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CAP01-PTO-RETA-PLANO

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CAPÍTULO 1: PONTO, RETA E PLANO 
 
1.1. Introdução 
 
 Freqüentemente sentimos necessidade de medirmos 
distâncias, calcularmos áreas e volumes. Basicamente a 
Geometria estuda as propriedades das figuras usadas nas 
medições dessas grandezas. Por exemplo, a reta, o quadrado, 
o cubo, são algumas dessas figuras. Como veremos mais 
adiante, essas propriedades são obtidas através de uma 
seqüência lógica de raciocínios, os quais fazem da Geometria 
uma excelente oportunidade para o desenvolvimento do 
pensamento lógico de qualquer pessoa. Portanto, ao 
estudarmos Geometria, estaremos aprendendo também a 
raciocinar com lógica, a argumentar e a justificar nossas 
afirmações. 
 A Geometria teve seu início, muito antes de Cristo, como 
uma ciência experimental e foi desenvolvida pelos egípcios que 
a utilizaram na medição de terras. Evidentemente quando 
adotamos esta postura ao estudarmos a geometria, estamos 
passíveis de cometermos erros. Por exemplo, os egípcios 
sabiam que um triângulo cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 
5 cm é retângulo, isto é, tem um ângulo reto. A comprovação 
deste fato era feita experimentalmente. Constrói-se o triângulo 
com as medidas dadas e com um transferidor mede-se o 
ângulo oposto ao maior lado. 
 B 
 
 Â = 90
o
 5cm 3 cm 
 
 C 4cm A 
 
Note que esta comprovação não é perfeitamente confiável. Por 
exemplo, se a medida do ângulo  fosse 89º59’59” (89 graus, 
59 minutos e 59 segundos) em vez de 90
o
, por mais preciso 
que fosse o instrumento usado na medição, dificilmente 
notaríamos esta diferença. Precisamos pois ter conhecimento 
de algum processo indireto que nos leve a conclusão de que a 
medida do ângulo  é de fato 90
o
, sem a necessidade da 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 2 
medição direta do mesmo. Os gregos tinham conhecimento 
desse método indireto. Eles sabiam por exemplo, que se a, b e 
c são os lados de um triângulo onde a é a medida do maior 
lado e se a
2
 = b
2
 + c
2
, então o triângulo é retângulo. Pelo que 
acabamos de expor, concluímos que os egípcios 
desconheciam este fato, já que é impossível a constatação do 
mesmo de forma experimental em virtude da infinidade de 
ternos (a, b, c) de números reais que satisfazem aquela 
igualdade. 
 Coube aos gregos também a formulação de uma cadeia 
lógica e rigorosa da Geometria. Euclides (330 - 275 a.C.), que 
era grego, foi o primeiro matemático a introduzir esta estrutura 
na Geometria, sintetizando trabalhos de vários séculos e 
publicando-os em sua famosa obra de 13 volumes, 
denominada Elementos. Um trabalho de grande repercussão e 
que durante séculos, foi uma referência para o estudo da 
Geometria. 
 Neste trabalho, apresentamos a Geometria em ordem 
crescente de dificuldade, de tal forma que os fatos mais 
complicados são antecedidos de outros mais simples e fáceis 
de modo que aqueles possam ser deduzidos destes. 
 
 
1.2. Conceitos primitivos 
 
 Neste capítulo descreveremos os primeiros fatos básicos 
sobre pontos, retas e planos. Estes entes geométricos não os 
definiremos e, portanto os consideraremos como conceitos 
primitivos. Um ponto pode ser representado pela marca 
produzida pela ponta fina de um lápis quando pressionada 
sobre uma folha de papel; podemos imaginar um plano como a 
superfície de uma parede que se estende indefinidamente em 
todas as direções e parte de uma reta pode ser desenhada 
com a ajuda de uma régua. 
 
 Ao conjunto formado por todos os pontos chamaremos de 
espaço. 
 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 3 
 Usaremos letras maiúsculas como A, B, C,..., etc para 
denotar os pontos, e letras minúsculas como r, s, t,..., etc para 
designar as retas. Os planos denotaremos por letras do 
alfabeto grego como , , ,..., etc. 
 
 r 
 
 
  
  A 
 Ponto A Reta r Plano  
 
 
 
1.3. Propriedades fundamentais 
 
 Apresentaremos a seguir algumas propriedades 
envolvendo pontos, retas e planos. Antes, porém, gostaríamos 
de salientar o seguinte: Nem tudo o que afirmamos em 
Matemática pode ser provado. Isto se deve ao fato de que, em 
geral, quando demonstramos uma proposição, nos apoiamos 
em alguma outra proposição anteriormente provada. 
Entretanto, isto não pode ser estabelecido para a primeira 
proposição a ser demonstrada, uma vez que não há outras 
demonstradas previamente. Isto significa dizer que teremos 
que aceitar algumas afirmações sem demonstrá-las. Estas 
afirmações são denominadas postulados ou axiomas. As 
proposições que provarmos serão chamadas teoremas. O 
problema agora consiste em se saber quais proposições da 
geometria podem admitir-se sem demonstração? A primeira 
vista parece ser fácil responder a esta pergunta, já que há um 
grande número de proposições bastante evidentes as quais 
poderíamos adotá-las sem demonstração, como por exemplo, 
por dois pontos dados passa uma única reta; que num plano, 
por um ponto do mesmo pode-se traçar uma única reta 
perpendicular a uma reta dada; que a soma de dois lados de 
um triângulo é maior que o terceiro lado e tantas outras. Por 
que todas estas proposições não se admitem como 
postulados? Evidentemente os postulados não são escolhidos 
ao acaso. Eles devem preencher certos requisitos. Nessa 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 4 
eleição deve-se ter o cuidado para que eles não sejam 
contraditórios e nem tão pouco se deve chegar a contradições 
a partir deles. Os postulados devem ser também 
independentes, ou seja, nenhum deles pode ser demonstrado 
a partir dos demais. A seguir enunciaremos o primeiro 
postulado desse capítulo. 
 
Postulado 1: Dados dois pontos distintos quaisquer, existe 
uma única reta que os contém. 
 
 Mais brevemente, diremos que dois pontos distintos 
determinam uma reta. 
 
   r 
 A B 
 Neste caso, designaremos também a reta por 
AB
. 
 
 Enunciaremos a seguir o primeiro teorema deste capítulo. 
 
 Diante de um teorema há que se destacar duas partes 
distintas: a hipótese e a tese. A hipótese é um conjunto de 
condições que se supõem verdadeiras e a tese é a verdade 
que se pretende demonstrar como conseqüência da hipótese 
estabelecida. Portanto um teorema é uma proposição tal que 
se um determinado fato é verdadeiro, então um outro também 
será. Evidentemente, os postulados são semelhantes aos 
teoremas, exceto que eles não são demonstrados. 
Naturalmente não há necessidade de escrevermos os 
teoremas sempre na forma "se...então". Entretanto, é 
importante que, qualquer que seja a forma em que o mesmo 
esteja escrito que saibamos distinguir sua hipótese e sua tese. 
 
 Quando duas retas, ou uma reta e um plano ou dois 
planos têm algum ponto em comum diz-se que eles se 
interceptam. 
 Do Postulado 1, segue-se que duas retas distintas, ou não 
se interceptam, ou se interceptam em um único ponto. É o que 
informa o teorema a seguir. 
 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 5 
Teorema 1.1: Se duas retas distintas se interceptam, então a 
interseção contém um ponto apenas. 
 
Hipótese: r e s são retas distintas que se interceptam. 
Tese: O ponto de interseção é único.