Lista de Exercícios3_AL1 Espaço e subespaço vetorial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Lista de Exerc´ıcios 3: A´lgebra Linear I Data: 28/01/2016
Professor: Adina Rocha
ESPAC¸OS VETORIAIS E SUBESPAC¸OS VETORIAIS
1. Verifique quais dos conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais.
2. Prove que R3 e´ soma direta de W = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0} e U = {(x, y, z) ∈ R3; x = y = 0}.
Interprete geometricamente este fato.
3. Fixado θ, considere os vetores u1 = (cos θ, sen θ) e u2 = (− sen θ, cos θ) em R2. Mostre que B = {u1, u2}
e´ uma base de R2.
4. Seja W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x−y = y e x−3y+t = 0}. Determine uma base e a dimensa˜o do subespac¸o
W de R4.
5. Determine uma base para o subespac¸o vetorial de R5 gerado pelos vetores
(−2,−5, 8, 0,−17), (1, 3,−5, 1, 5), (3, 11,−19, 7, 1), (1, 7,−13, 5,−3).
6. Dados os seguintes subespac¸os vetoriais de R3
U = {(x, y, z) ∈ R3; x = 0},
V = {(x, y, z) ∈ R3; y − 2z = 0},
W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)].
Obtenha uma base e determine a dimensa˜o de cada um dos subespac¸os U, V, U ∩ V, U + V.
7. Sejam (−1, 0, 1) e (3, 4,−2) vetores do R3. Determine um sistema de equac¸o˜es homogeˆneas para o qual
o espac¸o soluc¸a˜o seja exatamente o subespac¸o gerado por esses vetores.
8. Considere os subconjuntos V e W de M(3, 3) formados pelas matrizes sime´tricas e antissime´tricas,
respectivamente, ou seja, V = {A ∈M(3, 3); A = A>} e W = {A ∈M(3, 3); A = −A>}.
a) Mostre que V e W sa˜o subespac¸os vetoriais de M(3, 3).
b) Determine a dimensa˜o dos subespac¸os V e W .
2
c) Verifique se M(3, 3) = V ⊕W .
9. Seja
U =
{(
x y
z t
)
; x− y − z = 0
}
um subespac¸o vetorial de M(2, 2). Mostre que
B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
e´ uma base de U .
10. Mostre que α = {1, 2− t, t2 + 1, 1 + t+ t3} e´ uma base de R[x]3 e determine as coordenadas do polinoˆmio
t3 em relac¸a˜o a esta base.
11. Sejam V = {(x, y, z, t) ∈ R4; x − y + 3z − 4t = 0} e W = {(x, y, z, t) ∈ R4; 5x − 4y + 7z + t = 0}
subespac¸os vetoriais de R4. Encontre um conjunto de geradores para V ∩W.
12. Sejam X = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} e Y = {(1, 4, 7), (2, 5, 8), (3, 6, 9)} subconjuntos de R3. Mostre que
G(X) = G(Y ).
13. Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3;x + 3y + 4z = 0} e W = {(x, y, z) ∈ R3;x − 2y + z = 0} subespac¸os de R3.
Mostre que U + V = R3. A soma e´ direta?
14. O conjunto {(
1 1
1 0
)
,
(
1 0
−1 0
)
,
(
1 −2
1 0
)
,
(
1 2
3 4
)}
gera o espac¸o vetorial M(2, 2)?
15. Seja F(R;R) o espac¸o vetorial formado pelas func¸o˜es f : R → R. Mostre que a func¸a˜o sen 4x pertence
ao subespac¸o de F(R;R) gerado pelo conjunto
{1, cosx, cos 2x, cos 3x, cos 4x}. Sugesta˜o: Use a fo´rmula cos 2x = 2 cos2 x− 1.
16. Sejam U = {(x, y, z) ∈ R3; x = y = z}, V = {(x, y, z) ∈ R3; y = 0, x = −z} e W = {(x, y, z) ∈ R3; x =
−2y = z} subespac¸os de R3. Mostre que U + V +W = R3.
17. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ limitada quando existe K > 0 tal que |f(x)| ≤ K para todo x ∈ R. O conjunto
W = {f ∈ F(R;R); f e´ limitada} e´ um subespac¸o vetorial de F(R;R)? Justifique.
18. Uma func¸a˜o f : R→ R e´ par, se f(−x) = f(x) para todo x ∈ R. Analogamente, uma func¸a˜o f : R→ R
e´ ı´mpar, se f(−x) = −f(x) para todo x ∈ R. Mostre que o conjunto P de todas as func¸o˜es pares e o
conjunto I de todas as func¸o˜es ı´mpares sa˜o subespac¸os vetoriais de F(R;R) e, ale´m disso, F(R;R) = P⊕I.
19. Prove que {1, ex, e2x, e3x, e4x} e´ um conjunto linearmente independente de F(R;R) sobre R.
20. Para quais valores m ∈ R o conjunto {3 + 5mt, 2m, 1 + t+ 3mt2} e´ uma base de R[x]2?
21. Considere o subconjunto de M(2, 2) formado pela matrizes tais que a soma dos elementos da diagonal
principal e´ nula. Prove que tal subconjunto e´ um subespac¸o vetorial deM(2, 2) e obtenha a sua dimensa˜o.
22. Seja W o subespac¸o de C3 gerado pelos vetores w1 = (1, 0, i) e w2 = (1 + i, 1,−1).
(a) Mostre que w1 e w2 determinam uma base de W ;
(b) Verifique que os vetores u1 = (1, 1, 0) e u2 = (1, i, 1 + i) pertencem a W e formam outra base de W ;
3
(c) Quais sa˜o as coordenadas de w1 e w2 em relac¸a˜o a` base {u1, u2}.
23. Determine um sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneas para o qual o espac¸o das soluc¸o˜es seja exatamente
o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores u1 = (−1, 0, 1, 2), u2 = (3, 4,−2, 5) e u3 = (1, 4, 0, 9).
24. Tome A ∈ M(m,n) e seja r o posto de A. Prove que o espac¸o das soluc¸o˜es do sistema AX = 0 tem
dimensa˜o igual a n− r.
25. Seja A ∈M(m,n). Demonstre que o sistema de equac¸o˜es AX = B admite uma soluc¸a˜o se, e somente se,
o posto da matriz A e´ igual ao posto da matriz ampliada do sistema.