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MEDIDAS DESCRITIVAS - 2010

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC 
UFABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
MEDIDAS DESCRITIVAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. Dr. OSMAR DOMINGUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
 
MEDIDAS DESCRITIVAS .......................................................................................... 3 
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL ..................................... 3 
MÉDIA ARITMÉTICA (
X
 ou ) .......................................................................... 3 
Cálculo da Média Aritmética................................................................................ 3 
1. Séries Simples = lista de dados = dados brutos .......................................... 3 
2. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável Discreta ou Contínua ..................... 4 
MÉDIA GEOMÉTRICA (G).................................................................................. 5 
Cálculo da Média Geométrica ............................................................................. 5 
1. Séries Simples ............................................................................................ 5 
2. Séries Agrupadas – Tabelas – Variável Discreta ou Contínua ..................... 7 
MÉDIA HARMÔNICA (H) .................................................................................... 9 
Cálculo da Média Harmônica .............................................................................. 9 
1. Séries Simples ............................................................................................ 9 
2. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável discreta ou Contínua ................... 10 
MODA (Mo) ....................................................................................................... 11 
Cálculo da Moda ............................................................................................... 11 
1. Séries Simples .......................................................................................... 11 
2. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável Discreta ou Continua ................... 11 
MEDIANA (Me) ................................................................................................. 12 
Cálculo da Mediana ....................................................................................... 12 
1. Séries Simples .......................................................................................... 12 
1.1. Quando n (nº de elementos) é impar................................................... 12 
1.2. Quando n (nº de elementos) é par ...................................................... 13 
2. Séries Agrupadas – Tabelas – Variável Discreta ou Continua ................ 13 
2.1 Quando n = 
Fi
= for impar ................................................................ 13 
2.2 Quando n = 
Fi
= for par ................................................................... 14 
MEDIDAS DE ORDENAÇÃO ............................................................................ 15 
Cálculo de Separatrizes ou Medidas de Ordenação ......................................... 16 
1. Séries Simples e Séries Agrupadas (V. Discretas ou Contínuas). ................. 16 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE .......................................... 19 
1. VARIÂNCIA................................................................................................... 21 
2. DESVIO-PADRÃO ........................................................................................ 22 
3. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ..................................................................... 23 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA ................................................................................. 26 
MEDIDA DE CURTOSE ....................................................................................... 28 
TESTE DE NORMALIDADE UNIVARIADA DA SÉRIE ......................................... 29 
OUTLIERS OU DADOS EXTREMADOS .............................................................. 30 
USANDO O EXCEL .............................................................................................. 31 
Referências Bibliográficas. ................................................................................... 34 
 
 
3 
MEDIDAS DESCRITIVAS 
 
São métodos numéricos que integram o ramo da estatística descritiva, que são 
utilizadas para descrever e analisar fenômenoS coletivoS. Dividem-se em: 
 
 Medidas de Posição. 
 Medidas de Ordenação. 
 Medidas de Dispersão. 
 Medidas de Assimetria. 
 Medidas de Curtose. 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
São utilizadas para representar fenômenos coletivos através de um único valor, que 
fornece uma idéia geral a respeito do fato ou fenômeno analisado. Dividem-se em: 
 
Matemáticas: 
 Média Aritmética 
 Média Geométrica 
 Média Harmônica 
Não Matemáticas: 
 Moda e 
 Mediana 
 
MÉDIA ARITMÉTICA (
X
 ou ) 
 
 É a mais intuitiva e uma das mais importantes das medidas de posição. 
 Tem uso generalizado., 
 Deve ser empregada com cuidado, pois, por ser uma medida matemática, 
sofre influência de todos os valores presentes na série. 
 Na hipótese da presença de dados extremados na série, a média aritmética 
terá sua representatividade afetada negativamente. 
 É representada por: 
 
 
X
  Para uma amostra. 
  Para uma população. 
 
 
Cálculo da Média Aritmética 
1. Séries Simples = lista de dados = dados brutos 
 
Sejam X1, X2, X3, ...Xn, os n valores assumidos pela variável Xi, representando uma 
série simples. A média aritmética simples desse conjunto de dados e obtida por: 
 
 
 
4 
X
 = = 
n
XXXX n321 
=
X
 = =
n
X i
 
 
Exemplo: Uma empresa apresentou durante 6 meses sucessivos de expansão, as 
seguintes quantidades de empregados: 4, 6, 8, 9, 12, 15. Calcular o número médio 
de empregados do período. 
 
Solução: o problema não especifica se os dados representam uma amostra ou uma 
população. Assim, pode-se considerar a média populacional. 
 
X
 = =
9
6
54
6
15129864
 empregados. 
 
 
2. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável Discreta ou Contínua 
 
Os dados Xi (X1, X2, X3, ..., Xn) que apresentam repetições, respectivamente, F1, F2, 
F3, ...,Fn, têm média aritmética ponderada dada por: 
 
X
 = = 
i
ii
n321
nn332211
F
FX
FFFF
FXFXFXFX

 
 
Exemplo: Os dados constantes da tabela abaixo, referem-se ao número de 
empregados de uma amostra de 40 empresas do setor metalúrgico do ABC. 
Calcular o número médio de empregados desta amostra. 
 
Número de 
Empregados 
(Xi) 
Número de 
Empresas 
(Fi) 
4 3 
6 10 
8 12 
9 3 
12 9 
15 3 
Soma 40 
 
Solução: Nesse caso, percebe-se que os dados estão agrupados em uma 
distribuição de freqüência e que a variável (Xi) é discreta. Logo a solução consiste 
em aplicar a fórmula da média aritmética ponderada. 
 
Deve-se, portanto, desenvolver uma coluna adicional contendo o produto de Xi por 
Fi e o respectivo somatório. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Número de 
Empregados 
(Xi) 
Número 
de 
Empresas 
(Fi) 
Calculo 
Auxiliar:XiFi 
4 3 12 
6 10 60 
8 12 96 
9 3 27 
12 9 108 
15 3 45 
Soma 40 348 
 
A média aritmética amostral será: 
X
 = 
i
ii
F
FX = 
40
348
 = 8,7 empregados 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA (G) 
 
Trata-se de um tipo especial de média, que deve ser utilizada sempre que as séries 
representarem: 
 
 Progressão Geométrica (PG); ou 
 Porcentagens Sucessivas (quando diferentes porcentagens incidem uma 
sobre as outras). 
 
Nestes casos a média aritmética não se mostram adequadas pois não desconsidera 
a incidência cumulativa dos dados. 
 
As progressões geométricas não são comuns em assuntos empresariais, mas não é 
incomum o surgimento de séries com crescimento exponencial, situação em que a 
média geométrica é a mais indicada. 
 
Cálculo da Média Geométrica 
1. Séries Simples 
 
Sejam X1, X2, X3, ...Xn , os n valores assumidos pela variável Xi, representativo de 
uma série simples, no formato de uma PG, a média geométrica simples desse 
conjuntode dados e obtida por: 
 
n
n321 XXXXG 
= 
n
iX
 
 
Exemplo: Dados: 4, 8, 16, 32, 64, 128 calcular a média desse conjunto de dados. 
 
 
 
6 
Solução: O problema não especifica qual das médias deve ser utilizada. Porém, 
observando-se que os dados representam uma PG, deve ser utilizada a média 
geométrica, pois a radiciação elimina o efeito exponencial da PG. 
 
6 128x64x32x16x8x4G
(4x8x16x32x64x128)(1/6) = (134.217.728)(1/6) = 22,627 
 
 
Exemplo: As porcentagens abaixo foram obtidas através de números relativos 
seqüenciais de base móvel. Pede-se determinar a porcentagem média do período. 
 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
7,25% 6,39% 4,36% 2,88% 3,78% 2,10% 
 
Solução: A série foi obtida através de números relativos de base móvel. Assim são 
porcentagens sucessivas, onde deve ser aplicada a média geométrica para que se 
possa eliminar o efeito cumulativo das porcentagens. 
 
Antes, porém, as porcentagens devem ser transformadas em números relativos, 
aplicando-se a formula: 
 
1
100
%x
 os resultados das transformações são: 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun 
7,25% 6,39% 4,36% 2,88% 3,78% 2,10% 
1,0725 1,0639 1,0436 1,0288 1,0378 1,0210 
 
Em seguida, calcula-se a média geométrica dos números relativos, como indicado a 
seguir: 
 
6 0210,10378,10288,10436,10639,10725,1 xxxxxG
= G = (1,29808) (1/6) = 
G = 1,04444 = nº relativo médio 
 
Para retornar para porcentagem, deve-se percorrer caminho inverso, ou seja: 
 
(nº relativo – 1) x 100 
 
(1,04444 -1)x100 = 4,444% taxa média do período. 
 
 
 
 
 
 
 
7 
2. Séries Agrupadas – Tabelas – Variável Discreta ou Contínua 
 
 
 
Sejam X1, X2, X3, ..., Xn os n valores assumidos pela variável Xi, representativo de 
uma série no formato de uma PG. Se os dados Xi apresentam repetições, 
respectivamente, F1, F2, F3, ...,Fn, então a média geométrica ponderada desse 
conjunto de dados será obtida por: 
 
i n321
F F
n
F
3
F
2
F
1 XXXXG 
 = G = 
i iF F
iX
 
 
Exemplo: Dados: 
 
Variável Xi 4 8 16 32 64 128 
Freqüência Fi 3 5 2 3 4 2 
 
Pede-se, calcular a média desse conjunto de dados. 
 
Solução: O problema não especifica qual das médias deve ser utilizada, porém, 
observa-se que os dados representam uma PG. Nesse caso, deve ser utilizada a 
média geométrica, pois a radiciação elimina o efeito exponencial da PG. 
 
19 243253 128x64x32x16x8x4G
 (43x85x162x323x644x1282)(1/19) = 
G = (4,8357x1024)(1/19) = 19,915 
 
Como pode ser observado no exemplo, o produto de potências pode conduzir a 
números muito altos, cujo cálculo pode se tornar inviável até para máquinas de 
calcular com maior capacidade de memória e dígitos. A solução alternativa que se 
apresenta, consiste em utilizar logaritmos decimais (base 10) e transformar as 
fórmulas para as que se seguem: 
 
 
Série Simples: 
n
)X(log
Glog
i
  G = antilog do log G  G = 10x 
 
Série Ponderada: 
i
ii
F
]F)X[(log
Glog
  G = antilog do log G  G = 10x 
 
Também é possível empregar logaritmo natural (base e), quando as fórmulas são 
adaptadas para: 
 
Série Simples: 
n
)X(ln
Gln
i
  G = antilog do ln G  G = ex 
 
 
 
8 
Série Ponderada: 
i
ii
F
]F)X[(ln
Gln
  G = antilog do ln G  G = ex 
 
Exemplo: Resolver os exemplos anteriores, utilizando logaritmos. 
 
1. Série Simples 
 
 
Usando Logaritmo na base 10 
 
O primeiro passo consiste em calcular os logarítmos dos valores das séries: 
 
Xi 4 8 16 32 64 128 Soma 
logXi 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 8,1278 
 
Em seguida, calcula-se a soma dos logXi, tem-se: 8,1278. 
 
Assim, logG = 
3546,1
6
1278,8
. Fazendo-se o antilog, tem-se G = 101,3546 = 22,63. 
 
Usando logaritmo natural (ln): 
 
O primeiro passo consiste em calcular os logarítmos naturais dos valores das séries: 
 
Xi 4 8 16 32 64 128 Soma 
lnXi 1,3863 2,0794 2,7726 3,4657 4,1589 4,852 18,7149 
 
Somando-se os lnXi, tem-se: 18,7149. 
 
Assim, lnG = 
1192,3
6
7149,18
. Fazendo-se o antilog, tem-se G = e3,1192 = 22,63. 
 
2. Série Agrupada 
 
Usando Logaritmos na Base 10 
 
O primeiro passo é, novamente, calcular os logaritmos dos valores da variável: 
 
Xi 4 8 16 32 64 128 Somas 
Fi 3 5 2 3 4 2 19 
LogXi 0,6021 0,9031 1,2041 1,5051 1,8062 2,1072 
(LogXi)Fi 1,8063 4,5155 2,4082 4,5153 7,2248 4,2144 24,6845 
 
Em seguida, calcule o produto dos logaritmos pelas freqüências simples. Some 
esses produtos 
A média Geométrica Ponderada é obtida por 
19
6845,24
log G
= 1,2991 
Fazendo-se o antilog, tem-se G = 101,2991 = 19,915. 
 
 
9 
Usando Logaritmos Naturais 
 
Também se pode obter o mesmo valor usando logaritmo natural, conforme segue: 
 
Xi 4 8 16 32 64 128 Somas 
Fi 3 5 2 3 4 2 19 
lnXi 1,3863 2,0794 2,7726 3,4657 4,1589 4,852 
(lnXi)Fi 4,1589 10,397 5,5452 10,3971 16,6356 9,704 56,8378 
 
A média Geométrica Ponderada é obtida por 
19
8378,56
Gln
= 2,9915 
Fazendo-se o antilog, tem-se G = e2,9915 = 19,915. 
 
 
MÉDIA HARMÔNICA (H) 
 
Trata-se de um outro tipo especial de média, que deve ser utilizada sempre que a 
série apresentar uma relação inversa entre os dados, como por exemplo, nos casos 
de cálculo de velocidade média, pois na medida que a velocidade aumenta, o tempo 
do trajeto diminui. 
 
A média Harmônica corresponde ao inverso da média aritmética com os dados 
invertidos. A utilização dos inversos na fórmula elimina a relação inversa existente 
na série de dados. 
 
Cálculo da Média Harmônica 
 
1. Séries Simples 
 
Sejam X1, X2, X3, ...,Xn , os n valores assumidos pela variável Xi, representativo de 
uma série simples. A média harmônica simples desse conjunto de dados e obtida 
por: 
 
iX
1
n
H
 
 
Exemplo: Os tempos de escoamento do estoque de um produto em três lojas de 
uma mesma rede de supermercados foram: Loja 1 = 8 meses; Loja 2: 10 meses; 
Loja 3: 6 meses. Determinar o tempo médio de escoamento dos estoques nas três 
lojas. 
 
 
 
10 
Solução: Admite-se que nesse caso os estoques das três lojas são iguais. Nesse 
caso, deve-se empregar a média harmônica, que é mais apropriada do que a média 
aritmética, em função da existência de uma relação inversa entre velocidade e 
tempo. 
 
66,7
391667,0
3
6
1
10
1
8
1
3
H
meses. 
 
 
2. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável discreta ou Contínua 
 
 
Sejam X1, X2, X3, ..., Xn os n valores assumidos pela variável Xi, representativo de 
uma série que apresenta uma relação inversa. Se os dados Xi apresentam 
repetições, respectivamente, F1, F2, F3, ...,Fn, então a média harmônica ponderada 
desse conjunto de dados será obtida por: 
 
i
i
i
X
F
F
H
 
 
 
Se os estoques mencionados no exemplo anterior não fossem iguais, deve-se 
ponderar os tempos de escoamento com os respectivos estoques. Nesse caso, a 
formula a ser utilizada deveria ser a da média harmônica ponderada. 
 
 
Exemplo: O estoque de matéria prima de uma fábrica está distribuído por três 
unidades diferentes. Os tempos de escoamento desses estoques também são 
diferentes e estão apresentados no quadro a seguir: 
 
Unidade A B C 
Tempo de Escoamento (Xi) 15 22 25 
Estoque em Unidades (Fi) 1.800 1.500 2.000 
 
 
Solução: Para calcular o tempo médio de escoamento do estoque foram efetuados 
os cálculos abaixo: 
 
Unidade A B C Somas 
Tempo de Escoamento (meses) 15 22 25 
Estoque em Unidades 1.800 1.500 2.000 5.300 
(Fi/Xi) 120 68,1818 80 268,1818 
 
A média harmônica é dada por 
1818,268
300.5
H
= 19,763 meses 
 
 
11 
MODA (Mo) 
 
A Moda é uma medida de posição considerada não matemática porque não envolve 
todos os elementos da série. É utilizada para destacar o elemento que mais se 
repete num conjunto de dados, ou seja, a moda é o elemento que apresenta a maior 
freqüência num certo conjunto de dados, representativo de um fenômeno coletivo. 
 
Cálculo da Moda 
1. Séries Simples 
 
A moda não é calculada. Apenas indicada. 
 
Exemplo: Dados Xi = 2, 4, 6, 8, 4, 6, 10, 4. Calcular a moda. 
Solução: Neste caso, a série e simples. Basta identificar qual é o elemento mais 
freqüente: 
 
Mo = 42. Séries Agrupadas = Tabelas – Variável Discreta ou Continua 
 
 
Nesse caso a moda corresponde ao elemento que apresenta a maior freqüência e, 
portanto, também é facilmente identificado. 
 
 
Exemplo: A tabela abaixo representa o número de empregados de uma amostra de 
55 empresas: 
 
Nº de Empregados 0 1 2 3 4 5 
Nº de Empresas 5 15 22 9 3 1 
 
Solução: A maior freqüência nessa distribuição é 22. Assim, a moda do número de 
funcionários desta amostra é 2, ou seja, Mo = 2 funcionários, indicando que o número 
mais freqüente de funcionários na amostra é 2 (irmãos). 
 
 
 
12 
MEDIANA (Me) 
 
A Mediana também é uma medida de posição não matemática porque não envolve 
todos os elementos da série. 
 
É utilizada para destacar o elemento central em um conjunto de dados, ou seja, a 
mediana é o elemento que divide uma série em duas partes iguais. 
 
É uma medida de posição importante porque deixa 50% dos elementos da série 
abaixo do seu valor e 50% dos elementos da série acima do seu valor. Por isso é 
considerada uma medida robusta. 
 
Além disso, por estar no centro da série, a mediana não sofre interferência dos 
valores extremos. Exatamente por isso acaba sendo uma medida mais útil e mais 
interessante do que a própria média, principalmente para a análise e interpretação 
de fatos sócio-econômicos. 
 
Cálculo da Mediana 
1. Séries Simples 
1.1. Quando n (nº de elementos) é impar 
 
Nesse caso a mediana terá o valor correspondente ao termo central, após a série ter 
sido arranjada em ordem crescente. 
 
Exemplo: Os salários de 7 pessoas graduadas em Economia que trabalham no 
departamento Econômico de uma empresa: 
 
Dados: Xi= 2.350; 2.450; 2.550; 2.380; 2.255; 2.210; 2.390. 
 
Solução: Colocando-se os dados em ordem crescente, tem-se: 
 
Xi = 2.210; 2.255; 2.350; 2.380; 2.390; 2.450; 2.550. 
 
 
 
n = 7  impar. Logo a mediana é igual ao termo central 
 
2.210 2.255 2.350 2.380 2.390 2.450 2.550 
 
 
 
 
 
Termo Central: 4º elemento: valor = R$ 2.380 = Mediana 
Me = 2380  50% das pessoas ganham até $ 2.380. 
Elemento Central = Me = 2380 
 
 
13 
1.2. Quando n (nº de elementos) é par 
 
Nesse caso a mediana terá o valor correspondente à média aritmética simples dos 
valores dos dois termos centrais, após a série ter sido arranjada em ordem 
crescente. 
 
 
Exemplo: Os salários de 8 pessoas graduadas em Economia que trabalham no 
departamento Econômico de uma empresa: 
 
Dados: Xi= 2.350; 2.450; 2.550; 2.380; 2.255; 2.210; 2.390; 2.630. 
 
Solução: Ordenando-se a série tem-se: 
 
 Xi = 2.210; 2.255; 2.350; 2.380; 2.390; 2.450; 2.550; 2.630. 
 
n = 8  par. Logo a mediana é igual à média aritmética simples dos valores dos dois 
termos centrais, 
 
 
2.210 2.255 2.350 2.380 2.390 2.450 2.550 2.630 
 
 
 
 
 
Termos Centrais: 4º elemento = 2.380; 5º elemento = 2.390 
 
Me = 
2
23902380
 = 2.385  50% dos empregados recebem salários de até $2.385 
 
 
2. Séries Agrupadas – Tabelas – Variável Discreta ou Continua 
 
 
Nesse caso o processo de cálculo é semelhante ao descrito para a série simples. 
Por ser uma distribuição de freqüência, os dados já estão em ordem crescente. 
Caso isso não ocorra, a série deve ser ordenada previamente. 
2.1 Quando n = 
Fi
= for impar 
Nesse caso a mediana terá o valor do termo central, dado por TC = 
2
1n
 
 
Elementos Centrais 
 
 
14 
Exemplo: Abaixo é apresentada a distribuição do número de funcionários de um 
conjunto de 55 empresas. 
 
Nº Funcionários (Xi) 0 1 2 3 4 5 
Nº Empresas (Fi) 5 15 22 9 3 1 
Fiac 5 20 42 51 54 55 
 
 
Solução: n é impar. O Termo Central = TC = 
2
155
=28º elemento da série – ou seja 
a mediana terá o valor correspondente ao 28º elemento da série. Olhando-se para a 
freqüência acumulada, nota-se que o valor correspondente ao 28º elemento é 2. 
Logo: 
 
Me = 2 funcionários 
50% das empresas têm até 2 funcionários. 
 
2.2 Quando n = 
Fi
= for par 
 
Nesse caso a mediana terá o valor correspondente à média aritmética dos valores 
dos dois termos centrais, dados por TC = 
2
n
 e 
1
2
n
 
 
Exemplo: Abaixo é apresentada a distribuição do número de funcionários de um 
conjunto de 80 empresas: 
 
Nº Funcionários (Xi) 0 1 2 3 4 5 
Nº Empresas (Fi) 5 15 20 23 10 7 
Fiac 5 20 40 63 73 80 
 
Solução: n é par. Os Termos Centrais são TC = 
2
80
= 40º elemento da série e 
1
2
80
 
= 41º elemento da série. 
 
Valor do 40º elemento da série = 2 
Valor do 41º elemento da série = 3. Portanto 
 
Me = 
2
32
= 2,5 funcionários 
50% das empresas têm até 2,5 funcionários. 
 
 
 
 
15 
MEDIDAS DE ORDENAÇÃO 
 
São medidas que são utilizadas para fazer cortes ordenados em uma série, visando 
a identificação de características relevantes. Dividem-se em: 
 
 Quartis 
 Decis 
 Percentis 
 
 
 
1. QUARTIS 
 
São os elementos de uma série, que a dividem em 4 partes iguais, ou seja, de 25% 
em 25% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. DECIS 
 
São os elementos de uma série, que a dividem em 10 partes iguais, ou seja, de 10% 
em 10% 
 
 
 
 
 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 … 
 
3. PERCENTIS 
 
São os elementos de uma série, que a dividem em 100 partes iguais, ou seja, de 1% 
em 1% 
 
 
 
 
 
 
 P10 P11 P25 P50 P75 
 
 
25% 
Q1 Q2 Q3 
10% 
1% 
 
 
16 
Notar que os percentis, por efetuarem cortes de um em um por cento, podem 
substituir todas as outras separatrizes mencionadas: 
 
Decis Percentis Quartis Percentis 
D1 = P10 Q1 = P25 
D2 = P20 Q2 = P50 
D3 = P30 Q3 = P75 
D4 = P40 
D5 = P50 Mediana = Me = D5=Q2=P50 
D6 = P60 
D7 = P70 
D8 = P80 
D9 = P90 
 
 
O cálculo dessas medidas de ordenação é mais usual nas distribuições de 
freqüência de variável contínua. Entretanto, é possível efetuar o seu cálculo também 
nas séries de dados agrupados (variável discreta) ou nas séries simples. 
 
Cálculo de Separatrizes ou Medidas de Ordenação 
 
1. Séries Simples e Séries Agrupadas (V. Discretas ou Contínuas). 
 
É possível calcular essas medidas em séries simples, usando para isso um 
procedimento semelhante ao da mediana. Lembrando que os Percentis substituem 
todas as demais Medidas de Ordenação ou Separatrizes. 
 
Como o próprio nome ordenamento sugere, a série precisa ser colocada em ordem 
crescente. Isso fará com que o menor elemento da série assuma a posição 1 e o 
maior valor da série assuma a posição n. 
 
Estabelecer uma ordem numa série de n observações ordenadas de forma 
crescente é associar esses elementos à série de números naturais 1, 2, 3, ... , n 
(Lapponi, 1997, p. 59). 
 
O cálculo de uma medida de ordenamento, implica em querer conhecer qual a 
posição que um determinado valor no conjunto das n observações. 
 
 
 
 
17 
Cálculo do Percentil 
 
Para efetuar o cálculo é preciso relembrar que os percentis dividem a série em 100 
partes iguais de 1 em 1 porcento. Assim, a série ordem ordenada de 1 a n equivale 
de 0% a 100% em termos de posicionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 2 x n 
 
Logo, pode ser construída a seguinte relação: 
 
 
0p
1x
%0%100
1n
 onde: 
 
n = número de observações 
x = ordem de uma determinada observação 
p = percentil desejado expresso em % 
 
 
A partir dessa relação é possível determinar: 
 
 
 Percentil = 
%100
1n
1x
p
  dado o nº de ordem, permite identificar qual o 
percentil em % correspondente. 
 
 Ordem = 
1
100
p
)1n(x
  dado o percentil em %, permite identificar o nº de 
ordem do elemento na série e a partir dele o valor do percentil correspondente. 
 
Exemplo: 
Dada uma série, calcular os percentis: P10, P20, P30, ...., P90, P95 e os Quartis Q1, Q2, 
Q3 
 
54 64 128 130 116 124 118 108 58 60 
92 86 76 58 64 70 74 62 86 90 
132 133 135 138 84 74 72 52 96 94 
 
0% 
p 
100
% 
Posição 
Ordem da 
Série 
 
 
18 
Solução: 
A primeira tarefa consiste em ordenar a série e enumeraras posições dos dados 
ordenados, como apresentado na quadro abaixo: 
 
Dados 52 54 58 58 60 62 64 64 70 72 
Nº de ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 
Dados 74 74 76 84 86 86 90 92 94 96 
Nº de ordem 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 
Dados 108 116 118 124 128 130 132 133 135 138 
Nº de ordem 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 
 
Percentil 10 = 
1
100
p
)1n(x
 
1
100
%10
)130(x
=3,9º  
 
O elemento 3,9º da série não existe. Assim, deve-se fazer a interpolação linear entre 
os valores da 3ª e 4ª posições. Nesse caso o elemento 3º vale 58 e o 4º elemento da 
série vale 58. Portanto, o elemento 3,9º vale também 58. 
 
Percentil 20 = 
1
100
p
)1n(x
 
1
100
%20
)130(x
=6,8º  
 
O elemento 6,8º da série não existe. Assim, deve-se fazer a interpolação linear entre 
os valores da 6ª e 7ª posições. Nesse caso o elemento 6º vale 62 e o 7º elemento da 
série vale 64. Portanto, o elemento 6,8º vale 63,6. 
 
)6264()67(
  1,0 = 2 
x)68,6(
  0,8 = x  x =1,6  então P20 = 62+1,6 = 63,6 
 
Respeitando-se os mesmos procedimentos, o quadro abaixo apresenta os demais 
resultados dos cálculos solicitados: 
 
Percentil nº Ordem Valor Percentil nº Ordem valor 
P10 3,9º 58 P60 18,4º 92,8 
P20 6,8º 63,6 P70 21,3º 110,4 
P30 9,7º 71,4 P80 24,2º 124,8 
P40 12,6º 75,2 P90 27,1º 132,1 
P50 15,5º 86 P95 28,55º 134,1 
 
No tocante aos Quartis, deve-se lembrar que os mesmos também podem ser 
substituídos por Percentis. Assim, o procedimento de cálculo é exatamente o mesmo 
descrito acima. 
Q1 = P25 , Q2 = P50 e Q3 = P75 
 
 
 
19 
Os resultados dos cálculos desses Quartis = Percentis são apresentados no quadro 
a seguir: 
 
Quartil Percentil nº Ordem Valor 
Q1 P25 8,25º 65,5 
Q2 P50 15,5º 86 
Q3 P75 22,75º 117,5 
 
 
EXEMPLO DO CALCULO DO Q3 OU P75 
 
O elemento 22,75º da série não existe. Assim, deve-se fazer a interpolação linear 
entre os valores da 22ª e 23ª posições. Nesse caso o elemento 22° vale 116 e o 23º 
elemento da série vale 118. Portanto, o elemento 6,8º vale 63,6. 
 
)116118()2223(
  1,0 = 2 
x2275,22(
  0,75 = x  x =1,6  então P75 = 116+1,50 = 117,5 
 
 
 
Existirão situações em que se quer conhecer o valor acima da qual ou abaixo da 
qual se tem uma certa quantidade ou uma certa porcentagem, como por exemplo, 
no exercício anterior: 
 
a) Acima de qual valor estão os 15% dos clientes que mais gastaram em suas 
compras?. 
b) Abaixo de qual valor estão os 30% dos clientes que menos gastaram? 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
Depois de conhecer as medidas de posição ou de tendência central, que dão uma 
idéia geral a respeito do fato estudado, outra característica importante dos dados 
que precisa ser estudada é a dispersão. 
 
Dispersão significa o grau de variação que os dados apresentam entre si e entre 
cada um deles e uma medida de posição considerada como referência. Dois 
conjuntos de dados podem diferir entre si tanto pelo valor da medida de tendência 
central como na dispersão. Em outras situações, podem existir dois conjuntos de 
dados que apresentem a mesma medida de tendência central, mas que podem 
divergir bastante em termos de dispersão, ou seja, na distância entre os valores 
assumidos pelos diferentes elementos da série. 
 
Veja nos exemplos a seguir o conceito de dispersão, para um conjunto de dados que 
apresenta a mesma amplitude total (15-7): 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média = 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média = 11,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Média = 13,6 
 
 
Embora a amplitude total (15-7) seja, por si só, uma medida da dispersão total dos 
dados, ela é uma medida muito fraca, pois não leva em consideração como os 
dados estão distribuídos dentro de um certo intervalo (menor e maior valor da série). 
 
Assim, torna-se necessário, encontrar medidas de dispersão que dêem boa 
indicação das distâncias entre os dados e destes em relação a um ponto de 
referência, como por exemplo, uma medida de posição ou de tendência central. 
 
A rigor, as medidas de posição ou de tendência central serão mais representativas 
para um certo conjunto de dados, quanto menor for a dispersão dos valores da série, 
ou quanto menor for a distância entre os valores de um conjunto de dados. 
 
As medidas de dispersão então, podem ser entendidas como medidas que permitem 
avaliar a representatividade das medidas de posição. 
 
 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 
 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 
 
21 
Medidas como a média geométrica, média harmônica e moda, geralmente não são 
testadas em relação a sua representatividade, pois são calculadas em situações 
específicas. 
 
Já a mediana e a média aritmética, e principalmente esta última, precisam ser 
checadas em termos de representatividade. Esta representatividade sempre será 
tanto maior, quanto menor for a dispersão observada nos valores das séries onde a 
medida de posição foi calculada. 
 
Para a mediana existem algumas poucas medidas de dispersão, como o desvio 
mediano e o intervalo semi-interquartílico. Essas medidas não serão abordadas 
neste material, para que se possa concentrar maiores esforços na análise da 
dispersão dos dados em torno da média aritmética. 
 
As medidas de dispersão mais utilizadas para verificar a representatividade da 
média aritmética são: 
 
 Variância 
 Desvio-padrão 
 Coeficiente de variação. 
 
Essas medidas de dispersão são apresentadas em dois conceitos: 
 
 Populacional  quando os dados são representativos de uma população 
o Variância, indicada por  2 
o Desvio-padrão, indicado por  
o Coeficiente de variação, indicado por  CV 
 
 Amostral  quando os dados são representativos de uma amostra. 
o Variância, indicada por  S2 
o Desvio-padrão, indicado por  S 
o Coeficiente de variação, indicado por  CVs 
 
 
1. VARIÂNCIA 
 
Indica o quadrado da dispersão média absoluta dos dados (Xi) em torno da própria 
média aritmética. Corresponde à média do quadrado dos afastamentos de cada 
dado (Xi) em relação à própria média aritmética. Quanto menor for o seu valor, 
menor será a dispersão e, mais representativa será a média aritmética. É obtida a 
partir das seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Séries Simples 
POPULACIONAL AMOSTRAL 
Processo Longo e Simplificado Processo Longo e Simplificado 
 
 
 
 
 
Estas fórmulas devem ser usadas sempre que os dados não apresentam freqüências, 
sejam os dados populacionais ou amostrais. 
 
As fórmulas amostrais deverão ser usadas sempre que houver indicação expressa de 
que os dados representam uma amostra. 
 
Distribuições de Freqüência Dados Discretos e/ou Contínuos (onde Xi = Ponto 
Médio das Classes) 
POPULACIONAL AMOSTRAL 
Processo Longo 
 
 
 
Onde: 
Processo Simplificado 
 
 
 
Onde: 
 
 
2. DESVIO-PADRÃO 
 
Trata-se da mais importante das medidas de dispersão. Indica a dispersão média 
absoluta dos dados em torno da própria média aritmética. Quanto menor for o seu 
valor, mais representativa será a média aritmética. Corresponde à raiz quadrada da 
média dos afastamentos de cada dado (Xi) em relação a própria média aritmética, 
ou seja, o desvio-padrão corresponde à raiz quadrada do resultado da variância. 
Suas fórmulas são: 
 
POPULACIONAL AMOSTRAL 
 = 
2
 S = 
2S
 
 
Em sendo o resultado de uma raiz quadrada o desvio-padrão pode assumir 
resultados com sinais positivos e negativos, e exatamente por isso, reflete a 
variação média absoluta dos dados em torno da média aritmética. 
 
O entendimento do significado do desvio-padrão nos processos produtivos trouxe 
um grande avanço nos estudos sobre a qualidade. Isso porque todos os processos 
produtivos apresentam variabilidade e essa variabilidade é medida pelo desvio-
 
 
23 
padrão. Quanto menor for o desvio-padrão de um processo produtivo, menor será a 
variabilidade apresentada no produto final e, portanto, maior qualidadeterá o 
produto. 
 
A Teoria dos Seis Sigmas, muito em voga na atualidade na área da qualidade, 
busca reduzir ainda mais a variabilidade dos processos produtivos, ou seja, busca 
reduzir a possibilidade do processo apresentar defeito. 
 
3. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
 
Tendo em vista a dificuldade da análise da representatividade da média aritmética a 
partir do valor do desvio-padrão, principalmente nos casos em que as médias 
apresentavam valores diferentes, surgiu a idéia de encontrar uma medida que 
pudesse ser expressa em termos relativos. O coeficiente de variação veio solucionar 
o problema, uma vez que indica a dispersão média relativa dos dados em torno da 
média aritmética. Surgiu em função da dificuldade da decisão sobre a magnitude da 
dispersão média absoluta (desvio padrão), para séries cujas médias são diferentes. 
O coeficiente de variação é expresso em porcentagem e, por isso apresenta maior 
facilidade para interpretado. 
 
POPULACIONAL AMOSTRAL 
CV = 
100
 CVS= 
100
X
S
 
 
 
 
 
Interpretação 
 Se CV 15% dispersão é baixa  a média é uma medida com boa 
representatividade. 
 Se 15% < CV 30% dispersão é regular  a média é uma medida regular 
para representar a série 
 Se CV > 30% dispersão é alta  a média não é uma medida adequada para 
representar a série. 
 
 
Observação: 
Quando não houver nenhuma indicação específica de que os dados são 
representativos de uma amostra, deve ser adotado o cálculo do parâmetro 
populacional. 
 
 
Exemplos. 
Calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação das seguintes 
séries. 
 
1. Variável: nº de peças defeituosas por dia (Xi)= 27, 25, 20, 15, 30, 28 e 25 
 
 
24 
 
Não há qualquer tipo de indicação se os dados são amostrais. Assim, deve-se 
adotar o parâmetro populacional. 
 
Variância: 
Utilizando a formula do processo longo: 
 
1º passo: calcular a média aritmética simples: = 24,2857 unidades defeituosas 
2º passo: aplicar a formula da variância populacional simples – processo longo: 
 
 
 
 
 
Desvio-Padrão: 
 
 
Coeficiente de Variação: 
 
 
 
Dispersão regular – média tem representatividade regular como medida de posição 
ou de tendência central. 
 
 
 
 
 
 
 15 20 25 27 28 30 
 
 
 
 
 
 
2. Variável: Número de carros nas filas de um posto de pedágio Xi = 
 
25 24 23 28 30 25 26 27 29 20 
21 22 20 21 22 23 25 27 29 30 
23 25 24 28 27 26 25 25 24 22 
 
Para calcular a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação, o processo 
poderia ser exatamente o mesmo utilizado no exercício anterior. Todavia, como a 
série apresenta várias repetições, é aconselhável construir uma distribuição de 
freqüência do tipo adequado à variável discreta. O Quadro abaixo apresenta a 
distribuição elabora a partir dos dados da tabela, bem como os cálculos dos 
Média = 24,2857 
4,7724 
4,7724 
 
 
25 
somatórios necessários para o cálculo dos parâmetros utilizando o processo 
simplificado, mais indicado por permitir obter o resultado mais rapidamente. 
 
 
Xi Fi XiFi Xi
2
Fi 
20 2 40 800 
21 2 42 882 
22 3 66 1.452 
23 3 69 1.587 
24 3 72 1.728 
25 6 150 3.750 
26 2 52 1.352 
27 3 81 2.187 
28 2 56 1.568 
29 2 58 1.682 
30 2 60 1.800 
Totais 30 746 18.788 
 
A média = = 
866724
30
746
,
 carros; 
A variância = 
2
= 2
30
746
30
18788 = 7,9156 carros
2  processo simplificado. 
 
O Desvio-Padrão = 
9156,7
= 2,8135 carros 
 
O Coeficiente de Variação = CV = 
100
866724
81352
,
,
=11,31% - dispersão baixa. A média 
aritmética representa adequadamente essa série. 
 
 
 
Observação: 
 
1. Todos os exemplos anteriores representam os processos de cálculo da 
variância, do desvio-padrão e do coeficiente de variação populacionais. Para 
calcular a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação amostrais os 
passos e os cálculos auxiliares são exatamente os mesmos. Só há alteração 
das fórmulas. Vide quadro de fórmulas da página 37. 
 
2. Não foram abordadas neste texto, outras medidas de posição voltadas para 
checar a representatividade da média aritmética, como a amplitude total 
(mencionada), o desvio-médio e o escore reduzido, bem como aquelas 
destinadas a verificar a representatividade da mediana, como o desvio-
mediano e a amplitude semi-interquartílica. 
 
 
 
 
 
26 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
A classificação das séries estatísticas segundo o formato gráfico já foi estudada 
anteriormente, quando foi possível destacar que as distribuições unimodais podem 
assumir o formato simétrico, assimétrico positivo e assimétrico negativo. 
 
Neste tópico, pretende-se estudar o cálculo de medidas que indiquem estes 
formatos. 
 
Nas distribuições simétricas  
X
 = Me= Mo  com concentração de elementos nos 
valores centrais da série. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
 = Me = Mo 
 
 
Nas distribuições de Assimetria Positiva  Mo < Me< X  com concentração de 
elementos nos valores iniciais (baixos). 
 
 
 
 
 
 
 
 Mo <Me< X 
 
 
Nas distribuições de Assimetria Negativa  
X
< Me< Mo  com concentração de 
elementos nos valores altos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
< Me< Mo 
 
 
 
 
27 
K. Pearson se dedicou ao estudo dos desvios da posição simétrica e construiu uma 
relação matemática entre as três medidas de posição, que é particularmente válida 
nas distribuições de freqüência levemente assimétricas, ou seja, com pequenos 
desvios em relação à posição de simetria. 
 
A relação matemática construída por Pearson é a seguinte: 
 
)MX(3MX eo
 
 
Observação: 
Todas as relações acima também são válidas quando 
X
é substituída por 
 
A partir desta relação, também construiu um coeficiente de assimetria,, denominado 
primeiro coeficiente de Pearson: 
 
 
1º Coeficiente de Pearson 
 
Mo
As1
 ou 
S
MoX
As1
 ou 
)Me(3
As1
 ou 
S
)MeX(3
As1
 
 
Interpretação: 
 
a) Quanto ao sinal 
 
Se As1 = 0  Distribuição simétrica 
Se As1 < 0  Distribuição Assimétrica Negativa 
Se As1 > 0  Distribuição Assimétrica Positiva 
 
b) Quanto à intensidade 
 
0,1As0 1
  ASSIMETRIA FRAÇA 
As1 > 1,0  ASSIMETRIA FORTE 
 
Nas situações nas quais a série não apresenta condições para o cálculo da média e 
desvio padrão, ou ainda não apresente uma moda e possível utilizar: 
 
2º Coeficiente de Pearson 
 
13
e13
2
QQ
M2QQ
As
 
 
Interpretação 
a) Quanto ao sinal 
 
Se As2 = 0  Distribuição simétrica 
Se As2 < 0  Distribuição Assimétrica Negativa 
Se As2 > 0  Distribuição Assimétrica Positiva 
 
 
28 
 
b) Quanto à intensidade 
 
2,0As0 2
  ASSIMETRIA FRACA 
0,1As2,0 2
  ASSIMETRIA FORTE 
 
MEDIDA DE CURTOSE 
 
Visa identificar o grau de achatamento de uma série estatística. Neste caso são três 
as possibilidades: 
 
 
 
 
Para medir o grau de curtose pode-se utilizar o seguinte coeficiente: 
 
 
Interpretação: 
 
Se K = 0,263  Curva Mesocúrtica 
Se K < 0,263  Curva Leptocúrtica 
Se K > 0,263  Curva Platicúrtica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva Leptocúrtica 
Curva 
Mesocuúrtica 
Curva 
Platicúrtica 
 
 
29 
TESTE DE NORMALIDADE UNIVARIADA DA SÉRIE 
 
 
Os coeficientes de assimetria e de Curtose também podem ser utilizados para 
estudos dos desvios da normalidade nas séries estatísticas, baseados em testes de 
normalidade simples, que verificam a rejeição ou não das seguintes hipóteses: 
 
 
H0: a distribuição da variável xi é normal (para i = 1, 2, 3, ...,n); 
H1: a distribuição da variável xi não é normal. 
 
 
O teste consiste no uso de uma norma prática baseada nos valores da assimetria e 
curtose obtidos a partir das fórmulas descritas no quadro a seguir. Os valores 
estatísticos assim obtidos são comparados com os limites críticos extraídos da 
distribuição normal padronizada. 
 
 
Com 95% de confiança Com 99% de confiança 
Zassimetria = 
n
6
Assimetria
 
Zcurtose = 
n
24
Curtose
 
INTERPRETAÇÃO 
 
 
 
Fonte:Adaptado a partir de Hair Jr et al (2005a, p. 78). 
 
Tanto Hair Jr et al (2005a, p. 78) como Pestana e Gageiro (2000, p. 63-64) 
recomendam que: 
 
Se Zassimetria esteja situado no intervalo de -1,96 a 1,96 (com 95% de confiança) ou 
de -2,58 a 2,58 (com 99% de confiança), a hipótese de a distribuição de notas ser 
simétrica não seja rejeitada. 
 
 
RC RC 
 
 
30 
O estudo da curtose se faz mediante a fórmula contida no quadro, que permite 
apurar a estatística Zcurtose que pode ser usada como um teste de normalidade 
(i.e., não se pode rejeitar normalidade se a relação for entre -2 e +2. Um valor 
positivo grande para curtose indica que as extremidades da distribuição são mais 
largas do que a de uma distribuição normal (platicúrtica); um valor negativo para 
curtose indica extremidades mais estreitas (leptocúrtica). 
 
 
OUTLIERS OU DADOS EXTREMADOS 
 
A presença de valores extremados ou extremos numa série de dados sempre 
provoca inconvenientes e distorções na análise estatística dos resultados. Dessa 
forma é interessante identificar ou detectar a presença desses outliers num conjunto 
de dados, antes mesmo de concluir as análises. 
 
 
1º Método: 
 
Alguns autores sugerem a utilização do Escore Reduzido, para detectar valores 
extremos, ou seja, sugerem a padronização dos dados da série através da fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Será considerado um dado extremo (outlier), quando o escore reduzido (Z) for maior 
do que 3 (em módulo). 
 
Entretanto, esse método tem a desvantagem do fato dos valores da média e do 
desvio-padrão serem afetados pelos valores extremos existentes na série, cujo 
objetivo é identificar e isolar. 
 
 
2º Método: 
 
Outros autores sugerem a utilização do gráfico Boxplots, que corresponde ao 
trabalho com quartis. Para tanto, deve-se calcular o Quartil Primeiro (Q1) e o Quartil 
Terceiro (Q3). 
 
A diferença entre o Q3 e o Q1 é chamado de Intervalo Interquartílico. 
 
I = Q3 - Q1 
 
Os dados situados fora do intervalo abaixo, podem ser considerados dados 
extremos. 
 
 
 
 
31 
OUTLIERS MODERADOS OUTLIERS SEVEROS 
Li = Q1 
I5,1
 
Ls = Q3 
I5,1
 
Li = Q1 
I0,3
 
Ls = Q3 
I0,3
 
 
 
O segundo método é mais interessante do que o primeiro porque os quartis NÃO 
são afetados pela presença de valores extremos na série, já que essas medidas 
levam em consideração a quantidade de elementos de uma série e não os valores 
assumidos pela variável em análise. 
USANDO O EXCEL 
 
Todos os parâmetros aqui indicados podem ser obtidos de maneira muito simples 
usando uma ferramenta eletrônica do tipo do Excel. Entretanto cabe uma ressalva. 
Todas as ferramentas eletrônicas trabalham com os dados brutos ou com o rol, ou 
seja, trabalham com as informações primárias, também classificadas como séries 
simples. Isso significa que não se pode aplicar as ferramentas disponíveis nos 
diferentes tipos de planilhas eletrônicas sobre distribuições de freqüências pré-
elaboradas ou fornecidas por instituições de pesquisas (prontas ou dados 
secundários). Para esses casos é necessário empregar os conceitos registrados 
nesse material de apoio. 
 
A seguir passa-se à apresentação de cada uma das funções estatísticas disponíveis 
na planilha eletrônica Excel, aplicada a um conjunto de dados, disposto numa faixa 
de células. Os dados podem estar dispostos numa única coluna ou em várias 
colunas contíguas. 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística MÉDIA 
=MÉDIA(núm1;núm2; ...) 
MÉDIA GEOMETRIA 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística MÉDIA.GEOMÉTRICA 
=MÉDIA.GEOMETRICA(num1;num2;...) 
MÉDIA HARMÕNICA 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística MÉDIA.HARMÔNICA 
=MÉDIA.HARMÕNICA(num1;num2;...) 
MODA 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística MODO 
=MODO(num1;num2;...) 
 
 
 
 
32 
MÉDIANA 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística MED 
=MED(num1;num2;...) 
QUARTIS 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística Quartil 
=QUARTIL(matriz;quarto) quarto = 1,2,3, 
PERCENTIS 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística Percentil 
=PERCENTIL(matriz;k) K=0,01 ...0,99 
VARIÂNCIA POPULACIONAL 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística VARP 
=VARP(num1;num2;...) 
DESVIO PADRÃO POPULACIONAL 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística DESVPADP 
=DESVPADP(num1;num2;...) 
VARIÂNCIA AMOSTRAL 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística VAR 
=VAR(num1;num2;...) 
DESVIO PADRÃO AMOSTRAL 
Caminho Sintaxe da função 
 f(x) Estatística DESVPAD 
=DESVPAD(num1;num2;...) 
 
Também existe uma ferramenta de análise que gera as principais informações 
estatísticas a partir de uma série de dados, dispostos numa faixa em uma única 
coluna. 
 
FerramentasAnálise de Dados 
 
Quando será apresentada a janela a seguir:  
 
 
 
Escolha a opção “Estatística Descritiva” e click em OK. A janela a seguir é 
apresentada: 
 
 
 
33 
 
 
 
Preencha os campos desta janela da seguinte forma: 
 
 Informe o Intervalo de Entrada que deverá ser uma faixa relativa a uma 
única coluna (também pode ser uma única linha. Nessa segunda opção, deve 
alterar o campo Agrupado por para Linhas). 
 Assinale Rótulos na primeira linha, caso tenha incluído na faixa de dados o 
título da coluna ou linha. Caso contrário, deixe em branco. 
 Informe o Intervalo de saída, ou seja, a célula onde deseja que os resultados 
sejam gerados. Se não informar, os resultados serão gerados numa nova 
planilha. 
 Marque Resumo estatístico 
 Clique OK 
 
Em seguida o Excel ira gerar uma tabela com a seguinte configuração, que 
representa um resumo estatístico, ou uma síntese das principais informações 
estatísticas de uma série de dados. 
 
 
Coluna1 
 
Média 
Erro padrão 
Mediana 
Modo 
Desvio padrão 
Variância da amostra 
Curtose 
Assimetria 
Intervalo 
Mínimo 
Máximo 
Soma 
Contagem 
 
 
 
34 
Referências Bibliográficas. 
 
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIAMS, Thomas A. Estatística 
Aplicada à Administração e Economia. Editora Pioneira. São Paulo, 2002. 
 
BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes e BORNIA, Antonio Cezar – 
Estatística para Cursos de Engenharia e Informática – Editora Atlas, São Paulo, 
2004 
 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETIN, Pedro A. Estatística Básica 5ª Edição. Editora 
Saraiva, São Paulo, 2002. 
 
HAIR JR., J. F.; ANDERSON, R. E.; TATHAM, R. L.; BLACK, W. C. Análise 
Multivariada de Dados. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2005a. 
 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando Excel 5 e 7. Lapponi Treinamento e 
Editora. São Paulo, 1997. 
 
LEVINE, David M.; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística. Teoria e 
Aplicações Usando o Microsoft Excel em Português. LCT Editora. São Paulo, 
2000. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princípios de Estatística. 3ª 
Edição. Editora Atlas, São Paulo, 1987. 
 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. Editora Atlas, São 
Paulo, 2001. 
 
PESTANA, Maria Helena; GAGEIRO, João Nunes. Análise de Dados para 
Ciências Sociais - A Complementaridade do SPSS. 2. ed. Revisada e Ampliada: 
Lisboa: Edições Silabo, 2000. 
 
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística – 7ª Edição. Livros Técnicos e 
Científicos Editora. Rio de Janeiro, 1999.

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