2 + S3 = 15.807,09 + 41.144,91 + 7.990,71 ST = $ 64.942,71 Resposta: $ 64.942,71 Ex. 14: Foram aplicados dois capitais diferentes um por quinze meses e taxa de juros simples de 3% a.m., e outro capital 35% superior por dois anos e taxa de juros simples de 48% a.a. Se os capitais somaram $ 23.970, qual será o valor acumulado no final do prazo? P1 = ? i1 = 3% a.m. n1 = 15 meses. P2 = P1 + 0,35 P1 = 1,35 P1 i2 = 48% a.a. n2 = 2 anos. P1 + P2 = $ 23.970 ST = S1 + S2 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. P1 + 1,35 P1 = 23.970 2,35 P1 = 23.970 P1 = 23.970 = $ 10.200 2,35 P2 = 1,35 P1 = (1,35) (10.200) = $ 13.770 ST = S1 + S2 = 10.200 [1+ (0,03) (15)] + 13.770 [1+ (0,48) (2)] ST = S1 + S2 = 10.200 (1+ 0,45) + 13.770 (1+ 0,96) ST = S1 + S2 = 10.200 (1,45) + 13.770,00 (1,96) ST = 14.790 + 26.989,20 ST = $ 41.779,20 Resposta: $ 41.779,20 7- CÁLCULO DO CAPITAL OU PRINCIPAL O capital pode ser calculado a partir das seguintes fórmulas gerais: S = P + J. J = (P) (i) (n). S = P [1 + (i) (n)]. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 11 Ex. 15: Se o juro simples for $ 16.500; a taxa de juros 5% a.b, e o prazo vinte e dois bimestres, qual foi o capital? J = $ 16.500 i = 5% a.b. n = 22 bim P = ? Solução: J = (P) (i) (n). $ 16.500 = (P) (0,05/bim) (22 bim) $ 16.500 = (P) (1,10) $ 16.500 = P 1,10 P = $ 15.000 Resposta: $ 15.000 Ex. 16: Se o valor de resgate foi $ 34.000; prazo dois anos e taxa de juro simples 20% a.a, qual foi o principal? S = $ 34.000 n = 2 anos i = 20% a.a.P = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)]. $ 34.000 = P [1 + (0,2/ano) (2 anos)] $ 34.000 = P (1 + 0,4) $ 34.000 = P (1,4) P = $ 34.000 1,4 P = $ 24.285,71 Resposta: $ 24.285,71 Ex. 17: Dois capitais diferentes foram aplicados a uma taxa de 6% a.m., sob regime de capitalização simples. O primeiro pelo prazo de quatro meses; e o segundo por cinco meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizou $ 39.540 e que o juro do segundo capital excedeu o juro do primeiro em $ 12.600, qual era soma dos dois capitais iniciais? P1 n1 = 4 m. i = 6% a.m. P2 n2 = 5 m. P1 + P2 = ? Solução: O enunciado diz, ainda, que: J1 + J2 = $ 39.540,00 (1ª equação) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 12 e : J2 = $ 12.600 + J1 (2ª equação) Logo, teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, o qual será resolvido pelo método de substituição. Então, substituindo o valor do J2 da 2ª equação na 1ª equação, fica: J1 + 12.600 + J1 = 39.540 2 J1 = 39.540 − 12.600 2 J1 = 26.940 J1 = $ 13.470 Como: J = (P) (i) (n). Então: J1 = (P1) (i1) (n1). 13.470 = (P1) (0,06) (4) P1 = $ 56.125 J2 = $ 12.600 + J1 J2 = 12.600 + 13.470 J2 = $ 26.070 e: J2 = (P2) (i2) (n2). 26.070 = (P2) (0,06) (5) P2 = $ 86.900 P1 + P2 = 56.125 + 86.900 P1 + P2 = $ 143.025 Resposta: $ 143.025 8- CÁLCULO DO PRAZO O prazo pode ser calculado a partir das seguintes fórmulas gerais: J = (P) (i) (n). S = P [1 + (i) (n)]. Ex. 18: Por quanto tempo ficou aplicado $ 13.500, a rentabilidade de 4,5% a.q, sabendo-se que o juro foi $ 6.900 e o regime de capitalização simples? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 13 P = $ 13.500 i = 4,5% a.q. J = $ 6.900 n = ? Solução: J = (P) (i) (n). $ 6.900 = ($ 13.500) (0,045/quad) (n) ($ 6.900) (quad) = n ($ 13.500) (0,045) n = 11,36 quad. Resposta: 11,36 quad. Ex. 19: Para um montante de $ 157.450; o principal é $ 38.300 e a taxa de juros simples 3,8% a.m. Calcular o prazo. S = $ 157.450 P = $ 38.300 i = 3,8% a.m. n = ? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)]. $ 157.450 = $ 38.300 [1 + (0,038/mês) (n)] $ 157.450 − 1 = (0,038/mês) (n) $ 38.300 4,111 − 1 = (0,038/mês) (n) 3,111 (mês) = n 0,038 n = 81,87 meses ≈ 82 meses Solução 2: J = (P) (i) (n). .S = P + J. J = S – P = P i n $ 157.450 − $ 38.300 = $ 38.300 (0,038/mês) (n) ($119.150) (mês) . = n ($ 38.300) (0,038) Prazo = 81,87 meses Resposta: ≈ 82 meses Ex. 20: Emprestou-se uma certa quantia a uma taxa de juros simples de 5% a.t. Decorrido certo tempo, recebeu de juros o equivalente a (1/4) do valor emprestado. Quanto foi emprestado e qual foi o prazo do empréstimo se o valor de resgate foi $ 250.000? P = ? i = 5% a.t S = $ 250.000 J = (1/4) P n = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 14 Solução: .S = P + J. 250.000 = P + (1/4) P 250.000 = P + 0,25 P 250.000 = 1,25 P P = $ 200.000 .J = (P) (i) (n). (1/4) P = P (0,05) (n) n = 5 trim. Respostas: $ 200.000 e 5 trim. 9- CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A taxa de juros pode ser calculada a partir das seguintes fórmulas gerais: J = (P) (i) (n). S = P [1 + (i) (n)]. Ex. 21: Se o rendimento for $ 23.000, o capital $ 45.000 e o prazo nove semestres, qual será a taxa de juros simples? J = $ 23.000 P = $ 45.000 n = 9 sem. i = ? Solução: .J = (P) (i) (n). $ 23.000 = ($ 45.000) (i) (9 sem) $ 23.000 = i ($ 45.000) (9 sem) i = 0,0568/sem. = 5,68% a.s. Resposta: 0,0568 a.s. ou 5,68% a.s Ex. 22: Se o valor acumulado no final de trinta trimestres for $ 85.400 e o principal $ 57.000; qual será a rentabilidade ao trimestre se o regime for de capitalização simples? S = $ 85.400 P = $ 57.000 n = 30 trim. i = ? (a.t) Solução 1: .S = P [1 + (i) (n)]. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 15 $ 85.400 = $ 57.000 [1 + (i) (30 trim)] $ 85.400, = 1 + (i) (30 trim) $ 57.000 1,50 = 1 + (i) (30 trim) 0,50 = (i) (30 trim) 0,50 = i (30) (trim) i = 0,0167/trim. = 0,0167 a.t. = 1,67% Solução 2: .S = P + J. .J = (P) (i) (n). $ 85.400 − $ 57.000 = $ 57.000 (i) (30 trim) $ 28.400 = i ($ 57.000) (30 trim) 0,50 = i (30) (trim) i = 0,0167/trim. = 0,0167 a.t. = 1,67% a.t. Resposta: 0,0167 ou 1,67% 10- HOMOGENEIDADE ENTRE TAXA E TEMPO Nos cálculos financeiros, devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juros e o tempo sejam considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo período financeiro, isto é, se a taxa de juros for ao ano, o tempo deverá ser em anos; ou se o tempo é expresso em meses a taxa de juros terá quer ser em meses. Mas por hipótese se isto não ocorrer, podemos transformar o tempo ou a taxa para podermos obter a homogeneidade entre as unidades de tempo. LEMBRETE: 1ano = 2 sem. = 3 quad. = 4 trim. = 6 bim. = 12 meses 1 ano civil = 365 dias 1 ano comercial = 360 dias => 1 mês = 30 dias UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 16 Ex. 23: O juro simples de um principal de $ 53.000 colocado à taxa de 10% a.a, durante trinta meses será igual a: P = $ 53.000 i = 10% a.a. n = 30 meses J = ? Solução 1: Mudando o Tempo J = (P) (i) (n). n = (30 meses (1 ano) . = 2,5 anos (12 meses) J = ($ 53.000) (0,10) (2,5 anos) (ano) J = $ 13.250 Solução 2: Mudando a Taxa de Juros J = (P) (i) (n). i = (0,10) . (1 ano) . (ano) (12 meses) i = (0,10) . (12 meses) J = ($ 53.000) . (0,10) . (30 meses) (12 meses) J = $ 13.250 Solução 3: J = (P) (i) (n). J = ($ 53.000) (0,10) (30 meses) [ (1 ano) ] (ano) (12 meses) J = $ 13.250 Resposta: $ 13.250 NOTA: � Quando multiplicamos por uma unidade a equação não alteramos a equação, neste caso como "1 ano = 12 meses", então, "1 ano /12 meses” = 1 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 17 Ex. 24: Dispondo de $ 120.000, um casal aplica em regime de capitalização simples, sendo que: (2/6) dessa importância a uma taxa de juros de 4% a.m., (3/6) a 16% a.t., e o restante a 22% a.s. Quanto o casal receberá de rendimentos decorrido um ano? P = $ 120.000 n = 1 ano J = ? (2/6) (120.000) = $ 40.000 i = 4% a.m. (3/6) (120.000) = $ 60.000 i = 16% a.t. [(6/6) − (5/6 )] (120.000) = $ 20.000 i = 22% a.s. Solução: J = (P) (i) (n). J = 40.000 (0,04) (12) + 60.000 (0,16) (1) (4) + 20.000 (0,22) (1) (2) J = $ 66.400 Resposta: $ 66.400 Ex. 25: Por quantos meses deve permanecer aplicado um capital para que os juros simplessejam equivalentes a três vezes este capital, a taxa de 240% a.s.? J = 3 P i = 240% a.s = (2,4) (1/6)/mês. n = ? (meses) Solução: J = (P) (i) (n). 3 P = P (2,4) (1/6) (n) n = 7,5 Resposta: 7,5 Ex. 26: Nilton aplicou $ 490.000 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros simples de 6% a.t. Quanto resgatará Nilton no final do prazo? P = $ 490.000 n = 2,5 anos i = 6% a.t. S = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)]. S = $ 490.000 [1 + (0,06). (2,5 anos) (4 trim)] (trim). (1 ano) S = $ 784.000 Resposta: $ 784.000 Ex. 27: Inicialmente, aplicou-se $ 50.300 pelo prazo de sete semestres em um fundo. Se o montante foi $ 81.400 e o regime foi de capitalização simples, qual foi rentabilidade mensal? P = $ 50.300 n = 7 sem. S = $ 81.400 i = ? (a.m). UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 18 Solução: S = P [1 + (i) (n)]. $ 81.400 = $ 50.300 [1 + (i) (7 sem) (6 meses/1 sem)] 81.400 = 1 + (i) (7) (6 meses) 50.300 1,6183 − 1 = (i) (7) (6 meses) 0,6183 = i (7) (6 meses) i = 0,0147/mês = 1,47% a.m. Resposta: 0,0147 a.m. ou 1,47% a.m. Ex. 28: Se o valor recebido for $ 7.900, o principal $ 3.450 e a taxa de juros simples 5,8% a.q, por quantos bimestres ficou aplicado tal quantia? S = $ 7.900 P = $ 3.450 i = 5,8% a.q. n = ? (bim). Solução: S = P [1 + (i) (n)]. $ 7.900 = $ 3.450 [1 + (0,058) (n) (1 quad)] (quad) (2 bim) 7.900 = 1 + (0,058) (n) 3.450 (2 bim) 2,2899 − 1 = (0,058) (n) (2 bim) 1,2899 = (0,058) (n) (2 bim) (1,2899) (2 bim) = n 0,058 n = 44,5 Resposta: 44,5 Ex. 29: Um lojista fez um empréstimo de $ 12.000 à uma taxa de juros simples de 6% a.m, comprometendo-se a quitá-lo em duas vezes: (3/8) do empréstimo um ano após o empréstimo; e o restante decorridos mais dois anos e meio. Calcular o montante da dívida. P = $ 12.000 i = 6% a.m. P1 = (3/8) P = (3/8) (12.000,00) = $ 4.500 n1 = 12 meses P2 = (5/8) P = (5/8) (12.000,00) = $ 7.500 n2 = (12 + 30) = 42 m. ST = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 19 Solução: S = P [1 + (i) (n)]. ST = 4.500 [1 + (0,06) (12)] + 7.500 [ 1 + (0,06) (42)] ST = (4.500) (1) + (4.500) (0,06) (12) + 7.500 (1) + (7.500) (0,06) (42) ST = $ 34.140 Resposta: $ 34.140 Ex. 30: Rita pegou emprestado com sua amiga $ 7.350 para ser quitado em vinte meses. Se Rita pagou pelo empréstimo $ 13.480; qual foi a taxa de juros simples ao quadrimestre cobrada no empréstimo? P = $ 7.350 n = 20 m = (20/4) quad., S = $ 13.480,00 i = ? (a.q.) Solução: S = P [1 + (i) (n)]. 13.480 = (7.350) [1 + (i) (20/4)] 13.480 = 1 + (i) (20/4) 7.350 1,834 − 1 = (i) (5) 0,834 = i 5 i = 0,1668 = 16,68% Resposta: 16,68% Ex. 31: Empregando um capital de $ 15.000 a uma taxa de juros de 40% a.q.; e o outro de $ 20.920,51; a uma taxa de juros de 21% a.t., após quantos meses o montante para o primeiro capital será 96% do montante para o segundo capital se o regime for de capitalização simples? P1 = $ 15.000 i1 = 40% a.q. P2= $ 20.920,54 i2 = 21% a.t. n = ? (meses) S1 = (0,96) S2 Solução: S = P [1 + (i) (n)]. P1 [ 1 + (i1) (n)] = (0,96) {P2 [ 1 + (i2) (n)]} 15.000 [1 + (0,40/4) (n)] = (0,96) (20.920,51) [1 + (0,21/3) (n)] (15.000) (1) + (15.000) (0,40/4) (n) = (0,96) (20.920,51) (1) + (0,96) (20.920,51) (0,21/3) (n) 15.000 + 1.500,00 (n) = 20.083,69 + 1.405,86 (n) 94,14 (n) = 5.083,69 n = 54 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 20 Resposta: 54 Ex. 32: Uma jovem obteve um empréstimo de $ 120.000, à taxa de juros simples de 18% a.s. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse $ 130.000 à taxa de juros simples de 24% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito. Trinta meses após ter contraído o primeiro empréstimo, saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de $ 90.000 de juros. Determinar os prazos do primeiro e do segundo empréstimos. P1 = $ 120.000 i1 = 18% a.s. n1 = ? P2 = $ 130.000 i2 = 24% a.a. n2 = ? Solução: J = (P) (i) (n). J1 = P1 i1 n1 = (120.000) (0,18/6) (n1) J1 = 3.600 n1 J2 = P2 i2 n2 = (130.000) (0,24/12) (n2) J2 = 2.600 n2 O enunciado diz que: J1 + J2 = $ 90.000 Então, substituindo J1 e J2 ; teremos: 3.600 n1 + 2.600 n2 = 90.000 (1ª equação) Dividindo a 1ª equação por 1.000 fica: 3,6 n1 + 2,6 n2 = 90 (1ª equação) O enunciado diz, ainda, que: n1 + n2 = 30 (2ª equação) Então, para resolvermos este sistema de duas equações e duas incógnitas, diminuiremos a 1ª equação da 2ª equação multiplicada por 2,6 3,6 n1 + 2,6 n2 = 90 (1) − 2,6 n1 − 2,6 n2 = −78 (2) 1,0 n1 = 12 n1 = 12 meses Substituindo n1 na segunda equação fica: 12 + n2 = 30 n2 = 18 meses Resposta: 12 meses e 18 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 21 Ex. 33: Um capital de $ 9.880 foi dividido em três partes de tal modo que colocados a uma taxa de juros de 24% a.t. em regime de capitalização simples produziriam o mesmo rendimento tanto para um trimestre, quanto para um semestre e estes rendimentos foram 50% dos rendimentos para quinze meses. Determinar os valores de cada aplicação. P1 = ? n1 = 1 trim. P2 = ? n2 = 1 sem. P3 = ? n3 = 15 meses P1 + P2 + P3 = $ 9.880 J(1 trim) = J(1 sem) = (0,50) J(15 meses) i = 24% a.t. Solução: .J = P (i) (n)]. P1 (0,24) (1) = P2 (0,24) (2) = (0,50) P3 (0,24) (15/3) P1 (0,24) = P2 (0,48) = (0,60) P3 P1 = (0,48/0,24) P2 P1 = 2 P2 P3 = (0,48/0,60) P2 P3 = 0,8 P2 Substituindo P1 por 2 P2 e P3 por 0,8 P2 na equação P1 + P2 + P3 = $ 9.880,00 fica: 2 P2 + P2 + 0,8 P2 = 9.880 3,8 P2 = 9.880 P2 = $ 2.600 P1 = (2) (2.600) P1 = $ 5.200 P3 = (0,8) (2.600) P3 = $ 2.080 Resposta: $ 5.200; $ 2.600 e 2.080 Ex. 34: Carla fez dois investimentos diferentes, um deles foi no Banco Alfa a uma taxa de juros simples de 90% a.a. e o prazo cinco meses; e o outro foi no Banco Beta a uma determinada taxa de juros simples e o prazo três semestres e vinte dias. Se o valor aplicado no Banco Beta foi 40% superior ao valor aplicado no Banco Alfa; o valor total aplicado, e o total dos rendimentos foram respectivamente $ 30.000 e $ 70.000; qual foi a rentabilidade mensal do Banco Beta? i(Alfa) = 90% a.a. n(Alfa) = 5 meses i(Beta) = ?.(a.m.) n(Beta) = (3) (180) + 20 = 560 dias P(Beta) = P(Alfa) + 0,4 P(Alfa) Solução: P(Beta) = 1,4 P(Alfa) (1ª equação) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 22 P(Alfa) + P(Beta) = $ 30.000 (2ª equação) J(Alfa) + J(Beta) = $ 70.000 (3ª equação) Substituindo a 1ª equação na 2ª equação fica: P(Alfa) + 1,4 P(Alfa) = 30.000 2,4 P(Alfa) = 30.000 P(Alfa) = $ 12.500 Como : P(Alfa) + P(Beta) = $ 30.000 12.500 + P(Beta) = 30.000P(Beta) = $ 17.500 Ou P(Beta) = 1,4 P(Alfa) (1ª equação) P(Beta) = (1,4) (12.500) P(Beta) = $ 17.500 Mas, como .J = P (i) (n)]. 12.500 (0,90) (5) (1/12) + 17.500 (i2) (560) (1/30) = 70.00 i2 = 19,99% a.m. Resposta: 19,99% a.m. Ex. 35: Um investidor aplicou dois capitais diferentes; sendo que um capital foi 25% inferior ao outro capital; e que a taxa de juros simples para ambas as aplicações foi 5% a.m. O prazo da aplicação para o maior capital foi um ano; e para o menor capital dois anos. Se o montante total (das duas aplicações) foi $ 60.000; qual foi o valor total aplicado? P1 n1 = 2 anos = 24 meses i = 5% a.m. P2 n2 = 1 ano = 12 meses P1 = P2 − 0,25 P2 = 0,75 P2 S1 + S2 = 60.000 P1 + P2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)]. P1 [1 + 0,05) (24)] + P2 [1 + (0,05) (12)] = 60.000 P1 (2,20) + P2 (1,6) = 60.000 0,75 P2 (2,20) + P2 (1,6) = 60.000 3,25 P2 = 60.000 ⇒ P2 = $ 18.461,54 P1 = (0,75) (18.461,54) P1 = $ 13.846,16 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 23 P1 + P2 = 18.461,54 + 13.846,16 PT = $ 32.307,70 Resposta: $ 32.307,70 Ex. 36: João aplicou o mesmo capital a juros simples em dois investimentos distintos; sendo que um dos investimentos foi por quatro meses e a uma taxa de 36% a.s., e o outro investimento foi por dez meses e a uma taxa de 24% a.t. Se o mesmo recebeu pelas duas investimentos $ 5.394; quanto ele aplicou no total? n1 = 4 meses = (4/6) sem. i1 = 36% a.s. n2 = 10 meses = (10/3) trim. i2 = 24% a.t. ST = $ 5.394 = S1 + S2 P1 = P2 = P PT = P1 + P2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] S1 = P [1+ (0,36) (4/6 )] = P (1,24) S2 = P [1 + (0,24) (10/3)] = P (1,8) 5.394 = P (1,24) + P (1,8) 5.394 = P (3,04) P = $ 1.774,34 PT = P1 + P2 = 2 P PT = (2) (1.774,34) PT = $ 3.548,68 Resposta: $ 3.548,68 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 24 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.1 FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) O uso do formulário abaixo é útil: (1) Para resolver os exercícios propostos, (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será anexado as mesmas; e (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 25 Lembrete: 1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal seria usar a memória da calculadora. 4- Façam sempre que possível a prova real. 1) Emprestou-se $ 8.000 por dez quadrimestres a um varejista. Se o regime foi de capitalização simples, e o valor pago no final do prazo $ 10.400; qual foi a taxa de juros do empréstimo? 2) Se o principal for $ 37.400 pelo prazo de cinco trimestres e taxa de juros simples de 9% a.t., qual será o montante? 3) Dispondo de $ 120.000; João aplica (2/6) dessa importância a uma taxa de juros simples de 4% a.m.; (3/6) a taxa de juros simples de 16% a.t; e o restante a uma taxa de juros simples de 22% a.s. Quanto receberá de rendimentos decorrido um ano? 4) Se o valor de resgate for $ 29.000; o juro $ 6.800; o prazo trinta meses, e o regime de capitalização simples, qual foi a rentabilidade anual? 5) Ana emprestou certa quantia a uma taxa de 5% a.t. Decorrido certo tempo, recebeu de juros simples o equivalente a (2/5) do valor emprestado. Quanto emprestou Ana e qual foi o prazo do empréstimo se o montante foi $ 378.000? 6) Foram aplicados $ 45.000 por quatro trimestres e meio a uma taxa de juros simples de 18% a.s. Ao final do prazo (3/10) do rendimento foi aplicado a uma taxa de juros simples de 36% a.a. por dez meses, e o restante por sete quadrimestres a uma taxa de juros simples de 9% a.b. Qual foi o valor total recebido das duas últimas aplicações? 7) Um atacadista fez um empréstimo no valor de $ 12.000 à taxa de juros simples de 6% a.m, comprometendo-se a quitá-lo em duas vezes: (3/8) do empréstimo; um ano após o empréstimo, e o restante decorridos mais trinta meses. Calcular o montante da dívida. 8) João aplicou o mesmo capital a juros simples em dois investimentos distintos; sendo que um dos investimentos foi por um ano e meio a uma taxa de juros de 36% a.s, e o outro investimento foi por quarenta meses a uma taxa de juros de 16% a.q. Se o mesmo recebeu pelos dois investimentos $ 36.000; quanto ele aplicou no total? 9) Se o principal for 35% inferior ao valor de resgate, e o prazo três anos, qual será a rentabilidade ao quadrimestre para um regime de capitalização simples? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 26 10) Dois capitais idênticos são emprestados no regime de capitalização simples, o primeiro a uma taxa de 1% a.m; e o segundo a uma taxa de 9% a.s. Se o credor receber pelos seus empréstimos a quantia de $ 75.750, se o total emprestado foi $ 60.000, e se o tempo do primeiro empréstimo foi o dobro do segundo, de quanto tempo foi cada empréstimo? 11) Por quanto tempo deve-se aplicar um determinado capital para que, a uma taxa de juros simples de 50% a.a. quadruplique o valor inicial? 12) Mariana aplicou dois capitais diferentes; sendo que um capital foi 40% a mais que o outro; e que a taxa de juros simples para ambas as aplicações foi 30% a.s. O prazo da aplicação para o maior capital foi dois bimestres; e para o menor capital foi meio ano. Se o valor recebido pelas duas aplicações foi $ 45.000; qual foi o valor do menor capital? 13) Três capitais iguais foram aplicados em um determinado investimento; se o primeiro foi por dezoito semestres a taxa de juros de 6% a.t; o segundo por quinze bimestres a taxa de juros de 12% a.s;e o terceiro por 3,5 anos a taxa de juros de 3,5% a.m; qual foi o juro total se o capital foi $ 18.600 e o regime de capitalização simples? 14) Um casal investiu uma determinada quantia pelo prazo de 290 dias. Se o rendimento foi $ 8.000 e o montante $ 18.200; qual foi a rentabilidade do investimento ao semestre para umregime de juros simples? 15) Foi emprestado (4/10) de um capital a 12% a.t; e o restante a 2,5% a.m., sendo o juro após dois anos, $ 35.000. Qual o valor total resgatado ao fim do prazo se o regime for de capitalização simples? 16) Se o montante for triplo do valor aplicado e o prazo da aplicação for de quatro anos, qual será a taxa de juros simples ao quadrimestre? 17) Dois capitais foram investidos a juros simples em uma mesma data: um no valor de $ 6.000 foi aplicado a taxa de 5% a.b, e o outro de $ 6.250, a taxa de 8% a.q. Os montantes produzidos por esses capitais serão iguais ao completar-se um período de: 18) Um jovem fez um empréstimo de $ 15.000 à taxa de juros simples de 15% a.t, comprometendo-se a quitá-lo em duas vezes: (5/8) do capital dez meses após o empréstimo, e o restante um ano e meio após ter contraído o primeiro empréstimo. Calcular o rendimento total? 19) Uma jovem obteve um empréstimo de $ 20.000 à taxa de juros simples de 9% a.s. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse $ 34.000 à taxa de juros simples de 12% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito. Dois anos e meio após ter contraído o primeiro empréstimo, saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de $ 9.800 de juros. Determinar os prazos do primeiro e do segundo empréstimo. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 27 SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.1 1) P = $ 8.000 n = 10 quad. S = $ 10.400 i = ? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] 10.400 = (8.000) [1 + (i) (10)] 10.400 = 1 + (i) (10) 8.000 1,30 – 1 = (i) (10) 0,30 = (i) (10) i = (0,30) (1/10) i = 0,0300 = 3% a.q. Solução 2: J = (P) (i) (n) J = S − P 10.400 – 8.000 = (8.000) (i) (10) 10.400 – 8.000 = (i) (10) 8.000 (0,30) (1/10) = i i = 0,0300 = 3% a.q. Resposta: 3% a.q. 2) P = $ 37.400 n = 15 meses i = 9% a.t. S = ? Solução 1: S = P [1 + (i) (n)] S = $ 37.400 [1 + (0,09) (5)] S = $ 54.230 Solução 2: S = P + J J = (P) (i) (n) S = $ 37.400 + (37.400) (0,09) (5) S = $ 54.230 Resposta: $ 54.230 3) P = $ 120.000 n = 1 ano P1 = (2/6) (120.000) = $ 40.000 i1 = 4% a.m. n1 = 12 m. P2 = (3/6) (120.000) = $ 60.000 i2 = 16% a.t. n2 = 4 trim. P3 = (1/6) (120.000) = $ 20.000 i3 = 22% a.s. n3 = 2 sem. JT = J1 + J2 + J3 = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 28 Solução: J = P (i) (n) JT = 40.000 (0,04) (12) + 60.000 (0,16) (4) + 20.000 (0,22) (2) JT = $ 66.400 Resposta: $ 66.400 4) S = $ 29.000 J = $ 6.800 n = 30/12 = 2,5 anos. i = ? (a.a) Solução: J = (P) (i) (n) S = P + J 6.800 = (29.000 – 6.800) (i) (2,5) 6.800 = (22.200) (i) (2,5) 6.800 = i (22.200) (2,5) i = 0,1225 = 12,25% Resposta: 12,25% 5) P = ? J = (2/5) P n = ? S = $ 378.000 Solução: S = P + J 378.000 = P + (2/5) P 378.000 = 1,40 P P = $ 270.000 J = P i n (2/5) P = P (0,05) (n) n = 8 trim. Respostas: $ 270.000 e 8 trim. 6) P = $ 45.000 i = 18% a.s. = 9% a.t. n = 4,5 trim. P1 = (3/10) J i1 = 36% a.a. = 3% a.m. n1 = 10 m. P2 = (7/10) J i2 = 9% a.b. = 18% a.q. n2 = 7 quad. S1 + S2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] J = (45.000) (0,09) (4,5) = $ 18.225,00 S1 = (3/10) (18.225) [1+ (0,03) (10)] S1 = (3/10) (18.225) (1,30) = $ 7.107,75 S2 = (7/10) (18.225) [1 + (0,18) (7)] UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 29 S2 = (7/10) (18.225) (2,26) = $ 28.831,95 S1 + S2 = 7.107,75 + 28.831,95 S1 + S2 = $ 35.939,70 Resposta: $ 35.939,70 7) P = $ 12.000 i = 6% a.m. P1 = (3/8) P = (3/8) (12.000) = $ 4.500 n1 = 1 ano = 12 meses P2 = (5/8) P = (5/8) (12.000) = $ 7.500 n2 = (12 + 30) = 42 meses. ST = S1 + S2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] ST = 4.500 [1 + (0,06) (12)] + 7.500,00 [1 + (0,06) (42)] ST = 4.500 (1 + 0,72) + 7.500,00 (1 + 2,52) ST = 4.500 (1,72) + 7.500,00 (3,52) ST = 7.740 + 26.400 ST = $ 34.140 Resposta: $ 34.140 8) P1 n1 = 1,5 ano = 3 sem. i1 = 36% a.s. P2 n2 = 40 m. = 10 quad. i2 = 16% a.q. ST = $ 36.000 P1 = P2 = P P1 + P2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] 36.000 = P1 [1 + (0,36) (3)] + P2 [1 + (0,16) (10)] 36.000 = P (1 + 1,08) + P (1 + 1,6) 36.000 = P (2,08) + P (2,6) 36.000 = P (4,68) P = $ 7.692,31 P1 + P2 = 7.692,31 + 7.692,31 = (2) (7.692,31) P1 + P2 = $ 15.384,62 Resposta: $ 15.384,62 9) P = S − 0,35 S = 0,65 S n = 3 anos = 9 quad. i = ? (a.q.) Solução: S = P [1 + (i) (n)] UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 30 S = (0,65) S [1 + (i) (9)] 1 = (0,65) [1 + (i) (9)] [ 1 − 1] (1/9) = i 0,65 (1,5385 − 1) (1/9) = i (0,5385) (1/9) = i i = 0,0598 = 5,98% Resposta: 5,98% 10) P1 = P2 i1 = 1% a.m. i2 = 9% a.s. = 1,5% a.m. S1 + S2 = $ 75.750 P1 + P2 = $ 60.000 n1 = 2 n2 Solução: S = P [1 + (i) (n)] P1 + P2 = $ 60.000 => P1 + P1 = 60.000 P1 = (60.000,00) (1/2) => P1 = P2 = $ 30.000 30.000 [1 + (0,01) (n1)] + 30.000 [(1 + (0,09/6) (n2)] = 75.750 1 + (0,01) (n1) + 1 + (0,015) (n2) = (75.750) (1/30.000) = 2,525 (0,01) (n1) + (0,015) (n2) = 2,525 − 2 = 0,525 (0,01) (2) (n2) + (0,015) (n2) = 0,525 0,035 n2 = 0,525 n2 = 15 meses n1 = 2 n2 = 30 meses Resposta: 30 meses e 15 meses 11) n = ? S = 4 P i = 50% a.a. Solução: S = P [1 + (i) (n)] 4 P = P [1 + (0,5) (n)] 4 = 1 + 0,5 n 3 = 0,5 n n = 6 anos Resposta: 6 anos UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 31 12) P1 = ? (menor) n1 = 0,5 ano = 6 meses P2 = P1 + 0,40 P1 => P2 = 1,40 P1 n2 = 2 bim. = 4 meses i = 30% a.s. = 5% a.m. S1 + S2 = $ 45.000 Solução: S = P [1 + (i) (n)] P1 [1 + (0,05) (6)] + P2 [1 + (0,05) (4)] = 45.000 P1 (1 + 0,30) + 1,40 P1 (1 + 0,20) = 45.000 P1 (1,30) + 1,40 P1 (1,20) = 45.000 1,30 P1 + 1,68 P1 = 45.000 2,98 P1 = 45.000 P1 = $ 15.100,67 Resposta: $ 15.100,67 13) P = $ 18.600 i1 = 6% a.t. n1 = (18 sem) (2 trim/1 sem) = 36 trim. P = $ 18.600 i2 = 12% a.s. n2 = (15 bim) (1sem/3 bim) = 5 sem. P = $ 18.600 i3 = 3,5% a.m. n3 = (3,5 anos) (12 meses/1ano) = 42 meses. JT = J1 + J2 + J3 = ? Solução: .J = P i n. JT = (18.600) (0,06) (36) + (18.600) (0,12) (5) + (18.600) (0,035) (42) JT = $ $ 78.678 Resposta: $ 78.678 14) J = $ 8.000 S = $ 18.200 n = 290 dias i = ? (a.s.) Solução: J = P (i) (n) S = P + J 8.000 = (18.200 − 8.000) (i) (290/180) 8.000 = (10.200) (i) (290/180) . 8.000) (180) = i (10.200) (290) i = 0,4868 = 48,68% Resposta: 48,68% 15) P1 = (4/10) P i1 = 12% a.t. n1 = 2 anos UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLESMARCIA REBELLO DA SILVA 32 P2 = (6/10) P i2 = 2,5% a.m. n2 = 2 anos J1 + J2 = $ 35.000 ST = ? Solução: J = (P) (i) (n) S = P + J J1 = (4/10) P (0,12) (2) (4) = (0,384) P J2 = (6/10) P (0,025) (2) (12) = (0,36) P 0,384 P + 0,36 P = $ 35.000 0,744 P = $ 35.000 P = $ 47.043,01 P1 = 4/10 (47.043,01) = $ 18.817,20 P2 = 6/10 (47.043,01) = $ 28.225,81 ST = 18.817,20 + 28.225,81 + 35.000 ST = $ 82.043,01 Resposta: $ 82.043,01 16) S = 3 P n = 4 anos i = ? (a.q.) Solução: S = P [1 + (i) (n)] 3 P = P [1 + (i) (4) (3)] 3 = 1 + (i) (4) (3) 2 = (i) (4) (3) i = 0,1667 = 16,67% Resposta: 0,1667 ou 16,67% 17) P1 = $ 6.000 i1 = 5% a.b. n1 P2 = $ 6.250 i2 = 8% a.q. n2 S1 = S2 n1 = n2 = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] 6.000 [1 + (0,05) (1/2) (n)] = 6.200[1 + (0,08) (1/4) (n)] 6.000 + 150 n = 6.200,00 + 125 n n = 250 = 10 meses 25 Resposta: 10 meses UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 33 18) P = $ 15.000 i = 15% a.t. P1 = (5/8) P n1 = 10 meses P2 = (3/8) P n2 = 1,5 anos J1 + J2 = JT = ? Solução: J = P (i) (n) P1 = (5/8) (15.000) = $ 9.375 P2 = 15.000 − 9.375 = $ 5.625 JT = (9.375) (0,15) (10) (1/3) + (5.625) (0,15) (1,5) (4)] = 4.687,50 + 5.062,50 JT = $ 9.750 Resposta: $ 9.750 19) 1º empréstimo: P1 = $ 20.000 i1 = 9% a.s.. n1 = ? J1 = ? 2º empréstimo: P2 = $ 34.000 i1 = 12% a.a. n2 = ? J2 = ? J1 + J2 = $ 9.800 n1 + n2 = 2,5 anos = 30 meses Solução: J1 = P1 i1 n1 = (20.000) (0,09) (1/6) (n1) = 300 n1 J2 = P2 i2 n2 = (34.000) (0,12) (1/12) (n2) = 340 n2 300 n1 + 340 n2 = 9.800 (1) n1 + n2 = 30 n1 = 30 − n2 (2) Substituindo n1 (eq. 2) na equação (1) fica: 300 (30 − n2) + 340 n2 = 9.800 9.000 − 300 n2 + 340 n2 = 9.800 40 n2 = 800 n2 = 20 n1 + 20 = 30 n1 = 10 Resposta: 10 e 20 meses QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 1) Foi aplicado o mesmo capital a juros simples em dois investimentos distintos; sendo que um dos investimentos foi por meio ano e taxa de 2,5% a.m, e o outro foi por cinco trimestres e taxa UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 34 de 48% a.a. Se o valor total recebido (dos dois investimentos) foi $ 40.150; quanto foi aplicado no total? (API 2014/II) n1 = 0,5 ano i1 = 2,5% a.m. n2 = 5 trim. i2 = 48% a.a. ST = S1 + S2 = $ 40.150 P1 = P2 = P PT = P1 + P2 = 2 P = ? Solução: S = P [1 + (i) (n)] ST = S1 + S2 = P1 [1+ (0,025) (0,5) (12)] + P2 [1+ (0,48) (5) (1/4)] = 40.150 ST = P (1,15) + P (1,6) = 40.150 P (2,75) = 40.150 P = 40.150/2,75 = 14.600 PT = P1 + P2 = 2 P = (14.600) (2) PT = 29.200 Resposta: $ 29.200 2) foram aplicados dois capitais diferentes um por dois anos e meio e taxa de juros simples de 6% a.t., e outro capital 25% inferior por três anos e taxa de juros simples de 5% a.b. Se os capitais somaram $ 44.275, qual será o rendimento total? (AD1 2014/II) P1 = ? i1 = 6% a.t. n1 = (2,5) (4) = 10 trim. P2 = P1 − 0,25 P1 = 0,75 P1 i2 = 5% a.b. n2 = (3) (6) = 18 bim. P1 + P2 = $ 44.275 JT = J1 + J2 = ? Solução : J = P i n. P1 + 0,75 P1 = 44.275 1,75 P1 = 44.275 P1 = 44.275 = $ 25.300 1,75 P2 = 0,75 P1 = (0,75) (25.300) = $ 18.975 JT = (25.300) (0,06) (10) + (18.975) (0,05) (18) JT = $ 32.257,50 Resposta: $ 32.257,50 3) Foram aplicados dois capitais diferentes, um por um ano e meio e taxa de juros simples de 4% a.m, e outro capital 30% superior por cinco semestres e taxa de juros simples de 5% a.t. Se os capitais somaram $ 32.400, qual será o montante total no final do prazo? (AP3, 2014/II) P1 = ? i1 = 4% a.m. n1 = 1,5 ano = 18 meses. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 35 P2 = P1 + 0,30 P1 = 1,30 P1 i2 = 5% a.t. n2 = 5 sem.= 10 trim. P1 + P2 = $ 32.400 ST = S1 + S2 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. P1 + 1,30 P1 = 32.400 2,30 P1 = 32.400 P1 = $ 14.086,96 P2 = 1,30 P1 = (1,30) (14.086,96) = $ 18.313,05 ST = S1 + S2 = 14.086,96 [1+ (0,04) (18)] + 18.313,05 [1+ (0,05) (10)] ST = $ 51.702,15 Resposta: $ 51.702,15 4) Dispondo de $ 86.000, um jovem aplica (2/5) dessa importância a uma taxa de juros simples de 6% a.b, e o restante a uma taxa de juros simples de 4% a.m. Calcular o montante total decorrido dois anos. (AP1: 2014/I) P = $ 86.000 n = 2 anos ST = ? P1 = (2/5) (86.000) = $ 34.400 i1 = 6% a.b. P2 = (3/5) (86.000) = $ 51.600 i 2= 4% a.m. Solução: ST= P [1 + (i) (n)]. ST = 34.400 [1 + (0,06) (2) (6)] + 51.600 [1 + (0,04) (2) (12)] ST = $ 160.304 Resposta: $ 160.304 5) Foram aplicados dois capitais distintos em um determinado fundo; um capital foi por três semestres e taxa de juros simples de 2% a.m; outro capital foi o dobro; o prazo dois anos e taxa de juros simples de 3% a.m. Se os capitais somaram $ 30.000. Calcule o montante total? (AP1: 2013/II) P1 = ? i1 = 2% a.m. n1 = 3 sem. = 18 meses P2 = 2 P1 i2 = 3% a.m. n2 = 2 anos. = 24 meses P1 + P2 = $ 30.000 ST = S1 + S2 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. P1 + 2 P1 = 30.000 3 P1 = 30.000 P1 = $ 10.000 P2 = 2 P1 = (2) (10.000) P2 = $ 20.000 ST = S1 + S2 = 10.000 [1+ (0,02) (18)] + 20.000[1+ (0,03) (24)] ST = S1 + S2 = 13.600 + 34.400 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 36 ST = $ 48.000 Resposta: $ 48.000 6) Um capital de $ 15.000 foi dividido em duas partes, de tal modo que colocados a uma taxa de juros simples de 18% a.s, produziriam o mesmo montante tanto para dois anos quanto para três anos e meio. Calcular o valor do menor capital. (AD1: 2013/II) P1 + P2 = $ 15.000 P1 n1 = 2 anos = 4 sem P2 = ? n2 = 3,5 anos = 7 sem S(2 anos) = S(3,5 anos) i = 18% a.s. Solução: .S = P [1 + (i) (n)]. P1 [1 + (0,18) (4)] = P2 [1 + (0,18) (7)] P1 (1,72) = P2 (2,26) => P1 = 2,26 P2 1,72 P1 + P2 = $ 15.000 (2,26/1,72) P2 + P2 = $ 15.000 P2 = $ 6.482,41 Resposta: $ 6.482,41 7) Foram aplicados $ 11.300 por trinta meses a taxa de juros simples de 20% a.b. Ao final do prazo (2/5) do montante foi aplicado a uma taxa de juros simples de 3% a.m, por um ano; e o restante a taxa de juros simples de 4% a.m, por um ano e meio. Calcular o montante total das duas últimas aplicações. (AP3: 2013/II) P = $ 11.300 i = 20% a.b. n = 30 meses = 15 bim. (2/5) (S) = P1 i1 = 3% a.m. n1 = 1 ano = 12 meses (3/5) (S) = P2 i2 = 4% a.m. n2 = 1,5 anos = 18 meses ST = S1 + S2 = ? Solução : S = P [1 + (i) (n)]. S = (11.300) [1+ (0,2) (15)] = $ 45.200 S1 = (2/5) (45.200) [1 + (0,03) (12)] = $ 24.588,80 S2 = (3/5) (45.200) [1 + (0,04) (18)] = $ 46.646,40 ST = S1 + S2 = 24.588,80 + 46.646,40 = $ 71.235,20 Resposta: $ 71.235,20 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 37 8) Rita aplicou $ 28.600 em um fundo que pagou uma taxa de juros simples de 16% a.q.Decorridos vinte meses ela retirou toda quantia deste fundo e aplicou pelo prazo de dez trimestres 70% dos juros em outro fundo a uma taxa de juros simples de 6% a.b. Calcule o juro total que Rita recebeu. (AD1: 2013/II) P1 = $ 28.600 i1 = 16% a.q. n1 = 20 meses. P2 = (0,7) J1 i2 = 6% a.b. n2 = 10 trim. JT = J1 + J2 = ? Solução: .J = (P) (i) (n). J1 = (P1) (i1) (n1) = (28.600) (0,16/quad) (20 m) (1 quad/ 4 m) = $ 22.880 P2 = (0,7) (J1) = (0,7) (22.880) = $ 16.016 J2 = (P2) (i2) (n2) = (16.016) (0,06/bim) (10 trim) (3 bim/2 trim) = $ 14.414,40 J1 + J2 = 22.880 + 14.414,40 J1 + J2 = $ 37.294,40 Resposta: $ 37.294,40 9) Pedro aplicou dois capitais diferentes; sendo que um capital foi 40% a mais que o outro; e que a taxa de juros simples para ambas as aplicações foi 4% a.m. O prazo da aplicação para o maior capital foi meio ano; e para o menor capital um ano. Se o rendimento total (das duas aplicações) foi $ 25.000,00; qual foi o valor do menor capital? (AP3: 2013/I) P1 = ? n1 = 1 ano = 12 meses P2 = ? n2 = 0,5 ano = 6 meses i = 4% a.m. P2 = P1 + 0,40 P1 = 1,40 P1 J1 + J2 = 25.000,00 Solução: J = P i n. P2 = P1 + 0,40 P1 = 1,40 P1 P1 (0,04) (12) + 1,4 P1 (0,04) (6) = 25.000,00 P1 (0,48) + P1 (0,3360) = 25.000,00 P1 (0,8160) = 60.000,00 P1 = $ 30.637,25 Resposta: $ 30.637,25 10) Ted emprestou uma determinada quantia a uma taxa de juros simples de 16% a.q. Decorrido certo tempo, ele recebeu o equivalente a 60% superior do valor emprestado. Por quantos meses ficou emprestada tal quantia? (AD1: 2014/I) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 1: JURO SIMPLES MARCIA REBELLO DA SILVA 38 i = 16% a.q. S = P + 0,6 P = 1,6 P n = ? (meses) Solução: .S = P [1 + (i) (n). 1,6 P = P [ 1 + (0,16) (n) (1/4)] 1,6 = 1 + (0,04) (n) 1,6 − 1 = (0,04) (n) 0,6 = (0,04) (n) n = 0,6 / 0,04 n = 15 meses Respostas: 15
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