Apostila de Geometria com exercícios - Matemática

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1 
CADERNO DE MATEMÁTICA 
 NOVO ENEM (II) 
•Conhecimentos geométricos: características das figuras geométricas planas e espaciais;grandezas, unidades de 
medida e escalas; comprimentos, áreas e volumes; ângulos;posições de retas; simetrias de figuras planas ou 
espaciais; congruência e semelhança de triângulos; teorema de Tales; relações métricas nos triângulos; 
circunferências;trigonometria do ângulo agudo. 
 
I. ÂNGULOS 
1. Definição 
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
Em que: 
 OA  e OB  são os lados do ângulo. 
 O é o vértice do ângulo. 
 Ângulos importantes 
 
 medida 
ângulo figura graus radianos 
reto 90º 

2
 
raso 180º  
de uma 
volta 
 360º 2 
 
Observação: 1º = 60' (1 grau = 60 minutos) 
 1' = 60'' (1 minuto = 60 segundos) 
2. Ângulo agudo 
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto. 
 
O  
A 
B 
Indica-se: AOB
^
 ou 
 
O A 
B 
O B A 
O 
A 
B 
 
 
 2 
 
 
 
3. Ângulo obtuso 
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. 
 
 
 
 
 
 
4. Ângulos complementares 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. 
 
 
 
 
 
 
5. Ângulos suplementares 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. 
 
 
 
 
 
 
6. Ângulos opostos pelo vértice 
São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro. 
 
 
 
 
 
 
7. Bissetriz de um ângulo 
 Bissetriz de um ângulo  é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos 
congruentes. 
 
 
 
 
 
 
  +   90º 
 
 
 +   180º 
 
 
 
 
 e  são opostos pelo vértice. 
 e  são opostos pelo vértice. 
 
 bissetriz 
   
 
 3 
8. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal 
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados: 
 
Ângulos correspondentes: a e , b e , c e , d e  
Ângulos alternos internos: c e , d e  
Ângulos alternos externos: a e , b e  
Ângulos colaterais internos: c e , d e  
Ângulos colaterais externos: a e , b e  
 
 
 Propriedades: 
 Ângulos alternos internos são congruentes. 
 Ângulos alternos externos são congruentes. 
 Ângulos correspondentes são congruentes. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Determine: 
a) o ângulo que somado ao dobro do seu complemento vale 140º. 
b) o ângulo que somado à quarta parte do seu suplemento vale 90º. 
 
2. A soma de dois ângulos é 126º e um deles vale o dobro do complemento do outro. Determine esses dois 
ângulos. 
3. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 80º. Calcule esses dois ângulos sabendo que 
a medida de um deles é igual a 
3
5
 da medida do outro. 
4. Na figura, sabendo que AB // DE , determine a medida do ângulo x. 
 
 
 
 
 
 
5. (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo 
mede: 
a) 
7
8
 rad b) 
5
16
 rad c) 
7
4
 rad d) 
7
16
 rad e) 
5
8
 rad 
 
6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10º e x + 50º. Um deles mede: 
a) 20º b) 70º c) 30º d) 80º e) 50º 
 
7. (UFMG) Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AOB
^
 , ON é a bissetriz do 
ângulo BOC
^
 e OP é a bissetriz do ângulo COD
^
 . A soma POD
^
 + MON
^
 é igual 
a: 
a) 

2
 rad b) 

4
 rad c) 

6
 rad d) 

3
 rad e)  rad 
r 
s 
a 
b 
c 
d 
 
 
 
 
t 
A B 
C 
D E 
25º 
120º 
x 
O D A 
M P 
B C 
N 
 
 4 
d) 1 
 
e) 0 
 
 
 
8. (FGV-SP) Considere as retas r, s, t, u, todas num mesmo plano, 
com r // u. O valor, em graus, de (2x + 3y) é: 
a) 64º c) 520º e) 580º 
b) 500º d) 660º 
 
 
 
 
9. (EPCAR) Na figura, considere que r // s. Com relação ao número que expressa a medida do ângulo x, pode-se 
afirmar que é um 
a) número ímpar. 
b) divisor de 30. 
c) múltiplo de 7. 
d) múltiplo comum de 4 e 16. 
e) número primo maior que 18. 
 
10. (UFES) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3 +  vale: 
a) 225º 
b) 195º 
c) 215º 
d) 175º 
e) 185º 
 
11. (MACK-SP) Na figura, AB¯¯ é paralelo a CD¯¯ . O valor de sen x é: 
a) 
2
2
 
b) 
3
3
 
c) 
1
2
 
 
 
II. TEOREMA DE TALES 
Um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consequência 
 
 
20º 
120º y 
x 
u 
r 
t 
s 
r 
s 
2x + 90º 
4x 
68  x 
r 
s 
15º 
 
 90º 
120º 
 
A 
C 
B 
D 
75º 
45º 
x 
Hipótese: 


 r1 // r2 // r3
 t1 e t2 são transversais
 
 
Tese: 



 
AB¯¯
BC¯¯
 = 
DE¯¯
EF¯¯
 
r1 
r2 
r3 
t1 t2 
A D 
B E 
C F 
A 
M N 
B C 
A 
M N 
B C 
A 
M N 
B C 
 
 5 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
12. (CESGRANRIO-RJ) As retas r1, r2 e r3 são paralelas e ox comprimentos dos 
segmentos de transversais são indicados na figura. então x é igual a: 
a) 4 
1
5
 b) 
15
2
 c) 5 d) 
8
5
 e) 6 
 
 
 
 
 
 
13. (MACK-SP) Na figura abaixo, temos a // b // c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor de x é: 
a) 
3
2
 b) 3 c) 
4
3
 d) 2 e) 1 
 
14. (U.F. Uberlândia-MG) Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t nos pontos indicados 
na figura. Sabendo-se que MR  6 cm, os valores dos segmentos PM, OS e QS são, respectivamente: 
a) 9 cm; 15 cm; 10 cm 
b) 15 cm; 10 cm; 9 cm 
c) 10 cm; 15 cm; 9 cm 
d) 10 cm; 9 cm; 15 cm 
e) 9 cm; 10 cm; 15 cm 
 
 
III. POLÍGONOS 
1. Nomenclatura 
 
 
Seja o polígono da figura. 
 
 
 
 
r1 
r2 
r3 
x 
15 
1 
1
5 
3 
3 
4x + 1 
2 3x 
 a b c 
s 
r 
r 
t 
P 
M S 
R Q 
A 
B 
C 
D 
Em que: 
 
A, B, C e D são os vértices do polígono. 
AB¯¯ , BC¯¯ , CD¯¯ e DA¯¯ são os lados do 
 
 6 
 
 
 
Quando todo e qualquer par de pontos R e S, tomados na região poligonal, determinar um segmento RS¯¯ 
completamente interno à região, o polígono é convexo. Caso contrário o polígono é não-convexo ou côncavo. 
 
Tipos de polígonos convexos: 
 
triângulo — 3 lados 
quadrilátero — 4 lados 
pentágono — 5 lados 
hexágono — 6 lados 
heptágono — 7 lados 
octógono — 8 lados 
eneágono — 9 lados 
decágono — 10 lados 
undecágono — 11 lados 
dodecágono — 12 lados 
pentadecágono — 15 lados 
icoságono — 20 lados 
 
2. Número de diagonais de um polígono 
O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por: 
 
 
 
 
 
 
3. Soma das medidas dos ângulos internos e externos 
Considere o polígono de n lados da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si  i1 + i2 + … + in  2Si  (n  2)  180º
2
 
Se  e1 + e2 + … + en  2Se  360º
2
 
 
 
 
Observações: 1. Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e ângulos congruentes, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A F 
B 
C D 
E 
d = 
n(n  3)
2 
A1 
A2 
A3 
A4 
An 
i1 
i2 
i3 
i4 
in e1 
e2 
e3 
e4 
en 
a e 
a e 
a e 
a e 
a e 
ae 
a e 
a e a i a i 
a i 
a i 
a i a i 
a i 
a i 
Ângulo interno  ai = 2
Si
n
2
 
Ângulo externo  ae = 2
Se
n
 = 
360º
n
2
 
 
 7 
 2. Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
15. (PUC-SP) Cada ângulo interno de um decágono regular mede: 
a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º 
 
16. (FEI-SP) O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número de lados é: 
a) 60º b) 72º c) 108º d) 150º e) 120º 
 
17. (ITA-SP) A soma das medidas dos ângulo internos de um polígono regular é 2160º. Então o número de diagonais 
desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: 
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 
 
18. (MACK-SP) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 
7
2
 do seu ângulo externo é: 
a) icoságono. b) dodecágono. c) decágono. d) eneágono. e) octógono. 
 
19. (FGV-SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um eneágono é: 
a) 900º b) 1080º c) 1260º d) 1800º e) 2340º 
 
20. (MACK-SP) O número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440º, é: 
a) 20 b) 27 c) 35 d) 44 e) n.r.a. 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- 40º e 60º 5-D 9-B 13-D 17-C 
2- 540 e 72º 6-A 10-B 14-C 18-D 
3- 60º e 100º 7-A 11-C 15-E 19-C 
4- x=85º 8-B 12-E 16-E 20-C 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
Ângulo Central 
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. 
 
 
 2 = AB 
⁀
2
 
 
 A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga. 
4. Ângulo Inscrito 
É o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os seus lados são cordas. 
 
A 
B 
O 
 
 8 
 
 
  = 
AB ⁀
2
2
 
 A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele enxerga. 
 
 
Observação: 
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. 
 
 
 
 
 
 
5. Ângulo de Vértice Interno 
 
 
  = 
AB ⁀ + CD ⁀
2
2
 
 
 
 A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos 
seus lados. 
6. Ângulo de Vértice Externo 
 
 
  = 
AB ⁀  CD ⁀
2
2
 
 
 
 A medida de um ângulo de vértice interno é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos 
seus lados. 
7. Ângulo de Segmento 
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência sendo um de seus lados secante e o outro, tangente à 
circunferência. 
 
 
 
A 
V  
B 
O 
A 
B 
C 
D 
V  
C 
D 
A 
B 
V  
A 
B C 
O 
ABC é retângulo. 
A 
B 
O 
 
 
 9 
  = 
AB ⁀
2
2
 
 
 A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco por ele determinado. 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
1. Relação entre duas cordas 
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos 
determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra. 
 
 
 
 
 
 
2. Relação métrica das secantes. 
Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela 
medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte inteira. 
 
 
 
 
 
 
3. Relação métrica entre secante e tangente. 
Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a 
média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida de sua parte externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01-(UFSC) No teste abaixo, dê o somatório das afirmações corretas. 
Dada a circunferência de centro O, onde AB¯¯ é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na 
figura abaixo, é correto afirmar: 
01. OB¯¯ é perpendicular a t. 
02. O ângulo ABC
^
 () é um ângulo de segmento, e o ângulo AVB
^
 () é um 
ângulo inscrito. 
04.  +   90º 
08.    
16.   1
2
  
O 
B 
D 
A 
C 
P 
PA  PB  PC  PD 
B 
D 
C 
A 
P O PA  PB  PC  PD 
(PA)2  PB  PC 
B 
C 
P O 
R 
A 
t 
V 
A B 
C 
O 
  
 
 
t 
 
 10 
32.     1
2
  
 
 
 
 
02- (FGV-SP) A medida do ângulo ADC
^
 inscrito na circunferência de centro O é: 
a) 125º 
b) 110º 
c) 120º 
d) 100º 
e) 135º 
 
03-(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A medida  do ângulo assinalado é: 
a) 30º 
b) 40º 
c) 50º 
d) 60º 
e) 70º 
 
04-(Unissantos-SP) Na figura abaixo, o valor de x é: 
a) 31º 
b) 38º 
c) 48º 
d) 50º 
e) 60º 
 
05-(MACK-SP) O quadrilátero ABCD da figura é inscritível. O valor de x é: 
a) 36º 
b) 48º 
c) 50º 
d) 52º 
e) 54º 
 
06-(CESGRANRIO-RJ) Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo . Se o arco AMB ⁀ mede 130º, o ângulo 
 mede: 
a) 25º 
b) 30º 
c) 40º 
d) 45º 
e) 50º 
 
07-(UCBA) A medida do ângulo x, representado na figura, é: 
a) 10º 
b) 15º 
c) 20º 
d) 25º 
O 
A B 
C D 
35º 
20º 
O 
 
100º 
x 
P O 
A 
B 
3 
raio = 3 
O 
x 
128º 
C 
B 
A 
D 
B 
O 
A 
M 
80º x 
 
 11 
e) 30º 
 
 
 
08-(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é: 
a) 50º 
b) 52º 
c) 54º 
d) 56º 
e) 58º 
 
09-(FATEC-SP) Na figura ao lado, os pontos A, B e C pertencem à circunferência 
de centro O. Se   150º e   50º, então  é igual a: 
a) 30º 
b) 45º 
c) 35º 
d) 15º 
e) 20º 
 
10-(PUC-SP) No círculo, O é o centro, AB¯¯  2 e AC¯¯  3. Então  vale: 
a) 75º 
b) 60º 
c) 45º 
d) 30º 
e) 15º 
 
11-(ITA-SP) Considere uma circunferência de centro O e diâmetro AB. Tome um segmento BC¯¯ tangente à 
circunferência de modo que o ângulo ABC
^
 meça 30º. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o 
segmento AC¯¯ e DE¯¯ o segmento paralelo a AB¯¯, com extremidade sobre a circunferência. A medida do segmento 
DE¯¯ será igual a: 
a) metade da medida de AB¯¯. d) dois terços da medida de AB¯¯. 
b) um terço da medida de AB¯¯. e) metade da medida de AE¯¯ . 
c) metade da medida de BC¯¯ . 
 
12-(VUNESP-SP) Sejam A, B, C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se 
construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos 
afirmar que este triângulo: 
a) é acutângulo. c) é obtusângulo. e) pode ser eqüilátero. 
b) é retângulo. d) não é isósceles. 
 
13-(UFES) Inscreve-se um triângulo numa semicircunferência cujo diâmetro coincide com um dos lados do 
triângulo. Os outros lados do triângulo medem 5 cm e 12 cm. O raio da circunferência mede: 
a) 
13
2
 cm b) 13 cm c) 
15
2
 cm d) 5 cm e) faltam dados para 
calcular tal raio. 
14-(FUVEST-SP) O valor de x na figura é: 
a) 
20
3
 
b) 
3
5
 
c) 1 
O 
E 
D C 
M 
B A 
A C 
O 
 
 
 
B 
C 
B 
O 
A 
 
2 x 
3 10 
 
 12 
d) 4 
e) 5 
 
15-(UEFS-BA) Na figura, são dados 
AE¯¯
EC¯¯
 = 
1
3
 , BE¯¯ = 8 cm e ED¯¯  6 cm.O comprimento de AC¯¯ , em cm, é: 
a) 10 
b) 12 
c) 16 
d) 18 
e) 20 
 
16-(EPCAR-SP) De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT¯¯ da 
tangente mede 8 cm de o segmento PB¯¯ da secante mede 16 cm, qual deve ser, em m
2
, a área do círculo, se a 
secante contém o diâmetro do mesmo? 
a) 12 
b) 18 
c) 24 
d) 30 
e) 36f) 
 
17-(MACK-SP) Na figura, AB¯¯  7 m, AD¯¯  6 m e DE¯¯  4 m. Então BC¯¯ é igual a: 
a) 
24
7
 m 
b) 5 m 
c) 12 m
1
1
 
d) 11 m 
e) n.r.a. 
1
1
 
 
18-(PUC-SP) Na circunferência da figura, de centro O e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente PB¯¯  2  PA¯¯ . A 
distância do ponto P à circunferência é: 
a) 12 m 
b) 24 m 
c) 6 m 
d) 3 m 
e) n.r.a. 
 
RESPOSTAS 
 
 Questões 
A
lt
e
rn
a
ti
v
a
s
 
 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
A 
63 
    
B    
C      
D  
E 
D A 
B 
C 
O 
T 
A 
B 
P 
A 
D B 
E C 
O A 
C 
B 
P 
 
 13 
E     
 
 
Área das Principais Figuras Planas 
A tabela a seguir mostra as fórmulas usadas para 
calcular a área das principais figuras planas. Elas 
serão muito utilizadas em Geometria métrica espacial. 
 
Retângulo 
a
b
S = ab 
 
Quadrado 
a
S = a
a
2
 
 
Paralelogramo 
S =ah
a
h
 
Trapézio 
b
h
B
(B + b)h
2
S =
 
Losango 
2
Dd
S =
D
d
 
ATIVIDADES DE SALA 
01.Ache a área total da figura a seguir. 
 
80 cm
80 cm
140 cm
30 cm
 
 
 
02.Ache a área de um retângulo, sabendo que a diagonal mede 
10m e o perímetro é igual a 28m. 
 
03.(Cesgranrio) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de 
largura e 2,80m de altura, as portas e janelas ocupam uma 
área de 4m
2
. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro 
aconselha a compra de 10% a mais de metragem a ladrilhar. 
Calcule a metragem de ladrilhos que se deve comprar. 
 
04.(UFPE) Na figura abaixo, P é o ponto médio do segmento 
AD
 
do paralelogramo ABCD. Calcule a área, em metros 
quadrados, do triângulo APB sabendo-se que a área do 
paralelogramo é 136m
2
. 
 
A B
CD
P
 
 
 
05.A área do trapézio da figura é igual a 22m
2
. Calcule x. 
 
BXA
D C9 m
3 m
 
 
 
 14 
 
 
06.Veja as medidas de um terreno pentagonal, na figura. 
 
40 m30 m
40 m
30 m
 
 
a) Determine a área da superfície desse terreno. 
 
b) Calcule o preço do terreno se o metro quadrado custa R$ 
30,00. 
 
07.Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de 
maneira que a diagonal maior do losango coincide com o 
diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos 
internos do losango tem 60°, calcule a área desse losango. 
 
08.Seu José possui um terreno retangular e pretende dividi-lo entre 
seus quatro filhos de maneira que cada um deles receba um 
terreno também retangular, de acordo com a figura abaixo. Se 
as áreas de três desses terrenos são 125,6 m, 109,9 m
2
 e 105 
m
2
 , determine, em m
2
, a metade da área do quarto terreno. 
 
 
09.As três paredes (duas laterais e uma no fundo) de uma banca de 
jornais serão pintadas com tinta esmalte. Algumas dimensões da 
banca aparecem na figura abaixo. 
3,
0 
m
2,
5 
m
2,5
 m
4,0 m 
A parede do fundo é retangular e as outras duas são trapézios 
retângulos congruentes. Cada lata da tinta usada permite pintar 
4m
2
. Nessas condições, a quantidade de tinta necessária para 
executar a tarefa é 
a) 4 latas e meia 
b) 5 latas 
c) 5 latas mais 
4
1
 de lata 
d) 5 latas e meia 
e) Entre 5 latas e meia e 6 latas 
 
10.A área do trapézio retângulo, representado na figura, é igual a 
Obs: utilize 
7,13 
 
 
6 cm
5 cm
60º
 
 
a) 19,50 cm
2
 
b) 25,50 cm
2
 
c) 33,15 cm
2
 
d) 39,00 cm
2
 
e) 40,80 cm
2
 
 
 
Triângulo qualquer 
 
2
A  
b  h
2
2
 
 
 
 
 
Triângulo eqüilátero 
 
2
A  
a
2
3
4
2
 
 
 
 
 
Triângulo escaleno 
 
 
 
 
 
 
2A  p(p  a)(p  b)(p  c) 
2
 
 p  
a + b + c
2
 (semi-perímetro) 
 
 
 
h 
b 
a a 
a 
a 
c 
b 
 
 15 
Triângulo qualquer dado um ângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES DE SALA 
01.Ache a área de um triângulo eqüilátero cujo 
perímetro é igual a 45dm. 
 
02.(Vunesp-SP) A área de um triângulo retângulo é 12dm
2
. Se um 
dos catetos é 
3
2
 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse 
triângulo. 
 
03.(FGV-SP) Na figura, 
AD
 é perpendicular a 
AB
, A
Dˆ
B = 
30°, A
Cˆ
B = 60° e DC = 10cm. Calcule a área do triângulo DCB. 
10 cmD
B
AC
60°30°
 
 
04.A área de um triângulo pode ser calculada em função das medidas a, 
b e c de seus lados. Basta usar a fórmula, atribuída ao matemático 
grego Herão (séc. I d.c.). 
 
S = 
c) - (p . b) - (p . a) - (p . p
, onde p = 
2
c b a 
. 
 
Calcule a área do triângulo ABC da figura, onde as medidas 
indicadas estão em centímetros. 
 
A
8
C9B
7
 
 
 
05.Calcule a área do hexágono regular da figura. 
 
E
F
A B
C
D
20 cm
 
 
 
06.Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 cm. A área 
do triângulo BCE, em cm
2
, é: 
 
a) 
3
2
 
b) 
2
3
 
c) 
23
 
d) 
32
 
e) 
3
 
 
07. Observe estas figuras: 
 
30
40 40
90
 
Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de 
uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas 
indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12cm na 
parte da frente da casa. 
Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado 
dessa casa é de: 
a) 0,72 m
2
 
a 
c 
b 
A B 
C A  
ab sen C 
^
2 
A  
bc sen A 
^
2 
A  
ac sen B 
^
2 
 
 
 16 
b) 0,96 m
2
 
c) 1,22 m
2
 
d) 1,44 m
2
 
 
08. Na figura abaixo vemos uma “malha” composta de 55 retângulos 
iguais. Em três dos nós da malha são marcados os pontos A, B e C, 
vértices de um triângulo. 
 
 
 
Considerando-se a área S de cada retângulo, a área do triângulo 
ABC pode ser expressa por: 
a) 24 S 
b) 18 S 
c) 12 S 
d) 6 S 
e) 4 S 
 
09. Na figura ao lado, cada quadradinho da malha tem lado 1. A 
área do quadrilátero ABCD é: 
 
 
 
a) 18 
b) 19 
c) 20 
d) 21 
e) 22 
 
10. Internamente ao quadrado ABCD foram construídos dois 
triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, conforme figura. 
 
A B
CD
E
 
 
A área do triângulo BCE é: 
a) 8 
b) 
34
 
c) 
2
 
d) 
22
 
e) 
3
34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RelaçõesTrigonométricas no Triângulo Retângulo 
 
C
a
b
A Bc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES DE SALA 
seno 
hipot.
oposto cat.

 
co-seno 
hipot.
adjac. cat.

 
 
tangente 
adjac. cat.
oposto cat.

 
 
 17 
01. (FUVEST-SP) Um móvel parte de A e segue numa direção que 
forma com a reta AB um ângulo de 30°. Sabendo-se que o 
móvel caminha com uma velocidade constante de 50 km/h. 
após 3 horas de percurso, a distância a que o móvel se 
encontra de AB é de: 
 
a) 75 km 
b) 75 
3
km 
c) 50 
3
km 
d) 75 
2
km 
e) 50 km 
 
02. (PUC-RS) De um ponto A, no solo, visando a base B e o topo 
C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, 
sob ângulos de 30° e 45°, respectivamente. Se o bastão mede 
4 m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a: 
 
A
45°
30°
C
B
 
 
a) 
3
 
b) 2 
c) 2
3
 
d) 2(
3
+1) 
e) 2(
3
+3) 
 
 
03. (UNIFOR-CE) Um coqueiro tem 6 m de altura e seu topo é 
visto dos pontos A e B, sob ângulo de45° e 30°, como 
representa a figura a seguir. 
 
A
30°
6
45°
B 
 
Se esses pontos estão alinhados com base do coqueiro, quantos 
metros, aproximadamente, A dista de B? (para seus cálculos, 
suponha que 
2
= 1,4 e 
3
= 1,7) 
 
a) 9,5 
b) 9,6 
c) 12 
d) 16,4 
e) 18,9 
 
04. (VUNESP) A figura representa o perfil de uma escada cujos 
degraus têm todos a mesma extensão e a mesma altura. Se 
AB = 2m e BĈA mede 30°, então a medida da extensão de 
cada degrau é: 
 
A
CB 
 
a) 
m
3
32 
b) 
m
3
2 
c) 
m
6
3 
d) 
m
2
3 
e) 
m
3
3 
GABARITO 
01-A 02-D 03-D 04-E 
 
Relações num Triângulo Qualquer 
 
I. Lei dos Senos 
 
As medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro 
da circunferência circunscrita. 
 
 
 
 
 
A 
a 
R
C
c
O
B
b
 
 
 
II. Lei dos Cossenos 
 
O quadrado de um lado, é a soma dos quadrados dos lados 
restantes, menos o duplo produto desses dois lados pelo co-seno 
do ângulo que eles formam. 
 
 
 
 
 
 
 
2R
Csen 
c
Bsen 
b
Asen 
a

 
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A 
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B 
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos C 
 
 18 
 
ATIVIDADES DE SALA 
01- (UNIFOR-CE) Na figura abaixo os ângulos têm as medidas 
indicadas em graus e os segmentos têm as medidas indicadas em 
centímetros. 
 
30° 
2
45°
1105°
 
valor de x é: 
 
a) 
2
)13.(2 
 b) 
2
23 
 
c) 
2
5
 d) 
23 
 
e) 
5
 
 
 
02-(CENTEC-BA) Considere-se um triângulo ABC, de lados a, b e c, 
opostos aos vértices A, B e C, respectivamente. Se a = 3 cm, b = 1 
cm e C = 120°, então o perímetro desse triângulo mede: 
 
a) (4-
13
) cm 
b) 4 cm 
c) (4 + 
7
) cm 
d) (4 + 
13
) cm 
e) 17 cm 
 
03-(UNIP-SP) Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo 
medir 20x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual 
a x, então a área do círculo, em cm
2
, será igual a: 
 
a) 50 b) 75 c) 100 
d) 125 e) 150 
 
 
 
 
04-(FATEC-SP) Dada a figura: 
 
 
onde o ângulo AĈD =  e o comprimento de AC = 3: 
 
 
a) BC = 3 sen  
b) BC = -3 cos  
c) BC = 
3
1
tg  
d) BC = -3 sen  
e) BC = 3 cos  
 
05. (VUNESP-SP) O quadrilátero abaixo representa a planta de um 
terreno plano. Seus ângulos internos B e C medem, 
respectivamente, 90° e 135° e os lados AB , BC , CD têm 
o mesmo comprimento, igual a 30 m. Nestas condições, a área 
do terreno vale, em m
2
: 
D 
BA
C135°
30
30
 
 
a) 450 . (
3
+ 1) b) 450 . (
2
+ 1) 
c) 450 . (
3
- 1) d) 450 . (
2
-1) 
e) 450 
 
06. (MACK-SP) A área do triângulo OPQ assinalada na figura é: 
4
__
x
Q
O
 
 
a) 
4
15
 
b) 
8
15
 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
07. (CESGRANRIO) Um dos ângulos internos de um 
paralelogramo de lados 3 e 4 mede 120°. A maior diagonal 
desse paralelogramo mede: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 
40
 
d) 
37
 
e) 6,5 
 
08. (FGV-SP) Qual é a área do triângulo da figura abaixo: 
 
8 
45°30°
24105°
 
 
a) 4 
b) (
2
+1) 
c) 8 (
3
+1) 
d) 2 (
2
+1) 
e) (
3
+1) 
GABARITO 
01-A 02-D 03-C 04-B 
05-B 06-B 07-D 08-C 
 
 
 
Círculo 
 
1 
 
 19 
R
C
S = R
2
 
 
 
Setor Circular 
S =
2
R2
360
R2
S =
Em graus Em radianos
R
C
 
 
Coroa Circular 
S = (R - r )2 2
R
Cr
 
 
 
Segmento Circular 
RC
E m rad ianos
S =
R 2
2
( - sen )
 
 
ATIVIDADES DE SALA 
01.Sabendo que r = 10cm, calcule a área da região hachurada na 
figura. 
 
r r
r r
 
 
02.Ache a área da região hachurada da figura. 
 
Dados: R1 = 3m, R2 = 5m. 
 
 
 
03.Uma praça é formada de um retângulo de comprimento 100m e 
largura 40m e dois semi-círculos com o diâmetro coincidindo como lado 
menor do retângulo. 
 
3 m
40 m
3 m
100 m
 
 
Em torno da praça será construída uma calçada de 3m de largura, 
cujo preço por metro quadrado é de R$ 50,00. Calcule o custo total 
desse projeto. 
 
04.Calcule a área de um setor circular de amplitude 120°, num 
círculo de diâmetro 30cm. 
 
05.Dois círculos concêntricos têm raios iguais a 50cm e 40cm, 
conforme indica a figura. 
 
30°
 
 
Calcule a área da superfície rachurada. 
 
06.Calcule a área do segmento circular da figura abaixo. Use  = 
3,14 e 
3
 = 1,73. 
 
R 2 
R 
1 
 
 20 
C 6 cm
6o°
 
 
07. O comprimento da curva representada pela figura é: 
 
1 8 0 º
1 2 0 º
1 5 0 º
1 8
c m
1
2
c
m
3
0
c
m
1
8
c
m
1 2
c m
3
0
c
m
 
 
a) 53 
b) 60 
c) 120 
d) 43 
e) 96 
 
08. Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo 
com o esquema abaixo. 
 
 
 
Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus 
centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do 
comprimento da correia? 
a) 122,8 cm 
b) 102,4 cm 
c) 92,8 cm 
d) 50 cm 
e) 32,4 cm 
 
09. No final de um curso de Geometria, o professor fez um 
experimento para saber a razão entre os diâmetros de duas 
bolinhas de gude de tamanhos diferentes. Primeiro, colocou a bola 
menor num recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da 
água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a bola maior, 
observou que o nível da água subiu 12,0 mm. 
 
 
 
O professor concluiu que a razão entre o diâmetro da bola maior e o 
diâmetro da bola menor é igual a: 
a) 2 
b) 3 
c) 6 
d) 8 
 
10. Se todos os círculos da figura são de raio igual a 5 metros, o 
comprimento do caminho de A até B que passa pelos centros dos 
círculos é 
 
 
a) 
m2100
 
b) 
m211
 
c) 
m110
 
d) 
 m21010 
 
e) igual à metade do perímetro do retângulo. 
 
11. Na figura, ABCD é um quadrado e o arco AP tem centro em D. 
Se a área assinalada mede 
8
4 
, o perímetro do quadrado é 
igual a: 
 
 21 
A B
CD
P
 
a) 2 
b) 
24
 
c) 4 
d) 
2
 
e) 8 
 
12. Na figura abaixo têm-se dois círculos concêntricos, de raios 
iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo central, em radianos 
0 
10
 
A área da superficie sombreada, em centímetros quadrados, é igual 
a 
a) 
5
16
 
b) 3 
c) 
5
12
 
d) 
5
9
 
e) 
5
4
 
PRISMA 
 
1. Definição de prisma 
 
 Sejam  e  dois planos paralelos distintos. 
Consideremos uma região poligonal com n lados contida em  
e uma reta r que intercepta os planos  e  nos pontos A e 
B respectivamente. Chama-se prisma, a união de todos os 
segmentos paralelos ao segmento de reta 
AB
, com uma 
extremidade na região poligonal e a outra extremidade em . 
 
 
 
2. Elementos 
 
 A1A2A3…An e B1B2B3…Bn são polígonos côngruos e 
paralelos chamados de bases. 
 
 
11BA
, 
22BA
, … 
nnBA
 são segmentos côngruos e 
paralelos chamados arestas laterais. 
 
 Os segmentos 
3221 AA,AA
, …
n1n AA 
, 
1nAA
, 
3221 BB,BB
, …
n1n BB 
, 
1nBB
 são chamados arestas 
das bases. 
 
 A1A2B2B1, A2A3B3B2, … são paralelogramos chamados 
faces laterais. 
 
 
 
3. Classificação 
 Prisma reto é todo prisma cujas arestas laterais são 
perpendiculares aos planos que contém as bases. 
 Prisma oblíquo é todo prisma cujas arestas laterais são 
oblíquas aos planos que contém as bases. 
 Prisma regular é todo prisma reto cuja base é um 
polígonoregular. 
 
 
 
 
4. Nomenclatura 
 
 Os prismas são chamados triangulares, quadrangulares, 
pentagonais, etc, conforme as bases sejam triângulos, 
quadriláteros, pentágonos, etc. 
 
Triangular Quadrangular Pentagonal 
 
 
5. Áreas 
B
B
B
B
B
A
A
AA
A
A A
B
B
2
1
3
h
1
2
4
3
r
r
S
h
s
4
 
 22 
 
 Área de uma face lateral é a área de um dos polígonos 
que constitui uma face lateral do prisma. 
 Se o prisma for regular, todas as faces laterais terão 
mesma área. 
 Área lateral é a soma das áreas de todas as faces 
laterais de um prisma. 
 Área total é a soma das áreas de todas as faces do 
prisma. 
 Assim, sendo AL a área lateral de um prisma, AB a área 
de uma das bases e AT a área total, temos: 
 
AT = 2 . AB + AL 
 
 
 
h 
A 
B 
 
 
6. Volume 
 
Definição 
 
Volume de um sólido é um número, associado a ele, que exprime a 
razão existente entre o espaço por ele ocupado e o espaço 
ocupado por um cubo de aresta unitária. 
 
Volume dos primas 
 
O volume V de um prisma com área da base AB e altura h, é 
dado por: 
 
V = AB . h 
 
 
PARALELEPÍPEDO E CUBO 
 
1. Paralelepípedo 
 
Paralelepípedo é todo prisma cujas bases são 
paralelogramos. 
PARALELEPÍPEDO
RETO
PARALELEPÍPEDO
OBLÍQUO
 
 
 
2. Paralelepípedo reto-retângulo 
 
Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo é 
todo paralelepípedo reto cujas bases são retângulos. 
 
3. Área total 
 
A
B
F G
E
C
D
H
c
b
a
 
 
No paralelepípedo reto-retângulo da figura, de dimensões a, b 
e c, temos: 
 
 AABCD = AEFGH = a . b 
 ABFGC = AAEHD = a . c 
 AABFE = ADCGH = b . c 
 
Assim, sendo AT a área total do paralelepípedo, temos: 
 
AT = 2 . (ab + ac + bc) 
 
 
4. Volume 
 
Sendo V o volume de um paralelepípedo reto-retângulo de 
dimensões a, b e c, e considerando um dos retângulos cujos 
lados medem a e b, por exemplo, como base, temos: 
 
V = AB . h = (a . b) . c 

 
V = a . b . c 
 
A
B
hc
b
a
 
 
5. Diagonal 
 
Sejam D a medida da diagonal 
AG
 do paralelepípedo reto-
retângulo de dimensões a, b e c da figura e d a medida da 
diagonal 
EG
 da face EFGH. 
 
 
 No triângulo retângulo EFG temos: 
 
 (EG)
2
 = (FG)
2
 + (EF)
2
  d
2
 = a
2
 + b
2
 
 
 No triângulo retângulo AEG temos: 
 
 (AG)
2
 = (EG)
2
 + (AE)
2
  D
2
 = d
2
 + c
2
 
 
Assim, 
 
D
2
 = a
2
 + b
2
 + c
2
 
 

 
 
D = 
222 cba 
 
 
 A
B
F G
E C
D
H
c
b
a
 
 
6. Cubo 
 
Cubo é todo paralelepípedo reto-retângulo cujas seis faces 
são quadradas, ou seja, a = b = c. 
Num cubo de aresta a, sendo AT a área total, D a medida da 
diagonal e V o volume do cubo, temos: 
 
 
At = 6a
2
 , D = a 
3
 e V = a
3
 
 
 
 
 
 23 
D
a
a
a
 
 
ATIVIDADES (PRISMAS) 
 01) Considere caixas iguais com a forma de um prisma 
retangular como a representada na figura. 
12 cm
20 cm
5 cm
 
Uma certa quantidade dessas caixas é reunida para se ter um 
pacote com a forma de um prisma retangular, como se vê na 
figura abaixo. 
 
O volume do pacote, usando o metro cúbico como unidade, 
a) é igual a 19 m3. 
b) está entre 0,5 m3 e 0,8 m3. 
c) é igual a 1,9 m3. 
d) está entre 0,1 m3 e 0,3 m3. 
e) é inferior a 0,02 m3. 
 
 02) Na figura abaixo tem-se o prisma reto ABCDEF, no qual DE 
= 6 cm, EF = 8 cm e 
EFDE 
. 
A
D B
F
C
E 
Se o volume desse prisma é 120 cm³, a sua área total, em 
centímetros quadrados, é 
a) 144 
b) 156 
c) 160 
d) 168 
e) 172 
 
 03) Considere o paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas 
medem 5, 1 e 
3
, como mostra a figura. Um plano passando 
por uma aresta forma com a base um ângulo de 60º e divide o 
paralelepípedo em dois sólidos. O volume do sólido que 
contém 
PQ
 é: 
60º
P
Q
5
1
3
 
a) 
314
 
b) 
2/39
 
c) 
2/37
 
d) 
2/3
 
e) 
3/3
 
04) Suponha que o bolo mostrado na tira abaixo apóie-se sobre 
um suporte circular feito de chocolate que, por sua vez, 
encontra-se sobre uma mesa de madeira de tampo retangular, 
cujas dimensões são 0,90 m de comprimento, 0,80 m de 
largura e 0,02 m de espessura. Assim, a parte dura que o 
Cebolinha mordeu diz respeito apenas a um pedaço do tampo 
da mesa. 
 
 
 24 
Fonte: Jornal O Estado de S. Paulo – 13/10/01 
Se o pedaço de madeira na fatia tem a forma de um prisma 
regular triangular, cuja aresta da base mede 6 cm, o volume de 
madeira do pedaço equivale a que porcentagem do volume do 
tampo da mesa? 
(Use 
7,13 
) 
a) 0,2125% 
b) 0,425% 
c) 2,125% 
d) 4,25% 
e) 21,25% 
 
GABARITO 01-E 02-D 03-B 04-A 
PIRÂMIDES 
 
1. Definição e elementos 
 
 Dados um plano , um ponto V, tais que V   e uma região 
poligonal S do plano , chama-se pirâmide à união de todos os 
segmentos 
VP
 onde P  S. 
 O ponto V é denominado vértice e a região poligonal S é 
denominada base da pirâmide. 
 
 
A
A
V
B
B
C
C
h
V
D
D
P
S
E F
F
 
 
 Na pirâmide da figura temos: 
 
 Arestas laterais: 
,VC,VB,VA
 
 Faces laterais:  VAB,  VBC,  VCD, … 
 Arestas da base: 
,CD,BC,AB
 
 Altura da pirâmide: h (distância de V a ) 
 
 
2. Natureza 
 
As pirâmides são triangulares, quadrangulares, pentagonais, 
hexagonais, … etc, conforme suas bases sejam triângulos, 
quadriláteros, pentágonos, hexágonos, … etc. 
 
3. Pirâmide Reta e Pirâmide Regular 
 
 Uma pirâmide é RETA quando a projeção ortogonal do 
vértice sobre o plano  é o centro do polígono da base. 
 Uma pirâmide é denominada REGULAR quando é reta e 
o polígono da base é regular. 
A
M
B
g
V
E
D
h
O
F
C
R
a
 
Na pirâmide regular da figura, temos: 
 
a) OA = R é o raio da circunferência circunscrita à base e é 
denominado simplesmente raio da base; 
b) OM = a é denominado apótema da base; 
c) VM = g é denominado apótema da pirâmide (altura de 
uma face lateral); 
d) g
2
 = a
2
 + h
2
 
e) (VA)
2
 = R
2
 + h
2
 
 
 
4. Cálculo de áreas e volumes 
 
 Para qualquer pirâmide, tem-se: 
 
 Área lateral (A1) 
 
É a soma das áreas das faces laterais da pirâmide. 
Assim: 
A1 = A1 + A2 + A3 … , + An, onde 
A1, A2, A3, …, An são as áreas das faces laterais. 
 
 Área total (A1) 
 
É a soma da área lateral e a área da base 
Assim: 
 
At = Al + Ab 
 
 
Volume (V) 
 
É a Terça parte do volume de um prisma de mesma base 
e mesma altura. 
Assim: 
V = 
hAb
3
1

 
 
 
TETRAEDRO REGULAR E TRONCOS DE PIRÂMIDES 
 
1. Tetraedro regular 
 
 É a pirâmide triangular que possui as seis arestas 
congruentes entre si. 
a a
a
a a
 
 
 A altura, a área total e o volume de um tetraedro regular 
de aresta a são dados, respectivamente, por: 
 
 
 25 
h = 
3
6a
 A t = 
3a2
 V = 
12
23a 
 
 
 
 
2. Secção Paralela à base de uma pirâmide 
 
A’
A
B’
B
C’
Secção
C
H
 
 
 Quando interceptamos todas as arestas laterais da 
pirâmide por um plano paralelo à base, que não contém esta e 
nem o vértice, obtemos uma secção poligonal tal que: 
 
1) As arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma 
razão: 
 
H
h
VC
VC
VB
VB
VA
VA '''
 
 
 
2) A secção obtida e a base são polígonos semelhantes. 
 
3) A razão entre as áreas da secção (As) e da base (Ab) é 
igual ao quadrado da razão entre suasdistâncias ao 
vértice. 
 
2
b
s
H
h
A
A







 
4) A razão entre o volume da pirâmide menor (v), que foi 
formada pela intersecção do plano  e o volume da 
pirâmide maior (V) é igual ao cubo da razão entre suas 
alturas. 
 
3







H
h
V
v 
 
 
5) A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base 
e a citada secção é denominada TRONCO DE 
PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS. 
 
 
 
ATIVIDADES (PIRÂMIDES) 
 01) Uma pirâmide de base quadrada e altura h é cortada por um 
plano  paralelo à base, a uma altura h/2, conforme a figura. A 
razão entre o volume do tronco da pirâmide abaixo de  e o volume 
da pirâmide menor formada acima de  é: 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
 02) Uma folha de papel colorido, com a forma de um quadrado 
de 20 cm de lado, será usada para cobrir todas as faces e a 
base de uma pirâmide quadrangular regular com altura de 
12cm e apótema da base medindo 5cm. Após se ter concluído 
essa tarefa, e levando-se em conta que não houve desperdício 
de papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de papel 
corresponde a: 
a) 20% 
b) 16% 
c) 15% 
d) 12% 
e) 10% 
 
 03) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura 
abaixo. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m
3
, 
então, o volume do cubo, em m
3
, é igual a: 
 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
04) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à 
prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado 
sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto 
maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da 
base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de 
4m, o volume de concreto (em m3) necessário para a 
construção da pirâmide será 
 
 26 
 
a) 36. 
b) 27. 
c) 18. 
d) 12. 
e) 4. 
05-Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo 
comprimento da aresta da base é igual a 2cm. Efetuando-se um 
corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de 1cm, o tronco 
dessa pirâmide, assim obtido, tem valor igual a 
3
3
5 cm
. Dessa 
forma, a altura da pirâmide é igual a 
a) 
cm
5
224 
 
b) 
cm
7
122 
 
c) 
cm
7
24
 
d) 
cm
3
524 
 
e) 
cm
7
622 
 
 
GABARITO 01-E 02-E 03-D 04-D 05-E 
 
CILINDROS 
 
1. Definição e elementos 
 
 Sejam  e  planos paralelos (distintos), r uma reta 
interceptando os planos  e  e S uma região circular contida 
em a, que não tem ponto em comum com r. 
 
Chama-se cilindro de base circular a união de todos os 
segmentos 
'QQ
 paralelos a r, com Q   e Q’  . 
 
Q
Q’
A
A’
S
h
 
 
 
h é altura do cilindro (distância entre a e b) 
S é base do cilindro 
'AA
 é geratriz g 
 
 
 
2. Cilindro circular reto (cilindro de revolução) 
 
 Definição e Elementos 
 
Cilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o sólido 
gerado por uma rotação completa de uma região de 
retângulo em torno de um de seus lados. 
 
BC
 é o eixo do cilindro 
 
AD
 é a geratriz da superfície lateral 
 
AB = DC = R é o raio da base 
 
A B
D R
C
 
 
 
 
Secção Meridiana 
 
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o 
seu eixo (
BC
 na figura anterior). 
 
A B
D
E
F
C
 
 
O retângulo AEFD é uma secção meridiana do cilindro 
circular reto da figura. 
 
Cálculo de Áreas e Volumes 
 
 Área da Base (Ab) 
 
É a área de um círculo de raio R. 
Assim: 
 
Ab = R
2
 
 
 
 
 Área Lateral (Al) 
 
A superfície lateral é equivalente a um retângulo de 
dimensões 2R (comprimento da circunferência da 
base) e h 
Assim: 
 
Al = 2  R h 
 
 
 
 27 
 
2 R
2 R
h


h
R
CORTE
 
 
 
 
 
 Área Total (At) 
 
É a soma das áreas das bases com a área lateral. 
Assim: 
 
At = Al + 2 . Ab 
 
 
 Volume (V) 
 
Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura 
e mesma área da base. 
 
V = Ab . h 
 
 
 
3. Cilindro eqüilátero 
 
 É todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é 
um quadrado. 
 
h
AA’
B
B’
RR
 
 
 
 A secção meridiana A’ABB’ é um quadrado. 
 Assim: 
 
h = 2R 
 
ATIVIDADES (CILINDRO) 
01) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em estado 
líquido, em recipientes, como mostram as figuras abaixo. 
 
Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi preparada 
coube em cinco recipientes cilíndricos e em dois recipientes em 
forma de paralelepípedo, como representado na figura acima, 
a quantidade preparada, em litros, foi de: 
Use  = 3,14 
a) 1,95 
b) 1,64 
c) 1,58 
d) 1,19 
e) 1,01 
02) Em uma caixa de papelão são colocados 12 copos, como 
mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma 
divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o 
formato de um cilindro circular reto, com altura de 14cm e 
volume de 126

cm
3
. Com base nesses dados, pode-se dizer 
que o comprimento interno da caixa de papelão, em cm, será 
igual a: (use =3,14). 
 
a) 36 
b) 41 
c) 12 
d) 17 
e) 48 
03) Um recipiente cilíndrico de 60cm de altura e base com 20cm 
de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém 
água até a altura de 40cm, conforme indicado na figura. 
60cm
20cm
40cm
 
Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível 
da água sobre 25%. 
 
 28 
Considerando  igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo 
colocado na água é igual a: 
a) 
210
 
b) 
3 210
 
c) 
1210
 
d) 
3 1210
 
04) Carlos é um rapaz viciado em beber refrigerante diet. Um dia, 
voltando do trabalho, ele passou em frente a uma companhia 
de gás, onde viu um enorme reservatório cilíndrico de 3 metros 
de altura com uma base de 2 metros de diâmetro e pensou... 
“Em quanto tempo eu beberia aquele reservatório inteiro, se 
ele estivesse cheio de refrigerante diet?” Considerando  = 
3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3 litros de refrigerante diet 
por dia, pose-se afirmar que ele consumirá o líquido do 
reservatório em um período de: 
a) 86 dias. 
b) 86 meses. 
c) 86 anos. 
d) 8,6 anos. 
e) 860 meses. 
 
GABARITO 01-B 02-B 03-D 04-D 
 
CONES 
 
1. Definição e elementos 
 
 Seja um plano , um ponto V   e um círculo  contido 
em . Chama-se cone circular a reunião de todos os 
segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos 
pontos do círculo  considerado. 
 
V
h
g
 
 
No cone circular da figura têm-se os seguintes elementos: 
 
- Vértices: 
 
É o ponto V citado na definição. 
 
- Base 
 
É o círculo  citado na definição 
- Altura 
 
É a distância (h) do vértice ao plano da base. 
 
- Geratrizes: 
 
São os segmentos com uma extremidade em V e a 
outra nos pontos da circunferência da base. 
 
- Raio da base 
 
É o raio do círculo g citado na definição. 
 
2. Cone reto 
 
 Definição e Elementos 
Um cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal 
do vértice sobre o plano da base é o centro da base. 
O cone circular reto é também chamado cone de 
revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um 
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 
Na figura, temos: 
 
VO = h é altura do cone 
OB = R é o raio da base. 
VB = g é a geratriz 
g
2
 = h
2
 + R
2
 
 
V
g
B
R
0
h
 
 
 
 
 Secção Meridiana 
 
É a intersecção do cone reto com um plano que contém a 
reta 
VO
 (eixo de rotação). 
 
A secção meridiana de um cone circular reto é um 
triângulo isósceles, cuja área é dada por:ASM = R . h 
 
V
g
B
A
0
h
 
O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do 
cone circular reto da figura. 
 
Desenvolvimento das Superfícies Lateral e Total de um Cone 
Reto 
 
 A superfície lateral de um cone circular de raio da base R 
e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco 
tem comprimento 2  R. 
 
 
 29 
SETOR
2 R
R
BASE
g
R
 
 
 
 
 Assim, sendo Ab a área da base, Al a área lateral e At a 
área total desse cone circular reto, temos: 
 
Ab =  R
2
 
 
Al = 
2
R2g 
  Al =  R g 
 
At = Al + Ab  At =  R (g + R) 
 
Volume do Cone 
 
 Todo cone é equivalente a uma pirâmide de base 
equivalente e de mesma altura. 
 
V = 
3
hAb 
 ou V = 
3
hR2
 
 
 
 
3. Cone eqüilátero 
 
 Um cone circular reto é dito eqüilátero quando a sua 
secção meridiana é um triângulo eqüilátero: 
 
V
gg h
B
RR
A
 
 
No cone eqüilátero da figura, tem-se AB = AV = BV. 
Assim: 
 
 
g = 2 R e h = R 
3
 
 
 
 
TRONCO DO CONE 
 
1. Tronco de cone de bases paralelas 
 
 Seccionando-se um cone por um plano paralelo à base 
do mesmo, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tronco 
de cone de bases paralelas. 
r
H
R
 
 Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de 
cone de bases paralelas, tem-se que a sua área total e o seu 
volume são dados respectivamente por: 
 
Al = g . (R + r) 
 
e 
 
V = 
3
H (R
2
 + r
2
 + R . r) 
 
ATIVIDADES (CONE) 
 01) Na rotação triângulo ABC da figura abaixo em torno da reta 
r, o lado AB descreve um ângulo de 270°. Desta forma, o 
sólido obtido tem volume: 
.
A B
C
6
4
r
 
a) 48  
b) 144  
c) 108  
d) 72  
e) 36  
 02) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto 
retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão 
a
b
 entre as dimensões do paralelepípedo é 
2
3
 e o volume do 
cone é . Então, o comprimento g da geratriz do cone é 
 
 
 
 30 
 
a) 
5
 
b) 
6
 
c) 
7
 
d) 
10
 
e) 
11
 
 
03) Um abajur em formato de cone eqüilátero está sobre uma 
escrivaninha, de modo que, quando aceso, projeta sobre esta um 
círculo de luz (veja figura abaixo). Se a altura do abajur, em relação 
à mesa, for H = 27 cm, a área do círculo iluminado, em cm
2
, será 
igual a 
 
 
a) 243. 
b) 270. 
c) 250. 
d) 225. 
 
 
 04) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como mostra a figura 
abaixo. Sabendo-se que sua capacidade é de 100  ml, a 
altura h é igual a: 
1 0 c m
h
 
a) 20 cm 
b) 16 cm 
c) 12 cm 
d) 8 cm 
e) 4 cm 
05-O volume do sólido gerado pela rotação completa da figura a 
seguir, em torno do eixo e, é, em cm
3
: 
2 cm
3 cm
3 cm
e
6 cm
 
a) 38 
b) 54  
c) 92  
d) 112  
e) 128  
06-Um depósito de água, de 2m de altura, tem forma de um 
“pedaço” de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais 
com extremidades nas retas de mesma direção que contêm os 
diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados, 
interceptam-se no ponto V, que dista 6m do centro do círculo da 
base. Dado que o raio do círculo superior mede 2m e o do círculo da 
base mede 1,5m, o volume do depósito é igual a: 
 
a) 8 m
3
 
b) 
3m
6
37
 
c) 
3m
3
40
 
d) 37 m
3
 
e) 25 m
3
 
 
GABARITO 01-E 02-D 03-A 04-C 05-E 06-B 
ESFERAS E PARTES 
 
1. Superfície esférica 
 
 É a superfície gerada pela revolução completa de uma 
semicircunferência. (ABA’) em torno de seu diâmetro (AA’), 
como mostra a figura. 
 
 31 
 
 
 
 
A área de uma superfície esférica de raio R é dada por: 
 
ASE = 4 R
2
 
 
 
 
 
 O volume de uma esfera de raio R é dado por: 
 
Vesf = 
3
4
R
3
 
 
 
Fuso esférico 
 
 
 
 
 
 
 
 
Af = 
o
o2
90
R 
 
 
 
 Cunha esférica 
 
 
 
 
 
 
Vc = 
o
o3
270
R 
 
 
 
ATIVIDADES (ESFERA) 
 01) Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27 laranjas de 
8cm de diâmetro cada, para produzir um litro de suco 
concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa assume 
que as laranjas são esferas. Contudo, devido às entressafra, 
as únicas laranjas disponíveis no mercado apresentam 
diâmetro de 6cm. Nessas condições, o número mínimo de 
laranjas necessárias para a produção de um litro de suco 
concentrado sra igual a 
a) 48 
b) 54 
c) 64 
d) 70 
 
 02) Na famosa cidade de Sucupira, foi eleito um monumento de 
concreto com pedestal em forma de uma esfera de raio igual a 
5m, em homenagem ao anti-herói “Zeca Diabo”. O cidadão 
“Nézinho do Jegue” foi informado de que, apesar de o preço do 
metro cúbico do concreto ser 260 reais, o custo total do 
concreto do pedestal, feito com dinheiro público, foi de 500 mil 
reais. Nézinho do Jegue verificou, então, que houve um 
superfaturamento 
a) menor que 50 mil reais. 
b) entre 50 e 200 mil reais. 
c) entre 200 e 300 mil reais. 
d) entre 300 e 400 mil reais. 
e) acima de 400 mil reais. 
Obs.: Considere  = 3,14 
 03) A Medicina Alternativa tem conquistado importantes vitórias no 
combate às enfermidades modernas, graças ao idealismo de alguns 
médicos, nutricionistas, biólogos e naturistas que, ao redor do 
mundo, pesquisam o valor medicinal das frutas, dos legumes, das 
ervas, da argila e da água. Um tratamento sugerido por esses 
estudos indica a ingestão diária do suco de 1 limão no primeiro dia, 
dois limões no segundo dia, e assim sucessivamente, até o décimo 
dia, quando, então, se deve fazer a regressão para o suco de um 
limão por dia. Suponha que uma pessoa tenha resolvido fazer esse 
tratamento. No quinto dia, essa pessoa colocou o suco em uma taça 
cônica, de altura 120 mm e volume Vt. O suco ocupou um volume 
Vs, atingindo a altura de 90 mm. Considerando que cada limão tinha 
5,4 ml de suco, é correto afirmar que a razão 
t
s
V
V
 é 
a) 
4
3
 
b) 
64
9
 
c) 
27
16
 
d) 
64
27
 
e) 
16
9
 
04)Observe esta figura: 
A
D E
B
F C 
 
 
 
 
 
 32 
Nessa figura, ABC é um quadrante de círculo de raio 3cm e ADEF é 
um quadrado, cujo lado mede 1cm.Considere o sólido gerado pela 
rotação de 360º, em torno da reta AB, da região hachurada na 
figura: Sabe-se que o volume de uma esfera de raio r é igual a 
3
rπ4 3
. 
Assim sendo, esse sólido tem um volume de 
a) 14 cm
3
 
b) 15 cm
3
 
c) 16 cm
3
 
d) 17 cm
3
 
05)Internamente, a cúpula do teto de um teatro tem a forma da 
superfície de uma semi-esfera , cujo raio mede 4 m . Se um galão 
de tinta é suficiente para pintar 21m2, o número necessário de 
galões para realizar todo o serviço de pintura interna da cúpula é , 
aproximadamente... 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
06)Quatro esferas de raio 3m foram colocadas num plano e são 
tangentes duas a duas. Nestes pontos de contato foi aplicado um 
adesivo de modo que seus centros tornam-se vértices de um 
quadrado. Uma quinta esfera de mesmo volume foi colocada sobre 
as anteriores (tangente a elas). O volume da pirâmide cujos vértices 
são os centros das cinco esferas é, em m
3
, igual a: 
a) 
224
. 
b) 
236
. 
c) 
248
. 
d) 
260
. 
e) 
272
. 
07)Uma caixa cúbica de aresta 1m está vazia. No seu interior são 
colocadas 1 000 esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de 
10cm. Os espaços vazios são preenchidos com x litros de água. Em 
seguida, a caixa é esvaziada. Colocam-se agorano seu interior 
1.000.000 de esferas maciças, cada uma delas com diâmetro de 1 
cm. Os espaços vazios são preenchidos com y litros de água. É 
correto afirmar que a relação entre x e y é: 
a) x = 10y 
b) y = 10x 
c) x = 100y 
d) y = 100x 
e) x = y 
08)Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê 
o arco AB sob um ângulo 
significa que a área do fuso esférico determinado por  é: 
 
 
 
a) 20  m
2
. 
b) 15  m
2
. 
c) 10  m
2
. 
d) 5  m
2
. 
e)  m
2
. 
 
 
GABARITO 01-C 02-D 03-D 4-D 5-D 6-B 7-E 8-A 
REVISÃO DE GEOMETRIA 
Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar 
bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa 
caixa cúbica com 10 cm de aresta. 
 
01- (ENEM) Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas 
superpostas iguais, tendo assim empregado: 
(A) 100 bolinhas. 
(B) 300 bolinhas. 
(C) 1000 bolinhas. 
(D) 2000 bolinhas. 
(E) 10000 bolinhas. 
02-(ENEM) Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira 
de arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa idéia 
organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma 
camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra 
a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela 
conseguiu colocar 
 
 33 
na caixa: 
 
 
(A) 729 bolinhas. 
(B) 984 bolinhas. 
(C) 1000 bolinhas. 
(D) 1086 bolinhas. 
(E) 1200 bolinhas. 
As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa 
dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa 
localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura.O 
número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada 
depende do tamanho relativo destas coroas. 
 
03-(ENEM) Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior 
número de voltas por pedalada? 
 
04-(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto 
é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), 
qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se 
que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde 
=3? 
 
(A) 1,2 m 
(B) 2,4 m 
(C) 7,2 m 
(D) 14,4 m 
(E) 48,0 m 
05-(ENEM) Com relação ao funcionamento de uma bicicleta de 
marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das coroas 
dianteiras com uma das coroas traseiras, são formuladas as 
seguintes afirmativas: 
I. numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco traseiras, 
temos um total de dez marchas possíveis onde cada marcha 
representa a associação de uma das coroas dianteiras com uma 
das traseiras. 
II. em alta velocidade, convém acionar a coroa dianteira de maior 
raio com a coroa traseira de maior raio também. 
III. em uma subida íngreme, convém acionar a coroa dianteira de 
menor raio e a coroa traseira de maior raio. 
Entre as afirmações acima, estão corretas: 
(A) I e III apenas. 
(B) I, II e III. 
(C) I e II apenas. 
(D) II apenas. 
(E) III apenas. 
Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que 
ocupa quase completamente seu corpo, conforme mostra a 
figura. Suponha que, para fazer medições, você disponha 
apenas de uma régua milimetrada. 
 
 
 
 
06-(ENEM) Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o 
número mínimo de medições a serem realizadas é: 
 
 34 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
07-(ENEM) Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando 
que você pode virá-la, o número mínimo de medições a serem 
realizadas é: 
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 
 
08-(ENEM) Assim como na relação entre o perfil de um corte de um 
torno e a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação 
de figuras planas em torno de um eixo. Girando-se as figuras abaixo 
em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de revolução que 
estão na coluna da direita. 
 
A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de 
revolução obtidos é: 
(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E. 
(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A. 
(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C. 
(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C. 
(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A. 
09-(ENEM) Uma empresa de transporte armazena seu combustível 
em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu 
conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de 
modo que a distância entre duas graduações consecutivas 
representa sempre o mesmo volume. 
 
A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações 
na vara é: 
 
10-(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, 
copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e 
pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, 
recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m 
x 100m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08g. Com 
esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros 
quadrados, é de, aproximadamente: 
 
(A) 800. 
(B) 10000. 
(C) 320000. 
(D) 400000. 
(E) 5000000 
11-(ENEM) Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o volume 
de madeira de uma árvore cortada é avaliado de acordo com uma 
prática dessas regiões: 
I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante. 
 
II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu 
comprimento é medido com fita métrica. 
 
 
 1ª dobra 
2ª dobra 
 
 35 
III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele mesmo e 
depois multiplicado pelo comprimento do tronco. Esse é o volume 
estimado de madeira. 
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do 
tronco, considerando-o um cilindro perfeito. A diferença entre essas 
medidas é praticamente equivalente às perdas de madeira no 
processo de corte para comercialização. Pode-se afirmar que essas 
perdas são da ordem de: 
(A) 30%. 
(B) 22%. 
(C) 15%. 
(D) 12%. 
(E) 5%. 
12-(ENEM) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma 
caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa 
por uma abertura em sua tampa. A figura representa a planificação 
da caixa, com as medidas dadas em centímetros. 
 
 
Os sólidos são fabricados nas formas de 
I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm. 
II. um cubo de aresta 2 cm. 
III. uma esfera de raio 1,5 cm. 
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 
cm. 
V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm. 
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura 
dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos 
(A) I, II e III. 
(B) I, II e V. 
(C) I, II, IV e V. 
(D) II, III, IV e V. 
(E) III, IV e V. 
13-(ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de 
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento 
de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de 
polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem 
que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as 
figuras: 
 
 
 Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano 
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam 
 
o plano (há falhas ou superposição) 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as 
respectivas medidas de seus ângulos internos. 
 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos 
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um 
deles octogonal, o outro tipo escolhido deveráter a forma de um: 
(A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono. (D) hexágono . 
(E) eneágono. 
 
14-(ENEM) Um terreno com o formato mostrado na figura foi 
herdado por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de 
mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão para 
que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos esquemas 
abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único 
em que os quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma 
área é: 
 
 
 36 
 
 
15-(ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, 
precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram 
numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma 
leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista 
deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira 
para encher os vinte copinhos pela metade. Para que 
isso ocorra, Dona Maria deverá: 
A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
 
16-(ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em 
geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. 
As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à 
forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor 
aproveitamento possível do papel disponível. 
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 
páginas (4 folhas): 
 
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar 
de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto 
possível de material, utilizando uma única folha de 
(A) 84 cm x 62 cm 
(B) 84 cm x 124 cm 
(C) 42 cm x 31 cm 
(D) 42 cm x 62 cm 
(E) 21 cm x 31 cm 
 
17-(ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio 
para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros 
de lado,conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 
4 tampas médias e 16 tampas pequenas. 
 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, 
médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a 
três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A 
partir dessas informações, pode-se concluir que 
(A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
(B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
(C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
(D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a 
entidade III. 
(E) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
18-(ENEM) Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por 
pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo o padrão 
representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do 
pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro 
quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado 
do revestimento será de: 
 
 
 
(A) R$ 8,20. (B) R$ 8,40. (C) R$ 8,60. (D) R$ 8,80. (E) R$ 
9,00. 
 
19-(ENEM) Os três recipientes da figura têm formas diferentes,mas 
a mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. 
Neles são colocados líquido até a metade de sua altura, conforme 
indicado nas figuras. Representando por V1, V2 e V3 o volume de 
líquido em cada um dos recipientes, tem-se : 
 
(A)V1 = V2 = V3 (B)V1 < V3 < V2 (C) V1 = V3 < V2 
(D) V3 < V1 < V2 (E) V1 < V2 = V3 
20-(ENEM) Uma artesa confecciona dois diferentes tipos de vela 
ornamental a partir de moldes feitos com cartoes de papel 
retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras 
 
 37 
abaixo). Unindo dois lados opostos do cartao, de duas maneiras, a 
artesa forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente 
com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente 
proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do 
tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será: 
 
(A) o triplo. 
(B) o dobro. 
(C) igual. 
(D) a metade. 
(E) a terca parte. 
 
21-(ENEM) 
 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 
degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão e igual 
a: 
(A) 1,8 m. 
(B) 1,9 m. 
(C) 2,0 m. 
(D)2,1 m. 
(E) 2,2 m. 
22-(ENEM) Representar objetostridimensionais em uma folha de 
papel nem sempre é tarefa fácil. O artista holandês Escher (1898-
1972) explorou essa dificuldade criando várias figuras planas 
impossíveis de serem construídas como objetos tridimensionais, a 
exemplo da litografia Belvedere, reproduzida ao abaixo. 
 
Considere que um marceneiro tenha encontrado algumas figuras 
supostamente desenhadas por Escher e deseje construir uma delas 
com ripas rígidas de madeira que tenham o mesmo tamanho. Qual 
dos desenhos a seguir ele poderia reproduzir em um modelo 
tridimensional real? 
A) 
B) 
 
 
 
 38 
C) 
D) 
 
 
 
 E) 
 
 
23-(ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de 
quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos 
retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças 
são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema 
da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível 
representar uma grande diversidade de formas, como as 
exemplificadas nas figuras 2 e 3. 
 
 
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a 
área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a: 
A) 4 cm². 
B) 8 cm². 
C) 12 cm². 
D) 14 cm². 
E) 16 cm². 
 
24-(ENEM) A figura ao abaixo mostra um reservatório de água na 
forma de um cilindro circular reto, com 6 m de altura. Quando está 
completamente cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por 
um dia, 900 casas cujo consumo médio diário é de 500 litros de 
água. Suponha que, um certo dia, após uma campanha de 
conscientização do uso da água, os moradores das 900 casas 
abastecidas por esse reservatório tenham feito economia de 10% no 
consumo de água. 
 
 Nessa situação, 
A )a quantidade de água economizada foi de 4,5 m³. 
B) a altura do nível da água que sobrou no reservatório, no final do 
dia, foi igual a 60 cm. 
C) a quantidade de água economizada seria suficiente para 
abastecer, no máximo, 90 casas cujo consumo diário fosse de 450 
litros. 
D ) os moradores dessas casas economizariam mais de R$ 200,00, 
se o custo de 1 m³ de água para o consumidor fosse igual a R$ 
2,50. 
E) um reservatório de mesma forma e altura, mas com raio da base 
10% menor que o representado, teria água suficiente para 
abastecer todas as casas. 
 
25-(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto 
que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o 
objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as 
propriedades e o comportamento dos fractais — objetos 
geométricos formados por repetições de padrões similares. O 
triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria 
fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1); 
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do 
tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulotenha um 
vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois 
triângulos, conforme ilustra a figura 2; 
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos 
triângulos obtidos no passo 3 (figura 3). 
 
 39 
 
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência 
apresentada acima é: 
A) B) 
C) D) 
 
E) 
 
26-(ENEM) O mapa abaixo representa um bairro de determinada 
cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. 
Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra 
representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 
metros. 
 
Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em 
minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, 
partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? 
A ) 25 min. D) 1,5 min. 
B )15 min. E) 0,15 min. 
C )2,5 min. 
 
 
27-(ENEM) O governo cedeu terrenos para que famílias 
construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 
94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação 
ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que 
AB=BC/2, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para 
a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual 
AE=AB/5 é lado do quadrado. 
 
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o 
limite determinado pela condição se ele 
A) duplicasse a medida do lado do quadrado. 
B )triplicasse a medida do lado do quadrado. 
C )triplicasse a área do quadrado. 
D )ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. 
E) ampliasse a área do quadrado em 4%. 
28-(ENEM) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra 
cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são 
quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no 
tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B 
e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de 
modo a completar os desenhos. 
 
 FIGURA A 
 
 
 FIGURA B 
 
Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009. 
 
 
 40 
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no 
tabuleiro da figura A colocando a peça: 
A )1 após girá-la 90° no sentido horário. 
B )1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. 
C )2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. 
D )2 após girá-la 180° no sentido horário. 
E )2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. 
 
GABARITO 
1-C 8-D 15-A 22-E 
2-D 9-A 16-D 23-B 
3-A 10-E 17-E 24-B 
4-C 11-B 18-B 25-C 
5-A 12-C 19-B 26-D 
6-B 13-B 20-B 27-C 
7-C 14-E 21-D 28-C