UA 7 EQ EQUIV 2015 I

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 7: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
1
 
 
U.A. 7: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE 
 VALORES DATADOS 
 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Compreender a equação de equivalência de valores datados. 
 
2- Elaborar e resolver uma equação de equivalência de valores datados em regime de 
capitalização composto. 
 
3- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE VALORES DATADOS 
 A maioria dos princípios e dos procedimentos é feita sobre uma taxa de juros compostos. 
 
 
1.1- Definição 
 A uma dada taxa de juros compostos "i", $ X devidos em uma determinada data será equivale a 
$ Y devidos "n" períodos mais tarde, se: 
 
Y = X (1 + i)n 
 
Valores Datados Equivalentes a um Dado Valor Datado de $ X:` 
 
 
 
2.2- Propriedades da Equivalência 
 
 � Se $ X for equivalente a $ Y, a uma determinada taxa de juros compostos, e se $ Y for 
equivalente a $ Z, então $ X será sempre equivalente a $ Z. (propriedade transitiva). 
 
 � Se dois grupos de pagamentos são equivalentes em uma data de vencimento, então serão 
equivalentes em qualquer data de vencimento. 
 
 
NOTA: 
 � Estas propriedades são só válidas para regimes de juros compostos. 
 
 
 Como no regime de juros compostos a comparação de valores datados não depende da 
data focal considerada, então, a data focal poderá ser escolhida de modo arbitrário. 
 
 Data 
Anterior 
Data 
Dada 
 Data 
Posterior 
$ X (1 +i)−n 
$ X (1 +i)n 
 $ X 
n períodos 
n períodos 
 
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Data Focal: 
É a data a qual se compara valores referidos a datas diferentes, que também é 
denominada data de avaliação ou data de referência. 
 
 
 
3.3- Procedimento para a Elaboração da Equação de Equivalência de Valores Datados 
Para se elaborar uma equação de equivalência de valores datados, recomenda-se realizar as 
seguintes etapas: 
 
Etapa 1: Fazer um bom diagrama de tempo, colocando os valores datados, do primeiro conjunto de 
pagamentos (ou recebimentos) de um lado da linha de tempo, e os valores datados do 
segundo conjunto de pagamentos (ou recebimentos) do outro lado da linha de tempo. 
 
Etapa 2: Escolher uma data focal e transferir todos os valores datados para a data focal que foi 
escolhida, utilizando a taxa de juros especificada. 
 
Etapa 3: Escrever a equação de equivalência de valores datados nesta data focal. 
 
Etapa 4: Resolver a equação de equivalência de valores datados, usando os métodos algébricos 
adequados. 
 
 
Ex. 1: Uma obrigação de $ 7.000 vencível no final de três anos. Se o dinheiro valer 12% a.a. 
capitalizados trimestralmente, achar a dívida equivalente: a) hoje; e b) no final de quatro anos e meio. 
 
a) $ 7.000 vencível em 3 anos i = 12% / 4 = 3% a.t 
 n = 12 trim. 
X = ? (hoje) 
 
Solução 1: Data Focal = Zero 
 
 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
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X (1,03)(DF − 0) = 7.000 (1,03)(DF − 12) 
X (1,03)(0 − 0) = 7.000 (1,03)(0 − 12) 
X (1,03)(0) = 7.000 (1,03)−12 
Equação de Valor na Data Focal = Zero X = 7.000 (1,03)−12 
X = .7.000 
 (1,03)12 
X = $ 4.909,66 
Solução 2: Data Focal = 12 trim 
 
 
 
 
 
 
 
 
X (1,03)(DF − 0) = (7.000) (1,03)(DF − 12) 
X (1,03)(12− 0) = (7.000) (1,03)(12 − 12) 
X (1,03)12 = (7.000) (1,03)(0) 
Equação de Valor na Data Focal = 12 trim X (1,03)12 = 7.000 
X = . 7.000 
 (1,03)12 
X = $ 4.909,66 
Resposta: $ 4.909,66 
Nota: Se multiplicarmos a equação obtida na solução um por (1,03)12 será exatamente igual a 
equação obtida na solução dois, portanto, em regime de juros compostos, a equação de valores 
datados não depende da data focal. 
 
b) i = 3% a.t. n = 18 trim. X = ? (4,5 anos = 18 trim.) 
Solução: Data Focal = 18 trim. 
 
X (1,03)(DF − 18) = (7.000) (1,03)(DF − 12) 
X (1,03)(18 − 18) = (7.000) (1,03)(18 − 12) 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
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X (1,03)(0) = (7.000) (1,03)(6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal = 18 trim. X = 7.000 (1,03)6 
X = $ 8.358,37 
Resposta: $ 8.358,37 
 
 
Ex. 2: Um atacadista deve $ 3.000, vencível ao final de 1,5 anos e $ 4.500 vencível no início do 33º 
mês, e se o dinheiro valer 13% a.b. capitalizado mensalmente; qual será o pagamento único que 
liquidará com a dívida em: a) 1 ano; b) no início do quarto ano 
 
i = (13%) (1/2) = 6,5% a.m. 
$ 3.000 (vencível em 1,5 anos = 18 meses) 
$ 4.500 (início do 33º mês = vencível no final do 32 ºmês) 
 
a) X = ? (12 meses) i = 6,5% a.m. 
Solução: Data Focal = 12 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = 3.000 (1 + 0,065)(DF − 18)
 
+ 4.500 (1+ 0,065)(DF − 32)
 
 
X = ? 
0 12 18 36 
$ 3.000 
meses 32 
$ 4.500 
Data Focal 
X = ? 
0 6 12 18 
Data Focal 
$ 7.000 
Trim. 
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X = 3.000 (1,065)(12 − 18)
 
+ 4.500 (1,065)(12 − 32)
 
 
Eq. de Valor na Data Focal = 12 meses X = 3.000 (1,065)−6
 
+ 4.500 (1,065)−20 
X = 3.000 (0,69)
 
+ 4.500 (0,28) 
X = $ 3.330 
Resposta: $ 3.330 
b) X = ? (início 4o ano = final 3o ano = 36 meses) 
Solução: Equação de Valor na Data Focal: 36 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X (1 + 0,065)(DF− 36)
 
= 3.000 (1 + 0,065)(DF− 18)
 
+ 4.500 (1 + 0,065)(DF − 32) 
X (1,065)(36− 36)
 
= 3.000 (1,065)(36 − 18)
 
+ 4.500 (1,065)(36 − 32) 
Eq. de Valor na Data Focal = 36 meses X = 3.000 (1,065)18
 
+ 4.500 (1,065)4
 
X = 3.000 (3,11)
 
+ 4.500 (1,29)
 
X = 9.330
 
+ 5.805
 
X = $ 15.135 
Resposta: $ 15.135 
 
 
Ex. 3: Um a parelho de jantar à vista custa $ 1.650; à prazo é necessário uma entrada de 20% do preço 
à vista e mais dois pagamentos; sendo o valor do 1º pagamento 30% inferior ao valor do 2º pagamento, 
vencendo respectivamente em nove e dezoito meses. Qual será o valor do 1º pagamento a uma taxa de 
juros for 12% a.t? 
 
P = $ 1.650 2 pagam.: 1º pagam. 30% inferior ao valor do 2º pagam. 
i = 12% a.t. 1º pagam.: 9 meses 2º pagam.: 18 meses 
1ºpagam. = ? 
X = ? 
0 12 18 36 
$ 3.000 
meses 32 
$ 4.500 
Data Focal 
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Solução: Data Focal = 6 trim. 
E = (20%) (Preço à vista) = (0,2) (1.650) = $ 330 
1ºpagamento = X − 0,30 X = 0,7 X → vencim.: 9 meses = 3 trim 
2ºpagamento = X → vencim.: 18 m. = 6 trim. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço àVista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 6) = Entrada(DF = 6) + Prestações(DF = 6) 
1.650 (1,12)(DF − 0) = 330 (1,12)(DF − 0) + (0,7) X (1,12)(DF − 6) + X (1,12)(DF − 6) 
1.650 (1,12)(6 − 0) = 330 (1,12)(6 − 0) + (0,7) X (1,12)(6 − 3) + X (1,12)(6− 6) 
Eq. de Valor na Data Focal = 6 trim. 1.650 (1,12)6 = 330 (1,12)6 + (0,7) X (1,12)3 + X. 
(1.650 − 330) (1,12)6 = (0,7) X (1,12)3 + X 
 2.605,45 = 0,98 X + X 
2.605,45 = 1,98 X 
 2º PAGAM = X = $ 1.315,88 
1º PAGAM. = (0,7) X 
1º PAGAM. = (0,7) (1.315,88) 
1º PAGAMENTO = $ 921,12 
Resposta: $ 921,12 
0 3 6 
$1.650 
Trim. 
$ 330 
 
0,7 X 
X 
Data Focal 
Data Focal 
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Ex.4: Juca depositou inicialmente em uma poupança $ 36.000, depois ele fez mais três depósitos 
quadrimestrais de $ 1.600 nesta mesma poupança. Se o primeiro depósito foi um ano após o depósito 
inicial, qual será o saldo meio ano após o último depósito para uma taxa de juros de 3% a.b? 
 
Dep. Inicial = $ 36.000 3 Depósitos quadrimestrais:. $1.600 
 1º dep.: 6º bim. 
2º dep.: 6 bim + 1 quad = 6 bim + 2 bim = 8 bim. 
 3º dep.: 8 bim + 2 bim = 10 bim. 
 Saldo: 13º bim. = X = ? 
Solução: Data Focal = 13 bim. 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 36.000 (1,03)(13 − 0) + 1.600 (1,03)(13 − 6) + 1.600 (1,03)(13 − 8) + 1.600 (1,03)(13 − 10) = 
 = X (1,03)(13 − 13) 
 36.000 (1,03)(13) + 1.600 (1,03)(7) + 1.600 (1,03)(5) + 1.600 (1,03)(3) = X (1,03)(0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq. de Valor na Data Focal = 13 bim. 
36.000 (1,03)(13) + 1.600 (1,03)(7) + 1.600 (1,03)(5) + 1.600 (1,03)(3) = X 
 X = $ 58.438,21 
Resposta: $ 58.438,21 
 
 
Ex. 5: Um comerciante deve $ 3.000; $ 6.000; e $ 8.000 que vencem daqui a trinta dias; dois meses e 
quatro meses, respectivamente. Não podendo saldá-los nos prazos de vencimento acima, deseja 
reformá-lo de modo a fazer dois pagamentos; sendo o primeiro pagamento (1/3) do segundo 
0 6 10 
$ 36.000 
Bim. 
Data Focal 
$ 1.600 
13 8 
$ 1.600 $ 1.600 
X 
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pagamento. Se o 1º pagamento vencer em cinco meses; o 2º pagamento vencer em seis trimestres e se 
o dinheiro valer 10,5% a.t. acumulado mensalmente, qual será o valor do primeiro pagamento? 
 
$ 3.000 (vence: 30 dias) $ 6.000 (vence: 2 meses) $ 8.000 (vence: 4 meses) 
 1º pag = (1/3) (2º pag) = ? 
1º pag. (vence: 5 meses) 
2º pag. (vence: 6 trim. = 18 meses) 
Taxa = 10,5% a.t. acumulado mensalmente 
i = (10,5%) (1/3) = 3,5% a.m. 
Solução: Data Focal = 18 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.000 (1 + 0,035)(DF − 1) + 6.000 (1 + 0,035)(DF − 2) + 8.000 (1 + 0,035)(DF − 4) = 
 = (1/3) X (1 + 0,035)(DF − 5) + X (1 + 0,035)(DF − 18) 
3.000 (1,035)(18 − 1) + 6.000 (1,035)(18 − 2) + 8.000 (1,035)(18 − 4) = 
 = (1/3) X (1,035)(18 − 5) + X (1,035)(18 − 18) 
Eq. de Valor na Data Focal = 18 meses 
 3.000 (1,035)17 + 6.000 (1,035)16 + 8.000 (1,035)14 = (1/3) X (1,035)13 + X 
28.737,50 = 0,52 X + X 
28.737,50 = 1,52 X 
X = $ 18.906,25 
2º. PAGAMENTO = $ 18.906,25 
1º. PAGAMENTO = (1/3) X = (1/3) (18.906,25) 
0 1 4 
$ 3.000 
Meses 
Data Focal 
(1/3) X 
2 
i = 3,5% a.m. 
X 
5 
$ 6.000 $ 8.000 
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1º. PAGAMENTO = $ 6.302,08 
Resposta: $ 6.302,08 
 
 
Ex. 6: Um casal investiu em um fundo $ 150.000 para os seus três filhos quando estavam com 6, 10 e 
15 anos de idade, e que seria retirado quando completassem vinte um anos de idade. Se o fundo pagou 
7% a.s, e que o mais novo receberia o triplo do que receberia o do meio, e este receberia o dobro do 
que receberia o mais velho. Quanto receberia cada um? 
 
+ Novo = 6X 21 – 6 = 15 anos = 30 sem. 
Meio = 2X 21 – 10 = 11 anos = 22 sem. 
+ Velho = X 21 – 15 = 6 anos = 12 sem. 
 i = 7% a.s. 
Solução: Data Focal = 30 sem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 150.000 (1 + 0,07)(DF − 0) = X (1 + 0,07)(DF − 12) + 2X (1 + 0,07)(DF − 22) + 6X (DF − 30) 
 150.000 (1,07)(30 − 0) = X (1,07)(30 − 12) + 2X (1,07)(30 − 22) + 6X (1,07)( (30 − 30) 
150.000 (1,07)30 = X (1,07)18 + 2X (1,07)8 + 6X (1,07)(0) 
Eq. de Valor na Data Focal = 30 sem. 150.000 (1,07)30 = X (1,07)18 + 2X (1,07)8 + 6X. 
150.000 (1,07)30 = X (3,38) + 2X (1,72) + 6X 
1.141.838,26 = 12,82X 
 X = $ 89.092,63 = $ 89.092,63 (+Velho) 
0 12 30 
$ 150.000 
Sem. 
Data Focal 
2X 
X 
22 
i = 7% a.s. 
6X 
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2X = ($ 89.092,63) (2) = $ 178.133,90 (Meio) 
 6X = ($ 89.092,63) (6) = $ 534.401,70 (+Novo) 
Resposta: $ 534.401,70 (+N); $ 178.133,90 (M); $ 89.092,63 (+V) 
 
 
Ex. 7: Qual é o preço à vista de um terreno se a prazo tem que dar uma entrada de $ 19.000 e mais 
quatro prestações mensais de $ 3.500, sendo a primeira prestação no final do primeiro mês e a taxa de 
juros cobrada no financiamento for 12% a.t. cap. mensalmente. 
 
Preço à Vista = X = ? E = $ 19.000 i = 4% a.m. 
4 prestações de $ 3.500 (1ª prestação ⇒ final do 1º mês = 1º mês) 
Solução: Data Focal: Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
19.000 (1 + 0,04)(DF − 0) + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 1) + 3.500(1 + 0,04)(DF − 2) + 
 + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 3) + 3.500 (1 + 0,04)(DF − 4) = X (1 + 0,04)(DF − 0) 
 
19.000 (1,04)(0−0) + 3.500 (1,04)(0−1) + 3.500 (1,04)(0−2) + 3.500 (1,04)(0−3) + 
 + 3.500 (1,04)(0−4) = X (1,04)(0−0) 
Eq. de Valor na Data Focal: = Zero 
 19.000 + 3.500 (1,04)(−1) + 3.500 (1,04)(−2) + 3.500 (1,04)(−3) + 3.500 (1,04)(−4) = X 
0 1 3 
X = ? 
meses
m. 
$ 3.500 $ 3.500 
2 
i = 4% a.m. 
$ 3.500 
 
 4 
$ 3.500 
$ 19.000 
 
Data Focal 
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12
X = $ 31.704,63 
Resposta: $ 31.704,63 
 
 
Ex. 8: A fim de constituir uma poupança, um jovem deposita $ 1.500 no fim de cada trimestre em 
uma instituição financeira que paga 5% a.t. Qual será o saldo após o terceiro depósito? 
 
3 depósitos trimestrais de $ 1.500 i = 5% a.t. Saldo = ? 
Solução: Data Focal = Três trim. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
 1.500,00 (1 + 0,05)(DF − 1) + 1.500,00 (1 + 0,05)(DF − 2) + 1.500,00 (1 + 0,05)(DF − 3) − 0 = 
 = X (1 + 0,05)(DF − 3) 
 
1.500,00 (1,05)(3−1) + 1.500,00 (1,05)(3−2) + 1.500,00 (1,05)(3−3) − 0 = X (1,05)(3−3) 
1.500,00 (1,05)2 + 1.500,00 (1,05)1 + 1.500,00 (1,05)0 − 0 = X (1,05)0 
Eq. de Valor na Data Focal = 3 trim. 1.500,00 (1,05)2 + 1.500,00 (1,05)1 + 1.500,00 = X 
 X = $ 4.728,75 
Resposta: $ 4.728,75 
 
 
Ex. 9: Inicialmente foi depositado em um determinado investimento$ 48.700; depois deste mesmo 
investimento foram feitas duas retiradas iguais, sendo a primeira no sétimo mês e a segunda no 
vigésimo mês. Se o saldo foi $ 19.200 no terceiro ano. Calcular foi valor de cada retirada se a taxa de 
juros foi 3% a.m. para o primeiro ano e 5% a.m. para os anos restantes. 
 
Dep. Inicial = $ 48.700 
$ 1.500 
0 1 2 
$ 1.500 
Trim
. 
DF 
Saldo = X = ? 
$ 1.500 
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 1ª Ret → 7o mês 2ª Ret. → 20º mês 
 1ª Ret. = 2ª Ret. = X = ? 
 i = 3% a.m. (1º ano) i = 5% a.m. (anos restantes) 
 Saldo = $ 19.200 → 3º ano 
Solução: Data Focal = 12 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
48.700 (1,03)(DF − 0) − X (1,03)(DF − 7) − X (1,05)(DF − 20) = 19.200(1,05)(DF − 36) 
48.700 (1,03)(12 − 0) − X (1,03)(12 − 7) − X (1,05)(12 − 20) = 19.200(1,05)(12 − 36) 
Eq. de Valor na Data Focal = 12 meses 
48.700 (1,03)12 − X (1,03)5 − X (1,05)−8 = 19.200 (1,05)−24 
69.434,56 − 5.953,30 = (1,16 + 0,68) X 
63.481,26 = 1,84 X 
 X = $ 34.500,68 
Resposta: $ 34.500,68 
 
 
Ex. 10: Inicialmente foi depositado em um determinado investimento $ 23.500; depois deste mesmo 
investimento foram feitas duas retiradas, sendo a primeira no nono mês e a segunda no final do 
vigésimo sétimo mês; sendo que o valor da primeira retirada foi 20% superior ao valor da segunda 
retirada; e ainda restou um saldo de $ 5.300 no terceiro ano. Calcular o valor da primeira retirada se a 
taxa de juros for 9% a.t. para o primeiro ano e 12% a.s. para os anos restantes. 
 
 Dep. Inicial = $ 23.500 
 1ª Ret. = X1 = ? → 9º mês 2ª Ret. = X2 → 27º mês 
0 7 20 
$ 48.700 
Meses 
Data Focal 
X X 
Saldo = $ 19.200 
36 12 
i = 5% a.m. 
1 ano = 12 meses 
i = 3% a.m. 
2 anos = 12 meses 
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 X1 = (0,20) X2 + X2 = 1,2 X2 
Solução: Data Focal = 36 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
23.500 (1,09)4 (1,12)4 − X1 (1,09)1(1,12)4 − X2 (1,12)(36 − 27) (1/6) = 5.300 
23.500 (1,09)4 (1,12)4 − (1,2) X2 (1,09)1(1,12)4 − X2 (1,12)(9) (1/6) = 5.300 
Eq. de Valor na Data Focal = 36 meses 
 3.500 (1,09)4 (1,12)4 − X2 (1,2) (1,09) (1,12)4 − X2 (1,12)1,5 = 5.300 
52.197,05 + 3,24 X2 = 5.300 
X2 = $ 14.474,40 
1º Ret. = X1 = 1,2 X2 = (1,2) (14.474,40) 
X1 = $ 17.369,28 
Resposta: $ 17.369,28 
 
 
LEMBRETE: No regime de juros compostos a comparação de valores datados não depende 
da data focal considerada, então, a data focal poderá ser escolhida de modo arbitrário. 
 
 
 
0 9 27 
$ 23.500 
Meses 
Data Focal 
1,2X 
X 
Saldo = $ 5.300 
36 12 
12% a.s. 
1 ano = 4 trim 
9% a.t. 
2 anos = 4 sem. 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será anexado 
as mesmas e, 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
1) Ana deve $ 6.000, vencível em três anos e meio, $ 7.000 vencível no final do quarto ano; e $ 12.300 
no início do sétimo ano. Se o dinheiro valer 3% a.m, qual seria o pagamento único que liquidará com a 
dívida em: a) em dois anos; b) no quinto ano? 
 
2) Uma máquina industrial está sendo vendida à vista por $ 75.400; e a prazo tem que dar uma entrada 
de $ 15.600 e mais duas prestações, sendo a primeira 30% do valor da segunda. Se a primeira 
prestação vencer quatro meses após a compra; a segunda em três trimestres; e se a taxa de juros 
cobrada no financiamento 13,5% a.t. capitalizado mensalmente, qual será o valor da primeira 
prestação? 
 
3) Foi depositado inicialmente em um determinado investimento $ 48.000; depois deste mesmo 
investimento foram feitas duas retiradas, sendo a primeira no início do décimo mês e a segunda no 
final do vigésimo mês. Se o valor da primeira retirada foi 35 superior ao valor da segunda retirada; e 
ainda restar um saldo de $ 5.000 no terceiro ano; qual foi o valor de cada retirada se a taxa de juros for 
4% a.m. para o primeiro ano e 5% a.m. para os anos restantes? 
 
4) Um varejista deve $ 7.000; $ 10.000; e $ 28.000 vencíveis respectivamente em três; oito; e quinze 
meses. Não podendo pagá-los nestes prazos acima deseja reformá-lo de tal modo a fazer dois 
pagamentos sendo o primeiro a metade do segundo e vencendo em um ano e dois anos 
respectivamente. Se a taxa de juros cobrada for 6% a.m, qual será o valor do segundo pagamento? 
 
5) Um carro à vista custa $ 55.000, e a prazo tem que dar uma entrada e mais três prestações 
quadrimestrais no valor de $ 14.000. Se a taxa cobrada no financiamento for 24% a.a. capitalizada 
quadrimestralmente, quanto terá que dar de entrada? 
 
6) Inicialmente foi depositado em um fundo $ 12.400 à partir do quarto mês foram feitos mais quatro 
depósitos de $ 4.200, e no início do décimo mês foi feita uma retirada. Se o saldo um ano após a 
retirada for $ 20.500, quanto foi retirado se a taxa do fundo foi 4% a.m? 
 
7) Inicialmente foi depositado em um determinado investimento $ 42.700; depois deste mesmo investimento 
foram feitas duas retiradas iguais, sendo a primeira no sétimo mês e a segunda no vigésimo mês. Se o saldo foi $ 
9.500 no segundo ano. Calcular foi valor de cada retirada se a taxa de juros foi 3% a.m. para o primeiro ano e 
5% a.m. para os anos restantes. 
 
 
 
 
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SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.7. 
 
 
1) Solução: 
a) Data Focal em 24 meses 
 X (1,03)(24− 24) = 6.000 (1,03)(24− 42) + 7.000 (1,03)(24− 48) + 12.300 (1,03)(24− 72) 
X (1,03)(0) = 6.000 (1,03)−18 + 7.000 (1,03)-24 + 12.300 (1,03)-48 
X = 6.000 (1,03)−18 + 7.000 (1,03)-24 + 12.300 (1,03)-48 
X = 3.524,37 + 3.443,54 + 2.976,58 
X = $ 9.944,49 
b)Data Focal em 60 meses: 
 X (1,03)(60 − 60) = 6.000 (1,03)(60 − 42) +7.000 (1,03)(60 − 48) + 12.300 (1,03)(60 − 72) 
X (1,03)(0) = 6.000 (1,03)18 + 7.000 (1,03)12 + 12.300 (1,03)−12 
X = 6.000 (1,03)18 + 7.000 (1,03)12 + 12.300 (1,03)−12 
X = 10.214,60 + 9.980,33 + 8.626,97 
X = $ 28.821,90 
 
2) 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = 9 meses 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 9) = Entrada(DF = 9) + Prestações(DF = 9) 
Entrada(DF = 9) = $ 15.600 (1,045)9 
Prestações(DF = 9 = 0,3 X (1,045)5 + X 
 Preço à Vista(DF = 9) = 75.000 (1,045)9 
 
 
 
Equação de Valor: 15.600 (1,045)9 + 0,3 X (1,045)5 + X = 75.000 (1,045)9 
0,3 X (1,045)5 + X = (75.000 − 15.600) (1,045)9 
$ 75.000 
0 1 9 
 DF 
i = (13,5%) (1/3) = 4,5 % a.m. 
meses. 
 0,3 X X 
4 
DF 
 
 $ 15.600 
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(0,37 + 1) X = 59.400 (1,045)9 
1,37 X = 59.400 (1,045)9 
1,37 X = 88.274,05 
 X = $ 64.433,61 
 0,3 X = (0,3) ( 64.433,61) = 19.330,08 
Resposta: $ 19.330,08 
 
 
3) Dep inicial = $ 48.000 
1ª Ret. → início 10 mês ⇒ final do 9º mês 1ª Ret. = 1,35 X 
2ª Ret. → final do 20º mês 2ª Ret. = X 
 Saldo = $ 5.000 → 3º ano ⇒ final do 36º mês 
i = 4% a.m. (até 12º mês) i = 5% a.m. (meses restantes) 
Solução: Data Focal = 12º mês 
48.000 (1,04)(DF − 0) − 1,35 X (1,04)(DF − 9) − X (1,05)(DF − 20) = 5.000 (1,05)(DF − 36) 
48.000 (1,04)(12 − 0) − 1,35 X (1,04)(12 − 9) − X (1,05)(12 − 20) = 5.000 (1,05)(12 − 36) 
48.000 (1,04)12 − 1,35 X (1,04)3 − X (1,05)−8 = 5.000 (1,05)−24 
48.000 (1,04)12 − 5.000 (1,05)−24 = 1,35 X (1,04)3 + X (1,05)−8 
75.299,21 = 2,20 X 
X = $ 34.298,54 
1º retirada = (1,35) (34.298,54) = $ 46.303,03 
2º retirada = $ 34.298,54 
Resposta: $ 46.303,03 e $ 34.298,54 
 
 
4) $ 7.000 → 3 meses $ 10.000 → 8 meses $ 28.000 → 15 meses 
 1º pag. → 12 meses 1º pag. = X 
2º pag. → 24 meses 2º pag. = 2 X 
 i = 6% a.m. 2º paga. = ? 
Solução: Equação de Valor na Data Focal: Vinte e Quatro meses 
7.000 (1,06)(24 − 3) + 10.000 (1,06)(24 − 8) + 28.000 (1,06)(24 − 15) = X (1,06)(24 − 12) + 2 X (1,06)(24 − 24) 
 7.000 (1,06)(21) + 10.000(1,06)(16) + 28.000(1,06)(9) = X (1,06)(12) + 2 X (1,06)(0) 
 96.505,87 = X (1,06)(12) + 2 X 
 96.505,87 = 2,01 X + 2 X 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 7: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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96.505,87 = 4,01 X 
X = $ 24.066,30 
2 X = (2) (24.066,30) = $ 48.132,60 
Resposta: $ 48.132,60 
 
 
5) Preço à Vista = $ 55.000 Entrada = X = ? 
i = (24%) (1/3) = 8% a.q. 3 prestações de $ 14.000 
Solução: Data Focal: Zero 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
14.000 (1,08)(0 − 1) + 14.000 (1,08)(0 − 2) + 14.000 (1,08)(0 − 3) + X = 55.000 
14.000 (1,08)(− 1) + 14.000 (1,08)(− 2) + 14.000 (1,08)(− 3) + X = 55.000 
 X = $ 18.920,64 
Resposta: $ $ 18.920,64 
 
 
6) Dep. Inic. = $ 12.400 4 depósitos mensais de $ 4.200 i = 4% a.m. 
 Ret. = X = ? (início 10 mês = final 9º mês) 
Saldo = $ 20.500 (um ano após retirada = 9 + 12 = 21º mês) 
Solução: Data Focal = Nove meses. 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
 
12.400 (1,04)(9 − 0) + 4.200 (1,04)(9 − 4) + 4.200 (1,04)(9 − 5) + 4.200 (1,04)(9 − 6) + 
 + 4.200 (1,04)(9 − 7) − X = 20.500 (1,04)(9 − 21) 
 
 12.400 (1,04)(9) + 4.200 (1,04)(5) + 4.200 (1,04)(4) + 4.200 (1,04)(3) + 
 + 4.200 (1,04)(2) − X = 20.500 (1,04)(− 12) 
 
17.649,07 + 5.109,94 + 4.913,41 + 4.724,43 + 4.542,72 − X = 12.804,24 
X = $ 24.135,33 
Resposta: $ 24.135,33 
 
 
7) Solução: Data Focal = Vinte e quatro meses. 
42.700 (1,03)12 (1,05)12 − X (1,03)5(1,05)12 − X (1,05)(4) = 9.500 
X = $ 30.275,93 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 7: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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Resposta: $ 30.275,93 
 
QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 
 
1) Um cortador de grama à vista custa $ 1.590; e à prazo tem que dar uma entrada e mais dois 
pagamentos; sendo o 1º pagamento igual a $ 600 e 2º pagamento igual a $ 850, vencendo 
respectivamente em quatro meses e meio ano. Qual será o valor da entrada se a taxa de juros cobrada 
no financiamento for 3,5% a.m? (AP1/2014/II) 
 
P = $ 1.590 i = 3,5% a.m. E = ? 
1º pagam. = $ 600 → 4º mês 
2º pagam. = $ 850 → 6º mês 
Solução: Data Focal: Zero 
1.590 = E + 600 (1,035)−4 + 850 (1,035)−6 
E = 1.590 − 1.214,34 
E = $ 375,66 
Resposta: $ 375,66 
 
2) Inicialmente depositou-se em um fundo $ 38.400, depois fez mais um depósito de $ 15.200 no final 
do quinto mês, e por último fez uma retirada no final do nono mês deste mesmo fundo. Se o saldo um 
ano após a retirada foi $ 51.700; e a taxa de juros de 5% a.m, qual foi o valor da retirada? (AP/ 2014/I) 
 
Dep. Inicial = $ 38.400 i = 5% a.m. 
 Dep. = $ 15.200 → 5º mês 
 Ret = X → 9º mês 
Saldo = $ 51.700 (9 + 12 = 21) 
 
Solução: Data focal = 21 meses 
38.400 (1,05)(21 − 0) + 15.200 (1,05)(21 − 5) − X (1,05)(21 − 9) = (51.700 ) (1,05)(21 − 21) 
 38.400 (1,05)(21) + 15.200 (1,05)(16) − X (1,05)(12) = 51.700 
X = $ 49.258,20 
Resposta: $ 49.258,20 
 
3) Um comerciante deve $ 5.400; e $ 15.300 que vencem daqui a três meses; e um ano, 
respectivamente. Não podendo saldá-los nos prazos de vencimento acima, deseja reformá-lo de modo a 
fazer dois pagamentos iguais. Se o 1º pagamento vencer em sete meses; o 2º pagamento vencer em 
vinte meses; e se o dinheiro valer 4% a.m, qual será o valor de cada pagamento? (AP3/ 2013/II) 
UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 7: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
21
 
$ 5.400 (vence: 3 meses) $ 15.300 (vence: 1 ano = 12 meses) 
1º pag = 2º pag 
1º pag. (vence: 7 meses) 2º pag. (vence: 20 meses) 
Taxa = 4% a.m 
NOTA: 
 Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o que 
acontece na prática que é regime de capitalização composto. 
 
 
Solução: Data Focal = 20 meses 
5.400 (1,04)(DF − 3) + 15.300 (1,04)(DF − 12) = X (1,04)(DF − 7) + X (1,04)(DF − 20) 
 5.400 (1,04)(20 − 3) + 15.300 (1,04)(20 − 12) = X (1,04)(20 − 7) + X (1,04)(20 − 20) 
5.400 (1,04)(17) + 15.300 (1,04)(8) = X (1,04)(13) + X (1,04)(0) 
Eq. de Valor na Data Focal = 20 meses 
5.400 (1,04)(17) + 15.300 (1,04)(8) = X (1,04)(13) + X 
5.400 (1,04)(17) + 15.300 (1,04)(8) = X (1,67) + X 
10.518,66 + 20.939,11 = 2,67 X 
31.457,77 = 2,67 X 
PAGAMENTO = $ 11.781,94 
 Resposta: $ 11.781,94