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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx Departamento de Matema´tica Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear DETERMINANTES - Lista de Exerc´ıcios 1. Uma matriz A (3× 3) tem a propriedade que [A2]ij = iδij , onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j. (a) Escreva A2. (b) Calcule det ( A6 2 √ 10 ) . 2. A matriz B foi obtida a partir da matriz A (4× 4) atrave´s das seguintes operac¸o˜es elementares: - Multiplicac¸a˜o da linha L1 por 2. - Troca da linha L2 pela linha L3. - Substituic¸a˜o da linha L4 por L4 + 2L1. (a) Sabendo que detA = 1, calcule detB. (b) Se C = 3 10 13 pi 0 −1 0.1 −5 0 0 √ 2 −1 0 0 0 −1 , calcule det(BC−1BT ). 3. Mostre que a matriz A = 0 1 0−3 5 −1 3a− 4 0 a+ 1 e´ na˜o singular, independentemente de a. 4. Dada A = −3 0 a2 − 1 0 0 2 0 0 5 3 −1 2 a+ 2 −1 0 0 (a) Determine todos os valores de a ∈ R para que detA = 0. (b) Escolha um destes valores de a e, para este valor escolhido, deˆ exemplos de matrizes colunas B1 e B2 (4× 1) tais que AX = B1 tenha soluc¸a˜o e AX = B2 na˜o tenha.
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