Permutação com Elementos Repetidos - Matemática Didática

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22/03/2015 Permutação com Elementos Repetidos - Matemática Didática
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Análise Combinatória - Permutação com Elementos
Repetidos
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da
palavra CURIÓ?
Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é dada por Pn, então como na palavra CURIÓ
temos 5 letras distintas, o número de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a 5! que é igual a 120.
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da
palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que
ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?
Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.
Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P3 = 3! = 6, ou seja, se
dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações
entre as três letras A.
O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra é
P2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das
letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e das letras R também entre
elas mesmas.
Permutação com Elementos Repetidos
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles
ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre
seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.
Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim
sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:
A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:
Exemplos
Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?
Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo
vamos calcular P5
(2, 2):
Portanto:
O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.
Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo
acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras na vertical. De quantas maneiras
distintas eu poderei formar esta coluna de bolas?
Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes.
Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10
(4, 3, 2):
Então:
Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes.
Dos números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669, quantos desses são
ímpares?
Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.
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No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5
(2, 2), pois um dos dígitos três será utilizado na última
posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:
Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5
(3, 2), pois o dígito 9 será utilizado na última
posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:
Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.
Logo:
Dos números formados, 40 deles são ímpares.