CAP06-QUADRILATEROS

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CAPÍTULO 6 - QUADRILÁTEROS 
 
 
Definição 6.1: Denominamos de quadrilátero ao polígono que tem quatro 
lados. 
 
 C N 
 
 
 B 
 P 
 M 
 
 A D 
 Quadrilátero convexo Quadrilátero não-convexo Q 
 
 
Elementos de um quadrilátero: 
 
 Lados - São os segmentos, 
,AB
 
BC
, 
CD
 e 
DA
. 
 Vértices - São os pontos A, B, C e D. 
 Ângulos internos - São os ângulos 
Aˆ
, 
Bˆ
, 
Cˆ
 e 
Dˆ
. 
 Lados opostos - São os lados que não se interceptam. Ex.: 
AB
 e 
CD
; 
BC
 e 
DA
. 
 Lados consecutivos - São os lados que têm um extremo comum. 
 Ex.: 
AB
 e 
BC
; 
BC
 e 
CD
; 
CD
 e 
DA
. 
 Ângulos opostos - São os ângulos que não têm lado comum. Ex.: 
Aˆ
 e 
Cˆ
; 
Bˆ
 e 
Dˆ
. 
 Ângulos consecutivos - São os ângulos que têm um lado comum. 
 Ex.: 
Aˆ
 e 
Bˆ
; 
Bˆ
 e 
Cˆ
. 
 Vértices consecutivos - São os vértices de ângulos consecutivos. 
 Ex.: A e B; B e C; C e D; D e A. 
 Diagonal - São os segmentos 
AC
 e 
BD
. 
 
 
 Estudaremos apenas os quadriláteros convexos. 
 
 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 96 
Definição 6.2: O quadrilátero cujos lados opostos são paralelos é 
denominado paralelogramo. 
 
 B C 
 
BC
 // 
AD
 
 
AB
 // 
DC
 
 
 A D 
 
Definição 6.3: Um retângulo é o paralelogramo cujos ângulos são retos. 
 
 
 
 
 
 
Definição 6.4: Um quadrado é o retângulo cujos lados são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 6.5: Um losango paralelogramo cujos lados são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 97 
PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS 
 
 
Teorema 6.1: Em todo paralelogramo: 
 a) os lados opostos são congruentes; 
 b) os ângulos opostos são congruentes; 
 c) as diagonais se bissecam. 
 
 Prova: (a) É claro que a afirmação (a) é verdadeira já que os lados 
opostos são segmentos paralelos compreendidos entre retas paralelas. 
(b) A afirmação (b) é evidentemente verdadeira, pois os ângulos opostos 
do paralelogramo são agudos (ou obtusos) de lados paralelos. 
 
(c) B C 
 
 
 E 
 
 
 A D 
 
Note que o 
 BEC =  AED (ALA) pois 
BC = AD (item (a)); 
ADBDBC ˆˆ 
 (alt. internos) e 
DACACB ˆˆ 
 (alt. internos) 
 
Portanto, BE = ED e CE = EA. 
 ■ 
 
Teorema 6.2: (Teorema recíproco) 
 Um quadrilátero convexo: 
a) cujos lados opostos são congruentes é um paralelogramo; 
b) cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo; 
c) cujas diagonais se bissecam é um paralelogramo. 
 
 Prova: 
 B C 
 
 
 
 
 A D 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 98 
(a) Tracemos uma das diagonais do quadrilátero a qual divide-o em dois 
triângulos congruentes (LLL). Assim 
ADBDBC ˆˆ 
 e sendo estes alternos 
internos, as retas 
BC
 e 
AD
 são paralelas. 
Do mesmo modo, 
CDBDBA ˆˆ 
 e como eles são alternos internos segue-
se que 
AB
//
DC
. Isto prova que ABCD é um paralelogramo. 
 
(b) B C 
 
 
 
 
 A D 
 
Por hipótese, 
CA ˆˆ 
 e 
CDACBA ˆˆ 
. 
Tracemos a diagonal 
BD
. Na figura, acima temos: 
 
dcba ˆˆˆˆ 
 (por hipótese) ( I ) 
 
cbda ˆˆˆˆ 
 (Lei angular de Tales). ( II ) 
 
Somando membro a membro obtemos: 2
aˆ
 = 2
cˆ
  
aˆ
 = 
cˆ
 . 
Portanto 
BC
 // 
AD
 já que 
aˆ
 e 
cˆ
 são alternos internos. Das equações ( I ) 
e ( II ) acima, conclui-se também que 
bˆ
 =
dˆ
 e portanto 
DCAB //
 pois 
bˆ
 e 
dˆ
 são alternos internos. Por conseguinte ABCD é um paralelogramo. 
 
(c) B C 
 
 
 
 
 
 A D 
Na figura,  BIC =  AID (LAL). 
Logo, 
ADBDBC ˆˆ 
. Como esses ângulos são alternos internos, segue-se 
que 
ADBC //
. 
Analogamente, o  AIB =  DIC (LAL) e 
CDBDBA ˆˆ 
. Como estes são 
alternos internos segue-se que 
DCAB //
 e, portanto ABCD é um 
paralelogramo. 
 ■ 
 I 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 99 
 O teorema seguinte constitui mais uma caracterização dos 
paralelogramos, a terceira, portanto. 
 
 
Teorema 6.3: O quadrilátero que tem dois lados paralelos e congruentes é 
um paralelogramo. 
 
 B C 
 
 
 
 
 
 A D 
 
 Prova: Tracemos a diagonal 
BD
. Temos: 
ADBDBC ˆˆ 
 (alternos 
internos) e assim 
 CBD =  BDA (LAL). 
 
Desta forma AB = DC. Pela parte (a) do teorema 6.2, segue-se que ABCD 
é um paralelogramo. 
 ■ 
 
 
PROPRIEDADE DO RETÂNGULO 
 
Teorema 6.4: As diagonais de um retângulo são congruentes. 
 
 B C 
 
 
 
 
 A D 
 
 Prova: Na figura, o  ABD =  ADC (LAL), pois AB = DC, 
AD
 é lado 
comum e 
ADCDAB ˆˆ 
 = 90o. 
Portanto, AC = BD. 
 ■ 
 
 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 100 
Teorema 6.5: (Teorema recíproco) 
 O paralelogramo que tem as diagonais congruentes é um retângulo. 
 
 B C 
 
 
 
 
 A D 
 
 Prova: O  ABD =  ADC (LLL), assim 
ADCDAB ˆˆ 
. Como esses 
ângulos são colaterais internos, então 
0180ˆˆ  ADCDAB
 e, portanto 
090ˆˆ  ADCDAB
. 
Por outro lado, 
ADBC //
 o que mostra que 
DCBABC o ˆ90ˆ 
 e assim 
ABCD é um retângulo. 
 ■ 
 
 
Corolário 1: Num triângulo retângulo, a mediana traçada do vértice do 
ângulo reto vale a metade da hipotenusa. 
 
 B D 
 M 
 
 
 A C 
 
 Prova: Tracemos pelo ponto B uma reta perpendicular ao cateto 
AB
 
e pelo ponto C uma reta perpendicular ao cateto 
AC
. Estas retas se 
interceptam no ponto D e assim o quadrilátero ABPC é um retângulo. (Por 
quê?). 
BC
 é uma das diagonais desse retângulo. Tracemos a outra 
diagonal 
AD
 que intercepta 
BC
 em M. Então AM = MD = BM = MC. 
Portanto o segmento 
AM
 que é mediana do  ABC vale 
2
BC
AM 
.■ 
 
 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 101 
Corolário 2: Num triângulo retângulo, o cateto oposto a um ângulo de 30o 
vale a metade da hipotenusa. 
 
 B 
 
 
 M 
 
 30o 
 A C 
 
 Prova: Seja 
Cˆ
=30o. Tracemos a mediana 
AM
. Temos então 
AM = BM = MC (Corolário 1). Portanto o  AMC é isósceles e 
CAM ˆ
= 30o. 
Logo 
MAB ˆ
= 60o. Como 
Bˆ
= 60o segue-se que 
AMB ˆ
 = 60o o que mostra 
que o  ABM é eqüilátero e assim 
2
BC
AMBA 
. 
 ■ 
 
PROPRIEDADES DO LOSANGO 
 
Teorema 6.6: Em todo losango: 
 
 1o) as diagonais são perpendiculares; 
 2o) as diagonais são bissetrizes dos ângulos do quadrilátero. 
 
 B C 
 
 
 
 
 
 
 A D 
 
 Prova: Na figura, o BIC = CID (LLL). Portanto, 
DICCIB ˆˆ 
. Como 
eles são adjacentes, então 
DICCIB ˆˆ 
= 90o 
o que prova a primeira parte do teorema. Tem-se também que o 
DCIICB ˆˆ 
. Por outro lado, 
DAIICB ˆˆ 
 (alternos internos) 
 e 
IABDCI ˆˆ 
 (alternos internos). 
 
 I 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 102 
Por conseguinte, 
AC
 é bissetriz dos ângulos 
Aˆ
 e 
Cˆ
. 
 
De modo análogo prova-se que 
BD
 é bissetriz dos ângulos 
Bˆ
 e 
Dˆ
. 
 ■ 
 
Teorema 6.7: (Teorema recíproco) 
 Se as diagonais de um quadrilátero se bissecam e são 
perpendiculares, então o quadrilátero é um losango. 
 
 B C 
 
 
 
 
 
 
 A D 
 
 
 Prova: Exercício. 
 
 
Teorema 6.8: As três medianas de um triângulo concorrem no mesmo 
ponto, situado a dois terços de cada uma delas a partir do vértice. 
 
 A 
 
 
 
 
 
 M N 
 
  
 R S 
 B C 
 
 
 Prova: Sejam 
BN
 e 
CM
, duas medianas do ABC que interceptam 
em . Sejam R e S os pontos médios dos segmentos 
BI
 e 
CI
 
respectivamente. O quadrilátero MNSR é um paralelogramo, já que 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 103 
2
BC
RSMN 
 e 
RSMN //
 (Teo. 6.3) 
Como suas diagonais se bissecam, então 
 
BR = R = N 
 e CS = S = M. 
 
Isto prova que 
CMCI
3
2

 e 
BNBI
3
2

. 
 A 
 
 
 
 
 N 
 
 O 
 
 
 B P C 
 
Por outro lado, se O é o ponto de interseção das medianas BN e AP então 
BNBO
3
2

 
e por conseguinte BO = B, ou seja o ponto O coincide com o ponto  e as 
três medianas concorrem num mesmo ponto. 
 ■ 
 
 
Definição 6.6: Um trapézio é o quadrilátero que tem apenas dois lados 
paralelos. 
 
 A B 
 
 
CDAB //
 
 
 
 D C 
 Os segmentos 
AB
 e 
CD
 são as bases do trapézio. 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 104 
 O trapézio cujos lados não paralelos são congruentes é dito 
isósceles. 
 A B 
 
CDAB //
 
 AD = BC 
 
 
 D C 
 
 
 O trapézio que possui dois ângulos retos é dito trapézio retângulo. 
 
 B C 
 
 
 
 
 
 A D 
 
 
 
PROPRIEDADES DO TRAPÉZIO 
 
Teorema 6.9: No trapézio isósceles os ângulos adjacentes à mesma base 
são congruentes. 
 
 B C 
 Hip.: AB = CD 
 
 Tese: 
DA ˆˆ 
 e 
CB ˆˆ 
 
 
 A E D 
 
 Prova: Na figura acima, tracemos pelo vértice C o segmento 
CE
 
paralelo a 
AB
 com E
AD
. Desta forma o quadrilátero ABCD é um 
paralelogramo. Portanto, AB = EC e daí AB = CE = CD. Como 
DECA ˆˆ 
(ângulos correspondentes) e 
DDEC ˆˆ 
 ( CED é isósceles) 
segue-se que 
DA ˆˆ 
. Por outro lado 
CB ˆˆ 
 pois são suplementos de 
ângulos congruentes. 
 ■ 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof. Sinvaldo Gama 105 
Teorema 6.10: O segmento que une os pontos médios dos lados não 
paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semi-soma. 
 
 B C 
 
 
 M N 
 
 
 A D E 
 
Hip.: MB = MA e NC = ND. 
Tese: 
BCMN //
; 
ADMN //
 e MN = 
2
ADBC 
. 
 
 Prova: Consideremos a semi-reta 
BN
 que intersecta a semi-reta 
AD
 no ponto E. Os triângulos BCN e NDE formados são congruentes pois 
 
NC = ND (por hipótese) 
 
ENDCNB ˆˆ 
 (opostos pelo vértice) 
 
EDNC ˆˆ 
 (alternos internos) 
 
Daí conclui-se que BC = DE e BN = NE. Desta forma o segmento 
MN
 une 
os pontos médios dos lados 
AB
 e 
BE
 do ABE e assim 
AEMN //
. Mas 
BCAE //
, o que prova a primeira parte do teorema. 
Finalmente, 
222
BCADDEADAE
MN




. 
 ■ 
 
 O segmento 
MN
 é denominado base média ou mediana do 
trapézio. 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof.: Sinvaldo Gama 106 
EXERCÍCIOS 
 
01. Num quadrilátero, o segundo ângulo vale 2/3 do primeiro; o terceiro 
vale a metade do segundo e o quarto a semi-soma do segundo com o 
terceiro. Calcular esses ângulos. 
 
02. Calcular os ângulos internos de um quadrilátero, cujas medidas, 
em graus, são quatro números ímpares e consecutivos. 
 
03. Num quadrilátero, dois ângulos consecutivos têm por medida, 
respectivamente, 60o e 40o. Calcular o ângulo formado pelas 
bissetrizes dos outros dois ângulos do quadrilátero. 
 
04. Num quadrilátero ABCD, o ângulo 
Aˆ
 vale 160o. Calcular o ângulo C, 
sabendo-se que os vértices B, C e D são eqüidistantes de A. 
 
05. Num quadrilátero cada um de seus ângulos é igual ao dobro do 
anterior. Calcular, em graus, as medidas de seus ângulos. 
 
06. Os ângulos de um quadrilátero são proporcionais aos números 5, 15, 
30 e 40. Calcular esses ângulos. 
 
07. Num paralelogramo, um de seus ângulos internos é igual 3/15 do que 
lhe é consecutivo. Determinar esses ângulos.08. Num paralelogramo, a soma dos ângulos obtusos é igual ao dobro da 
soma dos ângulos agudos. Calcular o menor ângulo desse 
quadrilátero. 
 
09. Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 
36o. Calcular o maior ângulo que as diagonais formam entre si. 
 
10. Num trapézio isósceles ABCD, a diagonal 
AC
 forma com o lado não 
paralelo 
AD
 um ângulo de 85o e com a base maior 
DC
 um ângulo de 
35o. Calcular os ângulos desse quadrilátero. 
 
11. Num trapézio retângulo ABCD, os ângulos 
Aˆ
 e 
Dˆ
 são retos. As 
bissetrizes dos ângulos 
Aˆ
 e 
Bˆ
 formam o ângulo AMB que vale 
87o 30'. Calcular os ângulos B e C. 
 
 
 
 
Cap. 6: Quadriláteros Prof.: Sinvaldo Gama 107 
12. Num retângulo ABCD, as diagonais cortam-se no ponto O e formam o 
ângulo AÔB = 130o. Traça-se a perpendicular 
BE
 à diagonal 
AC
. A 
bissetriz do ângulo DBE intercepta o lado 
CD
 em F. Calcular o ângulo 
BFC. 
 
13. Num trapézio isósceles, as bases medem, respectivamente, 14 m e 16 
m. Calcular o perímetro desse trapézio, sabendo-se que a soma dos 
ângulos obtusos é igual ao dobro da soma dos ângulos agudos. 
 
14. Num trapézio isósceles ABCD, a base maior é 
DC
. Sabe-se que a 
base menor 
AB
 é congruente a cada um dos lados não paralelos e 
que uma diagonal é igual a base maior. Calcular os ângulos A, B, C e 
D do trapézio. 
 
15. Considere um paralelogramo ABCD no qual CD = 2.AD. Unem-se os 
vértices A e B ao ponto médio, M, do lado 
DC
. Calcular a medida do 
ângulo AMB. 
 
 
RESPOSTAS 
 
01. 144o, 96o, 48o e 72o. 02. 87o, 89o, 91o e 93o. 
 
03. 50o 04. 100o 
 
05. 24o, 48o, 96o e 192o. 06. 20o, 60o, 120o e 160o. 
 
07. 150o e 30o 08. 60o 09. 108o. 
 
10. 60o, 60o, 120o e 120o 11. 95o e 85o. 
 
12. 45o 13. 34 m 
14. 
oBA 108ˆˆ 
 e 
oDC 72ˆˆ 
 
 
15. 90o.