Regras de inferência e Equivalências tautológicas

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REGRAS DE INFERÊNCIA. Diremos que uma expressão lógica α implica tautológicamente uma 
expressão lógica β e indicaremos por α ⇒ β, se e somente se, a expressão α→β é uma tautologia . 
Modus Ponens MP p ∧ (p → q) ⇒ q 
Modus Tollens MT ¬ q ∧ ( p → q ) ⇒ ¬ p 
Silogismo Hipotético SH (p→ q) ∧ ( q → r) ⇒ (p → r) 
Silogismo Disjuntivo SD (p ∨ q) ∧ ¬ p ⇒ q 
Simplificação SM p ∧ q ⇒ p 
Adição AD p ⇒ p ∨ q 
Eliminação EL (p → (q ∨ r) ) ∧¬ q ⇒ p →r 
Prova por Casos CS (p → r) ∧ ( q → r) ⇒ (p ∨ q) → r 
EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS : As expressoes logicas α e β são tautologicamente 
equivalentes, denotado por α ⇔ β se, e somente se, α ↔ β é uma tautologia 
 
Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p 
Associativa (p ∧ q)∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r) 
Idempotente p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p 
Propriedades de V p ∧ V ⇔ p p ∨ V ⇔ V (V prop. Verdadeira) 
Propriedades de F p ∧ F ⇔ F p ∨ F ⇔ p (F prop. falsa) 
Absorção p ∧ ( p ∨ r ) ⇔ p p ∨ (p ∧ r) ⇔ p 
Distributivas p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r) 
Distributivas p → (q ∧ r) ⇔(p→ q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ⇔ (p→ q) ∨ (p → r) 
Leis de De Morgan ¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q 
Def. implicação p → q ⇔ ¬ p ∨ q p → q ⇔ ¬ ( p ∧ ¬ q) 
Def. bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ ( q → p) p ↔ q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨p) 
Negação ¬ ( ¬ p) ⇔ p 
Contraposição p → q ⇔ ¬ q → ¬ p 
Exportação(⇒ ) Importação (⇐ ) (p ∧ q) → r ⇔ p → ( q → r ) 
Troca de Premissas p → (q → r ) ⇔ q → ( p →r ) 
Exemplo : Dadas as fórmulas A: p → (q ∧ r) e B : ¬ (q ∧ r ) →¬ p. Verificar que A ⇒ B Solução: 
Basta verificar, com o uso das tabelas verdade, que p → (q ∧ r) ] → [ ¬ (q ∧ r ) → ¬ p ] . Assim, 
A ⇔ B pois A ↔ B é tautologia. 
Profa Celina PUC-sp.