Prova 02 de Álgebra linear.

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo - CCA
Segunda prova de A´lgebra Linear
Alegre, 17 de maio de 2012
Nome Leg´ıvel:
Justifique todas as respostas!
1. Considere o espac¸o vetorial V = R4 e os subconjuntos
U =
{
(x, y, z, t) ∈ R4/x− 3y = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4/t+ y + z = 0}
de R3.
(a) (1 ponto) Mostre que U e´ subespac¸o de V.
(b) (1 ponto) Encontre uma base α do subespac¸o U
⋂
W .
(c) (1 ponto) Encontre uma base de V que contenha os vetores do item anterior.
2. Considere a matriz
A =
2 3 00 1 0
0 0 3

(a) (1 ponto) Determine os valores de λ ∈ R tais que det(A− λI3) = 0.
(b) (1 ponto) A matriz A tem inversa? Caso afirmativo, encontre a matriz A−1.
3. (1 ponto) Encontre as coordenadas do vetor v = (2, 1, 4) ∈ R3 na base {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−1)}.
4. (1 ponto) Mostre que se u1, u2, u3 e u4 sa˜o vetores linearmente independentes de um
espac¸o vetorial U enta˜o os vetores v1, v2, v3 tambe´m sa˜o linearmente independentes, onde
v1 = u1 − u2 + u3, v2 = u1 + u2 + u4 e v3 = u2 − u3 + u4.
5. Responda Falso ou Verdadeiro e justifique sua resposta:
(a) (1 ponto) Se A e´ uma matriz quadrada tal que A2 = A−1, enta˜o det(A) = 1.
(b) (1 ponto) O vetor w = (1,-1, 2) pertence ao subespac¸o gerado pelos vetores u = (1,
2, 3) e v = (3, 2, 1).
(c) (1 ponto) Se A e´ uma matriz n x n tal que A2 = A e A 6= I enta˜o detA = 0.
Boa prova!