Arranjo Simples - Matemática Didática

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22/03/2015 Arranjo Simples - Matemática Didática
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Análise Combinatória - Arranjo Simples
No campeonato mundial de Fórmula 1 de 2009, participaram 25 pilotos, dos quais se destacaram o inglês Jenson
Button, que foi o campeão, o alemão Sebastian Vettel, que foi o vice-campeão e o brasileiro Rubens Barrichello
que ficou com a terceira colocação.
Obviamente o agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ) difere do agrupamento 
Sebastian Vettel, Jenson Button, Rubens Barrichello ), pois neste caso a ordem no grupo é um fator que o
diferencia.
Se ao invés do brasileiro Rubens Barrichello, o terceiro colocado tivesse sido o australiano Mark Webber, o
agrupamento ( Jenson Button, Sebastian Vettel, Mark Webber ) seria distinto do agrupamento ( Jenson Button,
Sebastian Vettel, Rubens Barrichello ), pois teríamos participantes diferentes nestes agrupamentos.
Arranjo Simples
Em casos como este, com elementos distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a
natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos, estamos diante de um
caso de arranjos simples.
Considerando-se os 25 pilotos participantes, qual o número total de
possibilidades para os três primeiros colocados?
Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos
respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.
Fórmula do Arranjo Simples
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à
seguinte fórmula:
Neste mesmo exemplo, utilizando a fórmula temos:
Exemplos
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras da palavra PADRINHO?
Neste exemplo temos um arranjo simples com 8 elementos agrupados 8 a 8. Calculemos então A8, 8:
Portanto:
Podemos formar 40320 anagramas com as letras da palavra PADRINHO.
Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando.
Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno?
Como o campeonato possui dois turnos, os jogos Equipe A x Equipe B e Equipe B x Equipe A tratam-se de
partidas distintas, então estamos trabalhando com arranjos simples onde importa a ordem dos elementos.
Devemos calcular A10, 2:
Então:
Podem ser realizados 90 jogos entre os times participantes.
Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos
possíveis para os três primeiros colocados?
Obviamente, como em qualquer corrida, a ordem de chegada é um fator diferenciador dos agrupamentos. Como
temos 7 corredores e queremos saber o número de possibilidades de chegada até a terceira posição, devemos
calcular A7, 3:
22/03/2015 Arranjo Simples - Matemática Didática
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Logo:
210 são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados.