aula_10_mecanica_dos_fluidos

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Mecânica dos Fluidos
Análise Dimensional e 
Semelhança Dinâmica
Análise Dimensional
 Os problemas em Fenômenos de Transporte 
envolvem muitas variáveis com diferentes 
sentidos físicos;
 As equações derivadas analiticamente são 
corretas para qualquer sistema de unidades 
(cada termo da equação deve ter a mesma 
representação dimensional: homogeneidade)
 Cada uma dessas variáveis é expressa por 
uma magnitude e uma unidade associada;
Análise Dimensional
 As unidades são expressas utilizando apenas 
quatro grandezas básicas ou categorias 
fundamentais:
- massa[M];
- comprimento[L];
- tempo[T] e
- temperatura[θ]
 As quatro grandezas básicas representam as 
dimensões primárias que podem ser usadas 
para representar qualquer outra grandeza ou 
grupo de grandezas físicas;
Análise Dimensional
 Dimensões Primárias:
Análise Dimensional
É um meio para simplificação 
de um problema físico 
empregando a homogeneidade 
dimensional para reduzir o 
número das variáveis de 
análise;
Análise Dimensional
A análise dimensional é particularmente útil 
para:
 Apresentar e interpretar dados experimentais;
 Resolver problemas difíceis de estudar com 
solução analítica;
 Estabelecer a importância relativa de um 
determinado fenômeno;
 Modelagem física.
 Dimensões de grandezas derivadas:
Grandeza Símbolo Dimensão
Geometria Área A L2
Volume V L3
Cinemática Velocidade U LT-1
Velocidade Angular ω T-1
Vazão Q L3T-1
Fluxo de massa m MT-1
Dinâmica Força F MLT-2
Torque T ML2T-2
Energia E ML2T-2
Potência P ML2T-3
Pressão p ML-1T-2
Propriedades 
dos Fluidos
Densidade ρ ML-3
Viscosidade µ ML-1T-1
Viscosidade Cinemática v L2T-1
Tensão superficial σ MT-2
Condutividade Térmica k MLT-3θ
Calor Específico Cp,Cv L
2T-2 θ-1
 Dimensões de Grandezas Derivadas:
Análise Dimensional
 Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas 
tem uma dimensão que é representada por 
uma relação das grandezas primárias;
 Se esta relação é unitária, o grupo é 
denominado adimensional, isto é, sem 
dimensão;
 Um exemplo de grupo adimensional é o 
número de Reynolds:
   
  1
..
Re
11
13



TML
LLTMLVD
y 

Análise Dimensional
 Como o número de grupos adimensionais é 
relativamente menor que o número de 
variáveis físicas, há uma grande redução de 
esforço experimental para estabelecer a 
relação entre algumas variáveis;
 A relação entre dois números adimensionais 
é dada por uma função entre eles com uma 
única curva relacionando-os;
 Pode-se afirmar que os grupos adimensionais 
produzem melhor aproximação do fenômeno 
do que as próprias variáveis;
Análise Dimensional e 
Semelhança Dinâmica
 Restringindo as condições dos experimentos 
é possível obter dados de diferentes condições 
geométricas mas que levam ao mesmo ponto 
na curva;
 Isto é, experimentos de diferentes escalas 
apresentam os mesmos valores para os grupos 
adimensionais a eles pertinentes;
 Nessas condições os experimentos 
apresentam semelhança dinâmica;
Semelhança
 Problemas em Engenharia (principalmente na 
área de Térmica e Fluidos) dificilmente são 
resolvidos aplicando-se exclusivamente análise 
teórica;
Utilizam-se com freqüência estudos 
experimentais;
Muito do trabalho experimental é feito com o 
próprio equipamento ou com réplicas exatas;
Porém, a maior parte das aplicações em 
Engenharia são realizadas utilizando-se modelos 
em escala.
Semelhança
 Semelhança é, em sentido bem geral, uma 
indicação de que dois fenômenos têm um mesmo 
comportamento;
 Por exemplo: é possível afirmar que há 
semelhança entre um edifício e sua maquete 
(semelhança geométrica)
 Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança 
indica a relação entre dois escoamentos de 
diferentes dimensões, mas com semelhança 
geométrica entre seus contornos;
Semelhança
 Geralmente o escoamento de maiores 
dimensões é denominado escala natural ou 
protótipo;
 O escoamento de menor escala é denominado 
de modelo;
Estudo em modelo reduzido
da Barragem de Pedrógão - Portugal
Modelo reduzido em 
escala geométrica da 
tomada d’água e da 
comporta vagão da Usina 
Hidrelétrica de Paulo 
Afonso IV (CHESF), no rio 
São Francisco, projetadas 
pela Ishikawajima do 
Brasil Estaleiros S/A, 
1978.
Modelo reduzido 
do Brennand 
Plaza, no Recife, 
ensaiado no
túnel de vento. 
Medidas de 
pressões devidas 
ao vento na
superfície externa 
do edifício. Escala 
do modelo: 1/285 
Estudo em modelo 
reduzido do 
vale do rio Arade
Semelhança
 Utilização de Modelos em escala:
 Vantagens econômicas (tempo e 
dinheiro);
 Podem ser utilizados fluidos diferentes 
dos fluidos de trabalho;
 Os resultados podem ser extrapolados;
 Podem ser utilizados modelos reduzidos 
ou expandidos (dependendo da 
conveniência);
Semelhança
 Para ser possível esta comparação entre o 
modelo e a realidade, é indispensável que os 
conjuntos de condições sejam FISICAMENTE 
SEMELHANTES;
O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral 
que envolve uma variedade de tipos de 
semelhança:
Semelhança Geométrica
Semelhança Cinemática
Semelhança Dinâmica
Semelhança
 Semelhança Geométrica
 Semelhança de forma;
 A propriedade característica dos 
sistemas geometricamente 
semelhantes é que a razão entre 
qualquer comprimento no modelo e o 
seu comprimento correspondente é 
constante;
 Esta razão é conhecida como FATOR DE 
ESCALA.
Semelhança
 Semelhança Geométrica
 Deve-se lembrar que não só a forma global 
do modelo tem que ser semelhante como 
também a rugosidade das superfícies deve ser 
geometricamente semelhante;
 Muitas vezes, a rugosidade de um modelo 
em escala reduzida não pode ser obtida de 
acordo com o fator de escala – problema de 
construção/de material/de acabamento das 
superfícies do modelo.
Semelhança
 Semelhança Cinemática:
 Quando dois fluxos de diferentes escalas 
geométricas tem o mesmo formato de linhas de 
corrente;
 É a semelhança do movimento;
 Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. 
O firmamento é reproduzido de acordo com um 
certo fator de escala de comprimento e, ao copiar 
os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão 
fixa de intervalos de tempo e, portanto, de 
velocidades e acelerações.
Semelhança
 Semelhança Dinâmica
 É a semelhança das forças;
 Dois sistemas são dinamicamente 
semelhantes quando os valores 
absolutos das forças, em pontos 
equivalentes dos dois sistemas, 
estão numa razão fixa;
Semelhança Dinâmica
 Origens das Forças que determinam o 
comportamento dos Fluidos:
 Forças devido à diferenças de Pressão;
 Forças resultantes da ação da viscosidade;
 Forças devido à tensão superficial;
 Forças elásticas;
 Forças de inércia;
 Forças devido à atração gravitacional.
Semelhança Dinâmica
 Exemplos de estudos em modelos
 Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos;
 Escoamento em condutos;
 Estruturas hidráulicas livres;
 Resistência ao avanço de embarcações;
 Máquinas hidráulicas;
Semelhança Dinâmica
Grupo 
Adimensional
Nome Razão das Forças 
representadas
Símbolo 
habitual
UL

Número de 
Reynolds
Força de Inércia
Força Viscosa
Re
_U_
(Lg)1/2
Número de 
Froude
Força de Inércia
Força da gravidade
Fr
U L 1/2

Número de 
Weber
Força de Inércia
Força de Tensão Superficial
We
U
C
Número de 
Mach
Força de Inércia
Força Elástica
M
Grupos Adimensionais
 São extremamente importantes na 
correlação de dados experimentais;
 Em razão das múltiplas aplicações dos 
grupos adimensionais nos estudosde 
modelos e aplicações de semelhança 
dinâmica, vários grupos foram criados 
nas diversas áreas que compõem os 
Fenômenos de Transporte
 Alguns dos mais importantes:
 Número de Reynolds;
 Número de Froude;
 Número de Euler;
 Número de Mach;
 Número de Weber;
 Número de Nusselt;
 Número de Prandtl;
Grupos Adimensionais
Grupos Adimensionais
 Número de Reynolds:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças 
Viscosas;
 Um número de Reynolds “crítico” diferencia 
os regimes de escoamento laminar e 
turbulento em condutos na camada limite ou 
ao redor de corpos submersos;

VL
y Re
Grupos Adimensionais
 Número de Froude:
 Relação entre Forças de Inércia e Peso 
(forças de gravidade);
 Aplica-se aos fenômenos que 
envolvem a superfície livre do fluido;
 É útil nos cálculos de ressalto 
hidráulico, no projeto de estruturas 
hidráulicas e no projeto de navios;
gL
V
Fr 
Grupos Adimensionais
 Número de Euler:
 Relação entre Forças de Pressão e as 
Forças de Inércia;
 Tem extensa aplicação nos estudos 
das máquinas hidráulicas e nos 
estudos aerodinâmicos
2V
p
Eu


 Número de Mach:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças 
Elásticas;
 É uma medida da relação entre a energia cinética 
do escoamento e a energia interna do fluido;
 É o parâmetro mais importante quando as 
velocidades são próximas ou superiores à do 
som;
Grupos Adimensionais
C
V
Ma 
 Número de Weber:
 Relação entre Forças de Inércia e Forças 
de Tensão Superficial;
 É importante no estudo das interfaces 
gás-líquido ou líquido-líquido e também 
onde essas interfaces estão em contato 
com um contorno sólido;

L
VWe 
Grupos Adimensionais
 Número de Nusselt:
 Relação entre fluxo de calor por convecção 
e o fluxo de calor por condução no próprio 
fluido;
 É um dos principais grupos adimensionais 
nos estudos de transmissão de calor por 
convecção
Grupos Adimensionais
K
hL
Nu 
 Número de Prandtl:
 Relação entre a difusão de quantidade de 
movimento e difusão de quantidade de 
calor;
 É outro grupo adimensional importante 
nos estudos de transmissão de calor por 
convecção;
Grupos Adimensionais
a
V
Pr