Noções de Lógica

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NOÇÕES DE LÓGICA M 
 
VALIDADE DE ARGUMENTO 
No início deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo é a investigação da 
validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO 
e os demais PREMISSAS. 
Vamos verificar como podemos proceder na investigação de certos argumentos de 
modo formal . 
DEFINIÇÃO: Chamamos ARGUMENTO uma seqüência 
A1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n ≥ 0) de fórmulas onde os Ai (0< i < n) chamam-se premissas e 
a última fórmula B, conclusão. 
DEFINIÇÃO: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se e somente se, 
sendo as premissas verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e 
somente se, a fórmula 
A1 ∧ A2∧A3 ∧... ∧ An → B é uma tautologia que será indicado como segue 
A1 , A2 , A3 ,... , An | B que se lê : 
"A1 , A2 , A3 ,... , An acarretam B" ou, "B decorre de A1 , A2 , A3 ,... , An " ou, 
"B se deduz de A1 , A2 , A3 ,... , An" ou ainda, "B se infere de A1 , A2 , A3 ,... , An ." 
 
 
 
VALIDADE DE UM ARGUMENTO: VERIFICAÇÃO POR TABELA 
VERDADE. 
Com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula 
A1∧ A2∧A3 ∧... ∧ An → B é tautologia. 
Exemplo: O argumento p, q→ r, ∼ r, ∼ q é válido pois a fórmula 
(p ∧ (q → r) ∧∼ r ) → ∼ q é uma tautologia. 
O que verificamos nas linhas onde as premissas são verdadeiras que a conclusão 
também é verdadeira 
(tabela verdade abaixo, linha 4). 
 
 
 
 
 
 
p q r p q → r ∼ r ∼ q 
V V V V V F F 
V V F V F V F 
V F V V V F V 
V F F V V V V 
F V V F V F F 
F V F F F V F 
F F V F V F V 
F F F F V V V 
 
VALIDADE DE UM ARGUMENTO: DEMONSTRAÇÃO 
Podemos verificar a validade de um argumento através de métodos de demonstração : 
1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA 
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL 
3. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO 
4. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO 
 
1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA 
Consiste em demonstrar ou deduzir a conclusão B a partir das premissas A1 , A2 , A3 ,... 
, An , aplicando as EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS e as REGRAS DE 
INFERÊNCIA . 
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento p, q → r , ∼ r , ∼ q 
Demonstração : 
1. p premissa 
2. q → r premissa 
3. ∼r premissa 
4. ∼q Conclusão (2 e 3 : Modus Tollens) 
Exemplo :Demonstrar a validade do argumento ∼p → q , q →∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
Demonstração : 
1. ∼p → q premissa 
2. q → ∼ r premissa 
3. r ∨ s premissa 
4. ∼p →∼r 1.2. Silogismo Hipotético 
5. ∼r → s 3. Def. de implicação 
6. ∼p → s 4.5. Silogismo Hipotético 
7. ∼s →∼∼p 6. Contraposição 
8. ∼s → p Conclusão 7. Negação 
 
2. DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - CONDICIONAL 
Para demonstrar a validade de argumentos cuja conclusão é uma fórmula condicional do 
tipo B → C , considera-se o antecedente B, como uma premissa adicional e o 
conseqüenteC será a conclusão a ser demonstrada. 
De fato, sendo: 
1. A1 , A2 , A3 ,... , An , B , C válido então 
2. A1 , A2 , A3 ,... , An , B | C isto é, 
3. ((A1 ∧ A2 ∧A3 ∧... ∧ An ) ∧ B ) → C é tautologia 
4. (A1 ∧ A2 ∧A3 ∧... ∧ An ) → (B → C) é tautologia (Importação e Exportação) e 
portanto 
5. A1 , A2 , A3 ,... , An | B → C ou ainda, 
6. A1 , A2 , A3 ,... , An, B → C é válido 
 
Exemplo : Demonstrar a validade do argumento ∼p → q , q →∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
Demonstração : 
1. ∼p → q premissa 
2. q → ∼ r premissa 
3. r ∨ s premissa 
4. ∼s premissa adicional 
5. r 3.4. Silogismo Disjuntivo 
6. ∼p →∼ r 1.2. Silogismo Hipotético 
7. r → p 6. Contraposição 
8. p Conclusão 5.7. Modus Ponens 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO 
Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A2 , A3 ,..., An, B considera-se a 
negação da conclusão∼B como premissa adicional e conclui-se uma fórmula F 
(fórmula falsa do tipo α ∧∼α) 
De fato, sendo: 
1.A1 , A2 , A3 ,..., An , ∼ B | F válido, temos 
2.A1 , A2 , A3 ,..., An |∼ B → F isto é, 
3.A1 , A2 , A3 ,..., An |∼∼ B ∨ F (Def. implicação) 
4.A1 , A2 , A3 ,..., An | B ∨ F (Negação) 
5.A1 , A2 , A3 ,..., An |B (Propriedade de F) ou ainda, 
6.A1 , A2 , A3 ,... , An , B é válido. 
Exemplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento 
∼p → q , q →∼ r , r ∨ s , ∼ s → p 
1.∼p → q premissa 
2. q → ∼ r premissa 
3. r ∨ s premissa 
4. ∼(∼ s → p) premissa adicional 
5.∼p →∼ r 1.2. Silogismo Hipotético 
6. ∼r → s 3. Def. de implicação 
7. ∼p → s 5.6. Silogismo Hipotético 
8. ∼s → p 7. Contraposição 
9. ∼(∼ s → p) ∧ (∼ s → p) 4. 8. Conjunção 
10. F