P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2
4. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c)−2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
1
4. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
3
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
4
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ Lx=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2
5. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o:lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
1
5. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a,como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2
5. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
6. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua cargapor unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
1
5. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
6. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınioana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
3. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
2
5. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em todaessa regia˜o.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
3. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
1
5. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
3
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas(incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
4
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7