Operações com Matrizes em Álgebra Linear

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A´lgebra Linear Edezio 1
LISTA 1 DE A´LGEBRA LINEAR
1. Sejam
A =
(
1 2 3
2 1 −1
)
, B =
( −2 0 1
3 0 1
)
, C =
 −12
4
 e D = ( 2 −1 )
Encontre:
a) A+B; b) A · C; c) B · C; d) C ·D; e) − A; f) −D.
2. Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se At = A, enta˜o x = . . .
3. Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o A− At = . . .
4. Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o At e´ . . .
5. Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o At = . . .
6. Verdadeiro ou falso?
(a) (−A)t = −(At)
(b) (A+B)t = Bt + At
(c) Se AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB)
(f) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB = BA
(g) Se A ·B = 0, enta˜o B · A = 0
(h) Se podemos efetuar o produto A · A, enta˜o A e´ uma matriz qua-
drada.
7. Se A2 = A · A, enta˜o
( −2 1
3 2
)2
= . . .
8. Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o A2 e´ . . .
A´lgebra Linear Edezio 2
8. Determine x, y, z e w se(
x y
z w
)
·
(
2 3
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
10. Explique por que, em geral, (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 e
(A+B)(A−B) 6= A2 −B2.
11. Dadas A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 4
 , B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e
C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C;
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA,
A2 −B2 = (A−B)(A+B) e (A±B)2 = A2 +B2.
Respostas:
1. a)
( −1 2 4
5 1 0
)
, b)
(
15
−4
)
, c)
(
6
1
)
, d)
 −2 14 −2
8 −4
 ,
e)
( −1 −2 −3
−2 −1 1
)
, f)
( −2 1 ) .
2. x = 1;
3. 0
4. Triangular inferior;
5. A:
6. (a)V; (b)V; (c)F; (d)V; (e)F; (f)F; (g)F; (h)V.
7.
(
7 0
0 7
)
8. Triangular superior;
9. x = −4, y = 3, z = 3 e w = −2.
10. Porque, em geral, o produto das matrizes na˜o e´ comutativo.