Aula 7 - Bioestatística

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Aula 7
Estimação
Objetivo: Conhecer e compreender a construção dos intervalos de con…ança
para os principais parâmetros populacionais na Inferência Estatística.
Nesta aula exporemos as ideias centrais da Teoria de Estimação, dando ên-
fase à estimação intervalar, já que a Teoria de Estimação na Estatística é de uma
complexidade que vale um curso inteiro para o seu tratamento adequado. Vimos que
a problematização mais central da Estatística consiste em se estimar o valor de de-
terminados parâmetros populacionais à luz das informações obtidas de uma amostra
dessa mesma população, através de um estimador convenientemente escolhido para
"acertar" em média o valor do parâmetro. Assim, partimos inicialmente de um
estimador pontual com propriedades desejadas e construímos uma distribuição de
probabilidade amostral do estimador a …m de podermos estabelecer um intervalo
de con…ança para o parâmetro em estudo. Suponha que o alvo a ser atingido seja
o parâmetro populacional e que cada estimativa obtida de diversas amostras da
população represente um "tiro". Então quando a média dos valores dos "tiros"
(ou seja, a média de diversas estimativas para o mesmo parâmetro) recai no alvo
(parâmetro), dizemos que nosso estimador é não-viesado (ou não-viciado, ou ainda
não-tendencioso). Obviamente, mais do que ter a média dos "tiros" no valor do
parâmetro, gostaríamos também que o atirador fosse preciso nos resultados. Assim
podemos ter as seguintes situações para estimadores de parâmetros populacionais:
Não-Viesado e Preciso Viesado e Preciso
1
Não-Viesado e Impreciso Viesado e Impreciso
Você já deve ter percebido que os melhores estimadores são os não-viesados
e precisos, certo? Mas nem sempre é possível obtê-los... Quando o estimador é
viesado e preciso, é possível corrigir o "estrabismo" do estimador e fazer com que ele
passe acertar em média o valor do parâmetro. É o caso em que discutimos o porquê
de se dividir a variância amostral por n�1 ao invés de n, ao contrário do cálculo da
variância populacional. Se dividíssemos a variância amostral por n, os tiros gerariam
um viés (diferença entre a média dos tiros e o valor do parâmetro) ocasionando um
erro de estimação. Assim, para os principais parâmetros populacionais tratados na
estatística, temos os seguintes estimadores pontuais não-viesados.
Parâmetro Estimador
Média � Xn =
Pn
i=1Xi
n
Proporção p p^ =
X
n
(X: no de "sucessos" na amostra)
Variância �2 S2 =
Pn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1
Desvio-Padrão � S =
sPn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1
Como dissemos anteriormente, a partir dos estimadores (variáveis aleatórias),
pode-se obter as distribuições de probabilidade dos mesmos, a …m de construir um
intervalo de con…ança para o parâmetro em estudo. Para isso o pesquisador deve
arbitrar um nível de con…ança dado por 1 � �, onde � é a probabilidade de que
o intervalo construído não contenha o valor do parâmetro, chamado de nível de
signi…cância. Assim temos a seguinte de…nição:
O nível de con…ança, 1� �, é a probabilidade de que a estimativa intervalar
contenha o parâmetro populacional em questão.
2
1 Intervalo de Con…ança para a média popula-
cional (�) quando a variância populacional (�2)
é conhecida
Desejamos construir um intervalo de con…ança para a média populacional �
conhecendo-se o valor da variância �2, uma situação um pouco incongruente, e que
só se justi…ca quando sabemos por exemplo por estudos anteriores da população
inteira que a variância era �2 e se supõe que continua a mesma, tendo apenas a
hipótese de mudança da média, a qual se deseja estimar. Mas o caso mais relevante
que recai ainda assim nesse contexto é quando estamos lidando com amostras de
tamanho grande (n � 30). Nesse caso, mesmo desconhecendo o valor da variância
populacional, podemos substituir �2 por S2, sem problema algum. Portanto, o
contexto estudado aqui vale tanto para �2 conhecida, quanto para �2 desconhecida,
com amostras grandes.
Vimos, pelo Teorema Central do Limite, que temos a aproximação em dis-
tribuição:
Z =
Xn � �
�p
n
� N (0; 1).
Se a população é normalmente distribuída, então a distribuição é exata:
Z =
Xn � �
�p
n
� N (0; 1).
Suponha que desejemos formar um intervalo de con…ança para � com uma
probabilidade de 1� �. Então
P
��z�=2 � Z � z�=2� = 1� �
P
0B@�z�=2 � Xn � ��p
n
� z�=2
1CA = 1� �
P
�
�z�=2 �p
n
� Xn � � � z�=2 �p
n
�
= 1� �
P
�
Xn � z�=2 �p
n
� � � Xn + z�=2 �p
n
�
= 1� �
Assim temos:
P
�
Xn � z�=2 �p
n
� � � Xn + z�=2 �p
n
�
= 1� �.
3
O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a es-
timativa pontual e o valor do parâmetro que se está estimando, dado o nível de
con…ança 1� �. Assim temos:
E = z�=2
�p
n
.
Com isso, podemos dimensionar o tamanho da amostra necessário para que
se possa estimar a média populacional com um erro E. Isso será dado, isolando-se
o valor de n em E = z�=2
�p
n
. Assim o tamanho n amostral é dado por:
n =
�
z�=2 � �
E
�2
.
Exemplo 1 Seja uma amostra aleatória com 35 preços (em reais) de um aparelho
celular especí…co. Sabendo-se que a média amostral foi de R$ 101; 77 e o desvio-
padrão de R$ 6; 69, pede-se:
(a) Determine a estimativa pontual para a média populacional dos preços do
celular em estudo.
(b) Determine o erro máximo da estimativa E, com base na amostra, ao nível
de 95% de con…ança.
(c) Determine o intervalo de con…ança de 95% para a média dos preços do celular
em estudo.
(d) Você quer estimar a média de preço do celular. Quantos preços de aparelhos
terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a
média amostral está a no máximo R$ 2; 00 da média populacional?
Solução: Temos as seguintes informações: n = 35, X35 = 101; 77 e S = 6; 69.
Apesar de não conhecermos a variância populacional, como n � 30, podemos utilizar
o intervalo de con…ança para a média populacional, nos valendo da distribuição
normal.
(a) O melhor estimador pontual para a média populacional é a média da amostra.
Assim, X35 = 101; 77.
(b) Ao nível de 95%, temos � = 5% e assim o valor tabelado na normal é
z�=2 = z0;025 = 1; 96.
4
Assim
E = z�=2
�p
n
= 1; 96� 6; 69p
35
= 2; 22.
Portanto o erro máximo da estimativa é da ordem de R$ 2; 22.
(c) O intervalo de con…ança será dado por
P
�
X35 � E � � � X35 + E
�
= 0; 95
P (101; 77� 2; 22 � � � 101; 77 + 2; 22) = 0; 95
P (99; 55 � � � 103; 99) = 0; 95.
(d) Desejamos n tal que E = 2 e � = 5%. Assim, como z�=2 = z0;025 = 1; 96,
temos
n =
�
z�=2 � �
E
�2
=
�
1; 96� 6; 69
2
�2
= 42; 98.
Assim devemos ter 43 elementos amostrais. Como já dispomos de 35, teríamos que
coletar mais 8 elementos para a amostra.
2 Intervalo de Con…ança para a média popula-
cional (�) quando a variância populacional (�2)
é desconhecida
Esse é certamente o contexto mais natural a se lidar com os problemas es-
tatísticos de estimação intervalar da média populacional. O problema agora é que,
quando a amostra é pequena, e utilizamos a variância da amostra no lugar da var-
iância populacional, incorporamos mais incerteza aos intervalos. Daí a distribuição
amostral ter caudas mais "pesadas" para gerar valores mais atípicos. Assim, quando
a variância da população �2 é desconhecida, é possível mostrar que
T =
Xn � �
Sp
n
� tn�1 � Student,
com S =
sPn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1 o desvio-padrão (corrigido) da amostra, e tn�1 �
Student a distribuição t-Student com n � 1 graus de liberdade. Essa distribuição
é, como a Normal, centrada no zero e tabelada, de acordo com os seus graus de
liberdade (veja a tabela anexada). Observe que a tabela dá a área à direita do valor
de tn�1;�, conforme grá…co abaixo com a no lugar de �.
5
Distribuição t-Student
Quando os graus de liberdade da t-Student aumentam,a distribuição t-
Student tende à distribuição Normal. Daí o fato de termos proposto no caso anterior,
para amostras grandes, o uso da distribuição normal, na formação do intervalo de
con…ança para a média populacional, mesmo com �2 desconhecida.
Suponha que desejemos formar um intervalo de con…ança para � com uma
probabilidade de 1� � (nível de con…ança), supondo �2 desconhecida. Então
P
��tn�1;�=2 � T � tn�1;�=2� = 1� �
P
0BB@�tn�1;�=2 � Xn � �Sp
n
� tn�1;�=2
1CCA = 1� �
P
�
�tn�1;�=2 Sp
n
� Xn � � � tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �
P
�
Xn � tn�1;�=2 Sp
n
� � � Xn + tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �
Assim, temos:
P
�
Xn � tn�1;�=2 Sp
n
� � � Xn + tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �.
O erro máximo da estimativa, E, dado nível de con…ança, 1�� é dado por:
E = tn�1;�=2 � Sp
n
.
6
Com isso podemos dimensionar o tamanho da amostra necessário para que
se possa estimar a média populacional com um erro E. Isso será dado, isolando-se
o valor de n em E = tn�1;�=2 � Sp
n
. Assim o tamanho n amostral é dado por:
n =
�
tn�1;�=2 � S
E
�2
.
Exemplo 2 Em uma amostra aleatória de 13 adultos da cidade do Rio de Janeiro,
a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4; 3 kg por dia, com um desvio padrão de
0; 3 kg. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo
de con…ança de 90% para a média de lixo reciclado por pessoa no Rio de Janeiro.
Solução: Temos as seguintes informações: n = 13, X13 = 4; 3 e S = 0; 3. Como
desconhecemos a variância populacional, a distribuição é normal e o tamanho da
amostra é pequeno, utilizaremos a distribuição t-Student. Como � = 10%, temos
tn�1;�=2 = t12;0;05 = 1; 782.
Assim temos
E = tn�1;�=2 � Sp
n
= 1; 782� 0; 3p
13
= 0; 148.
Com isso temos:
P
�
X13 � E � � � X13 + E
�
= 0; 90
P (4; 3� 0; 148 � � � 4; 3 + 0; 148) = 0; 90
P (4; 152 � � � 4; 448) = 0; 90.
3 Intervalo de Con…ança para a proporção po-
pulacional (p)
Suponha que p seja a proporção dos elementos da população que possuem um
certo atributo em estudo. Então
p =
PN
i=1Xi
N
,
onde Xi = 1 se o i-ésimo elemento da população tem o atributo e Xi = 0 se
o i-ésimo elemento da população não tem o atributo. Assim Xi � Ber(p) onde
E (Xi) = p e V ar (Xi) = p(1� p).
O estimador para p é dado por
p^ =
Pn
i=1Xi
n
=
X
n
,
onde X é o número de elementos na amostra com o dado atributo em estudo. Se
n for su…cientemente grande para satisfazer np � 5 e n (1� p) � 5, então vale o
Teorema Central do Limite, que nos garante:
Z =
p^� pr
p(1� p)
n
� N (0; 1).
7
Como
r
p(1� p)
n
depende também do parâmetro, a ideia é substituirr
p(1� p)
n
pela estimativa amostral
r
p^(1� p^)
n
e assim construir um intervalo de
con…ança para p com uma probabilidade de 1�� (nível de con…ança). Assim, temos:
P
��z�=2 � Z � z�=2� = 1� �
P
0BB@�z�=2 � p^� pr p^(1� p^)
n
� z�=2
1CCA = 1� �
P
 
�z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p^� p � z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �
P
 
p^� z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p � p^+ z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �
Assim, temos:
P
 
p^� z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p � p^+ z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �.
O erro máximo da estimativa, E, dado o nível de con…ança 1 � � é dado
por:
E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
.
Com isso podemos dimensionar o tamanho da amostra necessário para que
se possa estimar a média populacional com um erro E. Isso será dado, isolando-se
o valor de n em E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
. Assim o tamanho n amostral é dado por:
n = p^(1� p^)
�z�=2
E
�2
.
Observe que a fórmula do tamanho amostral acima depende de uma esti-
mativa preliminar p^ retirada de uma amostra piloto. Caso não seja possível obter
a amostra preliminar, então tomamos o valor de p^ que maximiza o fator p^(1 � p^).
Pode-se provar pelo cálculo diferencial que p^ = 1
2
é o valor que maximiza p^(1 � p^).
Assim, sem uma amostra preliminar, temos
n =
�z�=2
2E
�2
.
8
Exemplo 3 Em um estudo com 1:907 acidentes de trá…co, 449 estavam relaciona-
dos ao uso de álcool. Pede-se:
(a) Construir um intervalo de con…ança de 99% para a proporção de acidentes
fatais relacionados ao álcool.
(b) Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a
um nível de con…ança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário
para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%, sem uma amostra
preliminar.
(c) Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a
um nível de con…ança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário
para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%, usando a estimativa
preliminar do enunciado do problema.
Solução: Temos n = 1907 e X = 449. A estimativa pontual para p é dada por
p^ =
X
n
=
449
1907
�= 0; 235
(a) Como np^ = 448; 145 � 5 e n(1� p^) = 1:458; 855 � 5, a distribuição normal pode
ser usada. Assim, para � = 0; 01, temos
z�=2 = z0;005 = 2; 57
E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
= 2; 57
r
0; 235� 0; 765
1907
�= 0; 025.
Assim
P (p^� E � p � p^+ E) = 0; 99.
P (0; 235� 0; 025 � p � 0; 235 + 0; 025) = 0; 99.
P (0; 21 � p � 0; 26) = 0; 99.
Com 99% de con…ança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais rela-
cionados ao álcool está entre 21% e 26%.
(b) Desejamos E = 0; 02. Sem a estimativa pontual, temos
n =
�z�=2
2E
�2
=
�
2; 57
2� 0; 02
�2
�= 4:128; 0625.
Assim, devemos amostrar 4:129 elementos.
(c) Desejamos E = 0; 02. Com a estimativa pontual p^ = 0; 235, temos
n = p^(1� p^)
�z�=2
E
�2
= 0; 235� 0; 765�
�
2; 57
0; 02
�2
= 2:968; 49.
Assim, devemos amostrar 2:969 elementos.
9
4 Intervalo de con…ança para variância popula-
cional (�2)
A ideia agora é construir um intervalo de con…ança para a variância populacional
�2 a partir da variãncia amostral S2. Pode-se mostrar em cursos avançados de
Estatística, que se a população é normalmente distribuída (ou aproximadamente
normal), então
(n� 1)S2
�2
� �2n�1
onde �2n�1 representa a distribuição de Qui-Quadrado com n� 1 graus de liberdade.
Essa distribuição é de…nida nos valores reais não-negativos e é assimétrica, sendo
também tabelada de acordo com os graus de liberdade e os níveis de signi…cância
desejados. (Veja a tabela anexada.) Observe que a tabela dá a área à direita do
valor de �2n�1;�, conforme grá…co abaixo com a no lugar de �.
Distribuição Qui-Quadrado
Assim, temos
P
�
�2n�1;1��=2 �
(n� 1)S2
�2
� �2n�1;�=2
�
= 1� �
P
�
�2�2n�1;1��=2 � (n� 1)S2 � �2�2n�1;�=2
�
= 1� �
Mas, as duas desigualdades podem ser desenvolvidas como:
�2�2n�1;1��=2 � (n� 1)S2 =) �2 �
(n� 1)S2
�2n�1;1��=2
e
(n� 1)S2 � �2�2n�1;�=2 =) �2 �
(n� 1)S2
�2n�1;�=2
Assim temos:
P
 
(n� 1)S2
�2n�1;�=2
� �2 � (n� 1)S
2
�2n�1;1��=2
!
= 1� �.
10
Exemplo 4 A …m de se estimar o desvio-padrão dos preços de aparelhos de MP3
no Rio de Janeiro, você seleciona ao acaso os preços de 17 MP3 players, obtendo-
se o desvio-padrão amostral de R$ 150; 00. Construa um intervalo de con…ança de
95% para a variância e o desvio-padrão dos preços dos aparelhos de MP3 no Rio de
Janeiro, assumindo a população normal.
Solução: Temos n = 17 e S = 150. Assim, sabemos que (n�1)S
2
�2
� �2n�1. Ou
seja
16S2
�2
=
16� 1502
�2
� �216
Como � = 0; 05, temos
�216;0;025 = 28; 845 e �
2
16;0;975 = 6; 908
Assim, temos
P
�
6; 908 � 16� 150
2
�2
� 28; 845
�
= 0; 95
P
�
16� 1502
28; 845
� �2 � 16� 150
2
6; 908
�
= 0; 95
P
�
12:480; 50 � �2 � 52:113; 49� = 0; 95
P
�p
12:480; 50 � � �
p
52:113; 49
�
= 0; 95
P (111; 72 � � � 228; 28) = 0; 95.
Exercício 1 Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a um
propelente sólido.A taxa de queima desse propelente é uma característica importante
do produto. Sabe-se que o desvio-padrão da taxa de queima seja de 2 cm/s. O
experimentalista decide estimar a taxa média populacional a um nível de signi…cância
de 5%. Para isso ele seleciona uma amostra aleatória de tamanho 25 e obtém uma
taxa média amostral de queima de 51,3 cm/s.
(a) Qual o intervalo de con…ança obtido?
(b) Se o fabricante dos sistemas a…rma que a taxa média de seus produtos é de
50 cm/s, devemos aceitar ou rejeitar a a…rmação do fabricante?
Exercício 2 A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta
média de 1800 kg e o desvio-padrão de 100 kg. Mediante nova técnica no processo de
fabricação, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar
essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se obtido a tensão média
de 1850 kg. Pode-se con…rmar a declaração ao nível de signi…cância de 1%?
Exercício 3 Um artigo no periódico Materials Engineering (1989, Vol.II, No. 4,
pp. 275-281) descreve os resultados de testes de tensão quanto à adesão em 22
corpos de prova de liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova é dada
a seguir (em MPa):
19,8 18,5 17,6 16,7 15,8
15,4 14,1 13,6 11,9 11,4
11,4 8,8 7,5 15,4 15,4
19,5 14,9 12,7 11,9 11,4
10,1 7,9
11
(a) Qual o intervalo de con…ança para a média, ao nível de signi…cância de 5%?
(b) Há evidências de que a carga média na falha excede 10 MPa?
Exercício 4 Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em apli-
cações no motor de automóveis. O consumidor requer que a fração defeituosa em
uma etapa crítica de fabricação não exceda 0,05 e que o fabricante demonstre uma
capacidade de processo nesse nível de qualidade. O fabricante de semicondutores
retira uma amostra de 200 aparelhos e encontra 4 defeituosos.
(a) Qual o intervalo de con…ança para a proporção de defeituosos, ao nível de
signi…cância de 5%?
(b) O fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o consumidor?
Exercício 5 Um fabricante de uma droga medicinal reivindicou que ela era 90%
e…caz em curar alergia, em um período de 8 horas. Para testar essa informação,
submetemos 200 pessoas com alergia à droga e 160 pessoas se curaram após o uso
da mesma. Determinar se a pretensão do fabricante é legítima a um nível de sig-
ni…cância de 1%.
Exercício 6 Uma amostra de 10 pacotes de café solúvel de um dado fabricante foi
retirada, obtendo-se os dados: 46; 4; 46; 1; 45; 8; 47; 0; 46; 1; 45; 9; 45; 8; 46; 9; 45; 2 e
46; 0. Determine um intervalo de con…ança de 95% para a variância de tais pacotes
de café solúvel, assumindo uma população normal.
12