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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 1 U.A. 15: INFLAÇÃO Todos os direitos autorais reservados à MARCIA REBELLO DA SILVA OBJETIVOS: Ao final desta unidade, você será capaz de: 1- Entender os conceitos de: inflação; deflação e correção monetária. 2- Compreender os índices. 3- Calcular a inflação acumulada e média. 4- Entender o conceito de taxa real; e 5- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA15. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 2 1- DEFINIÇÕES Numa economia de uma nação, a inflação e a deflação são duas condições que afetam o valor do dinheiro. Por inflação entende-se um processo de elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços num dado intervalo de tempo. Em sentido oposto, ou seja, um processo de queda predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, neste caso o fenômeno é denominado deflação. Durante um período inflacionário, é necessário no pagamento de um bem, ou serviço, uma quantidade cada vez maior de moeda, gerando perda do poder aquisitivo da própria moeda. As altas taxas de juros, o desequilíbrio da balança de pagamentos, o aumento de preços ou salários sem melhoria da qualidade ou da produção, a emissão de moedas para cobrir déficit público, são alguns dos fenômenos entre outros que podem causar a inflação. O desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença de processos inflacionários, onde os preços se têm elevado com maior ou menor intensidade. Pode-se definir a atualização monetária ou correção monetária como sendo o reajuste dos capitais envolvidos em operações financeiras, (passivas ou ativas) de modo a anular ou pelo menos minorar os efeitos da perda do poder aquisitivo. No Brasil, a prática da atualização monetária ou correção monetária foi introduzida em 1964 com a criação da Obrigação Reajustável do Tesouro Nacional, através da Lei no. 4.357, de 16-06-64, conhecida por ORTN, com a finalidade de corrigir os valores do ativo imobilizado, dos débitos fiscais, das depreciações, o que deveria ser feito de acordo com a variação da ORTN. Posteriormente também foi adotada nas operações financeiras em geral. A ORTN passou a denominar-se OTN (Obrigação do Tesouro Nacional) a partir de março de 1964 com a criação do Plano Cruzado 1, cuja a finalidade era de não mais ser reajustada, permanecendo com valor fixado para março de 1986, $ 106,40. Entretanto, desde fevereiro de 1987, a OTN continuou a ser reajustada mensalmente, sendo posteriormente substituídas por outros índices. 2- ÍNDICES Serão vistos neste tópico alguns do índices que afetam os valores durante o tempo. Publicações especializadas tais como Suma Econômica, revista Conjutura Econômica, trazem os índices e sua evolução. 2.1- Valor Referencial de Financiamento – VRF O Valor Referencial de Financiamento passou a ser utilizado para a correção dos saldos devedores de seus mutuários, com a extinção da UPC. A VRF nada mais do que a continuação da UPC corrigido pela inflação. 2.2- Unidade Fiscal de Referência – UFIR A Unidade Fiscal de Referência foi criada com base na Lei no. 8.383, de 30-12-1991. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 3 2.3- Taxa Referencial – TR A TR foi criada através da Lei no. 8.177, de 01-03-1991, quando foi extinta o Bônus do Tesouro Nacional, BTN. 2.4- Variação Cambial A taxa flexível de câmbio foi introduzida a partir de 1968. A taxa cambial por medir a relação entre o valor da moeda de um país e outro, pode variar em intervalos não regulares e pequenos de tempo. O US$ (Dólar dos Estados Unidos), tem servido como referência para os preços de muitas mercadorias bem como financiamentos externos e quantificação de transações de comércio exterior. 2.5- Índice Oficial de Inflação O índice oficial de inflação é conhecido também como taxa de inflação. A variação de preço era calculado por vários órgãos ou entidades, mas o representante para o cálculo deste índice era escolhido pelo governo. Porém, a partir de 1990, não existe mais índice oficial de inflação no Brasil. 3- VARIAÇÃO DOS ÍNDICES Suponha que a correção monetária deva ser fixada segundo determinado índice o indicador de inflação, para “n” períodos consecutivos, são I0, I1 , I2, . . . , In, onde I0 é o valor correspondente ao início do 1o. período e os demais correspondentes ao fim dos “n” períodos considerados. A correção ou variação C1 , C2, . . . , Cn, para cada um destes períodos será: C1 = (I1 − I0) / I0 = (I1 / I0) − 1 C2 = (I2 − I1) / I1 = (I2 / I1) − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cn = (In − In-1) /In-1 = (In / In-1) − 1 Cn = . In . − 1 In−1 Onde: I: Indicador de Inflação C: Correção ou Variação A correção para “n” períodos, ou correção acumulada será: Cac = . In − 1 I0 Onde: Cac: Correção ou Variação Acumulada UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 4 As igualdades (1) também podem ser escritas da seguinte forma: I1 / I0 = 1 + C1 I2 / I1 = 1 + C2 . . . . . . . . . . . In / In - 1 = 1 + Cn Multiplicando membro a membro estas últimas igualdades, teremos: (I1 / I0) (I2 / I1) . . . . (In / In - 1) = (1 + C1) (1 + C2) . . . . (1 + Cn) Ou: (In / I0) = (1 + C1) (1 + C2) . . . .(1 + Cn) Subtraindo 1 de cada membro da equação, tem-se: (In / I0) − 1 = = (1 + C1) (1 + C2) . . . . (1 + Cn) − 1 Então a correção acumulada para os “n” períodos pode também ser calculada da seguinte forma: Cac = (1 + C1) (1 + C2) . . . . (1 + Cn) − 1 Ex. 1: Calcular: a) a correção para janeiro, fevereiro, março, abril, maio, e junho; b) a correção no último semestre; e c) a média mensal de inflação. Considere os seguintes dados. Período Índice Dezembro 100 Janeiro 104 Fevereiro 107,38 Março 112,21 Abril 119,50 Maio 125,48 Junho 137,00 Solução: a) Cn = . In . − 1 In−1 CJan = (IJan / IDez) − 1 = (104,00 / 100) − 1 = 0,04000 = 4,000% CFev = (IFev / IJan) − 1 = (107,38 / 104) − 1 = 0,03250 = 3,250% CMar = (IMar / IFev) − 1 = (112,21 / 107,38) − 1 = 0,04500 = 4,498% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 5 CAbr = (IAbr / IMar) − 1 = (119,50 / 112,21) − 1 = 0,06497 = 6,497% CMai = (IMai / IAbr) − 1 = (125,48 / 119,50) − 1 = 0,05004 = 5,004% CJun = (IJun / IMai) − 1 = ( 137,00 / 125,48) − 1 = 0,09181 = 9,181% b) Solução 1: Cac = . In − 1 I0 Cac = (IJun / IDez) − 1 Cac = (137 / 100) − 1 = 37% Solução 2: Cac = (1 + C1) (1 + C2) . . . . (1 + Cn) − 1 Cac = (1 + CJan) (1 + CFev) (1 + CMar) (1 + CAbr) (1 + CMai) (1 + CJun) − 1 Cac = (1,04000) (1,03250) (1,04500) (1,06497) (1,05004) (1,09181) − 1Cac = 1,3700 − 1 Cac = 37% (acumulada dos últimos 6 meses) c) Média mensal = Cm = ? (1 + Cm)6 = (1 + Cac) (1 + Cm)6 = (1 + 0,37) Cm = (1,37)1/6 − 1 Cm = 5,387% 4- TAXA EFETIVA E TAXA REAL Entende-se por taxa efetiva aquela que normalmente vigora nas operações financeiras correntes. Em contexto inflacionário devemos distinguir, na taxa efetiva, uma parte relativa a correção que é devida a inflação, e a outra relativa aos juros reais recebidos ou pagos. Na ausência de inflação, a taxa nominal (i) é igual a taxa real (r); portanto, o montante no final do primeiro período será: S = P (1 + i) Em período inflacionário, o montante produzido é o resultado de um capital que foi acrescido da taxa real de juros (r) e da taxa de inflação ou correção monettária (θ). S = P (1 + r) (1 + θ) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 6 Igualando essas duas equações, tem-se: P (1 + i) = P (1 + r) (1 + θ) Então: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) Onde: i: Taxa efetiva de Juros r: Taxa Real de Juros θ: Taxa de Inflação ou Correção Monetária Ex. 2: Calcular a taxa nominal de um empréstimo num banco que quer ganhar 29% a.a. de juros reais, sabendo que a inflação será de 70% a.a. r = 29% a.a. θ = 70% a.a. i = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,29) (1 + 0,70) i = 2,1930 − 1 i = 119,30% a.a. Resposta: 119,30% a.a. Ex. 3: Um título de crédito foi adquirido por $ 2.300 em dezembro de 19X1 para resgate em dezembro de 19X2 pela quantia de $ 3.050. Pede-se a taxa de juros real, admitindo-se como taxa de inflação o índice: Data Índice Dezembro 19X1 135 Dezembro 19X2 160 S = $ 3.050 P = $ 2.300 n = 1 ano r = ? Solução: Cálculo da Taxa de Inflação: Cn = . In . − 1 In−1 CX2 = 160 − 1 135 CX2 = 18,52% θ = 18,52% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 7 Cálculo da Taxa Nominal: S = P (1 + i)n 3.050 = 2.300 (1 + i)1 i = (3.050 / 2.300) − 1 i = 32,61% a.a. Cálculo da Taxa Real de Juros: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,3261) = (1 + r) (1 + 0,1852) (1,3261) / (1,1852) = (1 + r) r = 1,1189 − 1 r = 11,89% a.a. Resposta: 11,89% a.a. Ex. 4: Se em um investimento em um fundo de renda fixa a taxa efetiva foi de 50% ao período, calcular a taxa real, se neste mesmo período, a taxa de inflação foi de 38%. i = 50% θ = 38% r = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,50) = (1 + r) (1 + 0,38) 1,50 − 1 = r 1,38 r = 8,70% ao período Resposta: 8,70% ao período Ex. 5: Uma senhora aplicou a quantia de $ 9.300 durante dois anos a taxa real de 10% a.a. Se a inflação fosse 31% a.a, quanto receberia a senhora? P = $ 9.300 n = 2 anos r = 10% a.a. θ = 31% a.a. S = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,10) (1 + 0,31) (1 + i) = 1,4410 S = P (1 + i)n S = 9.300 (1,441)2 S = $ 19.311,27 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 8 Resposta: $ 19.311,27 Ex. 6: Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 17,5% a.m. de juros reais, caso a taxa efetiva seja 39% a.m.? r = 17,50% a.m. i = 39% a.m. θ = ? (a.a.) Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,39) = (1 + 0,175) (1 + θ) θ = (1,39 / 1,175) − 1 θ = 18,30% a.m. Transformar a taxa de inflação mensal para taxa de inflação anual (taxa equivalente) (1 + im)12 = (1 + ia)1 (1 + im)12 = (1 + ia)1 (1,183)12 = 1 + ia ia = 651,31% Resposta: 651,31% Ex. 7: Por um capital de $ 7.900 aplicado por três semestres, um investidor recebeu $ 15.026,33. Qual foi a taxa de juros real, se a inflação foi de 18% a.s.? P = $ 7.900 S = $ 15.026,33 n = 3 sem θ = 18% a.s. r = ? Solução: S = P (1 + i)n 15.026,33 = 7.900 (1 + i)3 1,9021 = (1 + i)3 1 + i = (1,9021)1/3 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1,9021)1/3 = (1 + r) (1 + 0,18) (1,9021)1/3 = (1 + r) (1,18) r = (1,9021)1/3 − 1 1,18 r = 5% a.s. Resposta: 5% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 9 Ex. 8: O preço de uma casa é de $ 78.000. A imobiliária esta vendendo por $ 11.000 de entrada e o restante após um ano e seis meses, a juros reais de 19% a.a. mais correção monetária. Sabendo-se que a correção do primeiro semestre foi de 8%, a do segundo semestre de 13% e do último semestre de 10%, qual será o valor a ser pago ao final de 1,5 anos? Preço = $ 78.000 Entrada = $ 11.000 n = 1,5 anos r = 19% a.a. θ1 = 8% θ2 = 13% θ3 = 10% S = ? Solução: S = P (1 + i)n (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) Solução 1: S = (78.000 − 11.000) [(1,19)1,5 (1,08) (1,13) (1,10)] S = 67.000 (1,7426) S = $ 116.755,56 Solução 2: Cálculo da correção monetária equivalente semestral (1 + θ1) (1 + θ2) (1 + θ3) = (1 + θsem)3 (1 + 0,08) (1 + 0,13) (1 + 0,10) = (1 + θsem)3 1,3424 = (1 + θsem)3 θsem = (1,3424)1/3 − 1 θsem = 10,31% a.s. Cálculo da correção monetária equivalente anual (1 + θa) = (1 + θsem)2 (1 + θa) = (1 + 0,1031)2 (1 + θa) = (1,1031)2 S = P (1 + i)n (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) S = P [(1 + r) (1 + θ)]n S = 67.000 [(1,19) (1,1031)2]1,5 S = 67.000 (1,19)1,5 (1,1031)3 S = $ 116.745,43 Resposta: $ 116.745,43 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 10 Ex. 9: Um atacadista aplicou $ 24.600 em uma instituição financeira que lhe devolveu o montante de $ 53.503,98 no final de onze meses. Considerando que a inflação média mensal foi de 4,35% no período, determinar a taxa real anual de juros. P = $ 24.600 S = $ 53.503,98 n = 11 meses θ = 4,35% a.m. r = ? (a.a.) Solução: S = P (1 + i)n 53.503,98 = 24.600 (1 + i)11 2,7150 = (1 + i)11 i = (2,7150)1/11 − 1 i = 7,32% a.m. (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,0732) = (1 + r) (1 + 0,0435) 1,0732 − 1 = r 1,0435 r = 2,85% a.m. (1 + rm)12 = (1 + ra) (1 + 0,0285)12 = (1 + ra) ra = 40,03% a.a. Resposta: 40,03% a.a. Ex. 10: Uma máquina que à vista custa $ 31.000 está sendo vendida a prazo com uma entrada de 15% do valor do preço à vista e mais doze prestações mensais. Se a taxa de inflação prevista para o período for de 2,35% a.m, e se o vendedor deseja ter uma rentabilidade real de 5% a.m, qual deve ser o valor destas prestações? Preço à Vista = $ 31.000 Entrada = (0,15) (Preço à Vista) Finan. = (1,0 − 0,15) (31.000) = (0,85) ($ 31.000) = $ 26.350 n = 12 θ = 2,35% a.m. r = 5% a.m. R = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,0235) (1+ 0,05) i = 7,47% a.m. Finan. = A = R an i 26.350 = R a12 7,47% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 11 26.350 = R (7,74749) R = $ 3.401,10 Resposta: $ 3.401,10 Ex. 11: Uma jovem comprou um barco por $ 37.800 e vendeu-o após um ano e quatro meses por $ 62.424,34. De quanto deve ser a inflação mensal para que ele ganhe 15,47% a.a.como juros reais? P = $ 37.800 S = $ 62.424,34 n = (16/12) anos r = 15,47% a.a. θ = ? (a.m.) Solução: S = P (1 + i)n 62.424,34 = 37.800 (1 + i)16/12 (62.424,34/37.800)12/16 = 1 + i i = 45,68% a.a. (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,4568) = (1 + 0,1547) (1 + θ) θ = 26,16% a.a. (1 + θm)12 = (1 + θa) (1 + θm)12 = (1 + 0,2616) θm = (1,2616)1/12 − 1 θ = 1,96 % a.m. Resposta: 1,96 % Ex.12: Depositou-se mensalmente em um plano de capitalização $ 500 durante um ano e meio. Se o valor recebido no final da aplicação foi $ 34.197,03; qual foi a taxa real do plano se a taxa de inflação do período foi de 60,10% a.a.? R = $ 500/mês n = 18 S = $ 34.197,03 θ = 60,10% a.a. r = ? Solução: ∑ Dep = Saldo = R sn i 34.197,03 = 500 s18i i = 14% a.m. P (1 + θm)12 = P (1 +θa) (1 + θm)12 = (1 + 0,6010) UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 12 θm = (1,6010)1/12 θm = 4% a.m. (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,14) = (1 + r) (1 + 0,04) r = 9,62% a.m. Resposta: 9,62% a.m. Ex. 13: Uma máquina está a venda por quatro parcelas mensais seqüenciais de $ 470; $ 690; 850 e $ 1.100 e que a primeira será um mês após a compra. Qual deve ser o preço à vista se a taxa real de juros for de 3,5% a.m, e que a inflação prevista mensal é de 4,5% para os dois primeiros meses; 3,7% para o terceiro mês; 5% para o quarto mês; e 6,5% para o quinto mês? Parcela 1 = $ 470 (2º mês) Parcela 2 = $ 690 (3º mês) Parcela 3 = $ 850 (4º mês) Parcela 4 = $ 1.100 (5º mês) 1º. Mês 2º. Mês 3º. Mês 4º. Mês 5º. Mês r 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% 3,5% θ 4,5% 4,5% 3,7% 5,0% 6,5% Preço à vista = X = ? Solução: (1 +i) = (1 +r) (1 +θ) 1o. mês: (1 + i1) = (1 +r) (1 + θ1) 1o. mês: (1 + i1) = (1 + 0,035) (1 + 0,045) 1o. mês: i1 = 8,16% 2o. mês: (1 + i2) = (1 + i1) (1 +r) (1 + θ2) 2o. mês: (1 + i2) = (1 + 0,0816) (1 + 0,035) (1 + 0,045) 2o. mês (acumulada) ibim = 16,98% 3o. mês: (1 + i3) = (1 + i2) (1 +r) (1 + θ3) 3o. mês: (1 + i3) = (1 + 0,1698) (1 + 0,035) (1 + 0,037) 3o. mês (acumulada): itrim = 25,55% 4o. mês: (1 + i4) = (1 + i3) (1 +r) (1 + θ4) 4o. mês: (1 + i4) = (1 + 0,2555) (1 + 0,035) (1 + 0,05) 4o. mês (acumulada): iquad = 36,44% UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 13 5o. mês: (1 + i5) = (1 + i4) (1 +r) (1 + θ5) 5o. mês: (1 + i5) = (1 + 0,3644) (1 + 0,035) (1 + 0,065) 5o. mês (acumulada): i5 = 50,40% Equação de Equivalência na Data Focal: Zero X = 470 (0,1698)-1 + 690 (1,2555)-1 + 850 (1,3644)-1 + 1.100 (1,5040)-1 X = $ 2.305 Resposta: $ 2.305 Ex. 14: Uma empresa fez um empréstimo no valor de $ 400.000 pelo sistema de amortização SAC; para ser pago em quatro prestações mensais iguais com juros de 3,0% a.m, e atualização monetária mensal de acordo com a inflação, cujas taxas foram nesses meses respectivamente 6,0%; 8,5%; 11,5% e 13%. Elabore a planilha de amortização do empréstimo. A = $ 400.000 n = 4 i = 3% a.m. θ1 = 6% θ2 = 8,5% θ3 = 11,5% θ4 = 13% Solução: Am = A / n Am = (400.000) (1/4) = 100.000 Amortizações atualizadas: Amk = 1 = 100.000 (1 + θ1) Amk = 1 = 100.000 (1 + 0,06) = 106.000 Amk = 2 = Amk = 1 (1 + θ2) Amk = 2 = Amk = 1 (1 + 0,085) = 115.010 Amk = 3 = Amk = 2 (1 + θ3) Amk = 3 = Amk = 2 (1 + 0,115) = 128.236,15 Amk = 4 = Amk = 3 (1 + θ4) Amk = 4 = Amk = 3 (1 + 0,13) = 144.906,85 SDatk = SDk (1 + θk + 1) SDatk = 0 = SDk = 0 (1 + θ0 + 1) SDatk = 0 = SDk = 0 (1 + θ1) SDatk = 0 = 400.00 (1 + 0,06) = 424.000 Jk = (i) SDatk - 1 Jk = 1 = (i) SDatk = 0 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 14 Jk = 1 = (0,03) (424.000) = 12.720 Rk = Amk − Jk Rk = 1 = Amk = 1 − Jk = 1 Rk = 1 = 106.000 − 12.720 = 93.280 SDk = SDatk - 1 − Ak SDk = 1 = SDatk = 0 − Ak = 1 SDk = 1 = 424.000 − 106.000 = 31.800 SDatk = 1 = SDk = 1 (1 + θ2) SDatk = 1 = 318.000 (1 + 0,085) = 345.030 Jk = 2 = (i) SDatk = 1 Jk = 2 = (0,03) (345.030) = 10.350,90 Rk = 2 = Amk = 2 − Jk = 2 Rk = 2 = 115.010 − 10.350,90 = 104.659,10 SDk = 2 = SDatk = 1 − Ak = 2 SDk = 1 = 345.030 − 115.010 = 230.020 SDatk = 2 = SDk = 2 (1 + θ3) SDatk = 2 = 230.020 (1 + 0,115) = 256.472,30 Plano de Amortização (SAC) Mês (k) Amortização atual. (Amk) Juros (3%) (Jk) Prestação atual. (Rk) Saldo Dev. (SDk) Saldo Dev. atual. (SDatk) 0 − − − 400.000 424.000 1 106.000 12.720 93.280 318.000 345.030 2 115.010 10.350 104.659,10 230.020 256.472,30 3 128.236,15 7.694,17 120.541,98 128.236,15 144.906,85 4 144.906,85 4.347,21 140.559,64 − − Ex. 15: Elaborar a planilha de amortização do exemplo anterior, mas pelo Sistema Francês de Amortização. A = $ 400.000 n = 4 i = 3% a.m. θ1 = 6% θ2 = 8,5% θ3 = 11,5% θ4 = 13% Solução: A = R an i UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 15 400.000 = R a4 3% 400.000 = R (3,71710) R = $ 107.610,82/mês Prestações atualizadas: Rk = 1 = R (1 + θ1) Rk = 1 = 107.610,47 (1 + 0,06) = 114.067,47 Rk = 2 = Rk = 1 (1 + θ2) Rk = 2 = 114.067,47 (1 + 0,085) = 123.763,20 Rk = 3 = R (1 + θ3) Rk = 3 = 123.763,20 (1 + 0,115) = 137.995,97 Rk = 4 = Rk = 4 (1 + θ4) Rk = 4 = 137.995,97 (1 + 0,13) = 155.935,45 SDatk = SDk (1 + θk + 1) SDatk = 0 = SDk = 0 (1 + θ0 + 1) SDatk = 0 = SDk = 0 (1 + θ1) SDatk = 0 = 400.00 (1 + 0,06) = 424.000 Jk = (i) SDatk - 1 Jk = 1 = (i) SDatk = 0 Jk = 1 = (0,03) (424.000) = 12.720 Amk = Rk − Jk Amk = 1 = Rk = 1 − Jk = 1 Amk = 1 = 114.067,47 − 12.720 = 101.347,47 SDk = SDatk - 1 − Ak SDk = 1 = SDatk = 0 − Ak = 1 SDk = 1 = 424.000 − 101.347,47 = 322.652,63 SDatk = 1 = SDk = 1 (1 + θ2) SDatk = 1 = 322.652,63 (1 + 0,085) = 350.078 Jk = 2 = (i) SDatk = 1 Jk = 2 = (0,03) (350.078,00) = 10.502,34 Amk = 2 = Rk = 2 − Jk = 2 Amk = 2 = 123.763,20 − 10.502,34 = 113.260,86 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 16 SDk = 2 = SDatk = 1 − Ak = 2 SDk = 2 = 350.078 − 113.260,86 = 236.817,14 SDatk = 2 = SDk = 2 (1 + θ3) SDatk = 2 = 236.817,14 (1 + 0,115) = 264.051,11 Plano de Amortização (SF): Mes (k) Amortização atual. (Amk) Juros (3%) (Jk) Prestação atual. (Rk) Saldo Dev. (SDk) Saldo Dev. atual. (SDatk) 0 − − − 400.000 424.000 1 101.347,47 12.720 114.067,47 322.652,53 350.078 2 113.260,86 10.502,34 123.763,20 236.817,14 264.051,11 3 130.074,44 7.921,53 137.995,97 133.976,67 151.393,64 4 151.393,64 4.541,81 155.935,46 − − UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 17 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.15.FORMULÁRIO S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 1 + i n Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 1 − i n S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) i i A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) i i A = R A = R (1 + i) i i Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 In−1 I0 Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) O uso do formulário abaixo é útil: (1) Para resolver os exercícios propostos, (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será anexado as mesmas e (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 18 Lembrete: 1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal seria usar a memória da calculadora. 1) Uma duplicata foi adquirida em dezembro de 19X5 por $ 5.400 para ser resgatada pela quantia de $ 7.900 em dezembro de 19X6. Pede-se a taxa de juros real, admitindo-se como taxa de inflação o índice: Data Índice Dezembro 19X6 120 Dezembro 19X7 138 2) Calcular a taxa nominal de um empréstimo que quer ganhar 17% a.s. de juros reais, sabendo que a inflação será de 35% a.s. 3) Se em um banco a taxa efetiva de uma renda fixa foi de 40% ao período, qual foi a taxa real, se neste mesmo período, a taxa de inflação foi 23%. 4) Investiu-se a quantia de $ 21.700 durante três anos e meio a taxa real de 8,5% a.s. Se a inflação fosse 13% a.s, quanto seria o montante? 5) Calcular a taxa de inflação ao trimestre que deve ocorrer para que um aplicador ganhe 32% a.q. de juros reais, caso a taxa efetiva seja 55% a.q.? 6) Para um principal de $ 26.800 aplicado por dois anos, um investidor recebeu de juros $ 32.500. Qual foi a taxa de juros real, se a inflação foi de 3,5% a.b.? 7) Um sítio à vista custa $ 545.000 e a prazo tem que dar uma entrada no valor de $ 87.000 e mais prestações mensais durante quatro anos. Se a taxa de inflação prevista para o período for de 4,5% a.m, e se o vendedor deseja ter uma rentabilidade real de 3% a.m, qual deve ser o valor destas prestações? 8) João comprou uma moto por $ 42.000 e vendeu-o após dois anos por $ 151.000. De quanto deve ser a inflação mensal para que ele ganhe 0,8% a.m. de juros reais? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 19 SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.15. 1) Solução: S = $ 7.900` P = $ 5.400 n = 1 ano r = ? Cálculo da Taxa de Inflação: Cn = . In . − 1 In−1 CX2 = 138 − 1 120 CX2 = 15% θ = 15% Cálculo da Taxa Nominal: S = P (1 + i)n 7.900 = 5.400 (1 + i)1 i = 7.900 − 1 5.400 i = 46,30% a.a. Cálculo da Taxa Real de Juros: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,4630) = (1 + r) (1 + 0,15) r = 27,22% a.a. Resposta: 27,22% a.a. 2) r = 17% a.s. θ = 35% a.s. i = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,17) (1 + 0,35) i = 57,95% a.s. Resposta: 57,95% a.s. 3) i = 40% θ = 23% r = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,40) = (1 + r) (1 + 0,23) r = 13,82% ao período Resposta: 13,82% 4) P = $ 21.700 n = (3,5) (2) = 7 sem. r = 8,5% a.s. θ = 13% a.s. S = ? UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 20 Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,085) (1 + 0,13) (1 + i) = 1,2261 S = P (1 + i)n S = 21.700 (1,2261)7 S = $ 90.394,29 Resposta: $ 90.394,29 5) r = 32% a.q. i = 55% a.q. θ = ? (a.t.) Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,55) = (1 + 0,32) (1 + θ) θ = 17,42% a.q. P (1 + θt)4 = P (1 + θq)3 (1 + θt)4 = (1 + 1742)3 θt = (1,1742)3/4− 1 θt = 12,80% Resposta: 12,80% 6) P = $ 26.800 J = $ 32.500 n = (2) (6) = 12 bim. θ = 3,5% a.b. r = ? Solução: J = P [(1 + i)n − 1] 32.500 = 26.800 [(1 + i)12 − 1] 32.500 + 1 = (1 + i)12 26.800 i = (2,2127)1/12 − 1 i = 0,0684 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + 0,0684) = (1 + r) (1 + 0,035) r = 3,23% a.s. Resposta: 3,23% a.s. 7) Preço à Vista = $ 545.000 Entrada = $ 87.000 R = ? n = (4) (12) = 48 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 21 θ = 4,5% a.m. r = 3% a.m. Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1 + 0,03) (1+ 0,045) i = 7,64% a.m. Preço à Prazo = Entrada + Prestações Data Focal = Zero 87.000 + R a48 7,64% = 545.000 87.000 + R [1 − (1,0764)−48] = 545.000 0,0764 R = $ 36.043,38 Resposta: $ 36.043,38 8) P = $ 42.000 S = $ 151.000 n = (2) (12) = 24 meses r = 0,8% a.m. θ = ? (a.m.) Solução: S = P (1 + i)n 151.000 = 42.000 (1 + i)24 151.000 = (1 + i)24 42.000 (151.000/42.000)1/24 = (1 + i) 1 + i = 1,0548 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1,0548) = (1,008) (1 + θ) θ = 0,0464 = 4,64% Resposta: 4,64% ALGUMAS QUESTÕES DE AVALIAÇÕES ANTERIORES 1) Um investidor aplicou a quantia de $ 4.700 durante quinze meses a taxa real de 5% a.m. Se a inflação fosse 9% a.m, quanto receberia o investidor? (AP3/2014/II) P = $ 4.700 n = 15 meses r = 5% a.m. θ = 9% a.m. S = ? Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1,05) (1,09) (1 + i) = 1,1445 UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 15: INLAÇÃO MARCIA REBELLO DA SILVA 22 S = P (1 + i)n S = 4.700 (1,1445)15 S = $ 35.590,56 Resposta: 35.590,56 2) Calcular a taxa nominal ao semestre se quer ganhar 30% a.s. de juros reais, sabendo que a inflação será de 21% a.s. (UA 15) r = 30% a.s. θ = 21% a.s. i = ? (a.s.) Solução: (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) (1 + i) = (1,30) (1,21) i = (1,30) (1,21) − 1 i = 0,5730 = 57,30% . Resposta: 0,5730 ou 57,30% REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: UA 1 à UA 15 1- Ayres, F. JR. Matemática Financeira. McGraw-Hill do Brasil: S.P, 1971. 2- Araújo, C. R. V. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P. 1993. 3- Faro, C de. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P, 1982. 4- Francisco, W. de. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P., 1988. 5- Mathias, W. F. e Gomes, J.M. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P, 1993. 6 - Puccini, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. Ed. Saraiva: S.P, 1981. 7- Sobrinho, J.D.V. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P, 1986. 8- Veras, L.L. Matemática Financeira. Ed. Atlas: S.P, 1989. 9- Zima, P. e Brown, R.L. Fundamentos deMatemática Financeira. McGraw-Hill do Brasil: S.P, 1985.
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