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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 1 U.A. 6: JURO COMPOSTO Todos os direitos autorais reservados à MARCIA REBELLO DA SILVA OBJETIVOS: Ao final desta unidade, você será capaz de: 1- Compreender a diferença entre Convenção Linear e Convenção Exponencial em períodos fracionários de capitalização; 2- Calcular a Taxa de Juros; e o Prazo no regime de capitalização composto; e 3- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA6. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 2 1- PERÍODOS FRACIONÁRIOS DE CAPITALIZAÇÃO Quando efetuamos cálculos através de juros compostos podemos ter um número de períodos de capitalização não inteiro. Neste caso, quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere a taxa considerada, normalmente são admitidas duas alternativas: convenção linear e convenção exponencial. 1.1- Convenção Linear Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos, e os juros simples para a parte fracionária de períodos. Ex. 1: Achar o valor acumulado de $ 25.000,40 ao final de sete meses e nove dias a taxa de juros de 8% ao semestre capitalizado trimestralmente pela convenção linear. P = $ 25.000,40 prazo = 7 meses e 9 dias = 2 trim. e 39 dias i = (8%) (1/2) = 4% a.t. n = 2 trim. (parte inteira) n1 = 39 dias (parte fracionária) S = ? Solução 1: Usando a taxa 8% a.s. para a parte fracionária (juros simples): S = P [(1 + i)n (1 + i n1)] S = 25.000,40 (1,04)2 [1 + (0,08/sem.) (39 dias) (1 sem / 180 dias)] S = 25.000,40 (1,04)2 [1 + (0,08) (39) (1/180)] S = $ 27.509,13 Solução 2: Usando 4% a.t. para a parte fracionária (juros simples): S = P [(1 + i)n (1 + i n1)] S = 25.000,40 (1,04)2 [1 + (0,04/trim.) (39 dias) (1 trim/90 dias)] S = 25.000,40 (1,04)2 [1 + (0,04) (39) (1/90)] S = $ 27.509,13 Resposta: $ 27.509,13 LEMBRETE: (1 No Regime de Juros Simples as Taxas Proporcionais são igualmente Equivalentes. (2 No Regime de Juros Compostos as Taxas Proporcionais não são Equivalentes. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 3 Ex. 2: Achar o valor atual de $ 2.800, devidos três anos e sete meses, se o dinheiro vale 18% a.a, e se for usado juros simples para a parte fracionária de um período de juros. P = ? S = $ 2.800 prazo = 3 anos e 7 meses n1 = (7) (1/12) i = 18% a.a. = 0,18 a.a. n = 3 anos Solução 1: Usando a taxa 18% a.a, para a parte fracionária (juros simples): S = P [(1 + i)n (1 + i n1)] 2.800 = P (1,18)3 [1 + (0,18) (7 meses) . (1 ano)] . (ano) (12 meses) 2.800 = P (1,18)3 [1 + (0,18) (7) (1/12)] 2.800 = P (1,18)3 (1,1050) 2.800 = P (1,8156) P = $ 1.542,19 Solução 2: Usando (18%/12) a.m, para a parte fracionária (juros simples): S = P [(1 + i)n (1 + i n1)] 2.800 = P (1,10)3 [1 + . (0,18) (7 meses)] (12 meses) 2.800 = P (1,10)3 [1 + (0,18) (7)] (12) 2.800 = P (1,10)3 (1,1050) 2.800 = P (1,8156) P = $ 1.542,19 Resposta: $ 1.542,19 1.2- Convenção Exponencial. Os juros compostos são usados tanto para parte inteira de períodos quanto para a parte fracionária de períodos de capitalização. .S = P (1 + i)n. Ex. 3: Achar o valor acumulado de $ 25.000,40, durante sete meses e nove dias a juros de 8% ao semestre capitalizado trimestralmente pela convenção exponencial. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 4 P = $ 25.000,40 prazo = 7 meses e 9 dias = 219 dias i = (8%) (1/2) = 4% a.t. n = (219/90) trim. S = ? Solução: .S = P (1 + i)n. S = 25.000,40 (1,04)(219/90) S = 25.000,40 (1,04)(2,43) S = $ $ 27.500,33 Resposta: $ 27.500,33 Ex. 4: Achar o valor atual de $ 2.800 devidos três anos e sete meses, se o dinheiro valer 18% a.a, e se for usado juros compostos para a parte fracionária de um período de juros. S = $ 2.800 prazo = 3 anos e 7 meses i = 18% a.a. = 0,18 a.a. n = (43/12) anos P = ? Solução: .S = P (1 + i)n. 2.800 = P (1,18)43/12 . 2.800 . = P (1,18)(43/12) 2.800 = P 1,81 P = $ 1.546,96 Resposta: $ 1.546,96 Ex. 5: Achar o rendimento, sabendo-se que o montante foi $ 15.400; o prazo de quinze meses; e a taxa de 10% a.b; e se for usado: (a) juros compostos para a parte fracionária de um período de juros; e (b) juros simples para a parte fracionária de um período de juros. J = ? S = $ 15.400 prazo = 15 meses = 7,5 bim i = 10% a.b. n = 7 bim. (a) Juros compostos para a parte fracionária de um período de juros ⇒ Convenção Exponencial Solução: .S = P + J. .S = P (1 + i)n. J = 15.400 − P J = 15.400 − (15.400). (1,10)7,5 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 5 J = $ 7.865,13 (b) Juros simples para a parte fracionária de um período de juros ⇒ Convenção Linear Solução: J = S − P S = P [(1 + i)n (1 + i n1)] J = 15.400 − P J = 15.400 − . (15.400) . (1,10)7 [1 + (0,10) (0,5)] J = $ 7.873,68 Resposta: $ 7.873,68 NOTA: � Sempre que os períodos de capitalização forem fracionários, se não estiver explícito no problema que são juros compostos para a parte fracionária de um período de juros (convenção exponencial); ou juros simples para a parte fracionária de um período de juros (convenção linear), será sempre convenção exponencial. Ex. 6: Foram feitas fez duas aplicações distintas, sendo a primeira a taxa de 9% a.t, por dezoito meses; e a segunda a taxa de 54% a.a, por quarenta e dois meses. Se o capital da primeira aplicação foi 40% inferior ao capital da segunda aplicação, e os juros totais foram $ 85.400; qual foi o valor total resgatado? P1 i1 = 9% a.t. prazo = 18 meses ⇒ n1 = 6 trim P2 i2 = 54% a.a. prazo = 42 meses ⇒ n2 = 3,5 anos P1 = P2 − 0,4 P2 = 0,6 P2 J1 + P2 = $ 85.400 ST = ? Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. (0,60) P2 [(1,09)6 − 1] + P2 [(1,54)(3,5) − 1] = 85.400 (0,60) P2 (0,68) + P2 (3,53) = 85.400 P2 (0,41 + 3,53) = 85.400 P2 = 85.400 3,94 P2 = $ 21.675,13 P1 = (0,6) (21.675,13) P1 = $ 13.005,08 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 6 S1 + S2 = 13.005,08 + 21.675,13 + 85.400 ST = $ 120.080,21 Resposta: $ 120.080,21 2- CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A taxa de juros pode ser obtida através da fórmula do montante ou do juro. .S = P (1 + i)n. .J = P [(1 + i)n − 1]. Ex. 7: Se foi aplicado $ 24.600 pelo prazo de vinte trimestres em um fundo. Se o valor de resgate foi $ 89.996,06, qual foi a taxa de juros compostos do fundo? P = $ 24.600 prazo = 20 trim. S = $ 89.996,06 i = ? Solução: .S = P (1 + i)n. 89.996,06 = 24.600 (1 + i)20 89.996,06 = (1 + i)20 24.600 3,6584 = (1 + i)20 3,6584(1/20) = (1 + i)(20) (1/20) 3,6584(1/20) = (1 + i) 3,6584(1/20) − 1 = i i= 1,0670 − 1 i = 0,0670 = 6,7% a.t. Resposta: 6,7% a.t. Nota: Nas avaliações não é necessário trabalhar com tantas casas decimais, no mínimo tem que ser duas casas decimais. Lembrete: Depois que achar o resultado final aconselha-se que faça a prova real. Fazendo a prova real: Substituindo a taxa de juros por 0,0670 do lado direito da equação original (primeira equação) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 7 89.996,06 = 24.600 (1 + i)20 (primeira equação) 24.600 (1 + 0,0670)20 (24.600) (1,0670)20 = (24.600) (3,6584) = 89.996,64 (Diferença é devido ao arredondamento) Ex. 8: Para um rendimento de $ 35.300; o capital foi $ 12.400; e o prazo dois anos. Calcular a taxa de juros mensal. J = $ 35.300 P = $ 12.400 i = ? (a.m) prazo = 2 anos n = 24 meses Solução 1: .J = P [(1 + i)n − 1]. 35.300,00 = 12.400,00 [(1 + i)24 − 1] 35.300,00 = (1 + i)24 − 1 12.400,00 2,8468 +1 = (1 + i)24 3,8468 = (1 + i)24 (3,8468)(1/24) = (1 + i)(24) (1/24) (3,8468)(1/24) = (1 + i) i = 3,8468(1/24) − 1 i = 1,0577 − 1 i = 0,0577 = 5,77% Solução 2: .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 35.300 + 12.400 = 12.400 (1 + i)24 47.700 = (1 + i)24 12.400 3,8468 = (1 + i)24 i = 3,8468(1/24) − 1 i = 0,0577 = 5,77% Solução 3: Trabalhando com períodos de capitalização anual 35.300 + 12.400 = 12.400 (1 + i)2 3,8468 = (1 + i)2 Taxa efetiva anual = 3,8468(1/2) − 1 Nota: Para mudar a capitalização anual para a capitalização mensal terá que usar taxa equivalente. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 8 P(1 + i a )1 = P (1 + i m )12 [1 + 3,8468)(1/2) − 1]1 = (1 + i m )12 [(3,8468(1/2)]1 = (1 + i m )12 [3,8468(1/2)](1/12) = (1 + i m )(12) (1/12) (3,8468)(1/24) = 1 + i m i = 3,8468(1/24) − 1 i = 0,0577 = 5,77% Resposta: 5,77% Ex. 9: Se o valor de resgate ao final de trinta meses for $ 31.645; o juro $ 4.270; qual será a taxa de juros ao mês composto anualmente? S = $ 31.645 J = $ 4.270 prazo = 30 meses taxa = ? (a.m. composta anualm.) Solução 1: Trabalhando com períodos de capital. anuais: n = (30) (1/12) = 2,5 anos .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 31.645 = (31.645 − 4.270) (1 + i)2,5 31.645 = (1 + i)2,5 27.375 1,1560 = (1 + i)2,5 1,1560(1) (1/2,5) = (1 + i)(2,5) (1/2,5) 1,1560(1/2,5) − 1 = i 1,0597 − 1 = i i = 0,0597 a.a. = 5,97% a.a. composta anualmente Taxa = (5,97%) x . (1 ano) . (ano) (12 meses) Taxa = 0,50% (a.m. composta anualmente) Solução 2: Trabalhando com períodos de capitalizações mensais n = 30 meses .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 31.645 = (31.645 − 4.270) (1 + i)30 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 9 31.645 = 27.375 (1 + i)30 31.645 = (1 + i)30 27.375 1,1560 = (1 + i)30 1,1560(1/30) − 1 = i m NOTA: � Para mudar a capitalização mensal para a capitalização anual terá que usar taxa equivalente. P(1 + i m )12 = P (1 + i a )1 [1 + 1,1560(1/30) − 1]12 = (1 + i a )1 1,1560(12/30) = (1 + i a )1 1,1560(1/2,5) = (1 + i a )1 1,1560(1/2,5) – 1 = i a i = 0,0597 a.a. = 5,97% a.a. composta anualmente Taxa = (5,97%) x . (1 ano) . (ano) (12 meses) Taxa = 0,50% (a.m. composta anualmente) Resposta: 0,50% 3- CÁLCULO DO PRAZO Para calcular o prazo, isto é, o número de períodos "n" tem que usar ou logaritmo decimal ou logaritmo neperiano ou na fórmula do montante ou na fórmula do juro a seguir. .S = P (1 + i)n. .J = P [(1 + i)n − 1]. Ex. 10: Para um capital de $ 7.540; montante $ 42.300 e taxa de juros compostos 3,7% a.b, por quantos bimestres ficou aplicado o capital? P = $ 7.450 S = $ 42.300 i = 3,7% a.b. n = ? (bim.) Solução: .S = P (1 + i)n. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 10 42.300 = 7.450 (1,037)n 42.300 = (1,037)n 7.450 5,6779 = (1,037)n Por logaritmo neperiano: Ln (5,6779) = Ln (1,037)n Ln (5,6779) = (n) Ln (1,037) Ln (5,6779) = n Ln (1,037) 1,73658 = (n) 0,0363 3 n ≈ 47,8 bim. Por logaritmo decimal: Log (5,6779) = Log (1,037)n Log (5,6779) = (n) Log (1,037) Log (5,6779) = n Log (1,037) 0,75419 = (n) 0,01578 n ≈ 47,8 bim. Resposta: ≈ 47,80 . Como podem observar tanto faz usar o logaritmo neperiano ou logaritmo decimal, o resultado final é o mesmo. Nota: Nas avaliações não é necessário trabalhar com tantas casas decimais, tem que ser no mínimo duas casas decimais. Lembrete: Depois que achar o resultado final aconselha-se que faça a prova real. Fazendo a prova real: Substituindo n por 47,8 no lado direito da primeira equação 42.300 = 7.450 (1,037)n primeira equação 7.450 (1,037)47,8 = (7.450) (5,6784) = 42.304,08 (Diferença é devido ao arredondamento) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 11 Ex. 11: Investiu-se $ 13.200 em uma poupança e após certo tempo resgatou-se $ 34.600. Se a taxa de juros foi 1,5% a.m. capitalizada trimestralmente, por quanto tempo ficou aplicado tal quantia? P = $ 13.200 S = $ 34.600 i = (1,5%) (3) = 4,5% a.t. n = ? Solução: .S = P (1 + i)n. 34.600 = 13.200 (1,045)n 34.600 = (1,045)n 13.200 2,6212 = (1,045)n Ln(2,6212) = Ln(1,045)n Ln 2,6212 = (n) Ln 1,045 Ln 2,6212 = n Ln 1,045 0,9636 = (n) 0,0440 n ≈ 21,90 trim. Resposta: ≈ 22 trim. Trabalhando com duas casas decimais, dá diferente mas será aceito nas avaliações. 34.600 = (1,045)n 13.200 2,62 = (1,045)n Ln 2,62 = n Ln 1,045 0,96/0,04 = 24 = n Ex. 12: João aplicou $ 25.600 em uma poupança e após certo tempo ele recebeu de juros $ 29.800. Se a taxa de juros paga foi de 6% a.m, por quantos anos ficou o dinheiro aplicado? P = $ 25.600 J = $ 29.800 i = 6% a.m. n = ? (anos) LEMBRETE: � Como não está explícito o regime de capitalização, então, será o que mais acontece na prática, que é o regime de capitalização composto. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 12 Solução 1: Trabalhando com capitalização mensal .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 25.600 + 29.800 = 25.600 (1 + 0,06)n 55.400 = (1,06)n 25.600 2,1641 = (1,06)n Ln (2,1641) = Ln (1,06)n Ln (2,1641) = (n) Ln (1,06) Ln (2,1641) = n Ln (1,06) 0,77 = n 0,06 n ≈ 13,24 meses = 1,1 anos Solução 2: Trabalhando com capitalização anual Temos que mudar a capitalização mensal para a capitalização anual que é através de taxas equivalentes. P(1 + ia)1= P (1 + im)12 (1 + ia) = (1 + 0,06)12 1 + ia = (1,06)12 ia = 1,0122a.a. .S = P + J. .S = P (1 + i)n. 25.600 + 29.800 = 25.600 (1 + 1,0122)n 2,1641 = (2,0122)n n = Ln 2,1641 = 0,7720 Ln 2,0122 0,6992 n = 1,1 anos Resposta: 1,1 Ex. 13: Investiu-se uma determinadaquantia em poupança que pagava um taxa de juros de 2,5% a.m. capitalizado quadrimestralmente. Se o rendimento da mesma foi $ 27.000; e o montante $ 32.300,00, por quantos meses ficou aplicado tal quantia? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 13 J = $ 27.000 = $ 32.300 i = (2,5%) (4) = 10% a.q. prazo = ? (meses) Solução 1: Trabalhando com capitalização quadrimestral 32.300 = (32.300 − 27.000) (1 + 0,1)n 32.300 = (1,1)n 5.300 6,0943 = (1,1)n Ln (6,0943) = Ln(1,1)n Ln (6,0943) = (n) Ln (1,1) 1,8074 = (n) (0,0953) n = 19,97 quadrim. Prazo = (19,97) (4) = 75,9 ≈ 76 Solução 2: Trabalhando com capitalização mensal Temos que mudar a capitalização quadrimestral para a capitalização mensal (somente através de taxas equivalentes) i = (2,5%) (4) = 10% a.q. P(1 + im)4 = P (1 + iq)1 (1 + im)4 = (1 + 0,01)1 im = (1,1)1/4 − 1 im = 0,0241 = 2,41% a.m. 32.300 = (32.300 − 27.000) (1 + 0,0241)n 32.300 = (1,0241)n 300 6,0943 = (1,0241)n Ln (6,0943) = Ln(1,0241)n Ln (6,0943) = (n) Ln (1,0241) 1,8074 = (n) (0,0238) n = 75,9 meses Prazo = 75,9 ≈ 76 Resposta: 76 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 14 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.6. FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) O uso do formulário abaixo é útil: (1) Para resolver os exercícios propostos, (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será anexado as mesmas e (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 15 Lembrete: 1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal seria usar a memória da calculadora. 1) Achar o montante de $ 36.000 para um prazo de quinze bimestres a uma taxa de juros compostos de 8% a.q. pela: a) convenção linear; e b) convenção exponencial. 2) Se o valor de resgate for $ 157.000, o prazo vinte meses e a taxa de juros 4% a.m. capitalizado trimestralmente, qual será o capital se for usado: a) juros simples para a parte fracionária de um período de juros; e b) juros compostos para a parte fracionária de um período de juros. 3) Achar o rendimento, para um montante igual a $ 86.800,00; o prazo de sessenta e quatro meses e taxa de 18% a.a, e se for usado: (a) juros compostos para a parte fracionária de um período de juros; e (b) juros simples para a parte fracionária de um período de juros. 4) Calcule a taxa de juros para um principal de $ 6.800; prazo de dezessete meses e montante $ 28.500. 5) Um capital de $ 30.000 esteve aplicado durante oito anos, produzindo $ 40.000 de juros compostos. Qual foi a rentabilidade ao bimestre aplicada? 6) Qual será a taxa de juros compostos ao mês capitalizado trimestralmente se o principal for $ 6.900; valor de resgate $ 21.000 e prazo quarenta e dois meses? 7) Calcular a taxa de juros ao quadrimestre para um rendimento de $ 59.700; prazo de três anos e quatro meses, montante de $ 95.700, e regime de capitalização composto. 8) Se uma aplicação foi $ 3.000; o juro $ 4.200 e prazo de cinco bimestres, qual foi a taxa de juros? 9) Foi aplicado $ 5.300 em uma poupança por trinta meses. Se o montante foi $ 22.700; qual foi a taxa de juros ao mês capitalizado anualmente? 10) Em que prazo um principal acumula um montante de $ 52.000 à taxa de juros de 12% a.s, um capital de $ 37.000 e regime de capitalização composto? 11) Se o capital for $ 2.870; o montante $ 19.500; por quantos meses ficou aplicado o capital se a taxa de juros compostos foi 32% a.q. composto mensalmente? 12) Se o juro for $ 22.100; o capital $ 9.600; e a taxa de juros 15% a.a. capitalizado semestralmente; por quantos anos ficou aplicado o capital se o regime for de capitalização composto? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 16 13) Se o rendimento de uma aplicação foi $ 13.322,60 e o montante foi $ 16.200, por quantos meses ficou aplicado o capital se a rentabilidade foi de 2,5% a.m. composto anualmente? 14) Se o juro for $ 1.841,42; o capital $ 7.500; e a taxa de juros 2,5% a.t. capitalizado semestralmente; por quantos meses ficou aplicado o capital? SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.6. 1) a) Solução: S = 36.000 (1,08)7 [1 + (0,08) (0,5)] S = $ 64.165,58 b) Solução: S = 36.000 (1,08)7,5 S = $ 64.118,10 Resposta: (a) $ 64.165,58 e (b) $ 64.118,10 2) a) Solução: convenção linear 157.000 = P (1,12)6 [1 + (0,12) (2/3)] P = $ 73.649,15 b) Solução: convenção exponencial. 157.000 = P (1,12)(20/3) P = $ 73.752,97 Resposta: (a) $ 73.649,15 e (b) $ 73.752,97 3) (a) Solução: J = 86.800 − P J = 86.800 − . (86.800) . (1,18)(64/12) J = $ 50.895,49 (b) Solução: UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 17 J = 86.800,00 − P J = 86.800,00 − . (86.800,00) . (1,18)5 [1 + (0,18) (4/12)] J = $ 51.006,53 Resposta: (a) $ 50.895,49 e (b) $ 51.006,53 4) P = $ 6.800 prazo = 17 meses S = $ 28.500 i = ? Lembrete: � Como não está explícito se é juros compostos ou simples será sempre juros compostos. Solução: .S = P (1 + i)n. 28.500 = 6.800 (1 + i)17 28.500 = (1 + i)17 6.800 4,1912 = (1 + i)17 4,1912(1/17) − 1 = i i = 1,0879 – 1 i = 0,0879 = 8,79%. a.m. Resposta: 8,79%. a.m. 5) P = $ 30.000 J = $ 40.000 n = (8) (6) = 48 bim. i = ? (a.b.) Solução 1: .J = P [(1 + i)n − 1]. 40.000 = 30.000 [(1 + i)48 − 1] 40.000 + 1 = (1 + i)48 30.000 2,3333 = (1 + i)48 (2,3333)(1/48) = (1 + i) i = 1,0178 − 1 i = 0,0178 = 1,780% Solução 2: .S = P[(1 + i)n. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 18 .S = P + J. 40.000 + 30.000 = 30.000 (1 + i)48 70.000 = (1 + i)48 30.000 2,3333 = (1+ i)48 (2,3333)(1/48) = (1 + i) i = 1,0178 − 1 i = 0,0178 = 1,78% Resposta: 1,78% 6) P = $ 6.900 prazo = 42 meses S = $ 21.000 n = (42) (1/3) = 14 trim. taxa = ? (ao mês capitalizado trimestralm.) Solução: .S = P (1 + i)n. 21.000 = 6.900,00 (1 + i)(14) 21.000 = (1 + i)(14) 6.900 3,0435 = (1 + i)(14) 3,0435(1/14) = 1 + i i = 0,0827 = 8,27% a.t. Taxa = (8,27%) (1/3) = 2,76% Resposta: 2,76% 7) J = $ 59.700 prazo = 3 anos e 4 meses S = $ 95.700 n = [(3) (12) + 4] (1/4) = 10 quad. taxa = i = ? (ao quad.) Solução: .S = P + J .S = P (1 + i)n. 95.700 = (95.700 − 59.700) (1 + i)10 (95.700/36.000)(1/10) = (1 + i) i = 10,27% Resposta: 10,27% 8) P = $ 3.000 prazo = n = 5 bim. J = $ 4.200 taxa = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 19 Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. 4.200, = 3.000 [(1 + i)5 − 1] [(4.200/ 3.000) + 1](1/5) − 1 = i i = 19,14% a.b. Resposta: 19,14% a.b. 9) P = $ 5.300 prazo = 30 meses S = $ 22.700 n = (30) (1/12) = 2,5 anos taxa = ? (ao mês capit. anualm.) Solução: .S = P (1 + i)n. 22.700 = 5.300 (1 + i)(2,5) 22.700 = (1 + i)(2,5) 5.300 (4,2830)(1/2,5) = 1 + i i = 78,94% a.a. taxa = (78,94%) (1/12) = 6,58% Resposta: 6,58% 10) S = $ 52.000 P = $ 37.000 i = 12% a.s. n = ? Solução: .S = P (1 + i)n. 52.000 = 37.000 (1,12)n 1,4054 = (1,12)n n = Ln 1,4054 Ln 1,12 n = 3 sem. Resposta: 3 sem. 11) P = $ 2.870 S = $ 19.500 i = (32%) (1/4) = 8% a.m. n = ? (meses) Solução: .S = P (1 + i)n. 19.500 = 2.870 (1,08)n UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 20 19.500 = (1,08)n 2.870 6,7944 = (1,08)n n = Ln 6,7944 Ln 1,08 n = 24,9 meses ≈ 25 meses Resposta: 25 12) J = $ 22.100 P = $ 9.600 i = (15) (1/2) = 7,5% a.s. prazo = ? (anos) Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. 22.100 = 9.600 [(1,075)n – 1] 22.100 = (1,075)n – 1 9.600 2,3021 + 1 = (1,075)n n = Ln 3,3021 Ln 1,075 n = 16,5 sem. Prazo = (16,5) (1/2) = 8,25 Resposta: 8,25 13) J = $ 13.322,60 S = $ 16.200 i = (2,5%) (12) = 30% a.a. prazo = ? (meses) Solução: .S = P [(1 + i)n]. .S = P + J. 16.200 = (16.200 – 13.322,60) (1,3)n 5,6301 = (1,3)n n = Ln 5,6301 Ln 1,3 n = 6,6 anos prazo = (6,6) (12) = 79,2 meses Resposta: 79,2 14) J = $ 1.841,42 P = $ 7.500 i = (2,5%) (2) = 5% a.s. prazo = ? (meses) Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 21 1.841,42 = 7.500 [(1,05)n − 1 1.841,42 + 1 = (1,05)n 7.500 1,2455 = (1,05)n n = Ln 1,2455 / Ln 1,05 n = (4,50 sem) (6 meses) = 27 Resposta: 27 QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 1) Para um principal de $ 4.700; prazo quinze meses; e valor acumulado no final do prazo $ 9.095,83; qual a taxa de juros ao ano composta mensalmente? (AP2/2104/II) P = $ 4.700 prazo = 15 meses S = $ 9.095,83 taxa = ? (ao ano cap mensalm/) Solução: .S = P (1 + i)n. 9.095,83 = 4.700 (1 + i)15 (9.095,83/4.700)1/15 − 1 = i i = 0,045 = 4,5% a.m. Taxa = (0,045) (12) = 0,54 = 54% Resposta: 0,54 ou 54%. 2) Se o capital foi $ 4.200, o juro $ 13.600 e o prazo um ano e meio, qual foi a taxa de juros compostos ao mês? (APE/2013) P = $ 4.200 prazo = 1,5 anos J = $ 13.600 i = ? (a.m.) Solução: .J =P [(1 + i)n − 1]. 13.600 = 4.200 [(1 + i)18 − 1] [13.600 . + 1] (1/18) − 1 = i 4.200 i = 8,35% Resposta: 0,0835 ou 8,35% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 22 3) Investiu-se $ 10.600 em uma poupança e após certo tempo resgatou-se $ 38.700 desta mesma poupança. Se a taxa de juros foi 48% a.a. capitalizado mensalmente, por quantos meses ficou aplicado tal quantia? (AP1: 21014/I) P = $ 10.600 S = $ 38.700 i = (48%) (1/12) = 4% a.m. Prazo = ? (meses) Solução: .S = P (1 + i)n. 38.700 = 10.600 (1,04)n 3,65 = (1,30)n Ln 3,65 = (n) Ln 1,04 Ln 3,65 = n Ln 1,04 n ≈ 33 meses Resposta: 33 4) Para um principal de $ 21.800, prazo quatro anos, e montante $ 52.100; calcular a taxa de juros ao quadrimestre para um regime de capitalização composto. (AP1: 21014/I) P = $ 21.800 S = $ 52.100 taxa = ? (a.q.) n = (4) (3) = 12 quad. Solução: .S = P (1 + i)n. 52.100 = 21.800 (1 + i)12 2,39 = (1 + i)12 2,39(1/12) − 1= i i = 1,0670 − 1 i = 0,0753 = 7,53% Resposta: 0,0753 ou 7,53% 5) Um capital de $ 18.400 foi aplicado por vinte e cinco meses. Se o juro foi $ 34.200; qual foi a taxa de juros compostos mensal? (AP3: 21013/II) J = $ 34.200 P = $ 18.400 n = 25 meses. i = ? (a.m.) Solução: .J = P [(1 + i)n − 1]. 34.200 = 18.400 [(1 + i)25 − 1] UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 6: JURO COMPOSTO MARCIA REBELLO DA SILVA 23 34.200 + 1 = (1 + i)25 18.400 2,86 = (1 + i)25 (No mínimo duas casas decimais) (2,86)1/25 = 1 + i i = 0,0429 = 4,29% Resposta: 0,0429 ou 4,29% 6) Aplicou-se $ 15.000 em uma poupança a uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m. Se o montante foi $ 52.500, por quantos meses ficou aplicado o capital? (AP3: 21013/I) P = $ 15.000 S = $ 52.500 i = 2,5% a.m. n = ? (meses) Solução: .S = P (1 + i)n. 52.500 = 15.000 (1,025)n 52.500 = (1,025)n 15.000 3,5 = (1,025)n Ln 3,5 = (n) Ln 1,025 Ln 3,5 = n Ln 1,025 n = 50,7 = 51 Resposta: 51
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