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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC UFABC PROBABILIDADES PROF. DR. OSMAR DOMINGUES Prof. Dr. Osmar Domingues 1 SUMÁRIO INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 2 CONCEITOS BÁSICOS .............................................................................................................. 5 1. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA ........................................................................................... 5 2. ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO (S) ..................................................................... 5 3. EVENTOS (Ei) .................................................................................................................... 5 4. TIPOS DE EVENTOS......................................................................................................... 6 5. ASSOCIAÇÕES DE EVENTOS ........................................................................................ 6 DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADES ........................................................................................ 8 1. DEFINIÇÃO FREQÜENCIAL OU “A POSTERIORI”..................................................... 8 2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA OU A “PRIORI” ....................................................................... 8 3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES ................................................... 9 ANÁLISE COMBINATÓRIA ...................................................................................................... 13 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA ........................................................................................ 17 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ......................................................................... 17 PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 18 PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância ........................................... 20 MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ....................................................................... 21 Modelo da Distribuição Binomial ......................................................................................... 21 Modelo da Distribuição Hipergeométrica ............................................................................. 24 Modelo da Distribuição Polinomial ....................................................................................... 25 Modelo da Distribuição de Poisson ....................................................................................... 25 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA........................................................................................ 28 MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL CONTÍNUA ....................................... 29 Distribuição Normal ou Gaussiana ........................................................................................ 29 Modelo da Distribuição Exponencial .................................................................................... 38 EXERCÍCIOS GERAIS .............................................................................................................. 42 Prof. Dr. Osmar Domingues 2 PROBABILIDADES INTRODUÇÃO A Teoria das Probabilidades surgiu da tentativa de aplicar conceitos matemáticos para explicar as diferentes possibilidades dos jogos de azar. O primeiro trabalho nesse sentido é atribuído à Pascal (1623-1662), que juntamente com Fermat (1601-1665) desenvolveram a solução correta do problema da divisão das apostas. Há, entretanto, alguma controvérsia sobre a paternidade da Teoria das Probabilidades, já que na Itália, Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileu (1564-1642) e outros desenvolveram trabalhos nesses sentido. Cardano, por exemplo, em seu livro “Liber de Ludo Aleae”, chegou muito próximo de obter as probabilidades de alguns acontecimentos (Murteira, 1979, p. 3). Depois de Pascal ter previsto que a aliança entre o rigor geométrico e a incerteza do azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1695) entusiasmado pelo desejo de dar regras a coisas que parecem escapar à razão humana, publicou “De Ratiociniis in Ludo Aleae", que é considerado o primeiro livro sobre o cálculo das probabilidades e que tem a particularidade de introduzir o conceito de esperança matemática (Murteira 1979 p. 3-4). O fato é que a aplicação dos conceitos da Teoria das Probabilidades juntamente com os conceitos da estatística para solucionar problemas de natureza econômica e social trouxe um grande alargamento dos conhecimentos da estatística, para que ela tivesse o status atual. Entre as contribuições podem ser citadas (Murteira,1979, p. 4-6): Leibniz (1646-1716), publicou duas obras sobre a “arte combinatória” e outra sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. Jacques Bernoulli (1654-1705), seguindo conselhos de Leibniz, se dedicou ao aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. Sua obra “Ars Conjectandi”, publicada 8 anos após sua morte, traz o primeiro teorema limite da teoria das probabilidades. Foi graças aos seus estudos que o cálculo de probabilidade adquiriu status de ciência. O início do século XVII foi marcado pelos livros de Pierre-Rémond de Montmort (1678-1719), denominado “Essai d´Analyse sur lex Jeux de Hazard”, e de Abraham de Moivre (1667-1754), “The Doctrine of Chances”. Este último escrito por um francês que viveu na Inglaterra desde a sua infância, apresenta uma idéia da teoria das probabilidades tal como se encontrava desenvolvida e fez aplicações ao cálculo de anuidades e estabeleceu uma equação para a lei de mortalidade entre 22 anos e o limite de longevidade que fixou em 86 anos. Mais tarde, na “Miscellanea Analytica”, apresenta resultados que Laplace ampliou e que constituem o segundo teorema limite das probabilidades. O Reverendo Thomas Bayes (1702-1761), a quem se deve o conceito de probabilidades inversas relacionadas com situações em que se caminha do particular para o geral ou da amostra para a população, nem sempre é lembrado. Prof. Dr. Osmar Domingues 3 Sua importância só foi reconhecida 200 anos mais tarde, tendo formado, dentro da Estatística, a corrente Bayesiana. Também foram fundamentais as contribuições dos astrônomos Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855) e Quetelet (1796-1874). A seguir são apresentadas as contribuições de outros estudiosos no assunto (Murteira,1979, p. 4-6): Laplace tem em “Théorie Analytique des Probabilités”, publicado em 1812, é considerado ainda um dos mais importantes trabalhos sobre a matéria. Gauss, professor de astronomia e diretor do Observatório de Gottingen, apresentou em 1809 a “Theoria Combinationis Observatorium Erroribus Minimis Obnoxia”, onde explanou uma teoria sobre a análise de observações aplicáveis a qualquer ramo da ciência, revelando assim a tendência para alargar o campo de aplicação do cálculo das probabilidades. Quetelet dá início a aplicação da teoria das probabilidades aos fenômenos sociais. O seu livro “Sur I`home et le développement de ses facultés” que foi publicado em 2ª edição com o título “Physique sociale” ou “Essai sur le développement des facultés de l`homme”, com prefácio de Herschell (1792- 1871), introduziu também o conceito de homem médio e chamou a atenção dos estudiosos para a notável consciência dos fenômenos sociais, como por exemplo, a criminalidade que apresentava certas características em relação a diferentes países e classes sociais. Cournot (1891-1877), foi o pioneiro do tratamento matemático dos fenômenos econômicos ao defender a importância do uso de teoria das probabilidades na análise estatística, na "Exposição de la théorie des chances et des probabilités". Na última metade do século XIX , o russo Chebychev(1821-1894), os alemães Helmert (1843-1917) e Lexis (1837-1914), o dinamarquês Thiele (1838-1910) e o inglês Edgeworth (1845-1926), obtiveram resultados que contribuíram para o desenvolvimento da Estatística. Tais contribuições foram muito valiosas, mas somente mais tarde foram plenamente compreendidas. Chebychev, por exemplo, foi o fundador da escola russa que teve grande contribuição no desenvolvimento da teoria das probabilidades, com destaque para Markov (1856-1922), Lyapunov (1857-1918) e muitos outros. K. Pearson (1857-1936), físico matemático, foi levado pelo entusiasmo que Darwin fomentara, dedicou-se ao estudo da evolução. Entre 1890 e 1900 desenvolveu a ciência que trata os dados da observação e publicou numerosos trabalhos na revista “Biometrika” que fundou em parceria com Weldon (1806- 1906) e Galton (1822-1911). A descoberta da análise da correlação é atribuída a Galton, embora Pearson também tenha se dedicado a esse tópico da Estatística. W.S.Gosset (1876-1937), em 1908, sob o pseudônimo de “Student”, publicou um artigo na revista “Biometrika” tratando da interpretação de pequenas amostras, começo de uma nova fase nos estudos estatísticos. Usava o pseudônimo de “Student” devido ao fato de trabalhar para uma empresa produtora de cerveja (a “Guiness”), que vendo futuro promissor naquele tipo de estudos, não desejava revelar aos concorrentes o emprego que fazia da Estatística. Prof. Dr. Osmar Domingues 4 Ronald A.Fisher (1892-1962) fez a mais importante das contribuições para a Estatística. Formado em astronomia pela Universidade de Cambridge, foi o fundador do célebre Laboratório de Estatística da Estação Agronômica de Rothamsted. Em 1922 publicou uma memória “On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics”, com o qual pretendeu estabelecer a estrutura da moderna Estatística Matemática. O seu livro “Statistical Methods for Research Workes”, publicado em 1925, permitiu que os investigadores se familiarizassem com as aplicações práticas dos métodos estatísticos e que se criasse uma mentalidade estatística entre a nova geração de cientistas. Suas investigações encontram-se dispersas em inúmeras revistas. As mais importantes foram reunidas em um volume denominado “Contributions to Mathematical Statistics”, elaborado por John Wiley & Sons, Inc., Nova York, em 1950. Abraham Wald (1902-1950) partiu do pressuposto que as observações são efetuadas para servir de base a ações futuras. Segundo Wald, a Estatística ocupa-se dos procedimentos para tomar decisões em situações caracterizadas pela incerteza, praticamente sempre presente na medida em que quem decide não pode estar certo de conhecer e controlar completamente as conseqüências ou resultados de sua ação. As conseqüências dessa incerteza podem ser minimizadas recolhendo-se dados ou fazendo observações que aumentem o volume de informações disponíveis e que orientem na escolha da melhor opção. Todas essas contribuições foram decisivas para que a Estatística atingisse o estágio atual e, graças à Teoria das Probabilidades o ramo denominado Estatística Indutiva ganhou um grande impulso e representa hoje uma das principais ferramentas para a tomada de decisões em condições de incerteza. Na atualidade, pode-se dizer que existem dois campos bem definidos do cálculo das probabilidades. O primeiro, denominado probabilidade objetiva, que deriva de situações onde o cálculo de probabilidade é baseado em fenômenos reais, ou seja, utilizando dados reais. O segundo, denominado probabilidade subjetiva, refere-se à chance da ocorrência de um fato atribuída por um indivíduo em particular, que por sua vez, pode ser diferente da probabilidade atribuída por um outro indivíduo particular para o mesmo fato. Esse campo é relativamente novo, e vem sendo usado para a construção de cenários para empresas e países. Nesta síntese sobre Probabilidades, será abordado especificamente o campo da probabilidade objetiva. Para tanto, serão necessários alguns conceitos fundamentais, que são decisivos para o entendimento e a compreensão do assunto. Prof. Dr. Osmar Domingues 5 CONCEITOS BÁSICOS 1. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA Trata-se de uma experiência ou experimento que pode satisfazer, simultaneamente, as seguintes condições: Poder ser repetida n vezes, nas mesmas condições; Ser possível conhecer previamente as chances de cada um dos seus prováveis resultados; Não ser possível interferir nos prováveis resultados. Exemplos: Sortear uma carta de um baralho (não marcado) Jogar um ou mais dados (não viciados) Jogar uma ou mais moedas (não viciadas) Sortear um aluno de uma classe para responder sobre um tema da aula 2. ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO (S) Refere-se ao conjunto de resultados possíveis de uma experiência aleatória, ou seja, representa a lista de todos os resultados que podem ocorrer quando uma experiência aleatória é realizada. Exemplo: Exp. Jogar um dado S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Exp. Jogar duas moedas S={C1C2; C1K2; K1C2; K1K2} Exp. Sortear alunos de uma classe, cujos números de chamada variam entre 1 e 70, sem reposição dos elementos sorteados S={1; 2; 3; ...; 70} Exp: Soma dos pontos obtidos quando dois dados não viciados são lançados: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 3. EVENTOS (Ei) Representam os possíveis resultados de uma experiência aleatória. Exemplo: Exp. Jogar uma moeda: S={C; K} E1 (sair C); E2 (sair K). = S Prof. Dr. Osmar Domingues 6 4. TIPOS DE EVENTOS São situações possíveis de acontecer quando uma experiência aleatória é realizada. Exemplo: Exp. Jogar um dado a) Evento Simples – aquele formado por um único resultado do espaço amostral: E1={1}; E2={2}; ...; E6{6} b) Evento Composto – aquele formado por dois ou mais resultados do espaço amostral E1={sair face par}; E2={sair face impar}; E3={sair face maior ou igual a 4},etc. c) Evento Certo – aquele que sempre ocorre quando uma experiência aleatória é realizada E1={sair face par ou face impar} d) Evento Impossível – aquele que nunca ocorre quando uma experiência aleatória é realizada. E1={sair face par e face impar} 5. ASSOCIAÇÕES DE EVENTOS Representam combinações possíveis dos eventos de uma experiência aleatória a) Evento Soma - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento Soma àquele que consiste na realização de um dos eventos: E1 E2 = UM OU OUTRO Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho E1={K} E2={Copas} E1 E2 = {sair K OU sair Copas} S E1 E2 b) Evento Produto - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento Produto àquele que consiste na realização simultânea dos dois eventos: E1 E2 = UM E OUTRO E1 E2 Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho. E1={K} E2={copas} E1 E2 = {sair K e Copas} = {sair K de copas} Evento Condicionado - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento Condicionado àquele que consiste na realização de um dos eventos, sob a condição do outro já ter ocorrido. O evento que já ocorreu, limita ou condiciona a possibilidade do outro evento vir a ocorrer. Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho. E1={K} E2={copas} E1/E2 = sair K sabendo que saiu carta de copas ou E2/E1 = sair copas, sabendo que saiu carta K Eventos Mutuamente Exclusivos - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento Mutuamente Exclusivos àquele que nunca podem ocorrer simultaneamente. São dois conjuntos disjuntos ou sem intersecção. Exemplo: Exp. Jogar um dado. S E1 E2 S E1 E2 Prof. Dr. Osmar Domingues 7 E1={sair face 1} E2={sair face 2} E1 e E2 = são dois conjuntos que não tem intersecção. Eventos Complementares ( iE )- Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama- se Eventos Complementares àqueles que ao ocorrer um deles,elimina a possibilidade do outro também ocorrer. Exemplo: Exp. Jogar um dado. E1={sair face 1} 1E ={sair face 2; 3; 4; 5; 6} São eventos mutuamente exclusivos, mas não são eventos complementares. E2={sair face 2} 2E ={sair face 1; 3; 4; 5; 6} E1 e 1E = são dois conjuntos que se complementam ou que juntos completam o espaço amostral da experiência. Todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas nem todos os eventos mutuamente exclusivos são eventos complementares. Eventos Independentes - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Eventos Independentes àqueles que ao ocorrer um deles, não altera a possibilidade do outro ocorrer. Exemplo: Exp. Jogos da Loteria Esportiva. E1={acertar o jogo 2} E2={acertar o jogo 12} E1 e E2 são eventos independentes, pois o fato de acertar o jogo 2 não altera em nada a chance de acertar o jogo 12 iE Ei Prof. Dr. Osmar Domingues 8 DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADES 1. DEFINIÇÃO FREQÜENCIAL OU “A POSTERIORI” Trata-se da probabilidade avaliada, ou seja, aquela em que se deve realizar a experiência para ter a probabilidade do evento desejado. Esta definição apresenta problemas de ordem matemática, já que é muito difícil definir o “n” ideal (no limite) e, também, de ordem prática, tendo em vista a necessidade da realização previa da experiência. Esta definição considera: n f lim)E(P ini Onde: “fi” = freqüência do evento; “n” o número de repetições da experiência e fi/n = freqüência relativa simples 2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA OU A “PRIORI” Considere uma experiência aleatória, descrita no espaço amostral (S), em que todos os eventos (Ei), têm a mesma chance de ocorrer (são equiprováveis). Define-se a probabilidade de um desses eventos como sendo o quociente entre o número de casos favoráveis a este evento e o número de casos possíveis. Sn )E(n )E(P ii Exemplo: Exp. Joga-se um dado não viciado. Qual a probabilidade de sair face maior que 4: Ei = {face maior que 4} = {5; 6} n(Ei) = 2 S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} n(S) = 6 3333,0 6 2 Sn )E(n )E(P ii = 33,33% Observação: A escola clássica também conhecida como escola objetivista sustenta que as regras de probabilidades são aplicáveis a eventos que podem ser repetidos por um número indefinido de vezes sob as mesmas condições, ou seja, que sempre são obtidos os mesmos resultados para uma certa experiência, independentemente de o cálculo ter Prof. Dr. Osmar Domingues 9 sido feito por esta ou por aquela pessoa. Esse conceito difere do pensamento da escola subjetivista, também já mencionado, que considera a probabilidade de um evento estar ocorrendo, ter ocorrido ou vir a ocorrer. Nesse caso as técnicas de avaliação da probabilidade são utilizadas para dimensionar as chances de fenômenos que fogem ao campo de ação da escola objetiva, como por exemplo, as chances do lançamento de um produto novo ser um sucesso, etc (Martins, 2001, p. 73-74). 3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES Dada uma experiência aleatória qualquer, descrita num espaço amostral S, chama-se probabilidade à função P que para cada evento Ei contido em S, associa um número real P(Ei) que satisfaz as seguintes regras: Regras ou Teoremas de Probabilidade 1. 1)E(P0 i 2. P(S) = 1 ou 100% 3. P(Ei)+P( iE ) =1 4. Se E1 está contido em E2 então P(E1) P(E2) 5. Regra da Adição: )EE(P)PE()E(P)EE(P 212121 regra geral Caso E1 e E2 sejam eventos mutuamente exclusivos, então P(E1.E2)=0, então: )PE()E(P)EE(P 2121 A regra geral pode ser generalizada para 3 ou mais eventos 6. Regra do Produto )E/E(P)E(P)EE(P 12121 regra geral )E/E(P)E(P)EE(P 21212 regra geral Caso E1 e E2 sejam eventos independentes, então P(E2/E1)=PE2), então: )E(P)E(P)EE(P 2121 Dessa regra geral também pode ser extraída a probabilidade condicionada: )E(P )EE(P )E/E(P 1 21 12 e vice-versa 7. Teorema de Bayes Prof. Dr. Osmar Domingues 10 P(Ei/A) = )E/A(P)E(P)E/A(P)E(P)E/A(P)E(P )E/A(P)E(P nn2211 ii = n 1i ii ii )E/A(P).E(P )E/A(P)E(P Exemplos da Regra da Adição. Na experiência de retirar uma carta de um baralho de 52 caretas não marcadas a) Qual a probabilidade de se retirar uma carta vermelha ou um rei. Solução: Num baralho se tem 52 cartas, sendo 13 de cada nipe: vermelhas = 13 cartas de ouros e 13 cartas de copas; pretas: 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. Em cada um desses nipes se tem um rei. P(A) = {sair um K} = 4/52 P(B) = {sair vermelha} = {13 copas + 13 ouros} = 26/52 Esses dois eventos não são mutuamente exclusivos, pois existe um rei de copas e um rei de ouros. P(A ou B) = P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A.B) = P(A+B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 0,5385 b) Qual a probabilidade de ser retirada uma carta de paus ou um rei de ouros Solução: P(A) = {sair carta de paus} = 13/52 P(B) = {sair rei de ouros} = 1/52 Nesse caso os eventos são mutuamente exclusivos P(A ou B) = P(A+B) = 13/52 + 1/52 = 14/52 = 0,2692 ou 26,92% Exemplos da Regra do Produto Duas Moedas são lançadas.Qual a probabilidade de sair coroa na primeira moeda e coroa na segunda moeda P{Ci} = ½ = 0,5 P{Ki} = ½ = 0,5 nesse caso os eventos são independentes P(K1e K2) = P(K1 · K2) = P(K1) · P(K2)= 0,5x0,5 = 0,25 Prof. Dr. Osmar Domingues 11 Numa uma têm-se 3 bolas brancas e 5 bolas pretas. Se duas bolas são retiradas dessa caixa, uma após a outra, ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de: a) Ambas serem pretas. Solução: P(Bi) = {sair bola branca na vez i} P(Pi) = {sair bola preta na vez i} – sorteio sem reposição. Isso significa que após retirar a primeira bola da caixa, a quantidade de bolas que lá permanece não é mais a mesma. Assim, os eventos não são independentes, pois a probabilidade da 2ª bola é alterada pelo fato da 1ª bola retirada não ser reposta. P(P1eP2) = P(P1 · P2) = P(P1) · P(P2/P1) = P(P1 · P2) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571 Se a primeira bola retirada for reposta, a segunda bola retirada não tem sua probabilidade alterada, permanecendo na condição de eventos independentes. b) Uma de cada cor Solução: P(Bi) = {sair bola branca na vez i) P(Pi) = {sair bola preta na vez i} P(B1eP2) ou P(P1eB2) = P(B1) · P(P2/B1) + P(P1) · P(B2/P1) = (3/8 · 5/7)+(5/8 · 3/7) = = 15/56 + 15/56 = 0,5357 Exemplo do Teorema de Bayes O Teorema de Bayes é utilizado para o cálculo de probabilidades posteriores, ou seja, para situações onde as probabilidades prévias para certos eventos de interesse são modificadas com a introdução de novas informações sobre os mesmos eventos. Para exemplificar essa situação, utilizaremos o seguinte exemplo: Uma montadora de automóveis recebe 68% de um tipo de pistão produzidos pelo fabricante 1 e 32% do fabricante 2. Sabe-se, com base em informações históricas, que os pistões procedentes do fabricante 1 apresentam 2% de defeitos e os do fabricante 2, Novas Informações Probabilidades Previas sobre eventos de interesse Aplicação do Teorema de Bayes Probabilidades Posteriores = resultantes Prof. Dr. Osmar Domingues 12 5%. Um dos carros fabricados pela montadora apresenta problemas (defeito) em um do seus pistões. Qual a probabilidade desse pistão defeituoso ter sido fabricado: a) pelo fabricante 1; b) pelo fabricante 2. Solução: Chamando de PROBABILIDADE PRÉVIA P(A1) a probabilidade do pistão proceder do fabricante 1 = P(A1) = 0,68 P(A2) a probabilidade do pistão proceder do fabricante 2 = P(A2) = 0,32 Chamando de PROBABILIDADES CONDICIONADAS P(D/A1) a probabilidade de um pistão defeituoso proceder do fabricante 1 = P(D/A1) = 0,02 P(P/A1) a probabilidadede um pistão perfeito proceder do fabricante 1 = P(P/A1) = 0,98 P(D/A2) a probabilidade de um pistão defeituoso proceder do fabricante 2 = P(D/A2) = 0,05 P(P/A2) a probabilidade de um pistão perfeito proceder do fabricante 2 = P(P/A2) = 0,95 Chamando de informação adicional o fato do pistão ser defeituoso (D), tem-se que: A probabilidade do pistão defeituoso ter vindo do fabricante 1 pode ser obtida pelo emprego do teorema de BAYES da seguinte forma: P(A1/D) = )A/D(P)A(P)A/D(P)A(P )A/D(P)A(P 2211 11 = 05,032,002,068,0 02,068,0 = 030,0 014,0 = 0,459 A probabilidade do pistão defeituoso ter vindo do fabricante 2 pode ser obtida pelo emprego do teorema de BAYES da seguinte forma: P(A2/D) = )A/D(P)A(P)A/D(P)A(P )A/D(P)A(P 2211 22 = 05,032,002,068,0 05,032,0 = 030,0 016,0 = 0,541 Note que a probabilidade inicial (previa) de 68% de uma peça ser procedente do fabricante 1 é diminuída com a introdução da informação de que a peça é defeituosa, a qual recua para 45,9% (probabilidade posterior), ocorrendo uma situação inversa para o fabricante 2. Essa forma pode ainda ser generalizada para 3 ou mais eventos. Prof. Dr. Osmar Domingues 13 ANÁLISE COMBINATÓRIA A Teoria da Contagem está intimamente ligada à Teoria das Probabilidades, pois em muitos casos, a identificação do total de elementos que satisfaz a condição de um evento ou do espaço amostral se resume a uma simples contagem. A regra geral da contagem considera que se um evento pode ocorrer de “x” maneiras, um outro evento pode ocorrer de “y” maneiras e um terceiro evento pode ocorrer de “z” maneiras, o número total de maneiras em que os três eventos podem ocorrer em conjunto é dado por x·y·z. Exemplo: Você pretende comprar um computador. Após pesquisar o mercado chegou ao seguinte: Fabricantes: 3 = A, B, C Processador: 2 = X, Y Capacidade (HD): 4 = P, Q, R, S Levando em consideração apenas essas variáveis, o número de maneiras para selecionar um fabricante, um processador e uma capacidade é dado por: 3·2·4 = 24 maneiras diferentes Essas 24 maneiras diferentes podem ser observadas na seguinte figura: A teoria de Contagem oferece os seguintes tipos de regras que podem ser utilizadas para facilitar o trabalho de cálculo: 1. Permutação Simples: Permite determinar o número de maneiras que n objetos podem ser dispostos em ordens diferentes e é dado por Pn = n! para x=n Onde: n! = (n-1)·(n-2)·(n-3)· ... ·3·2·1 Sendo que 0! = 1 Prof. Dr. Osmar Domingues 14 Exemplo: Um grupo é formado por 5 alunos enfileirados. De quantas maneiras diferentes eles podem ser dispostos em fila? Solução: O número de alunos é 5 e o problema pretende estabelecer de quantas maneiras esses 5 alunos podem ser dispostos, trocando-se suas posições na fila: 5! = 5x4x3x2x1 = 120 maneiras diferentes. 2. Arranjo: Permite se determinar quantos grupos diferentes de x elementos podem ser formados a partir de um grupo maior de n elementos distintos e é dado por An,x = !xn !n para x n Exemplo: O código de segurança de acesso a um software consiste em 4 dígitos, cada um entre 0 e 9. Quantos códigos de acesso são possíveis sem que os dígitos sejam repetidos n = 10 dígitos em cada posição (0 a 9) x = 4 dígitos em cada agrupamento A10,4 = !410 !10 = !6 !10 = 123456 12345678910 = 5.040 códigos diferentes sem que os dígitos sejam repetidos Exemplo: Considere os números 2, 3, 4, 5. Quantos grupos de 2 algarismos podem ser formados sem que haja repetição dos dígitos em cada grupo? A4,2 = )!24( !4 = 12 grupos Os grupos formados são: 2,3 3,2 4,2 5,2 2,4 3,4 4,3 5,3 2,5 3,5 4,5 5,4 Notar que em cada grupo não há repetição do algarismo, mas que dois grupos diferem entre si tanto pela ordem como pela natureza. Prof. Dr. Osmar Domingues 15 3. Combinação: Permite determinar quantos grupos de x elementos podem ser formados a partir de um conjunto de n elementos, eliminando-se os conjuntos que diferem entre si somente pela ordem dos elementos (3,4 = 4,3; 3,5 = 5,3; etc). É dado por: Cn,x = )!xn(!x !n para x n Exemplo: Dado um conjunto de 12 pessoas, quantos grupos podem ser formados com 4 pessoas em cada um delas? C12,4 = 24 11880 !81234 !89101112 !8!4 !12 )!412(!4 !12 495 grupos de 4 pessoas diferentes Exemplo: Considere os números 2, 3, 4, 5. Quantos grupos de 2 algarismos podem ser formados, desconsiderando-se aqueles em que haja apenas a inversão da ordem? C4,2 = )!24(!2 !4 = 6 grupos Os grupos formados são: 2,3 3,4 2,4 3,5 2,5 4,5 Notar que em cada grupo não há repetição do algarismo, e que dois grupos diferem entre si pela natureza. 4. Permutações Com Repetições: Trata-se de um tipo especial de situação, em que o grupo de n elementos apresenta repetições em seus elementos. Nesse caso a permutação, que considera todos os n elementos do grupo, é dada por: !x!x!x !n P k21 x,x,x n k21 para xi n Exemplo: Dado o conjunto de número 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6 de quantas maneiras diferentes essa seqüência pode ser escrita? 1!412312 !45678910 !1!4!3!2 !10 P 1,4,3,210 = 12 151200 = 12.600 maneiras diferentes Prof. Dr. Osmar Domingues 16 O uso dessas ferramentas da Teoria da Contagem, em especial as combinações e permutações com repetições, podem ser muito úteis para auxiliar o cálculo de probabilidades. Exemplos: Numa urna têm-se 5 bolas brancas e 3 vermelhas. Retirando-se 5 bolas dessa urna, sem reposição, qual a probabilidade de: a) Obtermos exatamente 3 bolas brancas? P(Bi) = sair bola branca na vez i P(Vi) = sair bola vermelha na vez i P(B1B2B3V4V5) - como a ordem ou posição dos elementos no conjunto pode ser alterada pode-se utilizar o conceito de combinações para se determinar todas as formas diferentes de se escrever esta seqüência: C5,3 = !312 !345 !3!2 !5 =10 posições ou formas diferentes de escrever 3 bolas brancas e 2 vermelhas. P(B1B2B3V4V5).C5,3 = (5/8.4/7.3/6.3/5.2/4).10 = 3600/6720 = 0,5357 b) Obtermos exatamente 3 bolas brancas com a condição da 1ª bola ser branca? P(Bi) = sair bola branca na vez i P(Vi) = sair bola vermelha na vez i P(B1B2B3V4V5) - com a condição da 1ª ser branca. As demais não precisam respeitar esta ordem, ou seja, podem mudar de posição. Todas as posições possíveis das demais bolas podem ser obtidas através da C4,2 = !2!2 !4 = 6, ou seja, seis formas diferentes de escrever 3 bolas brancas e 2 vermelhas com a condição da primeira sempre ser branca. P(B1B2B3V4V5).C4,2 = (5/8.4/7.3/6.3/5.2/4).6 = 2160/6720 = 0,3214 Prof. Dr. Osmar Domingues 17 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Dada uma experiência aleatória, descrita num espaço amostral S, é possível identificar k eventos mutuamente exclusivos (Ei). Esses eventos podem ter características numéricas ou não. A cada um desses eventos é possível associar uma probabilidade, tal que a soma dessas probabilidades é igual à probabilidade do espaço amostral, ou seja, 1. Se número k de eventos possíveis for finito ou numerável, diz-se que a variável é aleatória discreta. Exemplo: Número de faces pares obtidas quando um dado é lançado 5 vezes. Número de faces caras obtidas quando três moedas são lançadas Número de alunos do sexo masculino obtido quando 4 alunos de uma classe são sorteados; etc. Quando a experiência não apresentar eventos com características numéricas, pode-se adotar uma convenção numérica para representá-los, tornando-os numéricos. Entretanto, qualquer que seja a convenção adotada, a probabilidade permanecerá atrelada ao evento original. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Trata-se da elaboração de uma tabela para sintetizar os resultados da experiência aleatória, a qual deverá ser composta por duas colunas: 1ª coluna: eventos ou valores distintos assumidospela variável 2ª coluna: probabilidades associadas a cada um desses eventos; Exemplo: elaborar a distribuição de probabilidades da experiência jogar um dado: Os eventos são as faces do dado = Xi 1, 2, 3, 4, 5, 6 As probabilidades de cada face, segundo a definição clássica, = P(Xi) = 1 em 6 ou 1/6 Eventos (faces do dado) 1 2 3 4 5 6 Soma Probabilidades 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Exemplo: elaborar a distribuição de probabilidades do número de caras resultantes quando jogamos duas moedas: O número de caras possíveis, ao jogar duas moedas é: nenhuma, uma ou duas caras. As probabilidades são: Prof. Dr. Osmar Domingues 18 Nenhuma cara = 0 cara = 2 coras = C1xC2 = 0,5x0,5 = 0,25 = Uma cara = 1 cara = 1 cara e 1 coroa = (C1xK2)xC2,1 = (0,5x0,5)x2 = 0,50 (usando Combinação) Duas Caras = 2 caras = C1xC2 = 0,5x0,5= 0,25 Eventos (número de caras) 0 1 2 Soma Probabilidades 0,25 0,50 0,25 1 Exemplo: Elaborar a distribuição da experiência: soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Foi visto anteriormente, que quando dois dados são lançados, o espaço amostral dessa experiência é dado por: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 A partir desse quadro, pode-se elaborar uma distribuição das probabilidades, através de uma tabela contendo duas colunas. A primeira, com os valores distintos assumidos pela variável e, a segunda, com as suas respectivas probabilidades. Notar que a soma 2 é obtida apenas 1 vez entre os 36 resultados. Assim sua probabilidade é 1/36 Soma 3, é obtida 2 vezes entre os 36 resultados. Sua probabilidade é 2/36 e assim sucessivamente até soma igual a 12. A distribuição de probabilidade obtida é: Soma dos Pontos Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Probabilidades. P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO Para essas distribuições também é possível calcular todo o conjunto de medidas descritivas já apresentados no programa de Estatística. Todavia, os parâmetros mais úteis nesses casos são: Média Aritmética – como medida de posição. Variância e Desvio-padrão – como medidas de dispersão. = S Prof. Dr. Osmar Domingues 19 Fórmulas: Média: )X(PX ii utiliza-se o símbolo da média populacional pois se está considerando todos os eventos possíveis da experiência. Variância: 2 i 2 i 2 )X(PX (método simplificado) Desvio-padrão: 2 Exemplo: Na experiência de jogar duas moedas, qual a média e o desvio padrão do número de caras obtidas? Eventos (número de caras) = Xi 0 1 2 Soma Probabilidades = P(Xi) 0,25 0,50 0,25 1 XiP(Xi) 0 0,50 0,50 1,00 Xi 2P(Xi) 0 0,50 1,00 1,50 Para calcular a média e o desvio padrão são necessários os cálculos constantes do quadro acima: Média = )X(PX ii = = 1 cara Variância = 2 i 2 i 2 )X(PX = 2 = 1,5 -12 = 0,5 cara2 Desvio Padrão = = 5,0 = = 0,7071 cara Exemplo: Na experiência da soma dos pontos do lançamento dos dois dados, calcular a média e o desvio padrão do número de pontos obtidos. A distribuição elaborada foi: Soma dos Pontos Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Probabilidades. P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 Fazendo-se os cálculos necessários, tem-se: Soma dos Pontos Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Probabilidades. P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 XiP(Xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 252/36 Xi 2 P(Xi) 4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 1974/36 Média = = 252/36 = 7 pontos. Prof. Dr. Osmar Domingues 20 Variância = 2 = (1974/36)-72 = 5,8333 pontos2. Desvio-Padrão = = 8333,5 = 2,4152 pontos. PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância 1. Somando-se ou subtraindo-se a cada valor de uma variável aleatória um valor de uma constante arbitrária (K), a média ficará somada ou subtraída do valor da constante. A variância não se altera. K)X()KX( ii e )X()KX( i 2 i 2 2. Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor de uma variável aleatória por um valor de uma constante arbitrária (K), a média fica multiplicada ou dividida pelo valor da constante. A variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado do valor da constante. )X(K)KX( ii K)X()KX( ii )X(K)KX( i 22 i 2 2 i 2 i 2 K)X()KX( 3. A média da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias corresponde à soma de suas médias individuais. A variância da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias independentes corresponde à soma de suas variâncias individuais. )Y()X()YX( iiii )Y()X()YX( i 2 i 2 ii 2 para Xi e Yi independentes Prof. Dr. Osmar Domingues 21 MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Algumas experiências apresentam certas características particulares que permitem a adaptação de modelos específicos para o cálculo de probabilidades. Os modelos aplicados às variáveis discretas existentes são: Modelo da Distribuição Binomial Modelo da Distribuição Hipergeométrica Modelo da Distribuição de Poisson Modelo da Distribuição Polinomial Modelo da Distribuição Binomial Aplicação Experiências aleatórias que podem ser repetidas n vezes (independentes), onde são possíveis apenas 2 resultados: sucesso e insucesso. As probabilidades do sucesso e do insucesso não se modificam durante as n repetições, o que torna as probabilidades constantes. Essa situação é típica de experiências realizadas com reposição. Considera-se uma experiência repetida n vezes onde o evento sucesso ocorrer x vezes com probabilidade p (constante) e o evento insucesso ocorre n-x vezes com probabilidade 1-p. Fórmula xnx x,n )p1(pC)x(P onde: Cnx = )!xn(!x !n = )!xn(!x !n P xn,xn Parâmetros Média: = n p Variância: 2 = n p (1-p) Desvio Padrão: 2 Exemplo: Numa loja de computadores para uso doméstico, pretende-se observar as decisões de compra dos cinco próximos clientes. O gerente do estabelecimento, com base na sua larga experiência anterior, estima que a probabilidade de qualquer um dos clientes realizar a compra é 20%. a) Qual a probabilidade de que 3 dos próximos 5 clientes realizem a compra? Solução: Em primeiro lugar, deve-se checar a possibilidade do uso do modelo Binomial. Para tanto é necessário constatar se existem apenas dois eventos: Eventos: Próximo cliente compra ou próximo cliente não compra 2 eventos Prof. Dr. Osmar Domingues 22 Probabilidades: de comprar = 20% de não comprar 80% supostamente constantes A possibilidade de compra de um cliente não altera a possibilidade do outro cliente também comprar situação de independência entre os eventos comprar ou não comprar. Assim é perfeitamente possível aplicar o modelo binomial para solucionar a questão. Informações necessárias: n = 5 clientes sucesso: cada cliente efetuar a compra p = 0,20 1-p = 0,80 x = 3 exatamente efetuarem a compra n-x = 2 Aplicando a formula, tem-se: 23 3,5 80,020,0C)3x(P = 0,0512 = 5,12% O quadro abaixo resume as possibilidades de compra dos clientes, bem como os respectivos cálculos das probabilidades de cada situação e o resultado geral, obtido com a aplicação simples da fórmula acima. Clientes Clientes 1º 2º 3º 4º 5º 1º 2º 3º 4º 5º TOTAL C C C N N 0,2 0,2 0,2 0,8 0,8 0,00512 C C N N C 0,2 0,2 0,8 0,8 0,2 0,00512 C N N C C 0,2 0,8 0,8 0,2 0,2 0,00512 N N C C C 0,8 0,8 0,2 0,2 0,2 0,00512 C C N C N 0,2 0,2 0,8 0,2 0,8 0,00512 C N C N C 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,00512 N C N C C 0,8 0,2 0,8 0,2 0,2 0,00512 C N C C N 0,2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,00512 N C C N C 0,8 0,2 0,2 0,8 0,2 0,00512 N C C C N 0,8 0,2 0,2 0,2 0,8 0,00512 TOTAL DAS POSSIBILIDADES 0,0512 Probabilidade 5,12% b) Qual a média e o desvio padrão do número declientes que deverão efetuar compras, considerando os próximos 5 clientes que entrarão na loja Lembrando que: Prof. Dr. Osmar Domingues 23 Média: = n p = 5x0,20 = 1 cliente Variância: 2 = n p (1-p) 2 =5x0,20x0,80 = 0,80 cliente2 Desvio Padrão: 2 80,0 = 0,8944 cliente c) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 dos próximos 5 clientes realizem a compra? Nesse caso, as condições gerais não sofrem alterações. Informações necessárias: n = 5 clientes sucesso: cada cliente efetuar a compra p = 0,20 1-p = 0,80 x = 4 ou 5 no mínimo 4 = pelo menos 4 em 5 n-x = 1 ou 0 Aplicando a formula, tem-se: 14 4,5 80,020,0C)4x(P = 0,00640 05 5,5 80,020,0C)5x(P = 0,00032 = total = 0,00672 = 0,672% d) Tomando-se 6 grupos de 5 clientes cada um, qual a probabilidade de que no máximo 2 grupos, tenham tido exatamente 3 clientes que efetuaram compras. Essa situação é ligeiramente diferente das anteriores, pois nesse caso a experiência consiste em trabalhar com grupos de 5 clientes e considerar a probabilidade de cada grupo apresentar um certo número de clientes que efetuarão as compras. Trata-se de uma situação de binominal que utiliza informação de um outro cálculo de binomial. n = 6 grupos de 5 clientes sucesso: cada grupo ter exatamente 3 clientes que irão efetuar a compra p = 0,0512 vide item a 1-p = 0,9488 x = 0 ou 1 ou 2 grupos n-x = 6 ou 5 ou 4 grupos Aplicando a formula, tem-se: 60 0,6 9488,00512,0C)0x(P = 0,7295 51 1,6 9488,00512,0C)1x(P = 0,2362 42 2,6 9488,00512,0C)2x(P = 0,0319 = total = 0,9976 = 99,76% Prof. Dr. Osmar Domingues 24 Modelo da Distribuição Hipergeométrica Aplicação Trata-se de modelo voltado a situações de cálculo de probabilidades em experiências com 2 eventos e que seja realizada sem reposição. Nestes caso considera-se: N = número total de elementos da população (espaço amostral) X = número de elementos com a característica “sucesso” na população; N-X = número de elementos com a característica “insucesso” na população; n = número de elementos da amostra selecionada x = número de elementos com a característica “sucesso” na amostra n-x = número de elementos com a característica “insucesso” na amostra Fórmula Parâmetros Sendo Exemplo: Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades. Antes que uma remessa seja enviada para o cliente, um inspetor escolhe 5 desses motores de cada um dos lotes e os inspeciona. Se nenhum motor apresentar defeito, o lote é aprovado. Caso contrário, o lote deverá sofrer inspeção total. Supondo que existam 3 motores defeituosos no lote, qual a probabilidade de que a inspeção total seja necessária. Solução: P(Inspeção total) = P(amostra apresentar 1 ou mais motores defeituosos) = 1-P(x=0) P(não sofrer inspeção total) = P(nenhum motor defeituoso na amostra) = P(x=0) N = 50; X = 3 N=X = 47 n = 5; x = 0 n-x =5 Prof. Dr. Osmar Domingues 25 Modelo da Distribuição Polinomial Aplicação Trata-se extensão de modelo binomial voltado a situações de cálculo de probabilidades em experiências com 3 eventos ou mais e que seja realizada com reposição. Fórmula Parâmetros Exemplo: Uma barra de comprimento especificado é fabricada e admitindo que o comprimento real X (em metros) seja uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo de [10,12]. Supondo que somente interesse saber se um dos três seguintes eventos tenha ocorrido: A1 = x<10,5 A2 = x> 11,8 A3 = 10,5 x 11,8 Fabricadas 10 dessas barras, qual a probabilidade de se obter exatamente 5 barras com a característica A1 e exatamente 3 barras com a característica A3. Solução: Modelo da Distribuição de Poisson Aplicação Trata-se de um tipo especial de distribuição aplicada a um caso particular limite da Distribuição Binomial, onde o n tende ao infinito e a probabilidade do sucesso tende a zero. Nesses casos, o evento sucesso acontece um número finito de vezes (variável discreta) num intervalo contínuo (t). É conhecida apenas a freqüência com a qual o evento sucesso ocorre ( ) que é constante e proporcional ao intervalo contínuo em foi calculada. Fórmula P(x) = e !x x onde t Formula de Recorrência P(x+1) = P(x) 1x Prof. Dr. Osmar Domingues 26 Exemplo: A cada ano ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15-24 anos (National Safety Council, Accident Facts, 1996). Pede-se: a) Qual a probabilidade de em uma semana não haver nenhuma morte acidental com arma de fogo? Nesse caso a freqüência da ocorrência do sucesso (morte acidental por arma de fogo) é = 450 por ano (365 dias) = = 1,232876712 ao dia. Se: t = 7 dias (uma semana) então = 1,232876712x7 = 8,63. x = 0, ou seja, nenhuma morte. Aplicando a fórmula: P(x=0) = 63,8 0 e !0 63,8 = 0,000178664=0,0179% b) Em um dia, qual a probabilidade de ocorrer no máximo 1 morte acidental por arma de fogo? Nesse caso a freqüência da ocorrência do sucesso (morte acidental por arma de fogo) é = 450 por ano (365 dias) = = 1,232876712 ao dia. Se: t = 1 dias então = 1,232876712 = 1,2329. x = no máximo 1 morte acidental = 0 ou 1. Aplicando a fórmula: P(x=0) = 2329,1 0 e !0 2329,1 = 0,2914 P(x=1) = 2329,1 1 e !1 2329,1 = 0,3593 = total = 0,6507 = 65,07% c) Em 2 dias, qual a probabilidade de ocorrer no mínimo 3 mortes acidentais por arma de fogo? Se: t = 2 dias então = 1,232876712x2 = 2,4658 x = no mínimo 3 mortes acidentais = 3, 4, 5, 6, ... = 1-[P(0)+P(1) + P(2)] solução por complemento Aplicando a fórmula: Prof. Dr. Osmar Domingues 27 P(x=0) = 4658,2 0 e !0 4658,2 = 0,0849 P(x=1) = 4658,2 1 e !1 4658,2 = 0,2094 P(x=2) = 4658,2 2 e !2 4658,2 = 0,2582 = total = 0,5525 = 1-0,5525 = 0,4475 = 44,75% Para situações onde o número de cálculos é grande, sugere-se a adoção da fórmula de recorrência, que permite calcular a probabilidade do 2º valor do x O primeiro cálculo deve ser feito sempre pela fórmula geral. P(x=0) = 4658,2 0 e !0 4658,2 = 0,0849 (no 1º cálculo utiliza-se a fórmula geral) P(x=1) = 1 4658,2 0849,0 = 0,2093 (a partir do 2º cálculo utiliza-se a fórmula de recorrência) P(x=2) = 2 4658,2 2093,0 = 0,2581 = total = 0,5523 = 1-0,5523 = 0,4477 = 44,77% (a diferença em relação a resultado obtido pela fórmula geral está associada à precisão dos cálculos). d) Em 2 dias, de um total de uma semana, não ocorra nenhuma morte fatal por arma de fogo por dia. Esse caso deixa de ser um cálculo de probabilidade pela distribuição de Poisson e passa a ser um caso típico de solução por distribuição binomial, pois agora a situação considera dias em que não há ocorrência de mortes fatais por arma de fogo e dias em que há mortes fatais por arma de fogo. n = 7 dias sucesso: cada dia ocorrer nenhuma morte fatal por arma de fogo. p = 0,2914 – vide P(0) do item b 1-p = 0, 7086 x = 2 dias n-x = 5 dias Aplicando a fórmula, tem-se: 52 2,7 7086,02914,0C)2x(P = 0,3186 = 31,86% Prof. Dr. Osmar Domingues 28 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA Quando foi discutido o conceito de variável aleatória discreta, demonstrou-se que a variável podia assumir valores pontuais, que representavam os k eventos mutuamente exclusivos da experiência. Em função disso era perfeitamente possível associar a cada um desses valores pontuais, as respectivas probabilidades. Em se tratando de variável aleatória contínua, que é uma variável derivada de processos de medição, esta pode assumir infinitos valores diferentes, mesmo num intervalo contínuo. Assim, não é possível associar a cada um desses infinitos valores distintos um valor de probabilidade, pois a probabilidade de cada um deles acontecer de forma isolada e tão pequena, que pode ser considerada igual a zero. Assim, a probabilidade de uma variávelcontínua assumir um valor exato, tem um valor muito pequeno, tendendo a zero. Todavia, quando se considera um intervalo, a soma dos valores das probabilidades dos valores nele contido passa a ser representativa ou considerável. Com isso se quer demonstrar, que em se tratando de variável aleatória contínua: Não há como calcular a probabilidade da mesma assumir um valor exato. Esta por definição pode ser considerada igual a zero. Só é possível calcular a probabilidade da variável assumir valores contidos num certo intervalo, pois nesse caso, trabalha-se com as probabilidades acumuladas ou com as freqüências relativas acumuladas, conforme explicado na figura a seguir: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 5 10 15 20 F re q .R e la ti v a A c u m u la d a Valores da Variável FRA2 FRA1 Prof. Dr. Osmar Domingues 29 A figura procura demonstrar, através de uma curva de freqüência relativa acumulada, onde o valor máximo é 1, que a probabilidade da variável assumir valores entre 10 e 15 é igual à diferença entre as freqüências relativas acumuladas FRA2 e FRA1. 1FRA2FRA)15x10(P MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL CONTÍNUA Existem alguns modelos de distribuições de probabilidades de variável contínua, a saber: Distribuição Uniforme; Distribuição Normal; Distribuição Exponencial; Distribuição t de Student; Distribuição do Qui-Quadrado; Distribuição do F de Snedecor. Nessa síntese teórica, será abordada apenas a distribuição normal. Distribuição Normal ou Gaussiana A distribuição Normal ou Gaussiana, idealizada por Gauss, é a mais importante das distribuições de probabilidades, pois grande parte dos fenômenos naturais tem distribuição normal ou distribuições que podem ser aproximadas por ela, respeitando-se determinadas condições de aproximação. O fato é que esta distribuição tem uma ampla variedade de aplicações práticas, como para peso de pessoas, níveis de inteligência (QI), medidas de níveis pluviométricos, medidas de qualidade, etc. Definição Considere a variável contínua Xi, que pode assumir qualquer valor entre . Esta variável será uma variável normal, se sua função densidade normal de probabilidade tiver o seguinte formato: 2 2 i 2 )X( e 2 1 )x(f Características da Curva Normal f(x) tem o formato de uma curva unimodal simétrica f(x) tem o ponto de máximo em Mo=Me= f(x) tem pontos de inflexão em 1 Prof. Dr. Osmar Domingues 30 f(x) tende a zero em . A curva com essas características é apresentada na figura a seguir: Em relação a esta distribuição pode-se dizer que há uma família de curvas da distribuição normal de probabilidades diferentes, pois o seu formato depende da média e do desvio-padrão, ou seja, para cada valor de média e desvio padrão, tem-se uma curva diferente. O desvio-padrão irá determinar a largura da distribuição, podendo ser maior, conforme ilustração a seguir. A função Distribuição de f(x), permite calcular a área sob a curva normal e é dada por: F(Xi) = iX )x(d).x(f ou F(Xi) = i 2 2 iX 2 )X( )x(de 2 1 Mo=Me=X Ponto de Inflexão + 50% Prof. Dr. Osmar Domingues 31 Como essa integral depende basicamente do valor da média, do desvio-padrão e do valor do ponto desejado, foi possível padronizar esta variável, criando-se a variável normal padronizada, também conhecida como variável normal reduzida, dada por: iXZ A variável normal padronizada Z representa o número de desvio-padrão existente entre o valor de Xi e a média. Como é utilizado o desvio-padrão e a média da série dos valores de Xi, a variável resultante (Z) é padronizada. A partir disso, foi possível construir uma tabela que fornece a área sob a curva normal expressa em porcentagens, para cada valor de Z padronizado obtido. Prof. Dr. Osmar Domingues 32 TABELA VARIÁVEL NORMAL REDUZIDA (Z) Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,80 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,00 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,00 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,10 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,20 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,30 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,40 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,50 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,60 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,70 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,80 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,90 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 4,00 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Para valores de Z superiores a 4, considerar 0,5000 Prof. Dr. Osmar Domingues 33 Com essa tabela é possível calcular valores de área sob a curva normal expressa em porcentagem. Notar que o maior valor de probabilidade alcançado é 0,5000, que representa apenas um lado da distribuição, já que o outro é simétrico, ou seja, os valores de Z são negativos, e a área corresponde aos mesmos valores de Z positivos. Exemplo de utilização. Considere a distribuição das estaturas das pessoas adultas, com média igual a 170 cm e desvio padrão de 10 cm. Pede-se: a) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas superiores a 180 cm? A variável Xi= altura ou estatura das pessoas é uma variável contínua. Para calcular a P(Xi>180) é preciso em primeirolugar padronizar a variável, usando a fórmula de Z. Z = 10 170180 =1,00 consultando-se a tabela percebe-se que 1,00 fornece o valor de 0,3413 Portanto, a área sob a curva normal entre 170 e 180 é 0,3413. Como acima da média 170 a área é igual a 0,5000, então acima de 180 a área é 0,5000-0,3413=0,1587 Logo, a P(Xi>180) = 0,1587 = 15,87%. Nesse caso, por ser uma variável contínua, é indiferente usar > ou b) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas inferiores a 170 cm? 170 180 Xi 0,3413 0,1587 0,500 0 Prof. Dr. Osmar Domingues 34 Pretende-se calcular a P(Xi<170). Como a média é igual a 170 cm, a probabilidade de pessoas com estaturas abaixo de 170, considera toda a área sob a curva á esquerda da média. Essa área é igual a 50%. Portanto: P(Xi<170) = 0,5000 = 50% c) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas entre 175 e 185 cm? A probabilidade entre 175 e 185, deve ser obtida através da variável padronizada. 10 170175 Z = 0,50 e 10 170185 Z =1,50 Consultando-se a tabela com 0,50 tem-se 0,1915 Consultando-se a tabela com 1,50 tem-se 0,4332 Entre 170 e 175 a área é igual a 0,1915 e Entre 170 e 185 a área é igual a 0,4332 Para obter a área entre 175 e 185 basta fazer a diferença entre 0,4332 e 0,1915 = 0,2417 Assim, a P(175<Xi<185) = 0,4332-0,1915 = 0,2417 = 24,17% 170 Xi 0,50 170 185 Xi Área desejada = 0,2417 175 Prof. Dr. Osmar Domingues 35 d) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas abaixo de 185 cm? Calculando-se o Z referente a 185, se obtém 1,5, conforme demonstrado no item c anterior. Z = 1,5 corresponde a uma área de 0,4332. Então entre 170 e 185, tem-se uma área de 0,4332. A esta área deve ser agregada a área abaixo de 170 que, como vimos no item b acima, corresponde a 0,5000. Assim, pode-se dizer que a área abaixo de 185 equivale a: 0,5000+0,4332 = 0,9332. Logo a P(x<185) = 0,9332 = 93,32% Existem outras situações onde para poder desenvolver o cálculo de probabilidades usando a distribuição normal torna-se necessário agrupar mais de uma média e mais de um desvio padrão. Para essas situações as propriedades desses parâmetros podem ser ferramentas úteis. PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância Relembrando as propriedades da média e da variância: K)X()KX( ii e )X()KX( i 2 i 2 )X(K)KX( ii K)X()KX( ii )X(K)KX( i 22 i 2 2 i 2 i 2 K)X()KX( )Y()X()YX( iiii )Y()X()YX( i 2 i 2 ii 2 para Xi e Yi independentes 170 185 Xi 0,50 0,4332 Prof. Dr. Osmar Domingues 36 Exemplo: Uma empresa contratou um serviço que envolve a realização de 5 tarefas consecutivas, sendo que cada tarefa só pode ser iniciada após o término da anterior. Supõe-se que as durações das tarefas sejam independentes e tenham distribuições normais, com médias e desvios padrões dados por: Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Média (dias) 20 8 30 17 25 Desvio-Padrão 4 3 8 5 2 Segundo o contrato, o preço a ser pago será de R$ 200.000,00. O contato ainda estabelece que: haverá um prêmio adicional de R$ 20.000,00 se o serviço for concluído em menos que 90 dias e, haverá uma multa de R$ 50.000,00 se o serviço for concluído em mais que 120 dias. Pergunta-se: Qual o favor do faturamento esperado para esse serviço? Resposta: Para que se possa calcular as probabilidades dos serviços terminarem antes de 90 ou após 120 dias, é necessário, em primeiro lugar, calcular a média e o desvio-padrão de todas as tarefas tomadas em conjunto. Para tanto, serão utilizadas as propriedades desses parâmetros. Tempo Total = Tempo da Tarefa 1 + Tarefa 2 + Tarefa 3 = Tarefa 4 + Tarefa 5 A equação do Tempo Total fica: T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 Aplicando-se as propriedades da média tem-se: 54321 TTTTT()T( aplicando a 3ª propriedade tem-se: )T()T()T()T()T()T( 54321 )T( = 20+8+30+17+25 )T( = 100 dias tempo médio necessário par a conclusão dos trabalhos. Procedendo-se de forma análoga com a variância tem-se: 54321 22 TTTTT()T( aplicando a 3ª propriedade tem-se: )T()T()T()T()T()T( 5 2 4 2 3 2 2 2 1 22 )T(2 = 16+9+64+25+4 )T(2 = 118 dias2 variância do tempo necessário par a conclusão dos trabalhos. Prof. Dr. Osmar Domingues 37 118)T( = 10,86 dias desvio padrão do tempo necessário par a conclusão dos trabalhos. Uma vez concluída esta etapa, é possível calcular as probabilidades dos serviços serem terminados em até 90 dias e após 120 dias Z = 86,10 10090 = -0,92 consultando-se a tabela na linha 0,9 coluna 0,02 tem-se: 0,3212 Z = 86,10 100120 = 1,84 consultando-se a tabela na linha 1,8 coluna 0,04 tem-se: 0,4671 Portanto P(x<90) = 0,5000 – 0,3212 = 0,1788 P(90<x<120) = 0,3212 + 0,4671 = 0,7883 P(x>120) = 0,5000 – 0,4671 = 0,0329 Com esses dados é possível elaborar a distribuição de probabilidade para o faturamento desse trabalho, que também pode ser utilizada para o cálculo do faturamento médio esperado: Ei Xi P(Xi) XiP(Xi) até 90 dias 220.000 0,1788 39.336 de 90 a 120 200.000 0,7883 157.660 acima de 120 150.000 0,0329 4.935 201.931 Assim o faturamento médio esperado é de R$ 201.931,00 100 120 Xi 0,3212 0,4671 90 -0,92 1,84 Zi Prof. Dr. Osmar Domingues 38 Modelo da Distribuição Exponencial O Modelo da Distribuição Exponencial exerce no âmbito das variáveis contínuas o mesmo papel que o Modelo da Distribuição de Poisson exerce entre as variáveis discretas. Serve para descrever o tempo, ou espaço, entre dois sucessos consecutivos de uma variável de Poisson, como por exemplo: tempo entre falhas de equipamentos; tempo entre chegadas de clientes a um shopping área entre dois defeitos consecutivos de uma peça de tecido. Esses eventos são descritos pela distribuição exponencial. Uma variável t que tome todos os valores não negativos, terá distribuição exponencial, com parâmetros > 0 , se sua função densidade for dada por: f(t) = te para t > 0 f(t) = 0 para quaisquer outros valores. É possível demonstrar que: Média: 1 t Variância: 2 2 1t e Desvio –Padrão: 1 t Para o cálculo das probabilidades com o emprego da distribuição exponencial tem-se: P(t>t0) = 0te e P(t t0) = - 0te1 Ilustração da distribuição Exponencial Prof. Dr. Osmar Domingues 39 Exemplo: O tempo médio de atendimento dos clientes em um caixa de banco, num determinado período do dia é de 5 minutos. Admitindo que o tempo de atendimento tenha distribuição exponencial, determine a probabilidade de um cliente: a) esperar mais do 5 minutos para ser atendido. Solução = 5 minutos Logo: 5 = 1 e 5 1 = 0,2 P(t > 5 minutos) = )5(2,0e = 0,3679 = 36,79% b) esperar menos do 5 minutos P(t < 5 minutos) = )5(2,0e1 = 1- 0,3679 = 0,6321 = 63,21% c) esperar entre 3 e 5 minutos P(3< t <8 minutos) = )8(2,0)3(2,0 ee = 0,5488 – 0,2019 = 0,3469 = 34,69% P(t>to) = ote P(t to) = ote1 to Prof. Dr. Osmar Domingues 40 Portanto a P(3< t <8 minutos) = 34,69% Essa distribuição também pode ser usada na teoria de confiabilidade Exemplo: Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja aproximadamente distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas. a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso? Solução = 100 horas Logo: 100 = 1 e 100 1 = 0,01 P(t > 150 horas) = )150(01,0e =0,2231 = 22,31% b) Qual o número de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto é de probabilidade de não falhar)? Pela Teoria de Confiabilidade:R(T) = te Então: 0,90 = t01,0e t = -100ln(0,90) = 10,54 horas 8 3 Prof. Dr. Osmar Domingues 41 Assim, tem 90% de probabilidade do dispositivo não falhar antes de 10,54 horas REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIAMS, Thomas A. Estatística Aplicada à Administração e Economia. Editora Pioneira. São Paulo, 2002. FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística 4ª Edição. Editora Atlas. São Paulo, 1993 GUERRA, Mauri Jose; DONAIRE, Denis. Estatística Indutiva. Teoria e Aplicação 3ª Edição. Editora Livraria Ciência e Tecnologia, São Paulo, 1983. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando Excel 5 e 7. Lapponi Treinamento e Editora. São Paulo, 1997. LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada 2ª Edição. Pearson/Prentice Hall, São Paulo, 2004 LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística. Teoria e Aplicações Usando o Microsoft Excel em Português. LCT Editora. São Paulo, 2000. MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princípios de Estatística. 4ª Edição. Editora Atlas. São Paulo, 1990. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. Editora Atlas. São Paulo, 2001. MURTEIRA, José Bento Ferreira. Probabilidades e Estatística – Volume I e II Editora MacGraw-Hill de Portugal Lda. – Lisboa , 1979 e 1980. TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística – 7ª Edição. Livros Técnicos e Científicos Editora. Rio de Janeiro, 1999. Prof. Dr. Osmar Domingues 42 EXERCÍCIOS GERAIS 1. Num município ocorreram 10 anos de seca num período de 100 anos. Qual a probabilidade se serem secos os três próximos. 2. Duas pessoas atiram num alvo móvel simultaneamente. Sabe-se que a probabilidade da primeira pessoa acertar é 60% e da segunda acertar é 30%. Calcular a probabilidade de: a) Ambas acertarem. b) O alvo ser atingido. c) Só uma acertar. d) Nenhuma acertar. 3. Numa caixa estão cinco moedas de cobre e três de prata. Retirando-se duas dessas moedas, qual a probabilidade delas serem: a) Ambas do mesmo metal. b) Uma de cada metal. 4. Numa cidade, 20% dos carros são da marca X, 30% dos carros são taxi, 40% dos taxis são da marca X. Qual a probabilidade: a) Um carro, ao acaso, ser taxi e não ser da marca X; b) Um carro, ao acaso, da marca X, não ser taxi. 5. As peças A, B, C de um automóvel, que na montagem devem ser ajustadas, são fabricadas por diferentes empresas e têm, respectivamente, 5%, 3% e 2% de probabilidade de serem defeituosas. Tomando-se um conjunto montado, qual a probabilidade dele: a) Ser totalmente perfeito; b) Conter somente a peça X defeituosa; c) Conter pelo menos 2 peças defeituosas. 6. Um jogador joga um dado várias vezes até obter a face 2. Qual a probabilidade ele obter esse resultado se dispor de somente 4 jogadas? 7. Uma pessoa quer abrir uma porta que está trancada a chave. Ela possuiu 10 chaves, mas somente 1 abre a porta. As chaves são experimentadas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade dela abrir a porta se dispor só de 4 tentativas. 8. Uma caixa contém 2 moedas de prata e 4 moedas de cobre. Uma segunda bolsa contém 4 moedas de prata e 3 moedas de cobre. Se duas moedas são selecionadas ao,acaso de uma das bolsas, qual a probabilidade delas serem do mesmo metal? Prof. Dr. Osmar Domingues 43 9. Pretende-se colocar 5 bolas numa caixa, de acordo com o seguinte esquema. Joga-se um dado. Se der face par, coloca-se uma bola branca. Se der face impar, coloca-se uma bola vermelha. Calcular a probabilidade de: a) A caixa conter exatamente três bolas brancas. b) A caixa conter exatamente três bolas vermelhas, com a condição de que primeira bola colocada ser vermelha. c) A caixa conter pelo menos três bolas vermelhas. 10. Sabe-se que 10% das peças produzidas em uma máquina são defeituosas. Qual a probabilidade de ser necessário fabricar 6 peças, para só então conseguir 4 peças boas? 11. Elaborar a distribuição de probabilidade formada pela diferença entre os pontos obtidos (em módulo) quando jogarmos dois dados. Calcular a média e o desvio padrão dessa distribuição. 12. Uma empresa que aluga carros observou a seguinte freqüência de aluguel: Nº de Carros Alugados/dia 0 1 2 3 4 5 6 Nº de dias 5 25 50 60 30 20 10 Tendo a empresa 6 carros e sendo o valor do aluguel de R$ 70 por dia, calcular: a) A média e o desvio-padrão do número diário de carros alugados. b) O faturamento médio estimado em 50 dias de trabalho. 13. Uma empresa vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão anotados na tabela. Calcular: a) O lucro médio por unidade vendida, bem como o desvio padrão. b) O lucro total esperado, num mês em que foram vendidas 20.000 unidades. Produto A B C Lucro/Unid (R$) 10,00 7,00 5,00 Prov. Venda (%) 20 30 50 14. Um jogo consiste em se atirar um dado. Se der faces 1 ou 6, a pessoa ganha $ 10,00 por ponto obtido; se der faces 2 ou 5, a pessoa ganha $ 5,00 por ponto obtido; se der faces 3 ou 4 a pessoa paga $ 15,00 por ponto obtido. Qual a esperança matemática de ganho desse jogo, bem como seu desvio-padrão? 15. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Retirando-se grupos de 4 bolas dessa caixa, ao acaso e com reposição, qual a média e o desvio-padrão do número de boas azuis obtidas? 16. Em uma sala estão 10 pessoas, sendo 7 homens e 3 mulheres. Sorteando-se ao acaso e sem reposição 3 pessoas, qual a média e o desvio-padrão do número de homens obtidos no sorteio? Prof. Dr. Osmar Domingues 44 17. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e desvio- padrão de 0,5 g. Estas peças são acondicionadas em pacotes de uma dúzia cada. As embalagens pesam em média 30 g, com desvio-padrão de 1,2 g. Qual a média e o desvio padrão de uma caixa cheia. 18. Um rebite é montado num furo. O diâmetro médio dos rebites fabricados vale 12 mm e seu desvio-padrão 0,2 mm; o diâmetro médio dos furos vale 13 mm com desvio-padrão de 0,5mm. Chamando de folga a diferença entre o diâmetro do furo e o do rebite, qual a média e o desvio padrão da folga? 19. Um produto tem custo médio de $ 10,00 com desvio-padrão de $ 0,80. Calcular o preço de venda médio, bem como o desvio padrão, de forma que o lucro médio seja de $ 4,00 e seu desvio padrão de $ 1,00. 20. Um fundo de investimento recebe diariamente pedidos de compra de cotas de participação, os quais se distribuem segundo uma média de 2.000 cotas e desvio- padrão de 400 cotas. Por outro lado os resgates efetuados diariamente apresentam distribuição de média igual a 1.200 cotas e desvio-padrão de 300 cotas. Ao encerrar o expediente verifica-se que o saldo de cotas é de 3.500.000. Sabe-se que no dia seguinte, 20 pessoas irão comprar e 15 irão efetuar resgates. Supondo que compras e resgates sejam independentes entre si, calcular a média e o desvio-padrão do número de cotas no final desse outro dia. 21. Uma empresa tem 4 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte: Nº Caminhões Alugados/dia 0 1 2 3 4 Probabilidade de Alugar (%) 10 20 30 30 10 Calcular: a) O número médio de caminhões alugados, bem como o desvio padrão; b) A média e o desvio-padrão do lucro diário, sabendo-se que: valor do aluguel por dia é igual a $ 3.000; despesa total diária com manutenção é igual a $ 1.000 (quando o caminhão é alugado) e igual a $ 200 (quando o caminhão não é alugado). 22. Numa grande indústria, 70% dos funcionários são do sexo masculino. Analisando-se grupos de seis funcionários, qual a probabilidade de: a) Um grupo ter no mínimo quatro funcionários do sexo masculino b) No mínimo dois grupos, de um conjunto de cinco grupos, apresentarem no máximo três funcionários do sexo masculino por grupo? 23. Uma empresa vende mensalmente 50.000 caixas de um produto, sendo que cada caixa contém oitounidades. A proporção de peças defeituosas fabricadas pela empresa é de 10%. Se o cliente encontra no máximo duas peças defeituosas numa caixa, ele devolve somente as peças defeituosas. Porém se Prof. Dr. Osmar Domingues 45 encontrar mais que duas peças defeituosas numa caixa, ele devolve a caixa inteira, como se todas as peças fossem defeituosas. Calcular: a) O número estimado de caixas vendidas no mês, que contém três ou mais peças defeituosas; b) O número estimado de peças boas recebidas em devolução, num mês, entre as peças devolvidas. 24. Um aluno conhece bem 60% da matéria dada, Num exame constituído de 20 questões, escolhidas as acaso sobre toda a matéria dada, calcular: a) A probabilidade de ele errar de 6 a 8 questões; b) A média e o desvio-padrão do número de questões que ele deve acertar. 25. Um comprador deseja adquirir uma grande partida de certo produto. Para tomar essa decisão optou por proceder da seguinte forma: retira uma amostra de 10 itens e se todos os itens forem perfeitos, a compra é feita. Porém se exatamente um item for defeituoso, outra amostra de igual tamanho será selecionada. A compra será então efetuada, se nessa nova amostra todos os itens forem perfeitos. Caso contrário haverá desistência. Supondo que há 10% de itens defeituosos na partida calcular a probabilidade de: a) A compra ser efetuada logo na primeira amostragem; b) A compra ser efetuada. 26. Um industrial tem duas alternativas para a venda do seu produto, que é fornecido em lotes de 500 peças: Comprador A que paga R$ 8,00 por peça e não exige nenhuma verificação do lote. Comprador B que, para cada lote fornecido, retira uma amostra aleatória de 10 peças e as examina: Se todas as peças da amostra forem perfeitas, paga R$ 5.000,00 pelo lote; Se encontrar uma peça defeituosa, paga R$ 4.000,00 pelo lote; Se encontrar duas ou mais peças defeituosas, para R$ 2.500,00 pelo lote. Sabendo o industrial que 10% das peças produzidas apresentam defeitos, qual a melhor alternativa de venda? 27. Sabe-se que 80% dos acidentes de trânsito ocorrem por imprudência dos motoristas. Analisando-se grupos de cinco desses acidentes, qual a probabilidade de: a) Mais da metade deles ter ocorrido por imprudência dos motoristas; b) No mínimo dois grupos, de um conjunto de seis desses grupos, ter tido no mínimo três acidentes por imprudência dos motoristas por grupo. 28. Os nomes de 4 homens e 6 mulheres são escritos em bilhetes e colocados em uma caixa. Retirando-se grupos de 4 bilhetes, ao acaso, dessa caixa, sem reposição, pede-se calcular: Prof. Dr. Osmar Domingues 46 a) A probabilidade de que os nomes de 2 homens e 2 mulheres estejam nesse grupo; b) A média e o desvio-padrão do número de homens nesse grupo. 29. Numa grande fábrica 50% dos operários são brasileiros, 30% são alemães e 20% são de outras nacionalidades. Mensalmente são sorteados 10 brindes entre os operários, sendo o sorteio feito com reposição. Calcular a probabilidade de: a) Num certo mês, 5 brindes saírem para operários alemães, 3 para brasileiros e 2 para outras nacionalidades; b) Num certo mês 8 brindes saírem para empregados alemães; 30. A oficina de manutenção de uma indústria pode atender, no horário normal de trabalho, até quatro casos de quebras de máquinas por dia. Se quebrarem mais que quatro máquinas, a oficina deverá recorrer a horas extras para poder atender a essas ocorrências. Sabendo-se que quebram em média três máquinas por dia, calcular: a) O custo médio mensal (25 dias) estimado com horas extras, sabendo que o custo diário com horas extras é de R$ 2.000,00. b) A probabilidade de a oficina ter que fazer horas extras em 2 ou mais dias de uma semana de seis dias. 31. As faces de um dado são confeccionadas com chapas de acrílico de 10x10 cm. Em média aparecem 65 defeitos por metro quadrado dessas chapas. Qual a probabilidade de: a) Uma face apresentar no máximo dois defeitos; b) Pelo menos cinco das faces serem perfeitas. 32. O número de defeitos de solda e de acabamento de uma certa marca de radio são variáveis de Poisson, independentes, de média 1,2 defeitos por rádio e 0,8 defeitos por rádio, respectivamente. Calcular a probabilidade de: a) Um rádio não ser perfeito; b) Um rádio ter no máximo um defeito de cada tipo. 33. Um certo artigo consome 750 m de fio de nylon. Tal fio rompe em média duas vezes a cada 1.000 metros. O lucro e a qualidade dos artigos estão relacionados da seguinte maneira: Qualidade Nº de emendas Lucro unitário 1ª nenhuma R$ 50,00 2ª 1 ou 2 R$ 20,00 3ª 3 ou mais R$ 10,00 Sendo a produção mensal da empresa de 10.000 artigos, qual o lucro total estimado? 34. O número médio de chegada de navios petroleiros num porto é de 3,44. Tal porto tem capacidade de receber, nas condições atuais, até quatro desses Prof. Dr. Osmar Domingues 47 navios por dia. Chegando mais do que quatro navios, o excedente deve ser enviado para outro porto, implicando num custo médio diário de transporte de R$ 5.000,00. Calcular: a) A perda média mensal (30 dias), devido a não se poder receber todos os navios que chegam; b) Qual deveria ser a nova capacidade desse porto, para poder atender a no mínimo 90% dos navios que chegam diariamente? 35. Um vendedor de uma industria recebe em média a 4,72 pedidos diários de compra de um equipamento. Ele tem um ganho comporto de uma parte fixa diária de R$ 100,00 e um ganho variável de R$ 30,00 por unidade vendida (se vender mais que três unidades) ou de R$ 25,00 por unidade vendida (se vender até três unidades). Sabendo-se que seu estoque diário par venda é de sete unidades, calcular a média e o desvio padrão do seu ganho diário. 36. Um tear produz tecido com largura de 2,5 m. Defeitos de produção aparecem aleatoriamente no tecido, à razão média de um defeito a cada 2 m de comprimento. Qual a probabilidade de: a) Um corte de 2,5 m2 ter dois ou mais defeitos? b) Exatamente três cortes, de um grupo de quatro cortes desse tipo, serem perfeitos? 37. O número semanal de unidades vendidas de certo produto de uma empresa recebe tem distribuição normal de média 125 unidades e desvio-padrão de 30 unidades. Se numa semana o estoque é de 150 unidades, qual a probabilidade de que todos os pedidos sejam atendidos? Qual deveria ser o estoque para que se tivesse 98% de probabilidade de todos os pedidos seriam atendidos? 38. Um elevador pesa 300 quilos e, em cada viagem ele leva três pessoas. Sendo o peso unitário das pessoas uma distribuição normal de média 70 quilos e desvio padrão de 3,5 quilos e sabendo-se que se o peso total ultrapassar 515 quilos há uma multa de R$ 2.000,00, calcular: a) Qual o gasto esperado com multa em 500 viagens? b) Qual deve ser a carga crítica de tal forma que em um total de 1.000 viagens, só duas ultrapassem tal carga crítica? 39. A análise das vendas de um produto numa loja mostrou que em 10% dos dias úteis vendeu-se menos que 84 unidades e, que em 1,5% dos dias úteis vendeu- se mais que 200 unidades. Supondo distribuição normal para as vendas diárias, calcular: a) A média e o desvio padrão das vendas diárias; b) A probabilidade de vender mais que 180 unidades num dia. 40. As variáveis X, Y e Z estão relacionadas pela equação: X = 2,5Y – 0,99Z + 23,3. Sabendo-se que Y=N(200; 64), que Z=N(150; 25) e que Y e Z são variáveis independentes, calcular: a) A média e o desvio padrão de X; Prof. Dr. Osmar Domingues 48 b) o valor de k, tal que %44kXkP 41. Uma peça tem um peso distribuído normalmente, com média 50 g e desvio padrão de 6 g. calcular a probabilidade de: a) O peso total de 10 peças ser superior a 510 g. b) Pegando-se uma amostra de nove peças, com reposição, três delas pesarem menos de 44 gramas. 42. Numa escola, verificou-se que 86,86% dos alunos são menores que 145,6 cm e que 1,25% são menores que 128,8 cm. Supondo distribuição
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