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Lista 3 Exercicios Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 3 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 1 
 
RETA NO ℝ3 
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos 
seguintes casos: 
 a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor 
v
 =(3,1,4); 
 b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; 
 c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor 
diretor 
v
 =(2,–2,3); 
 d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos 
A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); 
 e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
2
1z
3
4y
5
2x
:r






; 
 f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 
v
 = (–2,0,–2); 
 g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 
v
 =(8,3,0); 
 h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ; 
 i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ: 
a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , 








m41z
m2y
m31x
 , 
4
1z
1
2y
3
1x 




 , 





9y4z
7y3x 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , 








m53z
m1y
m2x
 , 
5
2z
y3x



 , 





13x5z
3xy ; 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , 








m33z
m22y
m21x
 , 
3
3x
2
2y
2
1x 





, 







y
2
3
z
1yx ; 
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 








2z
m5y
m31x
 , 
2z ; 5y
3
1x


 ; 
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , 








m2z
m31y
m52x
 , 
2
z
3
1y
5
2x





 , 










2
2z3
y
2
4z5
x
 ; 
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , 








m9z
7y
m6x
 , 
7 y; 9z6x 
; 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 3 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 2 
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 








4z
m3y
m8x
 , 
4z ; 
3
y
8
x

 ; 
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 





1z
2y ; 
 i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 





0y
8x . 
 
2) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de 
vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do 
triângulo. RESP: 
1
1z
3
3y
2
2x






. 
3) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações 
reduzidas da bissetriz interna do ângulo A
Oˆ
B e determine sua interseção com o lado 
AB. 
 RESP: 








z
5
7
y
z
5
7
x
 e 






4
5
,
4
11
,
4
7
P
. 
4) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao 
ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas. 
 RESP:  = arc cos 
3
1
 ,  700 31'43,6'' 
5) A reta 
3
z
5
4
4
2x
:r 



, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos 
A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1 
6) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 
21 rr 
, com 














m2z
m21y
m3x
:r e 
2
1z
4
3y
2
1x
:r 21
. RESP: 





2xz
1xy 
7) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das 
retas: 
 a) 
2
8z
10
44y2
x:r e 3z
4
y2
2
3x
:s








, e que passa pelo ponto P(2,3,5); 
 b) 
3
z
2-
y-2
4 x:r e 3z3
4
y2
2
2x
:s





, e que passa pelo ponto P(2,–3,1); 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 3 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 3 
 c) 





18x10z
3x2y
:r
 e 










2
27y6
z
2
1y2
x
:s , e que passa pelo ponto P(3,3,4). 
 RESP: a)t: 








m125z
m53y
m2x
 








m61z
m73y
m42x
:t)b
 c) 








m34z
m133y
m43x
:t
 
8)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de 
r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta 





5zy
2z3x
:s
, e que forma ângulos agudos 
congruentes com os eixos coordenados. RESP: 





6xz
11xy
:t
 
9) São dadas as retas 





1z2y
1zx
:r
 e 





5zy
3zx
:s
 e o ponto A(3,–2,1). Calcule as 
coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que 
A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 
10) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã 
reta 
2
4z
1y
1
2x
:r





. RESP: 






3
2
,
3
5
,
3
1
'O
 
11) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta 
4
2z
1y
2
1x
:s



. RESP: 







21
101
,
21
20
,
21
2
'A
 
12) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é 
perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: 








m5z
m24y
1x
:r
 
13)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à 
reta 
1
2z
2
y
3
1x
:s




. RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33) 
14)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja 
concorrente com a reta 





2z2y
1z3x
:r
 e seja ortogonal ao vetor 
 1,0,2v 
. 
RESP: 
2
1_z
1
3y
1x:s 



 
 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 3 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 4 
RESPOSTAS 
RESP 1: 
a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , 








m41z
m2y
m31x
 , 
4
1z
1
2y
3
1x 




 , 





9y4z
7y3x 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , 








m53z
m1y
m2x
 , 
5
2z
y3x



 , 





13x5z
3xy ; 
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , 








m33z
m22y
m21x
 , 
3
3x
2
2y
2
1x 





, 







y
2
3
z
1yx ; 
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 








2z
m5y
m31x
 , 
2z ; 5y
3
1x


 ; 
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , 








m2z
m31y
m52x, 
2
z
3
1y
5
2x





 , 










2
2z3
y
2
4z5
x
 ; 
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , 








m9z
7y
m6x
 , 
7 y; 9z6x 
; 
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 








4z
m3y
m8x
 , 
4z ; 
3
y
8
x

 ; 
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 





1z
2y ; 
 i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 





0y
8x . 
 
RESP 2: 
1
1z
3
3y
2
2x






. 
RESP 3: 








z
5
7
y
z
5
7
x
 e 






4
5
,
4
11
,
4
7
P
. 
RESP 4:  = arc cos 
3
1
 ,  700 31'43,6'' 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 3 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 5 
RESP 5: n=7 ou 1 
 
RESP 6: 





2xz
1xy
 
RESP 7: a)t: 








m125z
m53y
m2x
 








m61z
m73y
m42x
:t)b
 c) 








m34z
m133y
m43x
:t
 
RESP 8: 





6xz
11xy
:t
 
RESP 9: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 
RESP 10: 






3
2
,
3
5
,
3
1
'O
 
RESP 11: 







21
101
,
21
20
,
21
2
'A
 
RESP 12: 








m5z
m24y
1x
:r
 
RESP 13: P= (2,1,3)+m(13,3,33) 
RESP 14: 
2
1_z
1
3y
1x:s 




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