Avaliação Final de E.D.O.

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
Prof. Adilandri Me´rcio Lobeiro
Avaliac¸a˜o Final de E.D.O. (08/11/2012)
Acadeˆmico(a):
1a Questa˜o: (2,0 pontos) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Ricatti dy
dx
+ y2 =
x2 − 2x sabendo-se que y = 1− x e´ soluc¸a˜o particular.
2a Questa˜o: (2,0 pontos) Verifique se a func¸a˜o y1 = cos(lnx) e´ uma soluc¸a˜o para a
equac¸a˜o
x2y′′ + xy′ + y = 0.
Encontre a soluc¸a˜o geral no intervalo (0,+∞)
3a Questa˜o: (2,0 pontos) Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a`s condic¸o˜es iniciais
indicadas. 

y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7
4a Questa˜o: (2,0 pontos) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria
y′′′ − y′ =
ex
1 + ex
5a Questa˜o: (2,0 pontos) Um grande tanque esta´ com 100 litros de um fluido no qual
foram dissolvidos 10 gramas de sal. Uma salmoura contendo
1
2
grama de sal por
litro e´ bombeado para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto (6 l/min).
A soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min.
1. Ache a quantidade de gramas de sal no tanque apo´s 30 minutos;
2. O tamanho do tanque contendo a mistura de sal na˜o foi dado. E´ claro que,
uma vez que a salmoura esta´ se acumulando no tanque a uma taxa de 2l/min,
qualquer tanque finito deve, mais cedo ou mais tarde, derramar. Suponha
agora que o tanque tenha uma tampa aberta e uma capacidade total de 400
litros.
1
(a) Quando o tanque transbordara´?
(b) No instante em que estiver transbordando, qual sera´ a quantidade de
gramas de sal no tanque?
(c) Suponha que, embora o tanque esteja transbordando, a soluc¸a˜o salina
continue a ser bombeada para dentro a uma taxa de 6 l/min e a soluc¸a˜o
bem misturada continue a ser bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min.
Crie um me´todo para determinar a quantidade de gramas de sal no tanque
no instante t = 250 min.
(d) Determine a quantidade de gramas de sal no tanque quando t→∞.
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