Osmar Domingues - EST - PROBABILIDADES-2010
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Osmar Domingues - EST - PROBABILIDADES-2010


DisciplinaIntrodução à Probabilidade e A Estatística II218 materiais1.684 seguidores
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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC 
UFABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. DR. OSMAR DOMINGUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Osmar Domingues 
1 
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 2 
CONCEITOS BÁSICOS .............................................................................................................. 5 
1. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA ........................................................................................... 5 
2. ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO (S) ..................................................................... 5 
3. EVENTOS (Ei) .................................................................................................................... 5 
4. TIPOS DE EVENTOS......................................................................................................... 6 
5. ASSOCIAÇÕES DE EVENTOS ........................................................................................ 6 
DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADES ........................................................................................ 8 
1. DEFINIÇÃO FREQÜENCIAL OU \u201cA POSTERIORI\u201d..................................................... 8 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA OU A \u201cPRIORI\u201d ....................................................................... 8 
3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES ................................................... 9 
ANÁLISE COMBINATÓRIA ...................................................................................................... 13 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA ........................................................................................ 17 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ......................................................................... 17 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 18 
PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS \u2013 Média e Variância ........................................... 20 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ....................................................................... 21 
Modelo da Distribuição Binomial ......................................................................................... 21 
Modelo da Distribuição Hipergeométrica ............................................................................. 24 
Modelo da Distribuição Polinomial ....................................................................................... 25 
Modelo da Distribuição de Poisson ....................................................................................... 25 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA........................................................................................ 28 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL CONTÍNUA ....................................... 29 
Distribuição Normal ou Gaussiana ........................................................................................ 29 
Modelo da Distribuição Exponencial .................................................................................... 38 
EXERCÍCIOS GERAIS .............................................................................................................. 42 
 
 
Prof. Dr. Osmar Domingues 
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PROBABILIDADES 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Teoria das Probabilidades surgiu da tentativa de aplicar conceitos matemáticos para 
explicar as diferentes possibilidades dos jogos de azar. O primeiro trabalho nesse 
sentido é atribuído à Pascal (1623-1662), que juntamente com Fermat (1601-1665) 
desenvolveram a solução correta do problema da divisão das apostas. Há, entretanto, 
alguma controvérsia sobre a paternidade da Teoria das Probabilidades, já que na Itália, 
Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileu (1564-1642) 
e outros desenvolveram trabalhos nesses sentido. Cardano, por exemplo, em seu livro 
\u201cLiber de Ludo Aleae\u201d, chegou muito próximo de obter as probabilidades de alguns 
acontecimentos (Murteira, 1979, p. 3). 
 
Depois de Pascal ter previsto que a aliança entre o rigor geométrico e a incerteza do 
azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1695) entusiasmado pelo 
desejo de dar regras a coisas que parecem escapar à razão humana, publicou \u201cDe 
Ratiociniis in Ludo Aleae", que é considerado o primeiro livro sobre o cálculo das 
probabilidades e que tem a particularidade de introduzir o conceito de esperança 
matemática (Murteira 1979 p. 3-4). 
 
O fato é que a aplicação dos conceitos da Teoria das Probabilidades juntamente com 
os conceitos da estatística para solucionar problemas de natureza econômica e social 
trouxe um grande alargamento dos conhecimentos da estatística, para que ela tivesse o 
status atual. Entre as contribuições podem ser citadas (Murteira,1979, p. 4-6): 
 
 Leibniz (1646-1716), publicou duas obras sobre a \u201carte combinatória\u201d e outra 
sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. 
 Jacques Bernoulli (1654-1705), seguindo conselhos de Leibniz, se dedicou ao 
aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. Sua obra \u201cArs Conjectandi\u201d, 
publicada 8 anos após sua morte, traz o primeiro teorema limite da teoria das 
probabilidades. Foi graças aos seus estudos que o cálculo de probabilidade 
adquiriu status de ciência. 
 O início do século XVII foi marcado pelos livros de Pierre-Rémond de Montmort 
(1678-1719), denominado \u201cEssai d´Analyse sur lex Jeux de Hazard\u201d, e de 
Abraham de Moivre (1667-1754), \u201cThe Doctrine of Chances\u201d. Este último escrito 
por um francês que viveu na Inglaterra desde a sua infância, apresenta uma 
idéia da teoria das probabilidades tal como se encontrava desenvolvida e fez 
aplicações ao cálculo de anuidades e estabeleceu uma equação para a lei de 
mortalidade entre 22 anos e o limite de longevidade que fixou em 86 anos. 
 Mais tarde, na \u201cMiscellanea Analytica\u201d, apresenta resultados que Laplace 
ampliou e que constituem o segundo teorema limite das probabilidades. 
 O Reverendo Thomas Bayes (1702-1761), a quem se deve o conceito de 
probabilidades inversas relacionadas com situações em que se caminha do 
particular para o geral ou da amostra para a população, nem sempre é lembrado. 
 
Prof. Dr. Osmar Domingues 
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Sua importância só foi reconhecida 200 anos mais tarde, tendo formado, dentro 
da Estatística, a corrente Bayesiana. 
 
Também foram fundamentais as contribuições dos astrônomos Laplace (1749-1827), 
Gauss (1777-1855) e Quetelet (1796-1874). A seguir são apresentadas as 
contribuições de outros estudiosos no assunto (Murteira,1979, p. 4-6): 
 
 Laplace tem em \u201cThéorie Analytique des Probabilités\u201d, publicado em 1812, é 
considerado ainda um dos mais importantes trabalhos sobre a matéria. 
 Gauss, professor de astronomia e diretor do Observatório de Gottingen, 
apresentou em 1809 a \u201cTheoria Combinationis Observatorium Erroribus Minimis 
Obnoxia\u201d, onde explanou uma teoria sobre a análise de observações aplicáveis a 
qualquer ramo da ciência, revelando assim a tendência para alargar o campo de 
aplicação do cálculo das probabilidades. 
 Quetelet dá início a aplicação da teoria das probabilidades aos fenômenos 
sociais. O seu livro \u201cSur I`home et le développement de ses facultés\u201d que foi 
publicado em 2ª edição com o título \u201cPhysique sociale\u201d ou \u201cEssai sur le 
développement des facultés de l`homme\u201d, com prefácio de Herschell (1792-
1871), introduziu também o conceito de homem médio e chamou a atenção dos 
estudiosos para a notável consciência dos fenômenos sociais, como por 
exemplo, a criminalidade que apresentava certas características em relação a 
diferentes países e classes sociais. 
 Cournot (1891-1877), foi o pioneiro do tratamento matemático dos fenômenos 
econômicos ao defender a importância do uso de teoria das probabilidades na 
análise estatística, na "Exposição de la théorie des chances et des probabilités". 
 Na última metade do século XIX , o russo Chebychev
Esmael
Esmael fez um comentário
a probabilidade ta ser muito dificil de compreender .
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