Medidas Inacessíveis e a Trigonometria (Relatório prático)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MATO GROSSO – UFMT
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA - ICET
MEDIDAS INACESSÍVEIS E A TRIGONOMETRIA
Barra do Garças - MT
2014
Heitor Eduardo Menezes de Souza
Izabelle Sabatine da Silva Izaias
Leonardo Alves da Costa
Luiz Ramiro Nunes das Neves
Mateus Salvador de Oliveira
Vinícius Santana Crispe
MEDIDAS INACESSÍVEIS E A TRIGONOMETRIA
Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Fundamentos de Matemática ministrada pelo professor Doutor Marco Donisete de Campos.
Barra do Garças - MT
2014
introdução
A trigonometria (do grego “tri” = três, “gono” = ângulo e “metria” = medida) é o ramo da matemática responsável pela relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. Ela é bastante utilizada na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores ou a largura de rios e lagos.
objetivos
Este trabalho tem como objetivo determinar a altura de uma torre instalada próxima ao planetário da UFMT (Campus Universitário do Araguaia II), figura 1, de três formas, ambas através das relações trigonométricas, sem o uso de aparelhos especializados.
Figura 1 - Torre a ser medida.
materiais e métodos
1º Método: Pela sombra de um objeto de altura conhecida
Para o desenvolvimento deste método, foram necessárias apenas duas trenas e uma estaca (nosso objeto de altura conhecida), além da incidência de raios solares, ou seja, fez-se necessário que o método fosse realizado em horário e clima favoráveis, no caso, às 12h50min do dia 15 de agosto de 2014.
Figura 2 - Ilustração do 1º método: Pela sombra de um objeto de altura conhecida. 
Paralela a torre foi colocada a estaca, sob um ângulo de 90°, como mostra a figura 2, e, simultaneamente, foram medidas suas sombras. A altura da estaca, já conhecida, é de 0,467m e o comprimento de sua sombra, calculado, foi de 0,245m. O comprimento da sombra da torre encontrado foi de 11,8m. Com bases nestes dados e no princípio de semelhança de triângulos, estabeleceu-se a seguinte relação: 
 , sendo “h” a altura da torre.
 , aproximadamente.
2º Método: Pela tangente do ângulo oposto à altura da torre
Com um esquadro de 60º em mãos, na altura dos olhos e no mesmo plano horizontal da torre, distanciou-se o bastante da mesma para que formasse um triângulo semelhante ao esquadro, conforme a figura 3. 
Figura 3 - Ilustração do 2º método: Pela tangente do ângulo oposto à altura da torre.
Desta forma, mediu-se a distância entre observador e a base da torre e a altura do chão aos olhos do observador. Os valores encontrados foram 11,52m e 1,747m, respectivamente. Com base neles e na tangente de 60º graus já conhecida, a seguinte relação pode ser estabelecida.
Deve-se então, considerar a altura dos olhos do observador. Sendo assim, temos que a altura da torre é:
, aproximadamente
3º Método: Pela simetria de triângulos observada através da água
Por meio de um recipiente com água, colocado a certa distância da torre, observou-se no centro do mesmo o topo da torre, formando assim dois triângulos imaginários e simétricos, conforme a figura 4. 
Figura 4 - Ilustração do 3º método: Pela simetria de triângulos observada através da água.
A partir disso, com o auxílio da trena, mediu-se a distância do ponto de simetria (o centro do recipiente) à base da torre e aos pés do observador. Mediu-se também a distância dos olhos do mesmo ao chão. As medidas encontras foram: a) do ponto de simetria à base da torre: 10,51m; b) do ponto de simetria aos pés do observador: 0,675m; c) do chão aos olhos do observador: 1,46m.
Pode-se, então, fazer a seguinte relação:
, aproximadamente
Resultados e discussão
Os resultados encontrados da altura da torre através dos métodos 1, 2 e 3 foram, respectivamente, 22,492m, 21,700m, 22,733m. Podemos definir a altura da torre como sendo a média entre esses valores, ou seja, 22,308m (valor aproximado). Analisando estatisticamente os dados, foi determinada uma margem de erro de 0,255m.
A variação encontrada entre os valores calculados é resultante principalmente do desnível que possui o terreno.
conslusão
Por meio deste trabalho conclui-se que é possível determinar distâncias inacessíveis através de relações trigonométricas e materiais simples e mesmo que o resultado não seja exato, pode-se obter uma precisão razoável. 
Referências
SOUSA, Gabriela Lima de Andrade. Trigonometria. Disponível em: <http://pt.slideshare.net/Ldsdsh/trigonometria-2202217>. Acesso em 15 de agosto de 2014. 
TROTA, F. et al. Matemática Aplicada, vol.1. São Paulo: Moderna, 1980.