Matematica Fundamental

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Matemática Básica Fundamental 
 Professor: Joelson de Araújo Delfino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Básica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: Joelson de Araújo Delfino 
Palmas - 2010
1 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste material você encontrará informações importantes no desempenho para sua 
profissão e porque não dizer também no seu cotidiano, já que as ferramentas utilizadas 
pela Matemática estão presentes em nosso dia a dia, nas mais diferentes áreas do 
conhecimento. 
O módulo servirá de base conceitual para a apresentação dos conteúdos que 
envolvem conceitos matemáticos, os quais servirão e nos guiarão no decorrer do curso. 
È bom relatar, que esse material foi confeccionado sem fins lucrativos, utilizando 
materiais disponíveis na web, por vários autores em sites como 
www.somatematica.com.br entre outros, com objetivo de colaborar com o bom 
desempenho dos acadêmicos da Faculdade Católica do Tocantins, nas disciplinas de 
Cálculo, Estatística, Matemática Financeira entre outras. 
 
Bons estudos ! 
 
Professor 
Joelson de Araújo Delfino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 - 2 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operações fundamentais com números ........................................................... 5 
 
Frações .......................................................................................................... 6 
 
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) .................................................................... 7 
 
Raizes e radicais ........................................................................................... 13 
 
Razão e Proporção ........................................................................................ 17 
 
Porcentagem ................................................................................................. 25 
sumário 
3 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 Operações fundamentais com números 
 
Adição 
 A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada 
mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de 
algo. 
 A adição é chamada de operação. A soma dos números, chamamos de resultado 
da operação. 
 
Relembrar: 10 + 5 = 15 
 
10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A 
operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO. 
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +. 
 
Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, 
centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição. 
 
Exemplo: 
 
1.253 + 2.715 
 
 
 
 
 
 
Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 
centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), 
adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a 
soma) da operação adição dos números 1.253+2.715. 
 
 
Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão 
definidas: 
 
1 - Observe: 4 + 5 = 9 e 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9 
 
Deduz-se : 
4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. 
As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. 
A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das 
parcelas é a propriedade comutativa. 
A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e 
é denominada comutativa da adição. 
 
2 - Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a 
operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência 
adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11. 
 
Milhar Centena Dezena Unidade 
1 2 5 3 
2 7 1 5 
 - 4 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final) 
 Observe, agora, a soma final conforme outra indicação: 
 
5 + (4+2) = 11 (resultado soma final). 
 
Deduz-se : 
 Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e 
posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a 
primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa. 
 
Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b 
 
3 - Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não 
altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número 
é o zero (0). 
 
Assim fixa-se esta propriedade: a + 0 = 0 + a = a (Neutro da adição) 
 
Subtração 
 A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O 
resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto. 
 
Relembrar: 9 – 5 = 4 
 
Essa igualdade tem como resultado a subtração. 
 
Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de 
minuendo e 5 é o subtraendo. 
 
O valor da diferença 9 - 5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 
sobre 5. 
 
Veja as análises abaixo: 
10 – 10 = 0 , o minuendo pode ser igual ao subtraendo. 
9 – 11 é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N. 
Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma 
operação de subtração se realize em N. 
 
A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, 
é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo. 
 
Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão 
definidas: 
O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não 
pertence a N. 
A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de 
subtração: 
 
6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6 
 
5 
Matemática Básica 
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Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0 
 
A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 
4. 
 A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 
≠ 10 – (4 - 2) 
A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da 
adição. 
 
Considerando: 
 
7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2 
7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7 
 
Concluindo: 
a) A subtração é inversa a adição. 
b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra. 
 
Observe esta sentença: 
 
y + a = c ou a + y = c 
 
Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um 
número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x? 
 
Desta forma: a + c = a ou a + y = c assim, y = a - c 
 
Multiplicação 
 É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em 
repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de 
outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto 
dos dois. 
 
Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o 
resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da 
operação. 
 
a. b = c, a.b são fatores, e c produto da operação. 
 
De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar: 
 
a + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a 
 
y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y 
 
w + w + w + w+ w + w = w x 6ou w.6 ou simplesmente 6w 
 
Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que 
serão definidas: 
 - 6 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade 
comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada: 
 
a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação 
 
para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho : 
 
(4.5) . 6 Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em 
seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120 
A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa 
da multiplicação. 
 
A propriedade comutativa nos permite que seja usado: 
 
1 . x = x ou x.1 = x 
 
É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como 
produto da operação o próprio X. 
 
Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1. 
 
Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número 
natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação 
 
A pertence N e B pertence N, (a.b) pertence N 
 
Divisão 
É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se 
procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido 
como parte de um todo que se dividiu. 
 
À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente. 
 
 A divisão exata 
 
Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto 
 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8 
 
 divisão não-exata 
 
Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é 
dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto. 
 
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9 
 
 
 
 
 
7 
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1) Resolva as expressões abaixo: 
 
a) 
}3]6)58.(62[74{3 
 
b) 
}4)]213(5[914{2 
 
c) 
]}6)2:4[(2.53:99{ 
 
d) 
22514.24:1632 
 
e) 
7)]32-(21-9:[18-3)(13-2:[26 
 
 
 
Frações 
 
 
O que é uma fração? 
Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma 
unidade ou um inteiro. 
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro 
partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual o significado de uma fração? 
Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim: 
b
a
indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o numerador 
e b, o denominador. 
Leitura de frações: 
 
Metade 
 
Um terço 
 
Dois quartos 
 
Três quintos 
 
Um sexto 
 
Quatro sétimos 
Uma maçã inteira 
1 
Quatro pedaços de maçã 
4 x 1/4 
 
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Sete oitavos 
 
Dois nonos 
 
Um décimo 
 
Dois onze avos 
 
Cinco doze avos 
... ... 
 
Um centésimo 
 
Um milésimo 
 
Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, 
como o próprio nome já diz, são equivalentes. 
 
 
 
 
Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o 
numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com 
os quadradinhos acima. 
 
a) 
 
b) 
 
Outros exemplos: 
 
a) 
 
b) 
4
3
 Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível. 
Tipos de fração: 
Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador. 
Ex: 
9
7
 ( 7 < 9 ) 
9 
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Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Exs: 
4
4
,
10
15
 
 
Numa fração imprópria temos o seguinte: 
 
 
Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e 
sobram 5 sétimos. 
 Vejam que 7x1+5=12 
 
 
 
Outros exemplos: 
 
a) 
 
b) 
 
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) 
 
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de 
mínimo múltiplo comum de 4 e 6. 
 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado 
de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. 
 
Cálculo Do M.M.C. 
 Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. 
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 
1 - decompomos os números em fatores primos 
2 - o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
12 = 2 x 2 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
 
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
12 = 2
2
 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
m.m.c (12,30) = 2
2
 x 3 x 5 
 
 
 - 10 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores 
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
 
Processo da Decomposição Simultânea 
Neste processo decompomos todos os números ao 
mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O 
produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o 
m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do 
m.m.c.(15,24,60) 
 Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
Propriedades Do M.M.C. 
 Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 
é o m.m.c.(3,6,30). Observe: 
 
 
 
 
 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
 
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
 
 Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual 
a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: 
 
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
 
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses 
números. 
 
Adição e subtração de frações: 
1 - Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o 
numerador. Vejam os exemplos: 
a) 
 
b) 
 
11 
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Fundamental 
c) 
 
2 - Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em 
frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações. 
a) 
 
O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos 2/3 numa fração equivalente de 
denominador 6. 
 
 
Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a 
soma, se possível, simplifiquem. 
 
 
b) 
 
O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar 5/6 e 3/4 em frações 
equivalentes de mesmo denominador 12. 
 
 
 
 
Assim: 
 
Multiplicação de frações: 
Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se 
necessário, simplifique o produto. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
Divisão de frações 
Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda. Se necessário, simplifique. 
 
 - 12 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
1 - Observe as figuras e diga quanto representa cada parte da figura ea parte pintada: 
 
a) b) c) 
 
2 - Efetue as operações abaixo: 
a) 

4
1
2
5
3
2
 
b) 

























9
7
:
3
4
2.
4
3
:
3
2
2
1
 
c) 












2
1
:
14
1
7
2
.3
4
5
.
3
2
 
d) 












 )8:24(2
3
4
1
2
:
4
3
5
2
4
 
 
Potenciação 
Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: 
Definição 
 
 
 
 
 
 
 n fatores 
 
 
 
13 
Matemática Básica 
Fundamental 
Propriedades 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) 2³=2.2.2=8 b) 3) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) 
 
 
 
1 - Efetue, observando as definições e propriedades: 
 
a) (-2)³ i) 
b) j) (0,5)³ 
c) 500¹ l) 15¹ 
d) 100º m) 
e) 0³ n) 
f) 0º 
o) 
g) 
p) 
h) 
q) 
 - 14 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
2 - (Fuvest) O valor de , é: 
(a) 0,0264 
(b) 0,0336 
(c) 0,1056 
(d) 0,2568 
(e) 0,6256 
 
3 - (Fei) O valor da expressão é: 
(a) -5/6 
(b) 5/6 
(c) 1 
(d) -5/3 
(e) -5/2 
4 - (UECE) O valor de é 
(a) -15/17 
(b) -16/17 
(c) -15/16 
(d) -17/16 
5 - (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão, 
1
5
4
05,0
2
3








obtém-se: 
(a) 0,16 
(b) 0,24 
(c) 1,12 
(d) 1,16 
(e) 1,24 
 
Raizes e radicais 
 
Dado um número real a e um número natural , define-se (raiz n-ésima 
de a) como sendo o número real r, se existir, tal que: 
Para n par: 
= r desde que e 
para n ímpar: 
 = r desde que 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) » não existe 
d) 
e) 
 
* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, 
quando n = 4 chama-se raiz quarta, etc. 
 Na expressão 
n a
; n chama-se índice; a chama-se radicando e chama-se radical. 
15 
Matemática Básica 
Fundamental 
Propriedades 
 
1 - 
Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número 
diferente de 0, o valor do radical não se altera. 
2 - 
Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número 
diferente de 0, o valor do radical não se altera 
3 - 
4 - 
5 - 
6 - 
7 - 
8 - 
9 - 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 16 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
1 - Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso 
não exista, escreva: não existe. 
a) h) 
b) i) 
c) j) 
d) l) 
e) m) 
f) n) 
g) o) 
 
2 - Aplicação de propriedades 
Exemplo 1: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
[Nota]: 25 = 5² 
e) 
 
Exemplo 2: 
 
f) 
g) 
[Nota]: 
h) 
i) 
j) 
17 
Matemática Básica 
Fundamental 
Exemplo 3: 
3
3
3
4
3
4
3

 
l) 
m) 
n) 
 
Exemplos 4: ; 
 
o) 
p) 
q) 
r) 
 
Exemplo 5: 
 
s) 
 
t) 
 
Exemplo 6: 
 
u) 
v) 
x) 
z) 
Exemplo 7: 
 
a) 
b) 
 - 18 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
c) 
d) 
 
Exemplos 8: 
 
 
e) 
f) 
g) 
 
h) 
i) 
 
Razão e Proporção 
 
Noção de razão 
Suponha que o professor de Educação Física de seu colégio tenha organizado um 
torneio de basquetebol com quatro equipes formadas pelos alunos da 6ª série. Admita que 
o seu time foi o vencedor e que você, na partida decisiva, foi o “cestinha” com 40 pontos. 
Porém, para conseguir estes pontos você fez 60 arremessos. Então, em 60 arremessos 
você fez 40 pontos. 
Vamos indicar agora a divisão: 
 
40
60
 Logo, 
Pontos
Arremessos
 ou 60 : 40 
 
 
Este quociente indicado recebe o nome de razão. 
Podemos dizer, então, que: 
 
Razão é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o 
segundo número é diferente de zero. 
 
 Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, 
não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo: 
 
Número racional (representado por 
fração) 
Razão (representada por fração) 
2
1
 lê-se: um meio 
2
1
 lê-se: um para dois ou um está para dois 
4
3
 lê-se: três quartos 
4
3
 lê-se: três para quatro ou três está para quatro 
3
5
 lê-se: cinco terços 
3
5
 lê-se: cinco para três ou cinco está para três 
10
7
 lê-se: sete décimos 
10
7
 lê-se: sete para dez ou sete está para dez 
 
19 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 Não se esqueça, então, que, por exemplo, 
5
4
 é um numeral (fração) que 
representa o número racional “quatro quintos” e, também, a razão “quatro está para 
cinco”. 
 
Os Termos de uma Razão: O Antecedente e o Conseqüente 
 Vamos considerar a notação 
5
3
. O que ela representa? 
 A notação 
5
3
 é um numeral (fração) que representa um número “três quintos”, 
onde 3 é o numerador, e 5, o denominador. Porém, 
5
3
 é a representação também da 
razão “três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente. 
Então: 
 
 
Fração 
 rdenominado
numerador
 Razão 
econseqüent
eantecedent
 
 
Exemplos: 
9
4
 é uma fração, onde 4 é o numerador e 9 é o denominador. 
7
3
 é uma fração, onde 3 é o numerador e 7 é o denominador. 
10
7
 é uma razão, onde 7 é o antecedente e 10 é o conseqüente. 
17
13
 é uma razão, onde 13 é o antecedente e 17 é o conseqüente. 
6
1
 é uma razão, onde 1 é o antecedente e 6 é o conseqüente. 
 
Razões Equivalentes 
 Você ainda está lembrado do torneio de basquetebol do qual você participou e foi 
o “cestinha” com 40 pontos em 60 arremessos? Pois bem, suponha que, no mesmo 
torneio, um de seus colegas de equipe tenha feito 20 pontos com 30 arremessos. 
 Note que você, em 60 arremessos, conseguiu 40 pontos. 
Nesse caso, temos a seguinte razão: 
40
60
. 
 Por outro lado, seu colega, em 30 arremessos, conseguiu 20 pontos. Temos, 
então, a razão: 
20
30
. 
 Como você pode perceber, a quantidade de arremessos e de pontos feitos pelo seu 
colega corresponde, exatamente, à metade dos seus. Portanto: 
 
40
60
 e 
20
30
 são razões que se equivalem. 
 Para obter razões equivalentes, basta aplicar a propriedade fundamental, que é a 
seguinte: 
 
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número 
diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira. 
 
 - 20 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 O sinal utilizado para indicar a equivalência entre duas razões é ~. Entretanto, por 
facilidade, usa-se o sinal = e costuma-se dizer razões iguais em lugar de razões 
equivalentes. 
 
Observe: 
 
 : 2 : 2 : 3 
 
 
5
4
 
15
12
 
30
24
 
60
48

 
 
 
 
: 2 : 2 : 3 
Forma irredutível 
 
etc. , 
12
8
 , 
9
6
 , 
6
4
 , 
3
2
 
5
4
 , 
15
12
 , 
30
24
 , 
60
48
 
 
são razões equivalentes ou razões iguais. são razões equivalentes ou razões iguais. 
 
Dê as razões equivalentes à razão apresentada na forma irredutível: 
 
 
 . . . 
12
4
 
9
3
 
6
2
 . . 
36
20
 
27
15
 
18
10
 . . 
28
16
 
21
12
 
14
8
 . . 
8
4
 
6
3
 
4
2
 . . 
16
12
 
12
9
 
8
6
 
20
8
 
15
6
 
10
4






 )6
. 5)
. 4)
. )3
. 2)
. . . )1
 
3
1
 
 
9
5
 
7
4
 
2
1
 
4
3
 
5
2
 
 
 . . . 
52
16
 
39
12
 
26
8
 . . 
32
4
 
24
3
 
16
2
 . . 
40
28
 
30
21
 
20
14
 
20
8
 
15
6
 
10
4
 . . 
40
12
 
30
9
 
20
6
 
24
20
 
18
15
 
12
10






 )12
. )11
. )10
. . . )9
. 8)
. . . )7
 
13
4
 
8
1
 
 
10
7
 
5
2
 
10
3
 
6
5
 
 
 x 4 
 x 3 
 x 2 
. . . 
12
8
 
9
6
 
6
4
 
3
2

 
 x 2 
 x 3 
 x 4 
21 
Matemática Básica 
Fundamental 
Obtenha as razões equivalentes até atingir a forma irredutível: 
 
 
3
1
 . . . 
60
20
 )6
5
4
 . . . 
90
72
 5)
9
2
... 
27
6
 4)
 
7
3
 . . . 
70
30
 )3
 
5
2
 . . . 
30
12
 2)
 
4
3
 . . . 
24
18
 )1






 
51
11
 . . . 
90
66
 )12
11
7
 . . . 
88
56
 11)
9
8
 . . . 
54
48
 10)
 
10
7
 . . . 
40
28
 )9
 
9
5
 . . . 
54
30
 8)
 
4
1
 . . . 
60
15
 )7






 
 
 
O Emprego da Proporção na Resolução de Problemas 
 Vamos aprender agora a resolver problemas utilizando a proporção. Considere o 
seguinte problema: 
 Uma vara de 30 cm fincada verticalmente no solo produz, numa determinada hora 
do dia, uma sombra de 40 cm. Se a vara possuir 60 cm, qual será o comprimento de sua 
sombra, nas mesmas condições? 
 40 . 60 
 
20
 03 
 
40
 60 

  30 . x = 40 . 60 
 30 . x 30 . x = 2400 
 x = 2400 : 30 
 x = 80 
 Resposta: 80 cm 
 
 
 
 
 
 
Agora resolva estes problemas: 
1 - Você fincou verticalmente no solo uma vara de 8 
cm, a qual produziu uma sombra de 6 cm. Quanto 
medirá o comprimento da sombra produzida por 
uma vara de 40 cm? 
 
2 - Uma vara de 12 cm fincada verticalmente no 
solo produz uma sombra de 15 cm. Quanto deve medir o comprimento de uma vara para 
que ela produza uma sombra de 45 cm? 
 
3 - Em determinada hora do dia, uma vara de 2 m, fincada verticalmente no solo, produz 
uma sombra de 3 m. Qual é a altura de um prédio cuja sombra mede 0,6 hm na mesma 
hora do dia? 
 
60 cm 
40 cm 
30 cm 
x 
 - 22 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
4 - Você tem uma fotografia com as seguintes dimensões: 3 cm de largura e 4 cm de 
comprimento. Se você ampliar esta fotografia, de modo que a medida de seu 
comprimento passe a ser 28 cm, quanto medirá sua largura? 
 
5- Na planta de uma casa, as dimensões da sala são: 6 cm de largura e 10 cm de 
comprimento. Ao construir a casa, a sala ficou com uma largura de 4,5 m. Qual a medida 
do comprimento desta sala? 
 
O Quarto Termo de uma Proporção: A quarta proporcional 
 
 Observe a proporção: 
9
 6 
 
3
 2 

 ou 2 : 3 = 6 : 9 
 9 é a quarta proporcional dos números 2, 3 e 6. 
 
 Consideremos um problema: 
 Qual é a quarta proporcional dos números 
4
 1 
 e 
3
 1 
 ,
2
 1 
? 
Veja: 
 
12
 1 
4
 1 
3
 1 

 
 
x
 
4
1
 
 
3
 1 
 
2
1
 
ou x :
4
 1 
3
 1 
 : 
2
 1 

 
 
 
 Como você pode notar, a quarta proporcional dos números 
6
 1 
 é 
4
 1 
 e 
3
 1 
 ,
2
 1 
. 
 
Ache a quarta proporcional dos números: 
 
a) 2, 3 e 4 b) 5, 8 e 15 c) 1, 2 e 5 
 
d) 
5
 3 
 e 
4
 1 
 ,
3
 2 
 e) 
4
 3 
 e 
5
 2 
 ,
4
 1 
 
 
 
6) 1,2, 0,5 e 
5
1
 
 
 
Proporção Contínua 
 Examine esta proporção: 
16
 8 
 
8
 4 

 ou 4 : 8 = 8 : 16 
 meios 
 extremos 
2
 1 
:
12
 1 
x
12
 1 
x
2
 1 

 
 
1
 2 
12
 1 
x 
 
 
6
 1 
x 
 
23 
Matemática Básica 
Fundamental 
 Note que, nessa proporção, os meios são ibguais. Pois bem, uma proporção que 
apresenta os meios iguais recebe o nome de proporção contínua. 
 
 
Verifique o que aprendeu: 
Complete adequadamente: 
1 - Na proporção 
21
 6 
 
7
 2 

, 2 e 21 são os e e são os meios. 
2 - 
20
 15 
 
4
 3 

 lê-se: 
3 - Numa proporção, os produtos dos meios e dos extremos são Esta afirmação 
corresponde à propriedade fundamental. 
 
4 - Quando os meios de uma proporção são iguais, ela é chamada de . 
 
5 - Coloque, nas seguintes proporções, os termos que faltam: 
a) 
35
 ? 
 
7
 5 

 b) 
?
 24 
 
11
 6 

 c) 
24
 18 
 
4
 ? 

 d) 
65
 45 
 
?
 9 

 
 
e) 
54
 ? 
 
18
 6 

 f) 
?
 3 
 
2
 1 

 g) 
12
 9 
 
?
 6 

 h) 
?
 27 
 
15
 9 

 
 
i) 3 : __ = 12 : 20 j) 4 : __ = 3 : 12 
 
6 - Complete as proporções contínuas: 
a) 
8
 ? 
 
?
 2 

 b) 
20
 ? 
 
?
 45 

 c) 8 : __ = __ : 32 
 
d) 4 : __ = __ : 16 e) 
25
 ? 
 
?
 16 

 f) 
8
 ? 
 
?
 18 

 
 
7 - Descubra a quarta proporcional dos números: 
 
a) 4, 5 e 8 b) 3, 5 e 1 
c) 14, 16 e 21 d) 7, 11 e 14 e) 
6
 1 
 e 
5
 1 
 ,
4
 1 
 
f) 
4
 3 
 e 
3
 2 
 ,
2
 1 
 g) 9, 10 e 27 h) 
10
 3 
 e 
5
 1 
 ,
10
 1 
 
 
i) 0,1, 0,3 e 0,5 j) 7, 8 e 3,5 
 
l) 2, 4 e 6 m) 5, 6 e 15 
 
 
8 - O antecedente de uma razão é 6. Determine o seu conseqüente, sabendo que ela forma 
uma proporção com a razão 
49
42
. 
 
9 - O conseqüente de uma razão é 40. Descubra o seu antecedente, sabendo que ela forma 
uma proporção com a razão 
60
24
. 
 - 24 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
 
10 - O antecedente de uma razão é 2. Qual é o seu conseqüente, sabendo que ela forma 
uma proporção contínua com outra razão, cujo conseqüente é 18? 
 
11 - Você possui uma foto com as seguintes dimensões: largura, 18 cm, e comprimento, 
24 cm. Esta foto foi obtida, por ampliação, de uma outra cuja largura é 3 cm. Determine o 
comprimento da foto original. 
 
12 - Em certa hora do dia um de seus colegas, cujaaltura é de 1,50 m, projeta, em pé, 
uma sombra de 50 cm. Qual é, na mesma hora, o comprimento de uma vara que fincada 
verticalmente no solo, produz uma sombra de 20 cm? 
 
 
Regra de três 
 
Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro 
valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor. 
A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela 
(em proporção) e resolvermos uma equação. 
Sugestão: Caso tenham dúvidas na resolução de equações do 1º grau, visitem a seção 
presente neste site. 
Vamos a resolução de problemas: 
1 - Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele 
percorrerá 30km? 
Montemos uma tabela: 
 
Percurso (km) Tempo (h) 
20 2 
30 x 
Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos 
o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a 
proporção: 
 
Multiplicamos meios e extremos: 
20x = 60 
x = 3 
Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h. 
2 - Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois 
trabalhadores constroem uma casa? 
 
Nº de trabalhadores Tempo (dias) 
4 8 
2 x 
Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores 
constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir, ou 
seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. 
Logo, devemos inverter a proporção. 
25 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
Multiplicando meios e extremos: 
2x = 32 
x = 16 
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias. 
Como puderam ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as 
grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente 
proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, 
invertemos a proporção. Feito isso, basta resolver a equação. 
 
 
 
1 - Com uma área de absorção de raios solares 
de 1,2m
2
, uma lancha com motor movido a 
energia solar consegue produzir 400 watts por 
hora de energia. Aumentando-se essa área para 
1,5m
2
, qual será a energia produzida? 
 
2 - Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado 
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade 
utilizada fosse de 480km/h? 
 
3 - Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 
camisetas do mesmo tipo e preço?´ 
 
4 - Se uma vela de 36 cm de altura, diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para 
se consumir? 
 
 
5 - Um automóvel percorre um espaço de 480 km em 02 horas. Quantos kms ele 
percorrerá em 06 horas? 
 
6 - Um certo alimento tem o custo de R$ 5,00 por 05 quilos. Calcular o preço de 10 quilos 
deste alimento 
 
7 - Um certo homem percorre uma via de determinada distância com uma bicicleta. 
Sabendo-se que com a velocidade de 05 Km/h, ele demora 06 horas, quanto tempo este 
homem gastará com sua bicicleta para percorrer esta mesma distância com uma 
velocidade 03 Km/h. 
 
8 - Com 10 pedreiros podemos construir um muro em 2 dias. Quantos dias levarão 5 
pedreiros para fazer o mesmo trabalho? 
 
 - 26 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
 
9 - Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão 
necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ? 
 
10 - Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma 
hora e meia ? 
 
11 - Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos 
para obter 385 bombons ? 
 
12 - Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa 
mesma substância ? 
 
Porcentagem 
 
Introdução 
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois 
simples exemplos: 
Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma 
mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? 
O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo: 
 
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00. 
 
Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a 
quantidade de meninas e de meninos? 
 
A quantidade de meninas será: 
E a de meninos será: 100 - 40 = 60. 
 
Sugestão 
Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, 
presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem. 
 
Razão centesimal 
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. 
Exemplos: 
(lê-se 10 por cento) 
(lê-se 150 por cento) 
 
Definição de taxa porcentual ou porcentagem 
 
Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, 
, à razão tal que 
Indica-se por 
27 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
 
Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples: 
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um 
determinado valor. 
 
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). 
Exemplos para compreendermos melhor: 
Ex.1) Calcule: 
a) 10% de 500: 
A razão centesimal é : 
Portanto, 
b) 25% de 200: 
 
Portanto, 
 
 
Ex.2) Qual a taxa porcentual de: 
a) 3 sobre 5? 
 
5x = 300 
x= 60 
A taxa é de 60% 
b) 10 sobre 20? 
 
20x = 1000 
x = 50 
A taxa é de 50%
Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se 
calcula porcentagem em uma calculadora? 
Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500? 
Digitem: 500 
Aperte a tecla de multiplicação: X 
Digitem: 20 
Aperte a tecla de porcentagem: % 
O resultado, como pode ser visto, é 100. 
Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de 
alguns exercícios elementares. 
1 - Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. 
Qual foi o valor pago? 
O desconto será: 
Portanto, pagou-se: 1500 - 300 = 1200. 
Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos 
pensar um pouco: 
 - 28 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer 
dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% - 20% = 80%) 
Logo, 
 
2 - Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% 
sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? 
 
3 - Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De 
quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda? 
 
4 - Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma 
mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês 
pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, 
pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual 
foi esse valor? 
 
5 - Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando 
em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
6 - Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a 
taxa percentual de lucro obtida? 
 
7 - João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 
8 - (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 
9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi 
de: 
 
9 - O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os salários é de R$ 500,00 
O saláriode Antônio é: 
 
10 - Numa cidade , 12% da população são estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são 
brasileiros , qual é a população total ? 
 
11 - Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu 
peso atual é 
 
Equação do 1º grau 
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus 
domínios. 
 
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita 
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa 
igualdade é verdadeira ou falsa. 
 
 
29 
Matemática Básica 
Fundamental 
 
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira 
para x = 4. 
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4 
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4. 
 
Equação do 1º grau 
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita 
na forma 
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0. 
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 ) 
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade: 
 ax + b = 0 » ax = -b 
 x = -b / a 
*Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação 
equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os 
membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por 
um número diferente de zero. 
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5 
 4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2 
 
Resolução de equações do 1º grau: 
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a 
satisfazem. 
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal 
(=) e os "números" do outro. 
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos. 
 
Determine o valor da incógnita x: 
 
 a) 2x – 8 = 10 
 2x = 10 + 8 
 2x = 18 
 x = 9 » V = {9} 
 
 b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) 
 3 –7 + 14x = 5 – x – 9 
 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 
 15x= 0 
 x = 0 » V= {0} 
 - 30 - 
Matemática Básica 
Fundamental 
 O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado 
do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Vamos ver o que realmente 
ocorre: 
Numa equação: 
2x + 8 = 10 
Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x "sozinho". Observem: 
2x + 8 - 8 = 10 - 8 
2x = 2 
x = 1 
V={1} 
A resolução acima é a exposição do que ocorre na resolução de equações do 1º grau. O 
"macete" de "jogar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado 
para agilizarmos a resolução. 
 
1 - Resolva as seguinte equações: 
Exemplo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1 
Aplicando a propriedade distributiva: 
4x +14 + 9x -15 = 12x + 15 -1 
4x + 9x -12x = 15 -1 + 15 -14 
x=15 
Portanto V={15} 
a) 2x-3=17 
b) 4x+7=x-8 
c) 3-7(1-2x)=5-(x-9) 
d) 3-7(1-2x)=5-(x-9) 
e) 
[Sugestão]: Ache o mmc e elimine o denominador 
f) 
g) 
 
2 - Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são 
esses? 
 
 
 
 
31 
Matemática Básica 
Fundamental 
3 - Resolva as equações a seguir: 
 
a) 18x - 43 = 65 
 
b) 23x - 16 = 14 - 17x 
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 
 
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 - x 
 
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 
 
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 
 
 
4 - Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam 
iguais. 
 
5 - Resolver as seguintes equações (na incógnita x): 
 
a) 5/x - 2x = 1/4 (x 0) 
 
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc 
 
Problemas 
Exercício resolvido: O problema clássico das torneiras: 
 
Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o 
mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o 
tanque? 
Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora: 
A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque 
A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6 
Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t = V 
Portanto t = 6horas 
 
1 - (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a sua quarta parte 
somam 31. Determine o número. 
 
2 - (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. 
Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia 
R$5.000,00 a mais. Calcule a importância. 
 
3 - (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 
ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto 
que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse 
número. 
 
4 - Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57. 
 
5 - (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um comerciante pagou 
R$8.000,00 a mais do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o preço do lote todo? 
 
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Matemática Básica 
Fundamental 
6 - Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha 
gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas 
enchem esse tanque? 
 
 
Referência Bibliográfica 
Oscar Guelli, Matemática: Uma Aventura do Pensamento, ed. Ática, São Paulo, 2000. 
Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática, ed. Ática, São Paulo, 2000 
Maria Helena Souza e Walter Spinelli, Matemática, ed. Ática, São Paulo, 2001. 
Giovanni, José Ruy e Eduardo Parente, Aprendendo Matemática, ed. FTD, São Paulo, 
2003. 
Giovanni, José Ruy, José Ruy Giovanni Jr. e Benedito Castrucci, A Conquista da 
Matemática, São Paulo, 2005. 
Ênio Silveira e Cláudio Marques, Matemática, ed. Moderna, São Paulo, 1998. 
Gelson Iezzi , Osvaldo Dolce , Antonio dos Santos Machado, MATEMÁTICA E 
REALIDADE , ed. Atual, São Paulo, 2005.