População amostra e instrumental matemático - texto e exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMIÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS ANIMAIS
Prof. Dr. LEONARDO F. FRANÇA
1. Introdução
A palavra estatística provém do latim status (estado) e é comumente associada a censos, pesquisas de opinião pública, aos vários índices governamentais, aos gráficos e médias publicadas diariamente na imprensa. Na realidade, como veremos adiante, a estatística engloba muitos outros aspectos.
Em alguma fase de seu trabalho, o pesquisador ou profissional se vê às voltas com o problema de analisar e entender um conjunto de dados. Muitas vezes ele necessitará resumir os dados para que sejam informativos, ou para compará-los com outros resultados, ou ainda para julgar sua adequação a alguma teoria. A estatística é fundamental na análise de dados provenientes de quaisquer processos onde exista variabilidade.
2. O que é a estatística
Vários autores têm procurado definir a Estatística. Existem muitos livros escritos sobre estatística, todos contendo definições, desde as mais simples até as mais complexas, porém a que vemos a seguir é a anunciada por Dugé de Bernonville, e que julgamos ser simples e fácil de ser memorizada:
“Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativo que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos”.
Entretanto, vamos enfocar a Estatística como a ciência que estuda a organização, descrição, análise e interpretação dos dados.
2.1. Estatística Descritiva vs. Estatística Indutiva
Estatística Descritiva – responsável pela organização e descrição das informações. É a parte da Estatística que tem pôr objeto descrever os dados observados.
Estatística Indutiva – Compreende os processos de generalização, a partir da análise e interpretação dos dados amostrais. A estatística indutiva busca obter conclusões para todo a população, a partir dos resultados encontrados na amostra retirada deste mesmo universo; ou seja, ela generaliza o resultado da amostra para o universo.
A Estatística tem por objetivo o estudo de fenômenos associados a conjuntos de elementos. Por exemplo, um experimento sobre germinação de sementes é realizado em dois tipos de solo, um conjunto de sementes é plantado em solo rico em nitrogênio e outro conjunto é plantado em um solo pobre neste mineral. O estudo irá verificar em cada conjunto as características tempo de crescimento, ramificação da planta e tamanho das folhas. Aqui temos dois conjuntos de elementos ...). 
Usando a estatística descritiva podemos caracterizar cada conjunto. Neste caso podemos obter o tempo médio, o maior tempo e o menor tempo necessários para que as plantas atinjam 30 cm de altura em cada tipo de solo. Podemos também obter valores como mediana, moda, desvio padrão para cada característica que estamos estudando. Usando a estatística indutiva podemos testar se há diferença no tempo médio de crescimento entre os dois tipos de solo e podemos verificar se esta diferença é estatisiticamente significativa.
3 População, amostra e variável
Podemos assim definir uma população (ou Universo):
Em Biologia: é o conjunto de indivíduos de uma certa espécie, que ocupa uma certa área em um determinado intervalo de tempo. 
Em Estatística: é a totalidade de observações individuais dentro de uma área de amostragem delimitada no espaço e no tempo, sobre as quais serão feitas inferências.
Podemos, então, pensar que uma população consiste em um conjunto de indivíduos que compartilham de, pelo menos, uma característica comum, seja ela a espécie, etnia, cidadania, filiação a uma associação, matrícula em uma universidade, tipo de solo em que cresce, capacidade de atuar como biodigestor, etc. Podemos também pensar em um lote de peças produzidos por uma fábrica de automóveis, nos fungos do solo de uma mata que são responsáveis por fazer a decomposição da matéria orgânica morta ... Em fim, uma população é o conjunto de todos os indivíduos (pessoas, plantas, animais, objetos, minerais ...) que formam um conjunto devido a compartilharem alguma característica em comum.
A população, segundo o seu tamanho, pode ser finita ou infinita. É finita quando possui um número determinado de elementos. Exemplo: a população constituída por todos os copos de papel produzidos em uma indústria em um dia. A população infinita possui um número infinito de elementos. Exemplo: a população constituída de todos os resultados (cara e coroa) em sucessivos lances de uma moeda. Contudo tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos e sim com grande número de componentes e, tais populações são tratadas como infinitas. Por exemplo, a população de arbustos de uma dada espécie amazônica usada na produção de óleo essencial para perfume. 
Quando realizamos uma pesquisa capaz de englobar todos os indivíduos de uma população, então dizemos que estamos realizando um censo. Por, exemplo o IBGE realiza censos com a população humana brasileira para entender vários aspectos sociais, econômicos e culturais. Dizemos que há um censo porque o objetivo é que todas as famílias brasileiras sejam consultadas. No entanto, é muito difícil poder trabalhar com todos os elementos de uma população, pois é comum termos pouco tempo e recursos. Assim, geralmente, o pesquisador só estuda um pequeno grupo de indivíduos retirados da população, grupo esse que é chamado de amostra. Uma amostra estatística consiste em um subconjunto representativo da população, ou seja, em um conjunto de indivíduos que possua todas as características da população e que ao ser estudado forneça informações que possam ser extrapoladas para a população. Assim, analisando-se uma boa amostra chega-se a resultados que podem ser imputados á população inteira. É importante lembrar que a amostra é sempre finita. Quanto maior for a amostra mais significativo é o estudo.
A estatística ocupa-se fundamentalmente das propriedades das populações cujas características são passiveis de representação. A característica que nos interessa analisar é chamada de variável. Portanto variável é convencionalmente o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno, conjunto este chamado domínio da variável. No nosso exemplo sobre crescimento de uma espécie de planta em solos com diferentes concentrações de nitrogênio, as variáveis medidas foram tempo de crescimento, ramificação da planta e tamanho das folhas. 
Portanto as amostras são compostas de elementos de uma população. Cada elemento dentro da amostra é uma unidade amostral, ou seja, a menor parte da amostra ou população. Para o conjunto de elementos iremos efetuar observações individuais de determinadas variáveis, sendo cada unidade amostral “medida” (medida, pesada, contada, separada por grupo) quanto a esta variável. O conjunto de todas as medições individuais de uma variável constitui nosso tamanho amostral.
Veja os exemplos abaixo:
	Amostra
	Unidade amostral
	Variável
	Observação individual
	Tamanho amostral
	100 ratos num mesmo momento
	cada rato
	Peso
	Peso de cada rato
	n = 100
	1 rato durante 1 mês
	um rato
	Peso
	Cada pesagem diária do rato
	n = 30
	3 formigueiros num mesmo momento 
	cada formigueiro
	Temperatura
	temperatura de cada formigueiro
	n = 3
	3 formigueiros ao longo de 24 horas.
	cada formigueiro
	Temperatura
	Cada temperatura ao longo de 24 horas de cada formigueiro.
	n = 72
4. Alguns elementos instrumentais matemáticos
4.1 Arredondamento de dados
Conforme critério universal adotado pela estatística o arredondamento de dados é feito da seguinte forma:
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3, ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer. 
Exemplo: 	53,24 passa a 53,2.
	21,73 passa a 21,7.
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer. 
Exemplo: 	42,87 passa a 42,9 
	25,08 passa a 25,1 
	53,99 passa a 54,0
Quando existir mais de uma casa decimal após o algarismo a ser abandonado estas não são consideradas no momento do arredondamento
Exemplo: 	42,875322 desconsiderar 42,875322 passaa 42,9 
	25,081113 desconsiderar 25,081113 passa a 25,1 
	53,837743 desconsiderar 53,837743 passa a 53,8
Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, é preciso avaliar duas possibilidades: 
Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer.
	Exemplos: 	2,352 passa a 2,4 
		25,6501 passa a 25,7 
		76,250002 passa a 76,3 
Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
	Exemplos: 	24,75 passa a 24,8
		24,65 passa a 24,6
		24,75000 passa a 24,8
		24,6500 passa a 24,6
Exemplos resolvidos: Arredondar para milésimos os números abaixo:
a) 13,474503 13,475					b) 29,87350 29,874
c) 5,55555 5,556					d) 0,138500 0,138
e) 20,797504 20,798					f) 99,99950 100,000
4.2. Somatório
4.2.1. Características gerais
Seja X é uma variável aleatória, ou seja, uma característica quantificável de uma amostra. Os valores assumidos por essa variável nós denominamos variante (x1+x2+x3+ ... +xn), em que, i = 1,2,...,N representa a sequência lógica de elementos do conjunto que compõe a amostra.
Muitos dos processos estatísticos exigem o cálculo da soma desses elementos, ou seja, x1+x2+x3+ ... +xn. Para simplificar a representação da operação da adição nas expressões algébricas, utiliza-se a notação Σ, letra grega sigma maiúsculo, correspondente à letra S no alfabeto que usamos.
Considerando a seguinte soma: x1+x2+x3+ ... +xn. Existe uma forma abreviada de representar esta soma recorrendo ao símbolo:
Que se lê: somatório de x índice i, com i variando de 1 até n, em que: 
x, são os elementos do somatório;
i, a sequência ordenada de elementos do somatório;
i=1, é o primeiro elemento do somatório; 
n, é o último elemento do somatório; 
Exemplos matemáticos: 
Exemplos com dados de uma amostra:
Sendo:
x = variável altura de plantas de milho, em (m); 
Assumindo que o conjunto é composto por 5 elementos (x1,x2,x3,x4,x5) e; 
Que os valores destes elementos são (n = 1,5; 1,9; 1,2; 2,4; 2,1).
Então:
4.2.2. As principais representações de somatório são:
 , soma simples.
 , soma de quadrados (SQ).
, quadrado da soma.
 , soma de produtos.
, produto da soma.
5. EXERCÍCIOS SOBRE POPULAÇÕES E AMOSTRAS
1 Dentre os 3000 alunos de uma escola selecionaram-se 30 e inquiriu-se sobre o programa de televisão preferido. Os resultados obtidos foram os seguintes:
PROGRAMA
	PREFERIDO
	Nº. DE ALUNOS
	Telejornal
	10
	Novelas
	12
	Cinema
	8
Neste conjunto de dados indique:
a) a população;
b) a amostra.
2 Para saber as intenções de voto dos brasileira nas próximas eleições, uma empresa entrevistou 2.000 cidadãos representativos da população brasileira com mais de 18 anos.
Indique:
a) a população;
b) a amostra;
3 Para as situações descritas a seguir, identifique a população e a amostra correspondente.
a) Para avaliar a eficácia de uma campanha de vacinação no Estado de São Paulo, mães de recém-nascidos durante o primeiro semestre de 2005, foram perguntadas a respeito da última vez que vacinaram seus filhos.
b) Para verificar a audiência de um programa de TV no Brasil, indivíduos foram entrevistados com relação ao canal em que estavam sintonizados.
c) A fim de avaliar a intenção de voto para presidente do Brasil, pessoas foram entrevistadas em cidades brasileiras.
4 Defina para cada resumo dos seguintes estudos científicos: população, amostra, unidade amostral, variável, Tamanho amostral.
Estudo a) Dispersão de pólen em soja transgênica na região do Cerrado.
O objetivo deste trabalho foi avaliar a dispersão de pólen transgênico em soja. O estudo ocorreu em uma área de 10 hectares. Plantas transgênicas de soja contendo os genes ahas, para tolerância ao herbicida imazapyr, e uidA (GUS), foram cultivadas com plantas não-transgênicas. Posteriormente coletamos e plantamos 50 sementes da primeira linhagem das plantas não trangênicas deste cultivo para definir a proporção de plantas com sementes contendo os genes transgênicos. A dispersão do pólen transgênico foi avaliada pela presença de ambos os genes dominantes na progênie de plantas não-transgênicas. A freqüência de disseminação de pólen transgênico foi de 0,44% a 0,45%. 
Estudo b) Estudo da interferência de óleos essenciais sobre a atividade de alguns antibióticos usados na clínica.
O objetivo deste estudo foi investigar a interferência dos óleos essenciais de Lippia sidoides e Eucalyptus citriodora sobre o efeito de antibióticos utilizados na clínica. Os ensaios foram realizados com os antibióticos ampicilina (10 μg/mL), gentamicina (10 μg/mL) e tetraciclina (30 μg/mL) isolados e em associação com os óleos essenciais (4%) através do método de difusão em meio sólido utilizando discos de papel de filtro. Cada experimento consistiu de 10 papeis de filtro com o antibiótico e 10 com a combinação antibiótico e óleo essencial. Realizamos experimentos combinando cada tipo de óleo com cada antibiótico. Os resultados mostraram interferência de alguns óleos essenciais sobre a atividade dos antibióticos ensaiados. Esta interferência foi demonstrada através do tamanho do halo de crescimento da colônia. Os resultados mostraram a inibição do crescimento bacteriano com diferentes diâmetros quando da aplicação de antibióticos isolados e em combinação com os óleos essenciais. 
Estudo c) Distribuição de leveduras e coliformes em um lago do Karst do Planalto de Lagoa Santa-MG, Brasil.
Foi estudada a distribuição de leveduras e coliformes totais e fecais em cinco estações de coleta na Lagoa Olhos D'Agua, no Estado de Minas Gerais, Brasil, durante um ano (janeiro a dezembro de 1999). As coletas ocorreram mensalmente e ocorreram às profundidades de 1, 10 e 100 de transparência do corpo d’água. As leveduras foram isoladas em ágar e incubadas a 25ºC. No material coletado, os coliformes totais e fecais foram determinados pela técnica do número mais provável. Nas áreas de coleta foram medidos temperatura da coluna d'água, pH, oxigênio dissolvido, sólidos em suspensão e matéria orgânica dissolvida. A 1% de penetração de luz, foram obtidas correlações significativas entre as contagens microbianas e os teores de oxigênio dissolvido, sugerindo que estes fator seja importante na regulação das populações microbianas. Nas profundidades de 100% e 10% de penetração de luz não foi observado nenhum padrão definido nas análises de correlação.
6. Exercícios sobre arredondamento
1 Arredonde cada um dos numerais abaixo, conforme a precisão pedida: 
	a. Para o décimo mais 
próximo:
	
	23,40
	48,85002
	120,4500
	234,7832
	78,85
	129,98
	45,09
	12,35
	199,97
	
b. Para o centésimo mais próximo: 
	
	46,727 
	253,65 
	28,255 
	123,842 
	299,951 
	37,485 
	
c. Para a unidade mais próxima: 
	
	26,6 
	67,5 
	128,5 
	49,98 
	68,2 
	39,49 
	
d. Para a dezena mais próxima: 
	
	42,3 
	265,31 
	295 
	59 
	265,0 
	302,7 
	446,4 
	265 
	2.995,000 
2 Arredonde para o centésimo mais próximo e compense, se necessário: 
	0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 1,000 
3 Arredonde para a unidade mais próxima e compense, se necessário: 
	4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 = 70,8
4 Os dados abaixo são os tempos (segundos) alcançados por bebês para responder a um estímulo auditivo. Faça os arredondamentos para números inteiros: 
a) 15,4 ____________	b) 15,7 ___________c) 15,0 ______________
d) 15,99____________	e) 15,5 ___________f) 15,55 _____________
g) 15,05 ___________	h) 15,6 ___________i) 15,3 ______________
5 Em uma pesquisa sobre o tempo, em minutos, gasto por crianças para resolver um teste psicológico observou-se os seguintes dados. Faça os arredondamentos para o décimo mais próximo:
a) 35,94			b) 18,09			c) 18,009
d) 19,55			e) 19,93			f) 29,97
g) 10,05			h) 10,55			i) 16,66
j) 18,88			l) 10,00			m) 26,06
n) 16,04			o) 17,65			p) 17,75
7. Exercícios sobre Somatório
1 Desenvolva os somatórios:
2 Escreva sob a forma de somatório:
3 Dada a sequência (2, 5, 7, 10, 12, 13, 15) e sendo Xi o termo geral, determineos valores de x1, x2, x3, x4, ... x7.
4 Calcule, considerando a sequência do exercício anterior:
5) Considerando os seguintes valores:
	X1 = 2 X2 = 6 X3 = 7 X4 = 9
	Y1 = 1 Y2 = 4 Y3 = 5 Y1 = 11
Calcule:
a) b) c) d) 
e) f) e)