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Osmar Domingues - EST - PROBABILIDADES-2010

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC 
UFABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. DR. OSMAR DOMINGUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Osmar Domingues 
1 
SUMÁRIO 
 
 
INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 2 
CONCEITOS BÁSICOS .............................................................................................................. 5 
1. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA ........................................................................................... 5 
2. ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO (S) ..................................................................... 5 
3. EVENTOS (Ei) .................................................................................................................... 5 
4. TIPOS DE EVENTOS......................................................................................................... 6 
5. ASSOCIAÇÕES DE EVENTOS ........................................................................................ 6 
DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADES ........................................................................................ 8 
1. DEFINIÇÃO FREQÜENCIAL OU “A POSTERIORI”..................................................... 8 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA OU A “PRIORI” ....................................................................... 8 
3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES ................................................... 9 
ANÁLISE COMBINATÓRIA ...................................................................................................... 13 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA ........................................................................................ 17 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES ......................................................................... 17 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO ................................................................................ 18 
PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância ........................................... 20 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS ....................................................................... 21 
Modelo da Distribuição Binomial ......................................................................................... 21 
Modelo da Distribuição Hipergeométrica ............................................................................. 24 
Modelo da Distribuição Polinomial ....................................................................................... 25 
Modelo da Distribuição de Poisson ....................................................................................... 25 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA........................................................................................ 28 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL CONTÍNUA ....................................... 29 
Distribuição Normal ou Gaussiana ........................................................................................ 29 
Modelo da Distribuição Exponencial .................................................................................... 38 
EXERCÍCIOS GERAIS .............................................................................................................. 42 
 
 
Prof. Dr. Osmar Domingues 
2 
PROBABILIDADES 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Teoria das Probabilidades surgiu da tentativa de aplicar conceitos matemáticos para 
explicar as diferentes possibilidades dos jogos de azar. O primeiro trabalho nesse 
sentido é atribuído à Pascal (1623-1662), que juntamente com Fermat (1601-1665) 
desenvolveram a solução correta do problema da divisão das apostas. Há, entretanto, 
alguma controvérsia sobre a paternidade da Teoria das Probabilidades, já que na Itália, 
Paccioli (1445-1514), Cardano (1501-1576), Tartaglia (1499-1557), Galileu (1564-1642) 
e outros desenvolveram trabalhos nesses sentido. Cardano, por exemplo, em seu livro 
“Liber de Ludo Aleae”, chegou muito próximo de obter as probabilidades de alguns 
acontecimentos (Murteira, 1979, p. 3). 
 
Depois de Pascal ter previsto que a aliança entre o rigor geométrico e a incerteza do 
azar daria origem a uma nova ciência, Huyghens (1629-1695) entusiasmado pelo 
desejo de dar regras a coisas que parecem escapar à razão humana, publicou “De 
Ratiociniis in Ludo Aleae", que é considerado o primeiro livro sobre o cálculo das 
probabilidades e que tem a particularidade de introduzir o conceito de esperança 
matemática (Murteira 1979 p. 3-4). 
 
O fato é que a aplicação dos conceitos da Teoria das Probabilidades juntamente com 
os conceitos da estatística para solucionar problemas de natureza econômica e social 
trouxe um grande alargamento dos conhecimentos da estatística, para que ela tivesse o 
status atual. Entre as contribuições podem ser citadas (Murteira,1979, p. 4-6): 
 
 Leibniz (1646-1716), publicou duas obras sobre a “arte combinatória” e outra 
sobre as aplicações do cálculo das probabilidades às questões financeiras. 
 Jacques Bernoulli (1654-1705), seguindo conselhos de Leibniz, se dedicou ao 
aperfeiçoamento da teoria das probabilidades. Sua obra “Ars Conjectandi”, 
publicada 8 anos após sua morte, traz o primeiro teorema limite da teoria das 
probabilidades. Foi graças aos seus estudos que o cálculo de probabilidade 
adquiriu status de ciência. 
 O início do século XVII foi marcado pelos livros de Pierre-Rémond de Montmort 
(1678-1719), denominado “Essai d´Analyse sur lex Jeux de Hazard”, e de 
Abraham de Moivre (1667-1754), “The Doctrine of Chances”. Este último escrito 
por um francês que viveu na Inglaterra desde a sua infância, apresenta uma 
idéia da teoria das probabilidades tal como se encontrava desenvolvida e fez 
aplicações ao cálculo de anuidades e estabeleceu uma equação para a lei de 
mortalidade entre 22 anos e o limite de longevidade que fixou em 86 anos. 
 Mais tarde, na “Miscellanea Analytica”, apresenta resultados que Laplace 
ampliou e que constituem o segundo teorema limite das probabilidades. 
 O Reverendo Thomas Bayes (1702-1761), a quem se deve o conceito de 
probabilidades inversas relacionadas com situações em que se caminha do 
particular para o geral ou da amostra para a população, nem sempre é lembrado. 
 
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3 
Sua importância só foi reconhecida 200 anos mais tarde, tendo formado, dentro 
da Estatística, a corrente Bayesiana. 
 
Também foram fundamentais as contribuições dos astrônomos Laplace (1749-1827), 
Gauss (1777-1855) e Quetelet (1796-1874). A seguir são apresentadas as 
contribuições de outros estudiosos no assunto (Murteira,1979, p. 4-6): 
 
 Laplace tem em “Théorie Analytique des Probabilités”, publicado em 1812, é 
considerado ainda um dos mais importantes trabalhos sobre a matéria. 
 Gauss, professor de astronomia e diretor do Observatório de Gottingen, 
apresentou em 1809 a “Theoria Combinationis Observatorium Erroribus Minimis 
Obnoxia”, onde explanou uma teoria sobre a análise de observações aplicáveis a 
qualquer ramo da ciência, revelando assim a tendência para alargar o campo de 
aplicação do cálculo das probabilidades. 
 Quetelet dá início a aplicação da teoria das probabilidades aos fenômenos 
sociais. O seu livro “Sur I`home et le développement de ses facultés” que foi 
publicado em 2ª edição com o título “Physique sociale” ou “Essai sur le 
développement des facultés de l`homme”, com prefácio de Herschell (1792-
1871), introduziu também o conceito de homem médio e chamou a atenção dos 
estudiosos para a notável consciência dos fenômenos sociais, como por 
exemplo, a criminalidade que apresentava certas características em relação a 
diferentes países e classes sociais. 
 Cournot (1891-1877), foi o pioneiro do tratamento matemático dos fenômenos 
econômicos ao defender a importância do uso de teoria das probabilidades na 
análise estatística, na "Exposição de la théorie des chances et des probabilités". 
 Na última metade do século XIX , o russo Chebychev(1821-1894), os alemães 
Helmert (1843-1917) e Lexis (1837-1914), o dinamarquês Thiele (1838-1910) e o 
inglês Edgeworth (1845-1926), obtiveram resultados que contribuíram para o 
desenvolvimento da Estatística. Tais contribuições foram muito valiosas, mas 
somente mais tarde foram plenamente compreendidas. Chebychev, por exemplo, 
foi o fundador da escola russa que teve grande contribuição no desenvolvimento 
da teoria das probabilidades, com destaque para Markov (1856-1922), Lyapunov 
(1857-1918) e muitos outros. 
 K. Pearson (1857-1936), físico matemático, foi levado pelo entusiasmo que 
Darwin fomentara, dedicou-se ao estudo da evolução. Entre 1890 e 1900 
desenvolveu a ciência que trata os dados da observação e publicou numerosos 
trabalhos na revista “Biometrika” que fundou em parceria com Weldon (1806-
1906) e Galton (1822-1911). A descoberta da análise da correlação é atribuída a 
Galton, embora Pearson também tenha se dedicado a esse tópico da Estatística. 
 W.S.Gosset (1876-1937), em 1908, sob o pseudônimo de “Student”, publicou um 
artigo na revista “Biometrika” tratando da interpretação de pequenas amostras, 
começo de uma nova fase nos estudos estatísticos. Usava o pseudônimo de 
“Student” devido ao fato de trabalhar para uma empresa produtora de cerveja (a 
“Guiness”), que vendo futuro promissor naquele tipo de estudos, não desejava 
revelar aos concorrentes o emprego que fazia da Estatística. 
 
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4 
 Ronald A.Fisher (1892-1962) fez a mais importante das contribuições para a 
Estatística. Formado em astronomia pela Universidade de Cambridge, foi o 
fundador do célebre Laboratório de Estatística da Estação Agronômica de 
Rothamsted. Em 1922 publicou uma memória “On the Mathematical Foundations 
of Theoretical Statistics”, com o qual pretendeu estabelecer a estrutura da 
moderna Estatística Matemática. O seu livro “Statistical Methods for Research 
Workes”, publicado em 1925, permitiu que os investigadores se familiarizassem 
com as aplicações práticas dos métodos estatísticos e que se criasse uma 
mentalidade estatística entre a nova geração de cientistas. Suas investigações 
encontram-se dispersas em inúmeras revistas. As mais importantes foram 
reunidas em um volume denominado “Contributions to Mathematical Statistics”, 
elaborado por John Wiley & Sons, Inc., Nova York, em 1950. 
 Abraham Wald (1902-1950) partiu do pressuposto que as observações são 
efetuadas para servir de base a ações futuras. Segundo Wald, a Estatística 
ocupa-se dos procedimentos para tomar decisões em situações caracterizadas 
pela incerteza, praticamente sempre presente na medida em que quem decide 
não pode estar certo de conhecer e controlar completamente as conseqüências 
ou resultados de sua ação. As conseqüências dessa incerteza podem ser 
minimizadas recolhendo-se dados ou fazendo observações que aumentem o 
volume de informações disponíveis e que orientem na escolha da melhor opção. 
 
Todas essas contribuições foram decisivas para que a Estatística atingisse o estágio 
atual e, graças à Teoria das Probabilidades o ramo denominado Estatística Indutiva 
ganhou um grande impulso e representa hoje uma das principais ferramentas para a 
tomada de decisões em condições de incerteza. 
 
Na atualidade, pode-se dizer que existem dois campos bem definidos do cálculo das 
probabilidades. O primeiro, denominado probabilidade objetiva, que deriva de 
situações onde o cálculo de probabilidade é baseado em fenômenos reais, ou seja, 
utilizando dados reais. O segundo, denominado probabilidade subjetiva, refere-se à 
chance da ocorrência de um fato atribuída por um indivíduo em particular, que por sua 
vez, pode ser diferente da probabilidade atribuída por um outro indivíduo particular para 
o mesmo fato. Esse campo é relativamente novo, e vem sendo usado para a 
construção de cenários para empresas e países. 
 
Nesta síntese sobre Probabilidades, será abordado especificamente o campo da 
probabilidade objetiva. Para tanto, serão necessários alguns conceitos fundamentais, 
que são decisivos para o entendimento e a compreensão do assunto. 
 
 
 
 
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5 
CONCEITOS BÁSICOS 
1. EXPERIÊNCIA ALEATÓRIA 
 
Trata-se de uma experiência ou experimento que pode satisfazer, simultaneamente, as 
seguintes condições: 
 
 Poder ser repetida n vezes, nas mesmas condições; 
 Ser possível conhecer previamente as chances de cada um dos seus prováveis 
resultados; 
 Não ser possível interferir nos prováveis resultados. 
 
Exemplos: 
 Sortear uma carta de um baralho (não marcado) 
 Jogar um ou mais dados (não viciados) 
 Jogar uma ou mais moedas (não viciadas) 
 Sortear um aluno de uma classe para responder sobre um tema da aula 
2. ESPAÇO AMOSTRAL OU UNIVERSO (S) 
 
Refere-se ao conjunto de resultados possíveis de uma experiência aleatória, ou seja, 
representa a lista de todos os resultados que podem ocorrer quando uma experiência 
aleatória é realizada. 
 
Exemplo: 
 Exp. Jogar um dado  S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Exp. Jogar duas moedas  S={C1C2; C1K2; K1C2; K1K2} 
Exp. Sortear alunos de uma classe, cujos números de chamada variam entre 1 e 
70, sem reposição dos elementos sorteados S={1; 2; 3; ...; 70} 
Exp: Soma dos pontos obtidos quando dois dados não viciados são lançados: 
 
 1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
3. EVENTOS (Ei) 
 
Representam os possíveis resultados de uma experiência aleatória. 
 
Exemplo: Exp. Jogar uma moeda: S={C; K}  E1 (sair C); E2 (sair K). 
 
= S 
 
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6 
4. TIPOS DE EVENTOS 
 
São situações possíveis de acontecer quando uma experiência aleatória é realizada. 
 
Exemplo: Exp. Jogar um dado 
 
a) Evento Simples – aquele formado por um único resultado do espaço amostral: 
 
E1={1}; E2={2}; ...; E6{6} 
 
b) Evento Composto – aquele formado por dois ou mais resultados do espaço 
amostral 
 
E1={sair face par}; E2={sair face impar}; E3={sair face maior ou igual a 4},etc. 
 
 
 
c) Evento Certo – aquele que sempre ocorre quando uma experiência aleatória é 
realizada 
 
E1={sair face par ou face impar} 
 
d) Evento Impossível – aquele que nunca ocorre quando uma experiência aleatória é 
realizada. 
 
E1={sair face par e face impar} 
 
5. ASSOCIAÇÕES DE EVENTOS 
 
Representam combinações possíveis dos eventos de uma experiência aleatória 
 
a) Evento Soma - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento 
Soma àquele que consiste na realização de um dos eventos: 
 
 E1

E2 = UM OU OUTRO 
 
Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho 
E1={K} 
E2={Copas} 
E1

E2 = {sair K OU sair Copas} 
 
S 
E1 E2 
b) Evento Produto - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se Evento 
Produto àquele que consiste na realização simultânea dos dois eventos: 
 
 
 
 
 
E1

E2 = UM E OUTRO 
 
E1

E2 
 
Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho. 
E1={K} 
E2={copas} 
 
 E1

E2 = {sair K e Copas} = {sair K de copas} 
 
Evento Condicionado - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se 
Evento Condicionado àquele que consiste na realização de um dos eventos, sob a 
condição do outro já ter ocorrido. O evento que já ocorreu, limita ou condiciona a 
possibilidade do outro evento vir a ocorrer. 
 
Exemplo: Exp. Tirar carta de um baralho. 
E1={K} 
E2={copas} 
 
E1/E2 = sair K sabendo que saiu carta de copas 
ou 
E2/E1 = sair copas, sabendo que saiu carta K 
 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, 
chama-se Evento Mutuamente Exclusivos àquele que nunca podem ocorrer 
simultaneamente. São dois conjuntos disjuntos ou sem intersecção. 
 
Exemplo: Exp. Jogar um dado. 
S 
E1 E2 
S 
E1 E2 
 
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E1={sair face 1} 
E2={sair face 2} 
 
E1 e E2 = são dois conjuntos que não tem intersecção. 
 
Eventos Complementares (
iE
)- Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-
se Eventos Complementares àqueles que ao ocorrer um deles,elimina a possibilidade 
do outro também ocorrer. 
 
 
Exemplo: Exp. Jogar um dado. 
E1={sair face 1}  
1E
={sair face 2; 3; 4; 5; 6} 
 
 São eventos mutuamente exclusivos, mas não são eventos complementares. 
 
E2={sair face 2}  
2E
={sair face 1; 3; 4; 5; 6} 
 
E1 e 
1E
= são dois conjuntos que se complementam ou que juntos completam o espaço 
amostral da experiência. 
 
Todos os eventos complementares são mutuamente exclusivos, mas nem todos os 
eventos mutuamente exclusivos são eventos complementares. 
 
Eventos Independentes - Dados dois eventos E1 e E2 de um mesmo S, chama-se 
Eventos Independentes àqueles que ao ocorrer um deles, não altera a possibilidade do 
outro ocorrer. 
 
Exemplo: Exp. Jogos da Loteria Esportiva. 
E1={acertar o jogo 2} 
E2={acertar o jogo 12} 
 
E1 e E2 são eventos independentes, pois o fato de acertar o jogo 2 não altera em nada a 
chance de acertar o jogo 12 
 
 
 
iE
 
Ei 
 
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8 
DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
1. DEFINIÇÃO FREQÜENCIAL OU “A POSTERIORI” 
 
Trata-se da probabilidade avaliada, ou seja, aquela em que se deve realizar a 
experiência para ter a probabilidade do evento desejado. Esta definição apresenta 
problemas de ordem matemática, já que é muito difícil definir o “n” ideal (no limite) e, 
também, de ordem prática, tendo em vista a necessidade da realização previa da 
experiência. Esta definição considera: 
 
n
f
lim)E(P ini
 
 
Onde: “fi” = freqüência do evento; 
“n” o número de repetições da experiência e 
fi/n = freqüência relativa simples 
 
 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA OU A “PRIORI” 
 
Considere uma experiência aleatória, descrita no espaço amostral (S), em que todos os 
eventos (Ei), têm a mesma chance de ocorrer (são equiprováveis). Define-se a 
probabilidade de um desses eventos como sendo o quociente entre o número de casos 
favoráveis a este evento e o número de casos possíveis. 
 
Sn
)E(n
)E(P ii
 
 
 
Exemplo: Exp. Joga-se um dado não viciado. 
Qual a probabilidade de sair face maior que 4: 
 
Ei = {face maior que 4} = {5; 6}  n(Ei) = 2 
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  n(S) = 6 
 
3333,0
6
2
Sn
)E(n
)E(P ii
 = 33,33% 
 
Observação: 
A escola clássica também conhecida como escola objetivista sustenta que as regras de 
probabilidades são aplicáveis a eventos que podem ser repetidos por um número 
indefinido de vezes sob as mesmas condições, ou seja, que sempre são obtidos os 
mesmos resultados para uma certa experiência, independentemente de o cálculo ter 
 
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9 
sido feito por esta ou por aquela pessoa. Esse conceito difere do pensamento da escola 
subjetivista, também já mencionado, que considera a probabilidade de um evento estar 
ocorrendo, ter ocorrido ou vir a ocorrer. Nesse caso as técnicas de avaliação da 
probabilidade são utilizadas para dimensionar as chances de fenômenos que fogem ao 
campo de ação da escola objetiva, como por exemplo, as chances do lançamento de 
um produto novo ser um sucesso, etc (Martins, 2001, p. 73-74). 
 
3. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADES 
 
Dada uma experiência aleatória qualquer, descrita num espaço amostral S, chama-se 
probabilidade à função P que para cada evento Ei contido em S, associa um número 
real P(Ei) que satisfaz as seguintes regras: 
 
Regras ou Teoremas de Probabilidade 
 
1.
1)E(P0 i
 
 
2. P(S) = 1 ou 100% 
 
3. P(Ei)+P(
iE
) =1 
 
4. Se E1 está contido em E2 então P(E1) P(E2) 
 
5. Regra da Adição: 
 
)EE(P)PE()E(P)EE(P 212121
 regra geral 
 
 Caso E1 e E2 sejam eventos mutuamente exclusivos, então P(E1.E2)=0, então: 
 
)PE()E(P)EE(P 2121
 
 A regra geral pode ser generalizada para 3 ou mais eventos 
 
6. Regra do Produto 
 
)E/E(P)E(P)EE(P 12121
 regra geral 
 
)E/E(P)E(P)EE(P 21212
 regra geral 
 
 Caso E1 e E2 sejam eventos independentes, então P(E2/E1)=PE2), então: 
 
)E(P)E(P)EE(P 2121
 
 
 Dessa regra geral também pode ser extraída a probabilidade condicionada: 
 
 
)E(P
)EE(P
)E/E(P
1
21
12
 e vice-versa 
 
7. Teorema de Bayes 
 
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10 
 
P(Ei/A) = 
)E/A(P)E(P)E/A(P)E(P)E/A(P)E(P
)E/A(P)E(P
nn2211
ii

=
n
1i
ii
ii
)E/A(P).E(P
)E/A(P)E(P 
 
Exemplos da Regra da Adição. 
 
Na experiência de retirar uma carta de um baralho de 52 caretas não marcadas 
 
a) Qual a probabilidade de se retirar uma carta vermelha ou um rei. 
 
Solução: 
Num baralho se tem 52 cartas, sendo 13 de cada nipe: vermelhas = 13 cartas de ouros 
e 13 cartas de copas; pretas: 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. Em cada um 
desses nipes se tem um rei. 
 
P(A) = {sair um K} = 4/52 
P(B) = {sair vermelha} = {13 copas + 13 ouros} = 26/52 
 
Esses dois eventos não são mutuamente exclusivos, pois existe um rei de copas e um 
rei de ouros. 
 
P(A ou B) = P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A.B) = P(A+B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 = 28/52 = 
0,5385 
 
b) Qual a probabilidade de ser retirada uma carta de paus ou um rei de ouros 
 
Solução: 
P(A) = {sair carta de paus} = 13/52 
P(B) = {sair rei de ouros} = 1/52 
 
Nesse caso os eventos são mutuamente exclusivos 
 
P(A ou B) = P(A+B) = 13/52 + 1/52 = 14/52 = 0,2692 ou 26,92% 
 
Exemplos da Regra do Produto 
 
Duas Moedas são lançadas.Qual a probabilidade de sair coroa na primeira moeda e 
coroa na segunda moeda 
 
P{Ci} = ½ = 0,5 
P{Ki} = ½ = 0,5 nesse caso os eventos são independentes 
 
P(K1e K2) = P(K1 · K2) = P(K1) · P(K2)= 0,5x0,5 = 0,25 
 
 
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11 
Numa uma têm-se 3 bolas brancas e 5 bolas pretas. Se duas bolas são retiradas dessa 
caixa, uma após a outra, ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de: 
 
a) Ambas serem pretas. 
 
Solução: 
P(Bi) = {sair bola branca na vez i} 
P(Pi) = {sair bola preta na vez i} – sorteio sem reposição. 
 
Isso significa que após retirar a primeira bola da caixa, a quantidade de bolas que lá 
permanece não é mais a mesma. Assim, os eventos não são independentes, pois a 
probabilidade da 2ª bola é alterada pelo fato da 1ª bola retirada não ser reposta. 
 
P(P1eP2) = P(P1 · P2) = P(P1) · P(P2/P1) = P(P1 · P2) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571 
 
Se a primeira bola retirada for reposta, a segunda bola retirada não tem sua 
probabilidade alterada, permanecendo na condição de eventos independentes. 
 
b) Uma de cada cor 
 
Solução: 
P(Bi) = {sair bola branca na vez i) 
P(Pi) = {sair bola preta na vez i} 
 
P(B1eP2) ou P(P1eB2) = P(B1) · P(P2/B1) + P(P1) · P(B2/P1) = (3/8 · 5/7)+(5/8 · 3/7) = 
 = 15/56 + 15/56 = 
0,5357 
 
Exemplo do Teorema de Bayes 
 
O Teorema de Bayes é utilizado para o cálculo de probabilidades posteriores, ou seja, 
para situações onde as probabilidades prévias para certos eventos de interesse são 
modificadas com a introdução de novas informações sobre os mesmos eventos. 
 
 
 
Para exemplificar essa situação, utilizaremos o seguinte exemplo: 
 
Uma montadora de automóveis recebe 68% de um tipo de pistão produzidos pelo 
fabricante 1 e 32% do fabricante 2. Sabe-se, com base em informações históricas, que 
os pistões procedentes do fabricante 1 apresentam 2% de defeitos e os do fabricante 2, 
Novas 
Informações 
Probabilidades 
Previas sobre 
eventos de 
interesse 
Aplicação do 
Teorema de 
Bayes 
Probabilidades 
Posteriores = 
resultantes 
 
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12 
5%. Um dos carros fabricados pela montadora apresenta problemas (defeito) em um do 
seus pistões. Qual a probabilidade desse pistão defeituoso ter sido fabricado: 
a) pelo fabricante 1; 
b) pelo fabricante 2. 
 
Solução: 
 
Chamando de PROBABILIDADE PRÉVIA 
 
P(A1) a probabilidade do pistão proceder do fabricante 1 = P(A1) = 0,68 
P(A2) a probabilidade do pistão proceder do fabricante 2 = P(A2) = 0,32 
 
Chamando de PROBABILIDADES CONDICIONADAS 
 
P(D/A1) a probabilidade de um pistão defeituoso proceder do fabricante 1 = P(D/A1) = 
0,02 
P(P/A1) a probabilidadede um pistão perfeito proceder do fabricante 1 = P(P/A1) = 0,98 
 
P(D/A2) a probabilidade de um pistão defeituoso proceder do fabricante 2 = P(D/A2) = 
0,05 
P(P/A2) a probabilidade de um pistão perfeito proceder do fabricante 2 = P(P/A2) = 0,95 
 
Chamando de informação adicional o fato do pistão ser defeituoso (D), tem-se que: 
 
A probabilidade do pistão defeituoso ter vindo do fabricante 1 pode ser obtida pelo 
emprego do teorema de BAYES da seguinte forma: 
 
P(A1/D) = 
)A/D(P)A(P)A/D(P)A(P
)A/D(P)A(P
2211
11
= 
05,032,002,068,0
02,068,0
= 
030,0
014,0
= 0,459 
 
A probabilidade do pistão defeituoso ter vindo do fabricante 2 pode ser obtida pelo 
emprego do teorema de BAYES da seguinte forma: 
 
P(A2/D) = 
)A/D(P)A(P)A/D(P)A(P
)A/D(P)A(P
2211
22
= 
05,032,002,068,0
05,032,0
= 
030,0
016,0
= 0,541 
 
 
Note que a probabilidade inicial (previa) de 68% de uma peça ser procedente do 
fabricante 1 é diminuída com a introdução da informação de que a peça é defeituosa, a 
qual recua para 45,9% (probabilidade posterior), ocorrendo uma situação inversa para o 
fabricante 2. 
 
Essa forma pode ainda ser generalizada para 3 ou mais eventos. 
 
 
 
 
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13 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
A Teoria da Contagem está intimamente ligada à Teoria das Probabilidades, pois em 
muitos casos, a identificação do total de elementos que satisfaz a condição de um 
evento ou do espaço amostral se resume a uma simples contagem. 
 
A regra geral da contagem considera que se um evento pode ocorrer de “x” maneiras, 
um outro evento pode ocorrer de “y” maneiras e um terceiro evento pode ocorrer de “z” 
maneiras, o número total de maneiras em que os três eventos podem ocorrer em 
conjunto é dado por x·y·z. 
 
Exemplo: Você pretende comprar um computador. Após pesquisar o mercado chegou 
ao seguinte: 
 
Fabricantes: 3 = A, B, C 
Processador: 2 = X, Y 
Capacidade (HD): 4 = P, Q, R, S 
 
Levando em consideração apenas essas variáveis, o número de maneiras para 
selecionar um fabricante, um processador e uma capacidade é dado por: 
 
 3·2·4 = 24 maneiras diferentes 
 
Essas 24 maneiras diferentes podem ser observadas na seguinte figura: 
 
 
 
 
A teoria de Contagem oferece os seguintes tipos de regras que podem ser utilizadas 
para facilitar o trabalho de cálculo: 
 
1. Permutação Simples: Permite determinar o número de maneiras que n objetos 
podem ser dispostos em ordens diferentes e é dado por 
 
Pn = n!  para x=n 
 
Onde: n! = (n-1)·(n-2)·(n-3)· ... ·3·2·1 
 
Sendo que 0! = 1 
 
 
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14 
Exemplo: Um grupo é formado por 5 alunos enfileirados. De quantas maneiras 
diferentes eles podem ser dispostos em fila? 
Solução: 
O número de alunos é 5 e o problema pretende estabelecer de quantas maneiras esses 
5 alunos podem ser dispostos, trocando-se suas posições na fila: 
 
5! = 5x4x3x2x1 = 120 maneiras diferentes. 
 
2. Arranjo: Permite se determinar quantos grupos diferentes de x elementos podem 
ser formados a partir de um grupo maior de n elementos distintos e é dado por 
 
An,x = 
!xn
!n
 para x n 
 
 
Exemplo: 
O código de segurança de acesso a um software consiste em 4 dígitos, cada um entre 
0 e 9. Quantos códigos de acesso são possíveis sem que os dígitos sejam repetidos 
 
n = 10 dígitos em cada posição (0 a 9) 
x = 4 dígitos em cada agrupamento 
 
A10,4 = 
!410
!10
= 
!6
!10
= 
123456
12345678910
= 5.040 códigos diferentes sem que os 
dígitos sejam repetidos 
 
 
Exemplo: 
Considere os números 2, 3, 4, 5. Quantos grupos de 2 algarismos podem ser formados 
sem que haja repetição dos dígitos em cada grupo? 
 
A4,2 = 
)!24(
!4
 = 12 grupos 
 
Os grupos formados são: 
2,3 3,2 4,2 5,2 
2,4 3,4 4,3 5,3 
2,5 3,5 4,5 5,4 
 
Notar que em cada grupo não há repetição do algarismo, mas que dois grupos diferem 
entre si tanto pela ordem como pela natureza. 
 
 
 
 
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15 
3. Combinação: Permite determinar quantos grupos de x elementos podem ser 
formados a partir de um conjunto de n elementos, eliminando-se os conjuntos que 
diferem entre si somente pela ordem dos elementos (3,4 = 4,3; 3,5 = 5,3; etc). É dado 
por: 
 
Cn,x = 
)!xn(!x
!n
 para x n 
 
Exemplo: Dado um conjunto de 12 pessoas, quantos grupos podem ser formados com 
4 pessoas em cada um delas? 
 
C12,4 = 
24
11880
!81234
!89101112
!8!4
!12
)!412(!4
!12
495 grupos de 4 pessoas diferentes 
 
Exemplo: 
Considere os números 2, 3, 4, 5. Quantos grupos de 2 algarismos podem ser formados, 
desconsiderando-se aqueles em que haja apenas a inversão da ordem? 
 
C4,2 = 
)!24(!2
!4
 = 6 grupos 
 
Os grupos formados são: 
2,3 3,4 
2,4 3,5 
2,5 4,5 
 
Notar que em cada grupo não há repetição do algarismo, e que dois grupos diferem 
entre si pela natureza. 
 
4. Permutações Com Repetições: Trata-se de um tipo especial de situação, em que o 
grupo de n elementos apresenta repetições em seus elementos. Nesse caso a 
permutação, que considera todos os n elementos do grupo, é dada por: 
 
 
!x!x!x
!n
P
k21
x,x,x
n
k21


 para xi n 
 
Exemplo: Dado o conjunto de número 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 6 de quantas maneiras 
diferentes essa seqüência pode ser escrita? 
 
1!412312
!45678910
!1!4!3!2
!10
P 1,4,3,210
= 
12
151200
= 12.600 maneiras diferentes 
 
 
 
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16 
O uso dessas ferramentas da Teoria da Contagem, em especial as combinações e 
permutações com repetições, podem ser muito úteis para auxiliar o cálculo de 
probabilidades. 
 
 
Exemplos: 
Numa urna têm-se 5 bolas brancas e 3 vermelhas. Retirando-se 5 bolas dessa urna, 
sem reposição, qual a probabilidade de: 
 
a) Obtermos exatamente 3 bolas brancas? 
 
P(Bi) = sair bola branca na vez i 
P(Vi) = sair bola vermelha na vez i 
 
P(B1B2B3V4V5) - como a ordem ou posição dos elementos no conjunto pode ser 
alterada pode-se utilizar o conceito de combinações para se determinar todas as formas 
diferentes de se escrever esta seqüência: C5,3 = 
!312
!345
!3!2
!5
=10 posições ou formas 
diferentes de escrever 3 bolas brancas e 2 vermelhas. 
 
P(B1B2B3V4V5).C5,3 = (5/8.4/7.3/6.3/5.2/4).10 = 3600/6720 = 0,5357 
 
b) Obtermos exatamente 3 bolas brancas com a condição da 1ª bola ser branca? 
 
P(Bi) = sair bola branca na vez i 
P(Vi) = sair bola vermelha na vez i 
 
P(B1B2B3V4V5) - com a condição da 1ª ser branca. As demais não precisam respeitar 
esta ordem, ou seja, podem mudar de posição. Todas as posições possíveis das 
demais bolas podem ser obtidas através da C4,2 = 
!2!2
!4
= 6, ou seja, seis formas 
diferentes de escrever 3 bolas brancas e 2 vermelhas com a condição da primeira 
sempre ser branca. 
 
P(B1B2B3V4V5).C4,2 = (5/8.4/7.3/6.3/5.2/4).6 = 2160/6720 = 0,3214 
 
 
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17 
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA 
 
Dada uma experiência aleatória, descrita num espaço amostral S, é possível identificar 
k eventos mutuamente exclusivos (Ei). Esses eventos podem ter características 
numéricas ou não. A cada um desses eventos é possível associar uma probabilidade, 
tal que a soma dessas probabilidades é igual à probabilidade do espaço amostral, ou 
seja, 1. 
 
Se número k de eventos possíveis for finito ou numerável, diz-se que a variável é 
aleatória discreta. 
 
Exemplo: Número de faces pares obtidas quando um dado é lançado 5 vezes. 
 Número de faces caras obtidas quando três moedas são lançadas 
Número de alunos do sexo masculino obtido quando 4 alunos de uma classe 
são sorteados; etc. 
 
Quando a experiência não apresentar eventos com características numéricas, pode-se 
adotar uma convenção numérica para representá-los, tornando-os numéricos. 
Entretanto, qualquer que seja a convenção adotada, a probabilidade permanecerá 
atrelada ao evento original. 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Trata-se da elaboração de uma tabela para sintetizar os resultados da experiência 
aleatória, a qual deverá ser composta por duas colunas: 
 
1ª coluna: eventos ou valores distintos assumidospela variável 
2ª coluna: probabilidades associadas a cada um desses eventos; 
 
Exemplo: elaborar a distribuição de probabilidades da experiência jogar um dado: 
 
Os eventos são as faces do dado = Xi  1, 2, 3, 4, 5, 6 
As probabilidades de cada face, segundo a definição clássica, = P(Xi) = 1 em 6 ou 1/6 
 
Eventos (faces do 
dado) 
1 2 3 4 5 6 Soma 
Probabilidades 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
Exemplo: elaborar a distribuição de probabilidades do número de caras resultantes 
quando jogamos duas moedas: 
 
O número de caras possíveis, ao jogar duas moedas é: nenhuma, uma ou duas caras. 
As probabilidades são: 
 
 
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18 
Nenhuma cara = 0 cara = 2 coras = C1xC2 = 0,5x0,5 = 0,25 = 
Uma cara = 1 cara = 1 cara e 1 coroa = (C1xK2)xC2,1 = (0,5x0,5)x2 = 0,50 (usando 
Combinação) 
Duas Caras = 2 caras = C1xC2 = 0,5x0,5= 0,25 
 
Eventos (número de 
caras) 
0 1 2 Soma 
Probabilidades 0,25 0,50 0,25 1 
 
 
Exemplo: Elaborar a distribuição da experiência: soma dos pontos obtidos no 
lançamento de dois dados. 
 
Foi visto anteriormente, que quando dois dados são lançados, o espaço amostral dessa 
experiência é dado por: 
 
 1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
A partir desse quadro, pode-se elaborar uma distribuição das probabilidades, através de 
uma tabela contendo duas colunas. A primeira, com os valores distintos assumidos pela 
variável e, a segunda, com as suas respectivas probabilidades. 
 
Notar que a soma 2 é obtida apenas 1 vez entre os 36 resultados. Assim sua 
probabilidade é 1/36 
Soma 3, é obtida 2 vezes entre os 36 resultados. Sua probabilidade é 2/36 e assim 
sucessivamente até soma igual a 12. A distribuição de probabilidade obtida é: 
 
Soma dos Pontos Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total 
Probabilidades. P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 
 
 
PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO 
 
Para essas distribuições também é possível calcular todo o conjunto de medidas 
descritivas já apresentados no programa de Estatística. Todavia, os parâmetros mais 
úteis nesses casos são: 
 
 Média Aritmética – como medida de posição. 
 Variância e Desvio-padrão – como medidas de dispersão. 
= S 
 
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19 
 
Fórmulas: 
 
Média:
)X(PX ii
 utiliza-se o símbolo da média populacional pois se está 
considerando todos os eventos possíveis da experiência. 
 
Variância: 
2
i
2
i
2 )X(PX
(método simplificado) 
 
Desvio-padrão: 
2
 
 
 
Exemplo: Na experiência de jogar duas moedas, qual a média e o desvio padrão do 
número de caras obtidas? 
 
Eventos (número de caras) = 
Xi 
0 1 2 Soma 
Probabilidades = P(Xi) 0,25 0,50 0,25 1 
XiP(Xi) 0 0,50 0,50 1,00 
Xi
2P(Xi) 0 0,50 1,00 1,50 
 
Para calcular a média e o desvio padrão são necessários os cálculos constantes do 
quadro acima: 
 
Média = 
)X(PX ii
= = 1 cara 
Variância = 
2
i
2
i
2 )X(PX
= 
2
 = 1,5 -12 = 0,5 cara2 
Desvio Padrão = =
5,0
 = = 0,7071 cara 
 
Exemplo: 
Na experiência da soma dos pontos do lançamento dos dois dados, calcular a média e 
o desvio padrão do número de pontos obtidos. 
 
A distribuição elaborada foi: 
Soma dos Pontos Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total 
Probabilidades. P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 
 
Fazendo-se os cálculos necessários, tem-se: 
 
Soma dos 
Pontos Xi 
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total 
Probabilidades. 
P(Xi) 
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 36/36 
XiP(Xi) 2/36 6/36 12/36 20/36 30/36 42/36 40/36 36/36 30/36 22/36 12/36 252/36 
Xi
2
P(Xi) 4/36 18/36 48/36 100/36 180/36 294/36 320/36 324/36 300/36 242/36 144/36 1974/36 
 
Média = = 252/36 = 7 pontos. 
 
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20 
Variância = 2 = (1974/36)-72 = 5,8333 pontos2. 
Desvio-Padrão = = 
8333,5
= 2,4152 pontos. 
PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância 
 
1. Somando-se ou subtraindo-se a cada valor de uma variável aleatória um valor de 
uma constante arbitrária (K), a média ficará somada ou subtraída do valor da 
constante. A variância não se altera. 
 
K)X()KX( ii
 e 
)X()KX( i
2
i
2
 
 
2. Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor de uma variável aleatória por um 
valor de uma constante arbitrária (K), a média fica multiplicada ou dividida pelo 
valor da constante. A variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado do 
valor da constante. 
 
)X(K)KX( ii
 
K)X()KX( ii
 
 
)X(K)KX( i
22
i
2
 
2
i
2
i
2 K)X()KX(
 
 
 
3. A média da soma ou diferença de duas variáveis aleatórias corresponde à soma 
de suas médias individuais. A variância da soma ou diferença de duas variáveis 
aleatórias independentes corresponde à soma de suas variâncias individuais. 
 
)Y()X()YX( iiii
 
)Y()X()YX( i
2
i
2
ii
2
  para Xi e Yi independentes 
 
 
 
 
 
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21 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
 
Algumas experiências apresentam certas características particulares que permitem a 
adaptação de modelos específicos para o cálculo de probabilidades. 
 
Os modelos aplicados às variáveis discretas existentes são: 
 
Modelo da Distribuição Binomial 
Modelo da Distribuição Hipergeométrica 
Modelo da Distribuição de Poisson 
Modelo da Distribuição Polinomial 
 
 
Modelo da Distribuição Binomial 
 
Aplicação Experiências aleatórias que podem ser repetidas n vezes 
(independentes), onde são possíveis apenas 2 resultados: sucesso 
e insucesso. As probabilidades do sucesso e do insucesso não se 
modificam durante as n repetições, o que torna as probabilidades 
constantes. Essa situação é típica de experiências realizadas com 
reposição. 
 
Considera-se uma experiência repetida n vezes onde o evento 
sucesso ocorrer x vezes com probabilidade p (constante) e o 
evento insucesso ocorre n-x vezes com probabilidade 1-p. 
Fórmula 
xnx
x,n )p1(pC)x(P
 onde: Cnx = 
)!xn(!x
!n
 = 
)!xn(!x
!n
P xn,xn
 
Parâmetros Média: = n p 
Variância: 2 = n p (1-p) 
Desvio Padrão: 
2
 
 
Exemplo: 
Numa loja de computadores para uso doméstico, pretende-se observar as decisões de 
compra dos cinco próximos clientes. O gerente do estabelecimento, com base na sua 
larga experiência anterior, estima que a probabilidade de qualquer um dos clientes 
realizar a compra é 20%. 
 
a) Qual a probabilidade de que 3 dos próximos 5 clientes realizem a compra? 
 
Solução: 
Em primeiro lugar, deve-se checar a possibilidade do uso do modelo Binomial. Para 
tanto é necessário constatar se existem apenas dois eventos: 
 
 Eventos: Próximo cliente compra ou próximo cliente não compra  2 eventos 
 
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22 
 Probabilidades: de comprar = 20% de não comprar 80%  supostamente 
constantes 
 A possibilidade de compra de um cliente não altera a possibilidade do outro 
cliente também comprar  situação de independência entre os eventos comprar 
ou não comprar. 
 
Assim é perfeitamente possível aplicar o modelo binomial para solucionar a questão. 
 
Informações necessárias: 
 
n = 5 clientes 
sucesso: cada cliente efetuar a compra 
p = 0,20 
1-p = 0,80 
x = 3 exatamente efetuarem a compra 
n-x = 2 
 
Aplicando a formula, tem-se: 
 
23
3,5 80,020,0C)3x(P
= 0,0512 = 5,12% 
 
O quadro abaixo resume as possibilidades de compra dos clientes, bem como os 
respectivos cálculos das probabilidades de cada situação e o resultado geral, obtido 
com a aplicação simples da fórmula acima. 
 
Clientes Clientes 
1º 2º 3º 4º 5º 1º 2º 3º 4º 5º TOTAL 
C C C N N 0,2 0,2 0,2 0,8 0,8 0,00512 
C C N N C 0,2 0,2 0,8 0,8 0,2 0,00512 
C N N C C 0,2 0,8 0,8 0,2 0,2 0,00512 
N N C C C 0,8 0,8 0,2 0,2 0,2 0,00512 
C C N C N 0,2 0,2 0,8 0,2 0,8 0,00512 
C N C N C 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,00512 
N C N C C 0,8 0,2 0,8 0,2 0,2 0,00512 
C N C C N 0,2 0,8 0,2 0,2 0,8 0,00512 
N C C N C 0,8 0,2 0,2 0,8 0,2 0,00512 
N C C C N 0,8 0,2 0,2 0,2 0,8 0,00512 
 TOTAL DAS POSSIBILIDADES 0,0512 
 Probabilidade 5,12% 
 
 
b) Qual a média e o desvio padrão do número declientes que deverão efetuar 
compras, considerando os próximos 5 clientes que entrarão na loja 
 
Lembrando que: 
 
 
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23 
Média: = n p  = 5x0,20 = 1 cliente 
Variância: 2 = n p (1-p)  2 =5x0,20x0,80 = 0,80 cliente2 
Desvio Padrão: 
2
 
80,0
= 0,8944 cliente 
 
c) Qual a probabilidade de que pelo menos 4 dos próximos 5 clientes realizem a 
compra? 
 
Nesse caso, as condições gerais não sofrem alterações. 
 
Informações necessárias: 
 
n = 5 clientes 
sucesso: cada cliente efetuar a compra 
p = 0,20 
1-p = 0,80 
x = 4 ou 5 no mínimo 4 = pelo menos 4 em 5 
n-x = 1 ou 0 
 
Aplicando a formula, tem-se: 
 
14
4,5 80,020,0C)4x(P
= 0,00640 
05
5,5 80,020,0C)5x(P
= 0,00032 = total = 0,00672 = 0,672% 
 
d) Tomando-se 6 grupos de 5 clientes cada um, qual a probabilidade de que no 
máximo 2 grupos, tenham tido exatamente 3 clientes que efetuaram compras. 
 
Essa situação é ligeiramente diferente das anteriores, pois nesse caso a experiência 
consiste em trabalhar com grupos de 5 clientes e considerar a probabilidade de cada 
grupo apresentar um certo número de clientes que efetuarão as compras. Trata-se de 
uma situação de binominal que utiliza informação de um outro cálculo de binomial. 
 
n = 6 grupos de 5 clientes 
sucesso: cada grupo ter exatamente 3 clientes que irão efetuar a compra 
p = 0,0512  vide item a 
1-p = 0,9488 
x = 0 ou 1 ou 2 grupos 
n-x = 6 ou 5 ou 4 grupos 
 
Aplicando a formula, tem-se: 
 
60
0,6 9488,00512,0C)0x(P
= 0,7295 
51
1,6 9488,00512,0C)1x(P
= 0,2362 
42
2,6 9488,00512,0C)2x(P
= 0,0319 = total = 0,9976 = 99,76% 
 
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24 
Modelo da Distribuição Hipergeométrica 
 
Aplicação Trata-se de modelo voltado a situações de cálculo de 
probabilidades em experiências com 2 eventos e que seja 
realizada sem reposição. 
Nestes caso considera-se: 
N = número total de elementos da população (espaço amostral) 
X = número de elementos com a característica “sucesso” na 
população; 
N-X = número de elementos com a característica “insucesso” 
na população; 
n = número de elementos da amostra selecionada 
x = número de elementos com a característica “sucesso” na 
amostra 
n-x = número de elementos com a característica “insucesso” na 
amostra 
Fórmula 
 
Parâmetros 
 
 
Sendo 
 
 
Exemplo: 
Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades. Antes que uma 
remessa seja enviada para o cliente, um inspetor escolhe 5 desses motores de cada 
um dos lotes e os inspeciona. Se nenhum motor apresentar defeito, o lote é aprovado. 
Caso contrário, o lote deverá sofrer inspeção total. Supondo que existam 3 motores 
defeituosos no lote, qual a probabilidade de que a inspeção total seja necessária. 
 
Solução: 
P(Inspeção total) = P(amostra apresentar 1 ou mais motores defeituosos) = 1-P(x=0) 
P(não sofrer inspeção total) = P(nenhum motor defeituoso na amostra) = P(x=0) 
 
N = 50; X = 3 N=X = 47 
n = 5; x = 0 n-x =5 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
Modelo da Distribuição Polinomial 
 
Aplicação Trata-se extensão de modelo binomial voltado a situações de 
cálculo de probabilidades em experiências com 3 eventos ou 
mais e que seja realizada com reposição. 
Fórmula 
Parâmetros 
 
 
 
 
Exemplo: 
Uma barra de comprimento especificado é fabricada e admitindo que o comprimento 
real X (em metros) seja uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo de 
[10,12]. Supondo que somente interesse saber se um dos três seguintes eventos tenha 
ocorrido: 
A1 = x<10,5 
A2 = x> 11,8 
A3 = 10,5 x 11,8 
Fabricadas 10 dessas barras, qual a probabilidade de se obter exatamente 5 barras 
com a característica A1 e exatamente 3 barras com a característica A3. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
Modelo da Distribuição de Poisson 
 
Aplicação Trata-se de um tipo especial de distribuição aplicada a um caso 
particular limite da Distribuição Binomial, onde o n tende ao 
infinito e a probabilidade do sucesso tende a zero. 
Nesses casos, o evento sucesso acontece um número finito de 
vezes (variável discreta) num intervalo contínuo (t). 
É conhecida apenas a freqüência com a qual o evento sucesso 
ocorre ( ) que é constante e proporcional ao intervalo contínuo 
em foi calculada. 
Fórmula 
P(x) = 
e
!x
x onde 
t
 
Formula de 
Recorrência 
P(x+1) = P(x) 
1x
 
 
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26 
 
 
Exemplo: 
A cada ano ocorrem 450 mortes acidentais por arma de fogo na faixa etária de 15-24 
anos (National Safety Council, Accident Facts, 1996). Pede-se: 
 
a) Qual a probabilidade de em uma semana não haver nenhuma morte acidental 
com arma de fogo? 
 
Nesse caso a freqüência da ocorrência do sucesso (morte acidental por arma de fogo) 
é = 450 por ano (365 dias) = = 1,232876712 ao dia. 
 
Se: t = 7 dias (uma semana) então = 1,232876712x7 = 8,63. 
 x = 0, ou seja, nenhuma morte. 
Aplicando a fórmula: 
 
P(x=0) = 
63,8
0
e
!0
63,8
= 0,000178664=0,0179% 
 
b) Em um dia, qual a probabilidade de ocorrer no máximo 1 morte acidental por 
arma de fogo? 
 
Nesse caso a freqüência da ocorrência do sucesso (morte acidental por arma de fogo) 
é = 450 por ano (365 dias) = = 1,232876712 ao dia. 
 
Se: t = 1 dias então = 1,232876712 = 1,2329. 
x = no máximo 1 morte acidental = 0 ou 1. 
 
 
Aplicando a fórmula: 
 
P(x=0) = 
2329,1
0
e
!0
2329,1
= 0,2914 
P(x=1) = 
2329,1
1
e
!1
2329,1
= 0,3593 = total = 0,6507 = 65,07% 
 
c) Em 2 dias, qual a probabilidade de ocorrer no mínimo 3 mortes acidentais por 
arma de fogo? 
 
Se: t = 2 dias então = 1,232876712x2 = 2,4658 
x = no mínimo 3 mortes acidentais = 3, 4, 5, 6, ... = 1-[P(0)+P(1) + P(2)] solução por 
complemento 
 
Aplicando a fórmula: 
 
 
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27 
 
P(x=0) = 
4658,2
0
e
!0
4658,2
= 0,0849 
P(x=1) = 
4658,2
1
e
!1
4658,2
= 0,2094 
P(x=2) = 
4658,2
2
e
!2
4658,2
= 0,2582 = total = 0,5525 = 1-0,5525 = 0,4475 = 44,75% 
 
Para situações onde o número de cálculos é grande, sugere-se a adoção da fórmula de 
recorrência, que permite calcular a probabilidade do 2º valor do x 
 
O primeiro cálculo deve ser feito sempre pela fórmula geral. 
 
P(x=0) = 
4658,2
0
e
!0
4658,2
= 0,0849 (no 1º cálculo utiliza-se a fórmula geral) 
P(x=1) = 
1
4658,2
0849,0
= 0,2093 (a partir do 2º cálculo utiliza-se a fórmula de 
recorrência) 
P(x=2) = 
2
4658,2
2093,0
= 0,2581 = total = 0,5523 = 1-0,5523 = 0,4477 = 44,77% 
(a diferença em relação a resultado obtido pela fórmula geral está associada à precisão 
dos cálculos). 
 
d) Em 2 dias, de um total de uma semana, não ocorra nenhuma morte fatal por 
arma de fogo por dia. 
 
Esse caso deixa de ser um cálculo de probabilidade pela distribuição de Poisson e 
passa a ser um caso típico de solução por distribuição binomial, pois agora a situação 
considera dias em que não há ocorrência de mortes fatais por arma de fogo e dias em 
que há mortes fatais por arma de fogo. 
 
n = 7 dias 
sucesso: cada dia ocorrer nenhuma morte fatal por arma de fogo. 
p = 0,2914 – vide P(0) do item b 
1-p = 0, 7086 
x = 2 dias 
n-x = 5 dias 
 
Aplicando a fórmula, tem-se: 
 
52
2,7 7086,02914,0C)2x(P
= 0,3186 = 31,86% 
 
 
 
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28 
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA 
 
Quando foi discutido o conceito de variável aleatória discreta, demonstrou-se que a 
variável podia assumir valores pontuais, que representavam os k eventos mutuamente 
exclusivos da experiência. Em função disso era perfeitamente possível associar a cada 
um desses valores pontuais, as respectivas probabilidades. Em se tratando de variável 
aleatória contínua, que é uma variável derivada de processos de medição, esta pode 
assumir infinitos valores diferentes, mesmo num intervalo contínuo. Assim, não é 
possível associar a cada um desses infinitos valores distintos um valor de 
probabilidade, pois a probabilidade de cada um deles acontecer de forma isolada e tão 
pequena, que pode ser considerada igual a zero. 
 
Assim, a probabilidade de uma variávelcontínua assumir um valor exato, tem um valor 
muito pequeno, tendendo a zero. Todavia, quando se considera um intervalo, a soma 
dos valores das probabilidades dos valores nele contido passa a ser representativa ou 
considerável. 
 
Com isso se quer demonstrar, que em se tratando de variável aleatória contínua: 
 
 Não há como calcular a probabilidade da mesma assumir um valor exato. Esta 
por definição pode ser considerada igual a zero. 
 Só é possível calcular a probabilidade da variável assumir valores contidos num 
certo intervalo, pois nesse caso, trabalha-se com as probabilidades acumuladas 
ou com as freqüências relativas acumuladas, conforme explicado na figura a 
seguir: 
 
 
 
 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 5 10 15 20
F
re
q
.R
e
la
ti
v
a
 A
c
u
m
u
la
d
a
Valores da Variável
FRA2
FRA1
 
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29 
A figura procura demonstrar, através de uma curva de freqüência relativa acumulada, 
onde o valor máximo é 1, que a probabilidade da variável assumir valores entre 10 e 15 
é igual à diferença entre as freqüências relativas acumuladas FRA2 e FRA1. 
 
1FRA2FRA)15x10(P
 
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL CONTÍNUA 
 
Existem alguns modelos de distribuições de probabilidades de variável contínua, a 
saber: 
 
 Distribuição Uniforme; 
 Distribuição Normal; 
 Distribuição Exponencial; 
 Distribuição t de Student; 
 Distribuição do Qui-Quadrado; 
 Distribuição do F de Snedecor. 
 
Nessa síntese teórica, será abordada apenas a distribuição normal. 
Distribuição Normal ou Gaussiana 
 
A distribuição Normal ou Gaussiana, idealizada por Gauss, é a mais importante das 
distribuições de probabilidades, pois grande parte dos fenômenos naturais tem 
distribuição normal ou distribuições que podem ser aproximadas por ela, respeitando-se 
determinadas condições de aproximação. O fato é que esta distribuição tem uma ampla 
variedade de aplicações práticas, como para peso de pessoas, níveis de inteligência 
(QI), medidas de níveis pluviométricos, medidas de qualidade, etc. 
 
Definição 
 
Considere a variável contínua Xi, que pode assumir qualquer valor entre . Esta 
variável será uma variável normal, se sua função densidade normal de probabilidade 
tiver o seguinte formato: 
 
2
2
i
2
)X(
e
2
1
)x(f
 
 
 
Características da Curva Normal 
 
 f(x) tem o formato de uma curva unimodal simétrica 
 f(x) tem o ponto de máximo em Mo=Me= 
 f(x) tem pontos de inflexão em 
1
 
 
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30 
 f(x) tende a zero em . 
 
A curva com essas características é apresentada na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Em relação a esta distribuição pode-se dizer que há uma família de curvas da 
distribuição normal de probabilidades diferentes, pois o seu formato depende da média 
e do desvio-padrão, ou seja, para cada valor de média e desvio padrão, tem-se uma 
curva diferente. O desvio-padrão irá determinar a largura da distribuição, podendo ser 
maior, conforme ilustração a seguir. 
 
 
 
 
 
 
A função Distribuição de f(x), permite calcular a área sob a curva normal e é dada por: 
 
F(Xi) = iX
)x(d).x(f
 ou 
F(Xi) = i 2
2
iX
2
)X(
)x(de
2
1 
Mo=Me=X 
Ponto de Inflexão 
+ 
50% 
 
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31 
 
Como essa integral depende basicamente do valor da média, do desvio-padrão e do 
valor do ponto desejado, foi possível padronizar esta variável, criando-se a variável 
normal padronizada, também conhecida como variável normal reduzida, dada por: 
 
iXZ
 
 
A variável normal padronizada Z representa o número de desvio-padrão existente entre 
o valor de Xi e a média. Como é utilizado o desvio-padrão e a média da série dos 
valores de Xi, a variável resultante (Z) é padronizada. A partir disso, foi possível 
construir uma tabela que fornece a área sob a curva normal expressa em porcentagens, 
para cada valor de Z padronizado obtido. 
 
 
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32 
TABELA VARIÁVEL NORMAL REDUZIDA (Z) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
0,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
1,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,10 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,20 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,30 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,40 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
1,50 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,60 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,70 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,80 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,90 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
2,00 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,10 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,20 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,30 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,40 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
2,50 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,60 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,70 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,80 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 
2,90 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
3,00 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
3,10 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 
3,20 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 
3,30 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 
3,40 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 
3,50 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 
3,60 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,70 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,80 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
3,90 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 
4,00 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 
Para valores de Z superiores a 4, considerar 0,5000 
 
 
 
 
 
 
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33 
Com essa tabela é possível calcular valores de área sob a curva normal expressa em 
porcentagem. Notar que o maior valor de probabilidade alcançado é 0,5000, que 
representa apenas um lado da distribuição, já que o outro é simétrico, ou seja, os 
valores de Z são negativos, e a área corresponde aos mesmos valores de Z positivos. 
 
Exemplo de utilização. 
Considere a distribuição das estaturas das pessoas adultas, com média igual a 170 cm 
e desvio padrão de 10 cm. Pede-se: 
 
a) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas superiores a 180 
cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A variável Xi= altura ou estatura das pessoas é uma variável contínua. 
Para calcular a P(Xi>180) é preciso em primeirolugar padronizar a variável, usando a 
fórmula de Z. 
 
Z = 
10
170180
=1,00  consultando-se a tabela percebe-se que 1,00 fornece o valor de 
0,3413 
 
Portanto, a área sob a curva normal entre 170 e 180 é 0,3413. 
Como acima da média 170 a área é igual a 0,5000, então acima de 180 a área é 
0,5000-0,3413=0,1587 
 
Logo, a P(Xi>180) = 0,1587 = 15,87%. 
 
Nesse caso, por ser uma variável contínua, é indiferente usar > ou 
 
b) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas inferiores a 170 
cm? 
 
 
 
 
 
 
170 180 Xi 
0,3413 
0,1587 
0,500
0 
 
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34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pretende-se calcular a P(Xi<170). Como a média é igual a 170 cm, a probabilidade de 
pessoas com estaturas abaixo de 170, considera toda a área sob a curva á esquerda 
da média. Essa área é igual a 50%. Portanto: 
 
P(Xi<170) = 0,5000 = 50% 
 
c) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas entre 175 e 185 
cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade entre 175 e 185, deve ser obtida através da variável padronizada. 
 
10
170175
Z
= 0,50 e 
10
170185
Z
=1,50 
 
Consultando-se a tabela com 0,50 tem-se 0,1915 
Consultando-se a tabela com 1,50 tem-se 0,4332 
 
Entre 170 e 175 a área é igual a 0,1915 e 
Entre 170 e 185 a área é igual a 0,4332 
 
Para obter a área entre 175 e 185 basta fazer a diferença entre 0,4332 e 0,1915 = 
0,2417 
 
Assim, a P(175<Xi<185) = 0,4332-0,1915 = 0,2417 = 24,17% 
 
170 Xi 
0,50 
170 
185 Xi 
Área desejada = 0,2417 
175 
 
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35 
d) Qual a probabilidade de encontrar pessoas adultas com estaturas abaixo de 185 
cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando-se o Z referente a 185, se obtém 1,5, conforme demonstrado no item c 
anterior. Z = 1,5 corresponde a uma área de 0,4332. Então entre 170 e 185, tem-se 
uma área de 0,4332. A esta área deve ser agregada a área abaixo de 170 que, como 
vimos no item b acima, corresponde a 0,5000. Assim, pode-se dizer que a área abaixo 
de 185 equivale a: 0,5000+0,4332 = 0,9332. 
 
Logo a P(x<185) = 0,9332 = 93,32% 
 
 
Existem outras situações onde para poder desenvolver o cálculo de probabilidades 
usando a distribuição normal torna-se necessário agrupar mais de uma média e mais de 
um desvio padrão. Para essas situações as propriedades desses parâmetros podem 
ser ferramentas úteis. 
 
PROPRIEDADES DOS PARÂMETROS – Média e Variância 
 
Relembrando as propriedades da média e da variância: 
 
K)X()KX( ii
 e 
)X()KX( i
2
i
2
 
 
)X(K)KX( ii
 
K)X()KX( ii
 
 
)X(K)KX( i
22
i
2
 
2
i
2
i
2 K)X()KX(
 
 
)Y()X()YX( iiii
 
)Y()X()YX( i
2
i
2
ii
2
  para Xi e Yi independentes 
 
170 185 Xi 
0,50 0,4332 
 
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36 
Exemplo: 
Uma empresa contratou um serviço que envolve a realização de 5 tarefas consecutivas, 
sendo que cada tarefa só pode ser iniciada após o término da anterior. Supõe-se que 
as durações das tarefas sejam independentes e tenham distribuições normais, com 
médias e desvios padrões dados por: 
 
 Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 
Média (dias) 20 8 30 17 25 
Desvio-Padrão 4 3 8 5 2 
 
Segundo o contrato, o preço a ser pago será de R$ 200.000,00. O contato ainda 
estabelece que: 
 haverá um prêmio adicional de R$ 20.000,00 se o serviço for concluído em 
menos que 90 dias e, 
 haverá uma multa de R$ 50.000,00 se o serviço for concluído em mais que 120 
dias. 
 
Pergunta-se: Qual o favor do faturamento esperado para esse serviço? 
 
Resposta: 
Para que se possa calcular as probabilidades dos serviços terminarem antes de 90 ou 
após 120 dias, é necessário, em primeiro lugar, calcular a média e o desvio-padrão de 
todas as tarefas tomadas em conjunto. Para tanto, serão utilizadas as propriedades 
desses parâmetros. 
 
Tempo Total = Tempo da Tarefa 1 + Tarefa 2 + Tarefa 3 = Tarefa 4 + Tarefa 5 
 
A equação do Tempo Total fica: 
 
T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 
 
Aplicando-se as propriedades da média tem-se: 
 
54321 TTTTT()T(
  aplicando a 3ª propriedade tem-se: 
)T()T()T()T()T()T( 54321
 
)T(
 = 20+8+30+17+25 
)T(
 = 100 dias  tempo médio necessário par a conclusão dos trabalhos. 
 
Procedendo-se de forma análoga com a variância tem-se: 
 
54321
22 TTTTT()T(
  aplicando a 3ª propriedade tem-se: 
)T()T()T()T()T()T( 5
2
4
2
3
2
2
2
1
22
 
)T(2
 = 16+9+64+25+4 
)T(2
 = 118 dias2  variância do tempo necessário par a conclusão dos trabalhos. 
 
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37 
118)T(
 = 10,86 dias desvio padrão do tempo necessário par a conclusão dos 
trabalhos. 
 
 
 
Uma vez concluída esta etapa, é possível calcular as probabilidades dos serviços 
serem terminados em até 90 dias e após 120 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z = 
86,10
10090
= -0,92  consultando-se a tabela na linha 0,9 coluna 0,02 tem-se: 0,3212 
Z = 
86,10
100120
 = 1,84  consultando-se a tabela na linha 1,8 coluna 0,04 tem-se: 0,4671 
 
Portanto P(x<90) = 0,5000 – 0,3212 = 0,1788 
 P(90<x<120) = 0,3212 + 0,4671 = 0,7883 
 P(x>120) = 0,5000 – 0,4671 = 0,0329 
 
Com esses dados é possível elaborar a distribuição de probabilidade para o 
faturamento desse trabalho, que também pode ser utilizada para o cálculo do 
faturamento médio esperado: 
 
Ei Xi P(Xi) XiP(Xi) 
até 90 dias 220.000 0,1788 39.336 
de 90 a 120 200.000 0,7883 157.660 
acima de 120 150.000 0,0329 4.935 
 201.931 
 
Assim o faturamento médio esperado é de R$ 201.931,00 
 
 
100 120 Xi 
0,3212 0,4671 
90 
-0,92 1,84 Zi 
 
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38 
Modelo da Distribuição Exponencial 
 
O Modelo da Distribuição Exponencial exerce no âmbito das variáveis contínuas o 
mesmo papel que o Modelo da Distribuição de Poisson exerce entre as variáveis 
discretas. 
 
Serve para descrever o tempo, ou espaço, entre dois sucessos consecutivos de uma 
variável de Poisson, como por exemplo: 
 
 tempo entre falhas de equipamentos; 
 tempo entre chegadas de clientes a um shopping 
 área entre dois defeitos consecutivos de uma peça de tecido. 
 
Esses eventos são descritos pela distribuição exponencial. 
 
Uma variável t que tome todos os valores não negativos, terá distribuição exponencial, 
com parâmetros > 0 , se sua função densidade for dada por: 
 
f(t) = 
te
 para t > 0 
f(t) = 0 para quaisquer outros valores. 
 
 
É possível demonstrar que: 
 
Média: 
1
t
 
 
Variância: 
2
2 1t
 e Desvio –Padrão: 
1
t
 
 
Para o cálculo das probabilidades com o emprego da distribuição exponencial tem-se: 
 
P(t>t0) = 0te e P(t t0) = - 0te1 
Ilustração da distribuição Exponencial 
 
 
 
 
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39 
 
 
Exemplo: 
O tempo médio de atendimento dos clientes em um caixa de banco, num determinado 
período do dia é de 5 minutos. Admitindo que o tempo de atendimento tenha 
distribuição exponencial, determine a probabilidade de um cliente: 
 
a) esperar mais do 5 minutos para ser atendido. 
 
Solução 
 = 5 minutos 
Logo: 5 = 
1
 e 
5
1
= 0,2 
 
P(t > 5 minutos) = )5(2,0e = 0,3679 = 36,79% 
 
b) esperar menos do 5 minutos 
 
P(t < 5 minutos) = )5(2,0e1 = 1- 0,3679 = 0,6321 = 63,21% 
 
c) esperar entre 3 e 5 minutos 
 
P(3< t <8 minutos) = )8(2,0)3(2,0 ee = 0,5488 – 0,2019 = 0,3469 = 34,69% 
 
 
 
P(t>to) = ote 
P(t to) = ote1 
 
to 
 
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40 
 
 
Portanto a P(3< t <8 minutos) = 34,69% 
 
Essa distribuição também pode ser usada na teoria de confiabilidade 
 
Exemplo: 
 
Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja aproximadamente 
distribuída com tempo médio entre falhas de 100 horas. 
 
a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso? 
 
 
Solução 
 = 100 horas 
Logo: 100 = 
1
 e 
100
1
= 0,01 
 
P(t > 150 horas) = )150(01,0e =0,2231 = 22,31% 
 
b) Qual o número de horas para se ter confiabilidade de 90% (isto é de 
probabilidade de não falhar)? 
 
Pela Teoria de Confiabilidade:R(T) = te 
 
Então: 0,90 = t01,0e 
 
t = -100ln(0,90) = 10,54 horas 
8 3 
 
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41 
 
Assim, tem 90% de probabilidade do dispositivo não falhar antes de 10,54 horas 
 
 
REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS 
 
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIAMS, Thomas A. Estatística 
Aplicada à Administração e Economia. Editora Pioneira. São Paulo, 2002. 
 
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística 4ª 
Edição. Editora Atlas. São Paulo, 1993 
 
GUERRA, Mauri Jose; DONAIRE, Denis. Estatística Indutiva. Teoria e Aplicação 3ª 
Edição. Editora Livraria Ciência e Tecnologia, São Paulo, 1983. 
 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando Excel 5 e 7. Lapponi Treinamento e Editora. 
São Paulo, 1997. 
 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística Aplicada 2ª Edição. Pearson/Prentice Hall, 
São Paulo, 2004 
 
LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística. Teoria e 
Aplicações Usando o Microsoft Excel em Português. LCT Editora. São Paulo, 2000. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princípios de Estatística. 4ª Edição. 
Editora Atlas. São Paulo, 1990. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. Editora Atlas. São Paulo, 
2001. 
 
MURTEIRA, José Bento Ferreira. Probabilidades e Estatística – Volume I e II Editora 
MacGraw-Hill de Portugal Lda. – Lisboa , 1979 e 1980. 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística – 7ª Edição. Livros Técnicos e Científicos 
Editora. Rio de Janeiro, 1999. 
 
 
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42 
EXERCÍCIOS GERAIS 
 
1. Num município ocorreram 10 anos de seca num período de 100 anos. Qual a 
probabilidade se serem secos os três próximos. 
 
2. Duas pessoas atiram num alvo móvel simultaneamente. Sabe-se que a 
probabilidade da primeira pessoa acertar é 60% e da segunda acertar é 30%. 
Calcular a probabilidade de: 
a) Ambas acertarem. 
b) O alvo ser atingido. 
c) Só uma acertar. 
d) Nenhuma acertar. 
 
3. Numa caixa estão cinco moedas de cobre e três de prata. Retirando-se duas 
dessas moedas, qual a probabilidade delas serem: 
a) Ambas do mesmo metal. 
b) Uma de cada metal. 
 
4. Numa cidade, 20% dos carros são da marca X, 30% dos carros são taxi, 40% 
dos taxis são da marca X. Qual a probabilidade: 
a) Um carro, ao acaso, ser taxi e não ser da marca X; 
b) Um carro, ao acaso, da marca X, não ser taxi. 
 
5. As peças A, B, C de um automóvel, que na montagem devem ser ajustadas, são 
fabricadas por diferentes empresas e têm, respectivamente, 5%, 3% e 2% de 
probabilidade de serem defeituosas. Tomando-se um conjunto montado, qual a 
probabilidade dele: 
a) Ser totalmente perfeito; 
b) Conter somente a peça X defeituosa; 
c) Conter pelo menos 2 peças defeituosas. 
 
6. Um jogador joga um dado várias vezes até obter a face 2. Qual a probabilidade 
ele obter esse resultado se dispor de somente 4 jogadas? 
 
7. Uma pessoa quer abrir uma porta que está trancada a chave. Ela possuiu 10 
chaves, mas somente 1 abre a porta. As chaves são experimentadas uma após a 
outra sem reposição. Qual a probabilidade dela abrir a porta se dispor só de 4 
tentativas. 
 
8. Uma caixa contém 2 moedas de prata e 4 moedas de cobre. Uma segunda bolsa 
contém 4 moedas de prata e 3 moedas de cobre. Se duas moedas são 
selecionadas ao,acaso de uma das bolsas, qual a probabilidade delas serem do 
mesmo metal? 
 
 
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43 
9. Pretende-se colocar 5 bolas numa caixa, de acordo com o seguinte esquema. 
Joga-se um dado. Se der face par, coloca-se uma bola branca. Se der face 
impar, coloca-se uma bola vermelha. Calcular a probabilidade de: 
a) A caixa conter exatamente três bolas brancas. 
b) A caixa conter exatamente três bolas vermelhas, com a condição de que 
primeira bola colocada ser vermelha. 
c) A caixa conter pelo menos três bolas vermelhas. 
 
10. Sabe-se que 10% das peças produzidas em uma máquina são defeituosas. Qual 
a probabilidade de ser necessário fabricar 6 peças, para só então conseguir 4 
peças boas? 
 
11. Elaborar a distribuição de probabilidade formada pela diferença entre os pontos 
obtidos (em módulo) quando jogarmos dois dados. Calcular a média e o desvio 
padrão dessa distribuição. 
 
12. Uma empresa que aluga carros observou a seguinte freqüência de aluguel: 
Nº de Carros 
Alugados/dia 
0 1 2 3 4 5 6 
Nº de dias 5 25 50 60 30 20 10 
 Tendo a empresa 6 carros e sendo o valor do aluguel de R$ 70 por dia, calcular: 
a) A média e o desvio-padrão do número diário de carros alugados. 
b) O faturamento médio estimado em 50 dias de trabalho. 
 
13. Uma empresa vende três produtos, cujos lucros e probabilidades de venda estão 
anotados na tabela. Calcular: 
a) O lucro médio por unidade vendida, bem como o desvio padrão. 
b) O lucro total esperado, num mês em que foram vendidas 20.000 unidades. 
Produto A B C 
Lucro/Unid (R$) 10,00 7,00 5,00 
Prov. Venda (%) 20 30 50 
 
14. Um jogo consiste em se atirar um dado. Se der faces 1 ou 6, a pessoa ganha $ 
10,00 por ponto obtido; se der faces 2 ou 5, a pessoa ganha $ 5,00 por ponto 
obtido; se der faces 3 ou 4 a pessoa paga $ 15,00 por ponto obtido. Qual a 
esperança matemática de ganho desse jogo, bem como seu desvio-padrão? 
 
15. Uma caixa contém 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Retirando-se grupos de 4 bolas 
dessa caixa, ao acaso e com reposição, qual a média e o desvio-padrão do 
número de boas azuis obtidas? 
 
16. Em uma sala estão 10 pessoas, sendo 7 homens e 3 mulheres. Sorteando-se ao 
acaso e sem reposição 3 pessoas, qual a média e o desvio-padrão do número de 
homens obtidos no sorteio? 
 
 
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44 
17. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e desvio-
padrão de 0,5 g. Estas peças são acondicionadas em pacotes de uma dúzia 
cada. As embalagens pesam em média 30 g, com desvio-padrão de 1,2 g. Qual 
a média e o desvio padrão de uma caixa cheia. 
 
18. Um rebite é montado num furo. O diâmetro médio dos rebites fabricados vale 12 
mm e seu desvio-padrão 0,2 mm; o diâmetro médio dos furos vale 13 mm com 
desvio-padrão de 0,5mm. Chamando de folga a diferença entre o diâmetro do 
furo e o do rebite, qual a média e o desvio padrão da folga? 
 
19. Um produto tem custo médio de $ 10,00 com desvio-padrão de $ 0,80. Calcular o 
preço de venda médio, bem como o desvio padrão, de forma que o lucro médio 
seja de $ 4,00 e seu desvio padrão de $ 1,00. 
 
20. Um fundo de investimento recebe diariamente pedidos de compra de cotas de 
participação, os quais se distribuem segundo uma média de 2.000 cotas e 
desvio- padrão de 400 cotas. Por outro lado os resgates efetuados diariamente 
apresentam distribuição de média igual a 1.200 cotas e desvio-padrão de 300 
cotas. Ao encerrar o expediente verifica-se que o saldo de cotas é de 3.500.000. 
Sabe-se que no dia seguinte, 20 pessoas irão comprar e 15 irão efetuar 
resgates. Supondo que compras e resgates sejam independentes entre si, 
calcular a média e o desvio-padrão do número de cotas no final desse outro dia. 
 
21. Uma empresa tem 4 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia 
e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte: 
 
Nº Caminhões Alugados/dia 0 1 2 3 4 
Probabilidade de Alugar (%) 10 20 30 30 10 
 
Calcular: 
a) O número médio de caminhões alugados, bem como o desvio padrão; 
b) A média e o desvio-padrão do lucro diário, sabendo-se que: valor do aluguel 
por dia é igual a $ 3.000; despesa total diária com manutenção é igual a $ 
1.000 (quando o caminhão é alugado) e igual a $ 200 (quando o caminhão 
não é alugado). 
 
22. Numa grande indústria, 70% dos funcionários são do sexo masculino. 
Analisando-se grupos de seis funcionários, qual a probabilidade de: 
a) Um grupo ter no mínimo quatro funcionários do sexo masculino 
b) No mínimo dois grupos, de um conjunto de cinco grupos, apresentarem no 
máximo três funcionários do sexo masculino por grupo? 
 
23. Uma empresa vende mensalmente 50.000 caixas de um produto, sendo que 
cada caixa contém oitounidades. A proporção de peças defeituosas fabricadas 
pela empresa é de 10%. Se o cliente encontra no máximo duas peças 
defeituosas numa caixa, ele devolve somente as peças defeituosas. Porém se 
 
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45 
encontrar mais que duas peças defeituosas numa caixa, ele devolve a caixa 
inteira, como se todas as peças fossem defeituosas. Calcular: 
a) O número estimado de caixas vendidas no mês, que contém três ou mais 
peças defeituosas; 
b) O número estimado de peças boas recebidas em devolução, num mês, entre 
as peças devolvidas. 
 
24. Um aluno conhece bem 60% da matéria dada, Num exame constituído de 20 
questões, escolhidas as acaso sobre toda a matéria dada, calcular: 
a) A probabilidade de ele errar de 6 a 8 questões; 
b) A média e o desvio-padrão do número de questões que ele deve acertar. 
 
25. Um comprador deseja adquirir uma grande partida de certo produto. Para tomar 
essa decisão optou por proceder da seguinte forma: retira uma amostra de 10 
itens e se todos os itens forem perfeitos, a compra é feita. Porém se exatamente 
um item for defeituoso, outra amostra de igual tamanho será selecionada. A 
compra será então efetuada, se nessa nova amostra todos os itens forem 
perfeitos. Caso contrário haverá desistência. Supondo que há 10% de itens 
defeituosos na partida calcular a probabilidade de: 
a) A compra ser efetuada logo na primeira amostragem; 
b) A compra ser efetuada. 
 
26. Um industrial tem duas alternativas para a venda do seu produto, que é fornecido 
em lotes de 500 peças: 
 Comprador A que paga R$ 8,00 por peça e não exige nenhuma verificação 
do lote. 
 Comprador B que, para cada lote fornecido, retira uma amostra aleatória de 
10 peças e as examina: 
 Se todas as peças da amostra forem perfeitas, paga R$ 5.000,00 
pelo lote; 
 Se encontrar uma peça defeituosa, paga R$ 4.000,00 pelo lote; 
 Se encontrar duas ou mais peças defeituosas, para R$ 2.500,00 
pelo lote. 
Sabendo o industrial que 10% das peças produzidas apresentam defeitos, qual a 
melhor alternativa de venda? 
 
27. Sabe-se que 80% dos acidentes de trânsito ocorrem por imprudência dos 
motoristas. Analisando-se grupos de cinco desses acidentes, qual a 
probabilidade de: 
a) Mais da metade deles ter ocorrido por imprudência dos motoristas; 
b) No mínimo dois grupos, de um conjunto de seis desses grupos, ter tido no 
mínimo três acidentes por imprudência dos motoristas por grupo. 
 
28. Os nomes de 4 homens e 6 mulheres são escritos em bilhetes e colocados em 
uma caixa. Retirando-se grupos de 4 bilhetes, ao acaso, dessa caixa, sem 
reposição, pede-se calcular: 
 
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46 
a) A probabilidade de que os nomes de 2 homens e 2 mulheres estejam 
nesse grupo; 
b) A média e o desvio-padrão do número de homens nesse grupo. 
 
29. Numa grande fábrica 50% dos operários são brasileiros, 30% são alemães e 
20% são de outras nacionalidades. Mensalmente são sorteados 10 brindes entre 
os operários, sendo o sorteio feito com reposição. Calcular a probabilidade de: 
a) Num certo mês, 5 brindes saírem para operários alemães, 3 para 
brasileiros e 2 para outras nacionalidades; 
b) Num certo mês 8 brindes saírem para empregados alemães; 
 
30. A oficina de manutenção de uma indústria pode atender, no horário normal de 
trabalho, até quatro casos de quebras de máquinas por dia. Se quebrarem mais 
que quatro máquinas, a oficina deverá recorrer a horas extras para poder 
atender a essas ocorrências. Sabendo-se que quebram em média três máquinas 
por dia, calcular: 
a) O custo médio mensal (25 dias) estimado com horas extras, sabendo que 
o custo diário com horas extras é de R$ 2.000,00. 
b) A probabilidade de a oficina ter que fazer horas extras em 2 ou mais dias 
de uma semana de seis dias. 
 
31. As faces de um dado são confeccionadas com chapas de acrílico de 10x10 cm. 
Em média aparecem 65 defeitos por metro quadrado dessas chapas. Qual a 
probabilidade de: 
a) Uma face apresentar no máximo dois defeitos; 
b) Pelo menos cinco das faces serem perfeitas. 
 
32. O número de defeitos de solda e de acabamento de uma certa marca de radio 
são variáveis de Poisson, independentes, de média 1,2 defeitos por rádio e 0,8 
defeitos por rádio, respectivamente. Calcular a probabilidade de: 
a) Um rádio não ser perfeito; 
b) Um rádio ter no máximo um defeito de cada tipo. 
 
33. Um certo artigo consome 750 m de fio de nylon. Tal fio rompe em média duas 
vezes a cada 1.000 metros. O lucro e a qualidade dos artigos estão relacionados 
da seguinte maneira: 
Qualidade Nº de 
emendas 
Lucro unitário 
1ª nenhuma R$ 50,00 
2ª 1 ou 2 R$ 20,00 
3ª 3 ou mais R$ 10,00 
Sendo a produção mensal da empresa de 10.000 artigos, qual o lucro total 
estimado? 
 
34. O número médio de chegada de navios petroleiros num porto é de 3,44. Tal 
porto tem capacidade de receber, nas condições atuais, até quatro desses 
 
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47 
navios por dia. Chegando mais do que quatro navios, o excedente deve ser 
enviado para outro porto, implicando num custo médio diário de transporte de R$ 
5.000,00. Calcular: 
a) A perda média mensal (30 dias), devido a não se poder receber todos os 
navios que chegam; 
b) Qual deveria ser a nova capacidade desse porto, para poder atender a no 
mínimo 90% dos navios que chegam diariamente? 
 
35. Um vendedor de uma industria recebe em média a 4,72 pedidos diários de 
compra de um equipamento. Ele tem um ganho comporto de uma parte fixa 
diária de R$ 100,00 e um ganho variável de R$ 30,00 por unidade vendida (se 
vender mais que três unidades) ou de R$ 25,00 por unidade vendida (se vender 
até três unidades). Sabendo-se que seu estoque diário par venda é de sete 
unidades, calcular a média e o desvio padrão do seu ganho diário. 
 
36. Um tear produz tecido com largura de 2,5 m. Defeitos de produção aparecem 
aleatoriamente no tecido, à razão média de um defeito a cada 2 m de 
comprimento. Qual a probabilidade de: 
a) Um corte de 2,5 m2 ter dois ou mais defeitos? 
b) Exatamente três cortes, de um grupo de quatro cortes desse tipo, serem 
perfeitos? 
 
37. O número semanal de unidades vendidas de certo produto de uma empresa 
recebe tem distribuição normal de média 125 unidades e desvio-padrão de 30 
unidades. Se numa semana o estoque é de 150 unidades, qual a probabilidade 
de que todos os pedidos sejam atendidos? Qual deveria ser o estoque para que 
se tivesse 98% de probabilidade de todos os pedidos seriam atendidos? 
 
38. Um elevador pesa 300 quilos e, em cada viagem ele leva três pessoas. Sendo o 
peso unitário das pessoas uma distribuição normal de média 70 quilos e desvio 
padrão de 3,5 quilos e sabendo-se que se o peso total ultrapassar 515 quilos há 
uma multa de R$ 2.000,00, calcular: 
a) Qual o gasto esperado com multa em 500 viagens? 
b) Qual deve ser a carga crítica de tal forma que em um total de 1.000 viagens, 
só duas ultrapassem tal carga crítica? 
 
39. A análise das vendas de um produto numa loja mostrou que em 10% dos dias 
úteis vendeu-se menos que 84 unidades e, que em 1,5% dos dias úteis vendeu-
se mais que 200 unidades. Supondo distribuição normal para as vendas diárias, 
calcular: 
a) A média e o desvio padrão das vendas diárias; 
b) A probabilidade de vender mais que 180 unidades num dia. 
 
40. As variáveis X, Y e Z estão relacionadas pela equação: X = 2,5Y – 0,99Z + 23,3. 
Sabendo-se que Y=N(200; 64), que Z=N(150; 25) e que Y e Z são variáveis 
independentes, calcular: 
a) A média e o desvio padrão de X; 
 
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48 
b) o valor de k, tal que 
%44kXkP
 
 
41. Uma peça tem um peso distribuído normalmente, com média 50 g e desvio 
padrão de 6 g. calcular a probabilidade de: 
a) O peso total de 10 peças ser superior a 510 g. 
b) Pegando-se uma amostra de nove peças, com reposição, três delas 
pesarem menos de 44 gramas. 
 
42. Numa escola, verificou-se que 86,86% dos alunos são menores que 145,6 cm e 
que 1,25% são menores que 128,8 cm. Supondo distribuição

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