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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 3 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 1 RETA NO ℝ3 1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos: a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v =(3,1,4); b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ; c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v =(2,–2,3); d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 2 1z 3 4y 5 2x :r ; f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v = (–2,0,–2); g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v =(8,3,0); h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ; i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , m41z m2y m31x , 4 1z 1 2y 3 1x , 9y4z 7y3x b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , m53z m1y m2x , 5 2z y3x , 13x5z 3xy ; c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , m33z m22y m21x , 3 3x 2 2y 2 1x , y 2 3 z 1yx ; d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 2z m5y m31x , 2z ; 5y 3 1x ; e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , m2z m31y m52x , 2 z 3 1y 5 2x , 2 2z3 y 2 4z5 x ; f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , m9z 7y m6x , 7 y; 9z6x ; Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 3 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 2 g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 4z m3y m8x , 4z ; 3 y 8 x ; h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 1z 2y ; i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 0y 8x . 2) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do triângulo. RESP: 1 1z 3 3y 2 2x . 3) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações reduzidas da bissetriz interna do ângulo A Oˆ B e determine sua interseção com o lado AB. RESP: z 5 7 y z 5 7 x e 4 5 , 4 11 , 4 7 P . 4) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas. RESP: = arc cos 3 1 , 700 31'43,6'' 5) A reta 3 z 5 4 4 2x :r , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1 6) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 21 rr , com m2z m21y m3x :r e 2 1z 4 3y 2 1x :r 21 . RESP: 2xz 1xy 7) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: a) 2 8z 10 44y2 x:r e 3z 4 y2 2 3x :s , e que passa pelo ponto P(2,3,5); b) 3 z 2- y-2 4 x:r e 3z3 4 y2 2 2x :s , e que passa pelo ponto P(2,–3,1); Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 3 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 3 c) 18x10z 3x2y :r e 2 27y6 z 2 1y2 x :s , e que passa pelo ponto P(3,3,4). RESP: a)t: m125z m53y m2x m61z m73y m42x :t)b c) m34z m133y m43x :t 8)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta 5zy 2z3x :s , e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados. RESP: 6xz 11xy :t 9) São dadas as retas 1z2y 1zx :r e 5zy 3zx :s e o ponto A(3,–2,1). Calcule as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) 10) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã reta 2 4z 1y 1 2x :r . RESP: 3 2 , 3 5 , 3 1 'O 11) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta 4 2z 1y 2 1x :s . RESP: 21 101 , 21 20 , 21 2 'A 12) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP: m5z m24y 1x :r 13)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à reta 1 2z 2 y 3 1x :s . RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33) 14)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja concorrente com a reta 2z2y 1z3x :r e seja ortogonal ao vetor 1,0,2v . RESP: 2 1_z 1 3y 1x:s Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 3 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 4 RESPOSTAS RESP 1: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , m41z m2y m31x , 4 1z 1 2y 3 1x , 9y4z 7y3x b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , m53z m1y m2x , 5 2z y3x , 13x5z 3xy ; c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , m33z m22y m21x , 3 3x 2 2y 2 1x , y 2 3 z 1yx ; d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 2z m5y m31x , 2z ; 5y 3 1x ; e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , m2z m31y m52x, 2 z 3 1y 5 2x , 2 2z3 y 2 4z5 x ; f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , m9z 7y m6x , 7 y; 9z6x ; g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 4z m3y m8x , 4z ; 3 y 8 x ; h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 1z 2y ; i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 0y 8x . RESP 2: 1 1z 3 3y 2 2x . RESP 3: z 5 7 y z 5 7 x e 4 5 , 4 11 , 4 7 P . RESP 4: = arc cos 3 1 , 700 31'43,6'' Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Lista 3 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 3 5 RESP 5: n=7 ou 1 RESP 6: 2xz 1xy RESP 7: a)t: m125z m53y m2x m61z m73y m42x :t)b c) m34z m133y m43x :t RESP 8: 6xz 11xy :t RESP 9: P(1, –1,0) e Q(5,3,2) RESP 10: 3 2 , 3 5 , 3 1 'O RESP 11: 21 101 , 21 20 , 21 2 'A RESP 12: m5z m24y 1x :r RESP 13: P= (2,1,3)+m(13,3,33) RESP 14: 2 1_z 1 3y 1x:s
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