1a prova de Calculo III-10.1 (1)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia – CCT
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã
Professor(a): _________________________________ Período: 2010.1
Aluno(a): ___________________________________________ Nota: ______________
 
1ª Prova (A) – 26 de Março de 2010
1) (2,0 pts) Considere a função
.
a) Identifique o conjunto 
 e represente-o geometricamente;
b) Justifique se D é um subconjunto do IR2, aberto, fechado, limitado e ou compacto;
c) Identifique e represente geometricamente as curvas de níveis e curvas de contorno de f(x,y), para ao menos 3 níveis distintos;
d) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f(x,y) e identifique quem é a sua imagem.
2) (2,0 pts) Justifique se os seguintes limites existem e caso positivo determine o seu valor:
a) 
	; b) 
;	c) 
	; 
d) Existe algum valor que possamos atribuir a f (0,0) de modo que
 se transforme em uma função contínua? Caso positivo, qual seria esse valor?
3) (1,0 pt) Justifique se 
 satisfaz a equação de Laplace, 
.
4) (1,0 pt) Escreva a regra da cadeia e utilize-a para calcular 
 e 
, quando 
 e 
, considerando 
, 
 e 
.
5) (2,0 pt) Encontre as direções nas quais 
 cresce e decresce mais rapidamente em 
. Depois determine taxa de variação (derivada direcional) de f nessas direções. Determine também se existem direções em relações as quais a taxa de variação de f sejam 1 ou mesmo -2. Determine essas direções quando possível.
6) (1,0 pt) Esboce geometricamente a curva de nível 
, juntamente com o vetor gradiente 
, considerando a função 
. Esboce também a reta tangente a curva Nc, no ponto dado P0(-1,2), e determine a sua equação.
7) (1,0 pt) Encontre a equação para o plano tangente e a reta normal, no ponto P0(-1,2,7), da superfície do IR3 determinada pela equação 
.
– Boa Prova e Feliz Páscoa –
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia – CCT
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã
Professor(a): _________________________________ Período: 2010.1
Aluno(a): ___________________________________________ Nota: ______________
 
1ª Prova (B) – 26 de Março de 2010
1) (2,0 pts) Considere a função
.
a) Identifique o conjunto 
 e represente-o geometricamente;
b) Justifique se D é um subconjunto do IR2, aberto, fechado, limitado e ou compacto;
c) Identifique e represente geometricamente as curvas de níveis e curvas de contorno de f(x,y), para ao menos 3 níveis distintos;
d) Faça um esboço (idéia) do gráfico de f(x,y) e identifique quem é a sua imagem.
2) (2,0 pts) Justifique se os seguintes limites existem e caso positivo determine o seu valor:
a) 
	; b) 
;	c) 
	; 
d) Existe algum valor que possamos atribuir a f (0,0) de modo que
 se transforme em uma função contínua? Caso positivo, qual seria esse valor?
3) (1,0 pt) Justifique se 
 satisfaz a equação de Laplace, 
.
4) (1,0 pt) Escreva a regra da cadeia e utilize-a para calcular 
 e 
, quando 
 e 
, considerando 
, 
 e 
.
5) (2,0 pt) Encontre as direções nas quais 
 cresce e decresce mais rapidamente em 
. Depois determine taxa de variação (derivada direcional) de f nessas direções. Determine também se existem direções em relações as quais a taxa de variação de f sejam -1 ou mesmo 2. Determine essas direções quando possível.
6) (1,0 pt) Esboce geometricamente a curva de nível 
, juntamente com o vetor gradiente 
, considerando a função 
. Esboce também a reta tangente a curva Nc, no ponto dado P0(2,-1), e determine a sua equação.
7) (1,0 pt) Encontre a equação para o plano tangente e a reta normal, no ponto P0(2,-1,7), da superfície do IR3 determinada pela equação 
.
– Boa Prova e Feliz Páscoa –
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