CAP01-PTO-RETA-PLANO

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CAPÍTULO 1: PONTO, RETA E PLANO 
 
1.1. Introdução 
 
 Freqüentemente sentimos necessidade de medirmos 
distâncias, calcularmos áreas e volumes. Basicamente a 
Geometria estuda as propriedades das figuras usadas nas 
medições dessas grandezas. Por exemplo, a reta, o quadrado, 
o cubo, são algumas dessas figuras. Como veremos mais 
adiante, essas propriedades são obtidas através de uma 
seqüência lógica de raciocínios, os quais fazem da Geometria 
uma excelente oportunidade para o desenvolvimento do 
pensamento lógico de qualquer pessoa. Portanto, ao 
estudarmos Geometria, estaremos aprendendo também a 
raciocinar com lógica, a argumentar e a justificar nossas 
afirmações. 
 A Geometria teve seu início, muito antes de Cristo, como 
uma ciência experimental e foi desenvolvida pelos egípcios que 
a utilizaram na medição de terras. Evidentemente quando 
adotamos esta postura ao estudarmos a geometria, estamos 
passíveis de cometermos erros. Por exemplo, os egípcios 
sabiam que um triângulo cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 
5 cm é retângulo, isto é, tem um ângulo reto. A comprovação 
deste fato era feita experimentalmente. Constrói-se o triângulo 
com as medidas dadas e com um transferidor mede-se o 
ângulo oposto ao maior lado. 
 B 
 
 Â = 90
o
 5cm 3 cm 
 
 C 4cm A 
 
Note que esta comprovação não é perfeitamente confiável. Por 
exemplo, se a medida do ângulo  fosse 89º59’59” (89 graus, 
59 minutos e 59 segundos) em vez de 90
o
, por mais preciso 
que fosse o instrumento usado na medição, dificilmente 
notaríamos esta diferença. Precisamos pois ter conhecimento 
de algum processo indireto que nos leve a conclusão de que a 
medida do ângulo  é de fato 90
o
, sem a necessidade da 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 2 
medição direta do mesmo. Os gregos tinham conhecimento 
desse método indireto. Eles sabiam por exemplo, que se a, b e 
c são os lados de um triângulo onde a é a medida do maior 
lado e se a
2
 = b
2
 + c
2
, então o triângulo é retângulo. Pelo que 
acabamos de expor, concluímos que os egípcios 
desconheciam este fato, já que é impossível a constatação do 
mesmo de forma experimental em virtude da infinidade de 
ternos (a, b, c) de números reais que satisfazem aquela 
igualdade. 
 Coube aos gregos também a formulação de uma cadeia 
lógica e rigorosa da Geometria. Euclides (330 - 275 a.C.), que 
era grego, foi o primeiro matemático a introduzir esta estrutura 
na Geometria, sintetizando trabalhos de vários séculos e 
publicando-os em sua famosa obra de 13 volumes, 
denominada Elementos. Um trabalho de grande repercussão e 
que durante séculos, foi uma referência para o estudo da 
Geometria. 
 Neste trabalho, apresentamos a Geometria em ordem 
crescente de dificuldade, de tal forma que os fatos mais 
complicados são antecedidos de outros mais simples e fáceis 
de modo que aqueles possam ser deduzidos destes. 
 
 
1.2. Conceitos primitivos 
 
 Neste capítulo descreveremos os primeiros fatos básicos 
sobre pontos, retas e planos. Estes entes geométricos não os 
definiremos e, portanto os consideraremos como conceitos 
primitivos. Um ponto pode ser representado pela marca 
produzida pela ponta fina de um lápis quando pressionada 
sobre uma folha de papel; podemos imaginar um plano como a 
superfície de uma parede que se estende indefinidamente em 
todas as direções e parte de uma reta pode ser desenhada 
com a ajuda de uma régua. 
 
 Ao conjunto formado por todos os pontos chamaremos de 
espaço. 
 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 3 
 Usaremos letras maiúsculas como A, B, C,..., etc para 
denotar os pontos, e letras minúsculas como r, s, t,..., etc para 
designar as retas. Os planos denotaremos por letras do 
alfabeto grego como , , ,..., etc. 
 
 r 
 
 
  
  A 
 Ponto A Reta r Plano  
 
 
 
1.3. Propriedades fundamentais 
 
 Apresentaremos a seguir algumas propriedades 
envolvendo pontos, retas e planos. Antes, porém, gostaríamos 
de salientar o seguinte: Nem tudo o que afirmamos em 
Matemática pode ser provado. Isto se deve ao fato de que, em 
geral, quando demonstramos uma proposição, nos apoiamos 
em alguma outra proposição anteriormente provada. 
Entretanto, isto não pode ser estabelecido para a primeira 
proposição a ser demonstrada, uma vez que não há outras 
demonstradas previamente. Isto significa dizer que teremos 
que aceitar algumas afirmações sem demonstrá-las. Estas 
afirmações são denominadas postulados ou axiomas. As 
proposições que provarmos serão chamadas teoremas. O 
problema agora consiste em se saber quais proposições da 
geometria podem admitir-se sem demonstração? A primeira 
vista parece ser fácil responder a esta pergunta, já que há um 
grande número de proposições bastante evidentes as quais 
poderíamos adotá-las sem demonstração, como por exemplo, 
por dois pontos dados passa uma única reta; que num plano, 
por um ponto do mesmo pode-se traçar uma única reta 
perpendicular a uma reta dada; que a soma de dois lados de 
um triângulo é maior que o terceiro lado e tantas outras. Por 
que todas estas proposições não se admitem como 
postulados? Evidentemente os postulados não são escolhidos 
ao acaso. Eles devem preencher certos requisitos. Nessa 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 4 
eleição deve-se ter o cuidado para que eles não sejam 
contraditórios e nem tão pouco se deve chegar a contradições 
a partir deles. Os postulados devem ser também 
independentes, ou seja, nenhum deles pode ser demonstrado 
a partir dos demais. A seguir enunciaremos o primeiro 
postulado desse capítulo. 
 
Postulado 1: Dados dois pontos distintos quaisquer, existe 
uma única reta que os contém. 
 
 Mais brevemente, diremos que dois pontos distintos 
determinam uma reta. 
 
   r 
 A B 
 Neste caso, designaremos também a reta por 
AB
. 
 
 Enunciaremos a seguir o primeiro teorema deste capítulo. 
 
 Diante de um teorema há que se destacar duas partes 
distintas: a hipótese e a tese. A hipótese é um conjunto de 
condições que se supõem verdadeiras e a tese é a verdade 
que se pretende demonstrar como conseqüência da hipótese 
estabelecida. Portanto um teorema é uma proposição tal que 
se um determinado fato é verdadeiro, então um outro também 
será. Evidentemente, os postulados são semelhantes aos 
teoremas, exceto que eles não são demonstrados. 
Naturalmente não há necessidade de escrevermos os 
teoremas sempre na forma "se...então". Entretanto, é 
importante que, qualquer que seja a forma em que o mesmo 
esteja escrito que saibamos distinguir sua hipótese e sua tese. 
 
 Quando duas retas, ou uma reta e um plano ou dois 
planos têm algum ponto em comum diz-se que eles se 
interceptam. 
 Do Postulado 1, segue-se que duas retas distintas, ou não 
se interceptam, ou se interceptam em um único ponto. É o que 
informa o teorema a seguir. 
 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 5 
Teorema 1.1: Se duas retas distintas se interceptam, então a 
interseção contém um ponto apenas. 
 
Hipótese: r e s são retas distintas que se interceptam. 
Tese: O ponto de interseção é único.r 
 s 
 Q 
 
 P 
 
 Prova: Suponhamos que as retas r e s se interceptem em 
dois pontos distintos P e Q. Desta forma teríamos traçado duas 
retas distintas por esses pontos, o que contraria o Postulado 1. 
 ■ 
 
 Quando duas retas têm apenas um ponto em comum, diz-
se que elas são concorrentes. 
 
Postulado 2: Dada uma reta r qualquer, existem pontos que 
pertencem a r e pontos que não pertencem a r. 
 r 
 P  
 A  r 
 A  P  r 
 
 
Postulado 3: Se dois pontos de uma reta pertencem a um 
plano, então a reta está contida neste plano. 
 
 r A  r e A   
 B  B  r e B   
  
 A   r  . 
 Como conseqüência deste postulado, temos o seguinte 
teorema. 
 
Teorema 1.2: Se uma reta intercepta um plano que não a 
contém, então a interseção contém um ponto apenas. 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 6 
 
Hipótese: A reta r intercepta o plano  ( r    ) e r não está 
 contida em  (r  ). 
Tese: O ponto de interseção é único. 
 r 
 
 
  
  
 
 
 
 
 Prova: Se a interseção de r com  contivesse dois pontos, 
pelo Postulado 2 a reta estaria contida no plano, o que 
contradiz a hipótese. 
 ■ 
 
 Quando uma reta e um plano têm apenas um ponto em 
comum, diz-se que a reta é secante ao plano. 
 
 
Definição 1.1: Diz-se que os pontos de um conjunto estão 
alinhados ou são colineares, se existe uma reta que os 
contém. 
  E 
     r 
 A B C D 
 
 Os pontos A, B, C e D da figura acima são colineares 
enquanto que os pontos C, E e D não são. 
 
 
Definição 1.2: Diz-se que os pontos de um conjunto são 
coplanares, se existe um plano que os contém. 
 
 
 Exemplo 1.1: A figura abaixo é um cubo. Os pontos A, B, C e 
D são coplanares. Os pontos A, B, C e G não são coplanares. 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 7 
Os pontos M, N e P são colineares? E o que dizer dos pontos 
M, F e P? 
 
 E F 
 
 
 H G 
 
 M N   P 
 
 D C 
 
 
 A B 
 
Postulado 4: Dados três pontos quaisquer não colineares, 
existe um único plano que os contém. 
 
 Mais brevemente, diremos que três pontos não colineares 
determinam um plano. 
 
 B   
 
 
 A   C 
 
 
 
 
 
 
 
 
Postulado 5: Dado um plano  qualquer, existem pontos que 
pertencem a  e pontos que não pertencem a . 
 
 P  
 
 A   
  P   
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 8 
 A  
 
 
 
Teorema 1.3: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe um 
único plano que os contém. 
 
 Mais brevemente, diremos que uma reta e um ponto fora 
dela determinam um plano. 
 
Hipótese: A é um ponto não pertencente à reta r (A 

 r). 
Tese: Existe um único plano que contém A e r. 
 
 A  r 
 C  
 
  B  
 
 
 Prova: Existência: Sejam B e C dois pontos distintos sobre 
a reta r. Pelo Postulado 4, existe um único plano  contendo os 
pontos A, B e C. Como a reta r possui dois pontos em tal plano, 
pelo Postulado 3, ela está contida nesse plano. Unicidade: 
Este plano  é único, pois qualquer outro plano que contenha a 
reta r e o ponto A conterá também os pontos B e C e pelo 
Postulado 4 só existe um plano contendo A, B e C, no caso, o 
plano . 
 ■ 
 
 
 
Teorema 1.4: Se duas retas distintas se interceptam, então 
existe um único plano que as contém. 
 
Mais brevemente, diremos que duas retas concorrentes 
determinam um plano. 
 
Hipótese: As retas distintas r e s se interceptam ( r  s = {A} ). 
Tese: Existe um único plano que as contém. 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 9 
 
 C  s 
 A 
  
 B r 
 
 
 Prova: Existência: Seja A o ponto de interseção das retas 
r e s. Seja B outro ponto da reta r e C outro ponto da reta s. 
Sendo A, B e C não colineares (por quê?), existe um único 
plano  que os contém, segundo o Postulado 4. Como, as 
retas r e s possuem, cada uma delas, dois pontos em tal plano 
então elas estão contidas nele. 
Unicidade: Se existisse outro plano  contendo r e s, este 
conteria os pontos A, B e C e pelo Postulado 4,  coincide com 
. 
 ■ 
 
Definição 1.3: Dados dois pontos quaisquer A e B de uma reta 
r, chama-se segmento de reta de extremos A e B ao conjunto 
formado pelos pontos A e B, e por todos os pontos de r que 
estão entreA e B. 
 
 r 
 A B 
 
 Denotaremos por 
AB
 o segmento de extremos A e B. 
 
 Fixando-se uma unidade de comprimento u, podemos 
associar a cada segmento de reta um número real positivo 
denominado o seu comprimento ou a sua medida. 
 O comprimento de um segmento 
AB
 é também 
denominado a distância entre os pontos A e B e será 
denotado por AB. 
 
 
Definição 1.4: Dois segmentos são ditos congruentes se têm 
a mesma medida. 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 10 
 
Definição 1.5: Um conjunto A chama-se convexo, se para 
cada dois pontos X e Y de A, o segmento 
XY
 está contido em 
A. 
 
 X 
 A B 
 
 
 
 
 Y 
 
A é um conjunto convexo: 
XY
 A. B é um conjunto não-convexo: 
 
XY
 B. 
 
 
 Exemplo 1.2: 
i) Uma reta é um conjunto convexo. 
ii) Um plano é um conjunto convexo. 
iii) Se retirarmos um ponto de uma reta, o conjunto restante ainda é 
convexo? 
iv) Se retirarmos um ponto de um plano, o conjunto restante ainda é 
convexo? 
 
 
 
 
Postulado 6: (Postulado da separação do plano) 
 Toda reta de um plano divide-o em dois conjuntos, os 
quais são convexos, denominados semiplanos. Ademais, se 
X e Y são pontos pertencentes a um mesmo semiplano, o 
segmento 
XY
 não intercepta a reta; se X é um ponto de um 
dos semiplanos e Y é um ponto do outro, então o segmento 
XY
 intercepta a reta. 
 A reta considerada chama-se aresta de cada um dos 
semiplanos. 
 Y 
 Y 
 
X 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 11 
 
 
 X’ A r 
 Y’ 
 X 
 
  
 
 
XY
 r = ; 
''YX
 r = { A } 
 
 
Postulado 7: (Postulado da separação do espaço) 
 Todo plano separa o espaço em dois conjuntos, os quais 
são convexos, denominados semiespaços. Ademais, se X e Y 
são pontos pertencentes a um mesmo semiespaço, o 
segmento 
XY
 não intercepta o plano; se X é um ponto de um 
dos semiespaços e Y é um ponto do outro, então o segmento 
XY
 intercepta o plano. 
 
 X’ X 
 Y’ 
 
 
 A 
  
 
 
XY
  = { A } Y 
''YX
  =  
 O plano considerado chama-se face de cada um dos 
semiespaços. 
 
 Observe que, embora toda reta seja aresta de uma 
infinidade de semiplanos, todo plano é face de apenas dois 
semiespaços. 
 
 
Teorema 1.5: Se dois planos distintos se interceptam, então a 
interseção dos mesmos é uma reta. 
 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 12 
Hipótese:  e  são planos distintos que se interceptam (    ). 
Tese: A interseção é uma reta. 
 
 
  
 
 
 B C 
 
 
 E  
 A 
 
 
 
 
 
 D 
 
 
 
 
 Prova: Seja A um ponto comum aos planos  e . 
Consideremos agora duas retas 
AB
 e 
AC
 contidas em um 
dos planos, digamos , com B e C pertencentes a um mesmo 
semi-espaço definido por . No outro semi-espaço também 
definido por , consideremos um ponto D 
AB
. A reta 
CD
 
está contida no plano , por ter dois pontos, C e D, neste plano 
(Post. 3), e intercepta o plano  num ponto E (Post. 7). O ponto 
E está, portanto, situado ao mesmo tempo nos dois planos. 
Desta forma, a reta 
AE
 está contida em ambos os planos, por 
ter dois de seus pontos, A e E, nestes planos (Post. 3). Por 
outro lado, qualquer outro ponto F que pertença a ambos os 
planos pertence também à reta 
AE
, pois caso contrário, 
teríamos definido dois planos distintos,  e , passando pelos 
pontos não colineares A, E e F, o que é um absurdo. 
 ■ 
Cap. 1: Ponto, Reta e Plano Prof. Sinvaldo Gama 13 
 
 Resulta deste teorema, que dois planos distintos ou têm 
uma única reta comum (e neste caso são ditos secantes e a 
reta comum denomina-se a interseção dos dois planos), ou não 
têm ponto algum em comum; neste caso, os planos são ditos 
paralelos. 
 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 14 
EXERCÍCIOS 
 
01. Faça uma figura para ilustrar os seguintes enunciados: 
 
a) Dois planos que não se interceptam. 
b) Uma reta e um plano que se interceptam em exatamente um 
ponto. 
c) Uma reta e um plano que não se interceptam. 
d) Uma reta contida em um plano. 
e) Dois planos que se interceptam. 
f) Três planos que se interceptam em um ponto. 
g) Três planos que se interceptam em uma reta. 
h) Uma reta que intercepta dois planos em diferentes pontos. 
i) Um sólido limitado por superfícies planas, que não seja 
convexo. 
 
02. Preencha corretamente as lacunas: 
 
a) Dados dois pontos distintos, então existe exatamente 
 ____________ que os contém. 
 
b) Dada uma reta, então existem infinitos ____________sobre 
ela. 
 
c) Pontos ____________ são aqueles situados sobre uma 
mesma reta. 
 
d) Dados três pontos não-colineares, então existe exatamente 
____________ que os contém. 
 
e) Pontos ____________ são aqueles situados sobre um 
mesmo plano. 
 
f) Se dois pontos distintos pertencem a um plano, então a reta 
que os contém está ____________ no plano. 
 
 
 
 
 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 15 
03. Responda: 
 
a) Uma circunferência é um conjunto convexo? 
b) A região do plano limitada por uma circunferência é um 
conjunto convexo? 
c) Uma superfície esférica é um conjunto convexo? 
d) É convexo o sólido limitado por uma superfície esférica?e) Um toro (superfície que tem a forma de uma câmara de ar 
de pneu) é um conjunto convexo? 
f) A interseção dos dois círculos abaixo, é um conjunto 
convexo? 
 
 
04. Dois planos que se interceptam separaram o espaço em 
quantas regiões? 
 
05. Dois planos paralelos separaram o espaço em quantas 
regiões? 
 
06. Qual o número máximo de regiões em que um plano fica 
dividido por três retas distintas do mesmo? 
 
07. Qual o número máximo de regiões em que o espaço fica 
dividido por três planos que se interceptam? 
 
08. Destaque a hipótese e a tese em cada um dos seguintes 
enunciados: 
 
a) Se dois ângulos a e b não congruentes, são 
complementares, então cada um deles é agudo. 
 
b) A área de um retângulo de dimensões a e b é igual a a.b. 
 
c) Se dois ângulos a e b são congruentes e suplementares, 
então cada um deles é um ângulo reto. 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 16 
09. Escreva cada um dos seguintes enunciados na forma se ... 
... então: 
 
a) Dois ângulos retos são congruentes. 
b) A interseção de dois planos é uma reta. 
c) Três pontos quaisquer não alinhados determinam um plano. 
d) A área de um retângulo de base b e altura h é 
bh. 
e) Os complementos de ângulos congruentes são congruentes. 
f) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são 
congruentes. 
g) Dois ângulos agudos de lados paralelos são congruentes. 
 
 
10. Prove que se três pontos estão alinhados então eles são 
coplanares. 
 
11. Quantas retas passam: 
i) Por um ponto dado? 
ii) Por dois pontos distintos? 
 (Justifique suas respostas) 
 
12. Quantos planos passam: 
i) Por um ponto dado? 
ii) Por dois pontos distintos? 
iii) Por três pontos distintos? 
(Justifique suas respostas) 
 
13. Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F): 
 
a) Três pontos distintos são colineares. 
b) Três pontos quaisquer são coplanares. 
c) Quatro pontos distintos determinam quatro retas. 
d) Por quatro pontos distintos pode passar uma só reta. 
e) Por quatro pontos distintos dos quais três são colineares, 
passam quatro retas distintas. 
f) Três pontos distintos são sempre colineares. 
g) Se quatro pontos são coplanares, então eles estão 
alinhados. 
h) Dois pontos quaisquer são colineares. 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 17 
i) Dois pontos quaisquer são coplanares. 
j) Dois pontos distintos determinam um plano. 
l) Dois pontos distintos determinam uma reta. 
m) Três pontos distintos determinam um plano. 
n) Quatro pontos distintos são coplanares. 
o) Por uma reta passam infinitos planos. 
p) É convexo o conjunto constituído por dois pontos apenas. 
q) Um triângulo separa o plano em duas regiões convexas. 
r) Três pontos quaisquer pertencem no mínimo a um plano. 
s) A reta tem infinitos pontos. 
t) Uma infinidade de pontos alinhados é uma reta. 
u) Duas retas distintas, podem não ter pontos em comum. 
v) Duas retas distintas, ou não se interceptam, ou se 
interceptam num só ponto. 
 
 
14. A figura abaixo é um tetraedro. Para desenhá-lo basta 
considerar quatro pontos não coplanares e uni-los. Os 
segmentos determinados por esses pontos chamam-se 
arestas do tetraedro. Os quatro triângulos formados são 
denominados faces do tetraedro. 
 A 
 
 
 
 C 
 
 B 
 D 
 
a) Quantas arestas tem um tetraedro? Quais são elas? 
b) Existem arestas que não se interceptam? Quais são elas? 
c) Quantas faces tem um tetraedro? Quais são? 
d) Há faces que não se interceptam? Quais são? 
 
 
 
 
 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 18 
RESPOSTAS 
 
02. a) uma reta; b) pontos; c) colineares; 
 d) um plano; e) coplanares; f) contida. 
 
03. a) não; b) sim; c) não; d) sim; e) não; f) sim. 
 
04. 4 05. 3 06. 7 07. 8 
 
08. a) Hip.: a  b e a + b = 90o. Tese: a < 90o; b < 90o. 
 b) Hip.: a e b são as dimensões de um retângulo. 
 Tese: Área = a.b 
 c) Hip.: a = b e a + b = 180o. Tese: a = b = 90o. 
 
09. a) Se dois ângulos são retos, então eles são congruentes. 
 b) Se dois planos se interceptam, então a interseção dos 
mesmos é uma reta. 
 c) Se três pontos quaisquer não estão alinhados, então eles 
determinam um plano. 
 d) Se h é altura de um retângulo e b sua base, então sua 
área é b.h. 
 e) Se dois ângulos são congruentes, então seus 
complementos são congruentes. 
 f) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base 
são congruentes. 
 g) Se dois ângulos agudos têm os lados paralelos então 
eles são congruentes. 
 
11. i) Infinitas; (Use os postulados 1 e 2) ii) Uma só. 
 
12. i) Infinitos; ii) Infinitos; 
 iii) Se os pontos são colineares, uma infinidade, caso 
 contrário, apenas um. 
 
13. a) F; b) V; c) F; d) V; e) F; f) F; 
 g) F; h) V; i) V; j) F; l) V; m) F; 
 n) F; o) V p) F; q) F; r) V; s) V; 
 t) F; u) V; v) V. 
 
Cap. 1: Ponto, reta e plano Prof. Sinvaldo Gama 19 
14. a) 6; 
AB
, 
AC
, 
AD
, 
BC
, 
BD
 e 
CD
; 
 b) Sim; 
AB
 e 
CD
; 
AC
 e 
BD
; 
AD
 e 
BC
; 
 c) 4; 
ABC
, 
ABD
, 
ACD
 e 
BCD
. 
 d) Não.