Física 1

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F´ısica I
Aula I - Momento Linear
Pa´gina da disciplina: http://stoa.usp.br
Notas de aula: http://romeo.if.usp.br/∼vchitta
Prof. Valmir A. Chitta
e-mail: vchitta@if.usp.br
tel: 3091-7099
Ed. Ma´rio Schenberg, sala 209
5 de Agosto de 2013
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 2 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 3 / 88
Coliso˜es e conservac¸a˜o do momento linear
Ana´lise de uma colisa˜o usando leis de Newton
I Complicado determinar as forc¸as durante a colisa˜o
I Usando conservac¸a˜o do momento na˜o e´ necessa´rio conhecer-se essas
forc¸as
Leis de Newton
I Va´lidas somente na mecaˆnica cla´ssica
Conservac¸a˜o do momento linear
I Va´lida para mecaˆnica cla´ssica, relatividade e mecaˆnica quaˆntica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Coliso˜es e conservac¸a˜o do momento linear
Ana´lise de uma colisa˜o usando leis de Newton
I Complicado determinar as forc¸as durante a colisa˜o
I Usando conservac¸a˜o do momento na˜o e´ necessa´rio conhecer-se essas
forc¸as
Leis de Newton
I Va´lidas somente na mecaˆnica cla´ssica
Conservac¸a˜o do momento linear
I Va´lida para mecaˆnica cla´ssica, relatividade e mecaˆnica quaˆntica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Coliso˜es e conservac¸a˜o do momento linear
Ana´lise de uma colisa˜o usando leis de Newton
I Complicado determinar as forc¸as durante a colisa˜o
I Usando conservac¸a˜o do momento na˜o e´ necessa´rio conhecer-se essas
forc¸as
Leis de Newton
I Va´lidas somente na mecaˆnica cla´ssica
Conservac¸a˜o do momento linear
I Va´lida para mecaˆnica cla´ssica, relatividade e mecaˆnica quaˆntica
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 4 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt
⇒ ~F = d
dt
(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear
~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =
d~p
dt
I Formulac¸a˜o de Newton para a segunda lei
I Permite tratar sistemas com massas varia´veis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt
⇒ ~F = d
dt
(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear
~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =
d~p
dt
I Formulac¸a˜o de Newton para a segunda lei
I Permite tratar sistemas com massas varia´veis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Momento linear
Segunda lei de Newton:
~F = m~a ⇒ ~F = md~v
dt
⇒ ~F = d
dt
(m~v)
considerando a massa constante
Momento linear
~p = m~v
unidade no SI: [kg m/s]
~F =
d~p
dt
I Formulac¸a˜o de Newton para a segunda lei
I Permite tratar sistemas com massas varia´veis
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 5 / 88
Forc¸a e momento linear
~F =
d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dt
grande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dt
pequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisa˜o
I Variac¸a˜o do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisa˜o com o painel - variac¸a˜o ra´pida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformac¸a˜o grande
I Airbag - variac¸a˜o mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformac¸a˜o menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forc¸a e momento linear
~F =
d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dt
grande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dt
pequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisa˜o
I Variac¸a˜o do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisa˜o com o painel - variac¸a˜o ra´pida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformac¸a˜o grande
I Airbag - variac¸a˜o mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformac¸a˜o menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forc¸a e momento linear
~F =
d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dt
grande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dt
pequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisa˜o
I Variac¸a˜o do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisa˜o com o painel - variac¸a˜o ra´pida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformac¸a˜o grande
I Airbag - variac¸a˜o mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformac¸a˜o menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forc¸a e momento linear
~F =
d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dt
grande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dt
pequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisa˜o
I Variac¸a˜o do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisa˜o com o painel - variac¸a˜o ra´pida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformac¸a˜o grande
I Airbag - variac¸a˜o mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformac¸a˜o menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Forc¸a e momento linear
~F =
d~p
dt
Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p
dt
grande ⇒ ~F grande
Se ~p varia lentamente ⇒ d~p
dt
pequeno ⇒ ~F pequena
Carro com velocidade ~v sofrendo colisa˜o
I Variac¸a˜o do momento linear do passageiro: m~v → 0
I Colisa˜o com o painel - variac¸a˜o ra´pida de ~p ⇒ ~F grande ⇒
deformac¸a˜o grande
I Airbag - variac¸a˜o mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformac¸a˜o menor
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 6 / 88
Impulso
Forc¸a constante: ~F
Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1
~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t
Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 7 / 88
Impulso
Forc¸a constante: ~F
Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1
~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t
Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 7 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt
= constante
~F =
d~p
dt
=
~p2 − ~p1
t2 − t1 ⇒
~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forc¸a varia´vel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt
= constante
~F =
d~p
dt
=
~p2 − ~p1
t2 − t1 ⇒
~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forc¸a varia´vel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Impulso e momento linear
Como ~F = constante ⇒ d~p
dt
= constante
~F =
d~p
dt
=
~p2 − ~p1
t2 − t1 ⇒
~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1
Teorema impulso-momento linear
~J = ~p2 − ~p1
Forc¸a varia´vel
~J =
∫ t2
t1
~Fdt
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 8 / 88
Comparac¸a˜o entre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparac¸a˜o entre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparac¸a˜oentre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparac¸a˜o entre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparac¸a˜o entre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Comparac¸a˜o entre momento linear e energia cine´tica
Momento linear: ~p = m~v
Energia cine´tica: T = 12mv
2
F
t0
m m
t1
x0 x1
v0 v1
Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0
Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv21 − 12mv20
Impulso: variac¸a˜o temporal
Trabalho: variac¸a˜o espacial
I integrais
Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaˆneo - diferencial
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 9 / 88
Momento linear e energia cine´tica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kg
com velocidade de 20 m/s. Qual e´ mais fa´cil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para´-las
TB =
1
2
mBv
2
B = 4, 0 J
Tb =
1
2
mbv
2
b = 20 J
I O trabalho para parar b e´ 5 vezes maior que o necessa´rio para parar B
I Para uma dada forc¸a me´dia exercida pela ma˜o, o intervalo de tempo
necessa´rio para parar as bolas e´ o mesmo, pore´m o deslocamento da
ma˜o seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a mais
pesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cine´tica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kg
com velocidade de 20 m/s. Qual e´ mais fa´cil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para´-las
TB =
1
2
mBv
2
B = 4, 0 J
Tb =
1
2
mbv
2
b = 20 J
I O trabalho para parar b e´ 5 vezes maior que o necessa´rio para parar B
I Para uma dada forc¸a me´dia exercida pela ma˜o, o intervalo de tempo
necessa´rio para parar as bolas e´ o mesmo, pore´m o deslocamento da
ma˜o seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a mais
pesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cine´tica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kg
com velocidade de 20 m/s. Qual e´ mais fa´cil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para´-las
TB =
1
2
mBv
2
B = 4, 0 J
Tb =
1
2
mbv
2
b = 20 J
I O trabalho para parar b e´ 5 vezes maior que o necessa´rio para parar B
I Para uma dada forc¸a me´dia exercida pela ma˜o, o intervalo de tempo
necessa´rio para parar as bolas e´ o mesmo, pore´m o deslocamento da
ma˜o seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a mais
pesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Momento linear e energia cine´tica
Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kg
com velocidade de 20 m/s. Qual e´ mais fa´cil parar?
pB = mBvB = 2, 0 kg m/s
pb = mbvb = 2, 0 kg m/s
I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para´-las
TB =
1
2
mBv
2
B = 4, 0 J
Tb =
1
2
mbv
2
b = 20 J
I O trabalho para parar b e´ 5 vezes maior que o necessa´rio para parar B
I Para uma dada forc¸a me´dia exercida pela ma˜o, o intervalo de tempo
necessa´rio para parar as bolas e´ o mesmo, pore´m o deslocamento da
ma˜o seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a mais
pesada.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 10 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 11 / 88
Part´ıculas interagindo
Duas part´ıculas interagindo no espac¸o
mA mB
FA/BFB/A
Terceira lei de Newton
~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 12 / 88
Part´ıculas interagindo
Duas part´ıculas interagindo no espac¸o
mA mB
FA/BFB/A
Terceira lei de Newton
~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 12 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =
d~pB
dt
~FB/A =
d~pA
dt
~FA/B + ~FB/A =
d~pB
dt
+
d~pA
dt
=
d
dt
(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total
~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =
d ~P
dt
= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =
d~pB
dt
~FB/A =
d~pA
dt
~FA/B + ~FB/A =
d~pB
dt
+
d~pA
dt
=
d
dt
(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total
~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =
d ~P
dt
= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
mA mB
FA/BFB/A
Segunda lei de Newton
~FA/B =
d~pB
dt
~FB/A =
d~pA
dt
~FA/B + ~FB/A =
d~pB
dt
+
d~pA
dt
=
d
dt
(~pB + ~pA) = 0
Momento linear total
~P = ~pB + ~pA
~FA/B + ~FB/A =
d ~P
dt
= 0 ⇒ ~P = constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 13 / 88
Forc¸as
Forc¸a interna: forc¸a que uma part´ıcula de um sistema exerce sobre
outra.
Forc¸a externa: forc¸a exercida por um corpo no exterior do sistema
sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forc¸a externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Forc¸as
Forc¸a interna: forc¸a que uma part´ıcula de um sistema exerce sobre
outra.
Forc¸a externa: forc¸a exercida por um corpo no exterior do sistema
sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forc¸a externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Forc¸as
Forc¸a interna: forc¸a que uma part´ıcula de um sistema exerce sobre
outra.
Forc¸a externa: forc¸a exercida por um corpo no exterior do sistema
sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.
Nenhuma forc¸a externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 14 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Quando a soma vetorial das forc¸as externas que atuam sobre um
sistema e´ igual a zero, o momento linear total do sistema permanece
constante ∑
~Fe = 0 ⇒
∑
~Fi =
d ~P
dt
= 0
I Na˜o depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑
~Fe 6= 0 ⇒
∑
~Fe =
d ~P
dt
6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Quando a soma vetorial das forc¸as externas que atuam sobre um
sistema e´ igual a zero, o momento lineartotal do sistema permanece
constante ∑
~Fe = 0 ⇒
∑
~Fi =
d ~P
dt
= 0
I Na˜o depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑
~Fe 6= 0 ⇒
∑
~Fe =
d ~P
dt
6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Quando a soma vetorial das forc¸as externas que atuam sobre um
sistema e´ igual a zero, o momento linear total do sistema permanece
constante ∑
~Fe = 0 ⇒
∑
~Fi =
d ~P
dt
= 0
I Na˜o depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas
Se ∑
~Fe 6= 0 ⇒
∑
~Fe =
d ~P
dt
6= 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 15 / 88
Sistema de N part´ıculas
Sistema contendo um nu´mero qualquer de part´ıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservac¸a˜o do momento linear → mais geral do que a conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica
I Conservac¸a˜o de E ⇒ forc¸as internas conservativas
I Conservac¸a˜o de ~P ⇒ mesmo quando as forc¸as internas na˜o sa˜o
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N part´ıculas
Sistema contendo um nu´mero qualquer de part´ıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservac¸a˜o do momento linear → mais geral do que a conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica
I Conservac¸a˜o de E ⇒ forc¸as internas conservativas
I Conservac¸a˜o de ~P ⇒ mesmo quando as forc¸as internas na˜o sa˜o
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N part´ıculas
Sistema contendo um nu´mero qualquer de part´ıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservac¸a˜o do momento linear → mais geral do que a conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica
I Conservac¸a˜o de E ⇒ forc¸as internas conservativas
I Conservac¸a˜o de ~P ⇒ mesmo quando as forc¸as internas na˜o sa˜o
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Sistema de N part´ıculas
Sistema contendo um nu´mero qualquer de part´ıculas
~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .
Conservac¸a˜o do momento linear → mais geral do que a conservac¸a˜o
da energia mecaˆnica
I Conservac¸a˜o de E ⇒ forc¸as internas conservativas
I Conservac¸a˜o de ~P ⇒ mesmo quando as forc¸as internas na˜o sa˜o
conservativas
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 16 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 17 / 88
Sistema de part´ıculas
x
y
m1
m2
m3
m4
m5
m6
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 18 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mixi∑
i mi
=
∑
i mixi
M
M =
∑
i mi - massa total do sistema
yCM =
m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i miyi∑
i mi
=
∑
i miyi
M
Em termos vetoriais
~rCM =
m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~ri∑
i mi
=
∑
i mi~ri
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mixi∑
i mi
=
∑
i mixi
M
M =
∑
i mi - massa total do sistema
yCM =
m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i miyi∑
i mi
=
∑
i miyi
M
Em termos vetoriais
~rCM =
m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~ri∑
i mi
=
∑
i mi~ri
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Coordenadas do centro de massa
xCM =
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mixi∑
i mi
=
∑
i mixi
M
M =
∑
i mi - massa total do sistema
yCM =
m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i miyi∑
i mi
=
∑
i miyi
M
Em termos vetoriais
~rCM =
m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~ri∑
i mi
=
∑
i mi~ri
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 19 / 88
Corpo so´lido
x
y
r
→ Δm
~rCM ≈
∑
i ~ri∆m∑
i ∆m
~rCM = lim
∆m→0
∑
i ~ri∆m∑
i ∆m
=
∫
~rdm∫
dm
=
1
M
∫
~rdm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 20 / 88
Corpo so´lido
x
y
r
→ Δm
~rCM ≈
∑
i ~ri∆m∑
i ∆m
~rCM = lim
∆m→0
∑
i ~ri∆m∑
i ∆m
=
∫
~rdm∫
dm
=
1
M
∫
~rdm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 20 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de part´ıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =
dxCM
dt
=
d
dt
(
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)
vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =
dyCM
dt
=
m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =
d~rCM
dt
=
m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~vi∑
i mi
=
∑
i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de part´ıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =
dxCM
dt
=
d
dt
(
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)
vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =
dyCM
dt
=
m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =
d~rCM
dt
=
m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~vi∑
i mi
=
∑
i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Velocidade do centro de massa
Sistema de part´ıculas se movendo
Velocidade do centro de massa
vxCM =
dxCM
dt
=
d
dt
(
m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
)
vxCM =
m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
vyCM =
dyCM
dt
=
m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~vCM =
d~rCM
dt
=
m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · · =
∑
i mi~vi∑
i mi
=
∑
i mi~vi
M
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 21 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑
i mi~vi
M
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑
~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑
~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑
i mi~vi
M
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑
~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑
~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Momento linear do centro de massa
~vCM =
∑
i mi~vi
M
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P
~P - momento linear total do sistema
Se ∑
~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante
Se ∑
~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 22 / 88
Acelerac¸a˜o do centro de massa
~aCM =
d~vCM
dt
=
m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~aCM =
∑
i mi~ai∑
i mi
=
∑
i mi~ai
M
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 23 / 88
Acelerac¸a˜o do centro de massa
~aCM =
d~vCM
dt
=
m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1 + m2 + m3 + · · ·
~aCM =
∑
i mi~ai∑
i mi
=
∑
i mi~ai
M
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 23 / 88
Forc¸as e acelerac¸a˜o
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =
(∑
~F
)
1
=
(∑
~Fext +
∑
~Fint
)
1
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Forc¸as e acelerac¸a˜o
M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =
(∑
~F
)
1
=
(∑
~Fext +
∑
~Fint
)
1
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Forc¸as e acelerac¸a˜oM~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·
m1~a1 =
(∑
~F
)
1
=
(∑
~Fext +
∑
~Fint
)
1
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 24 / 88
Acelerac¸a˜o e forc¸as externas
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒
∑ ~Fint = 0
M~aCM =
∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Acelerac¸a˜o e forc¸as externas
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒
∑ ~Fint = 0
M~aCM =
∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Acelerac¸a˜o e forc¸as externas
M~aCM =
∑
~Fext +
∑
~Fint
~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒
∑ ~Fint = 0
M~aCM =
∑
~Fext
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 25 / 88
Translac¸a˜o
Quando forc¸as externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto
de part´ıculas, o centro de massa se move exatamente como se toda a
massa estivesse concentrada nesse ponto e estivesse submetida a uma
forc¸a igual a` resultante de todas as forc¸as que atuam sobre o sistema
∑
~Fext = M~aCM = M
d~vCM
dt
=
d
dt
(M~vCM) =
d ~P
dt
massa constante
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 26 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e´ um referencial de momento linear
NULO!
Velocidade das part´ıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do centro de massa
I ~vi = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do laborato´rio
I ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laborato´rio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e´ um referencial de momento linear
NULO!
Velocidade das part´ıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do centro de massa
I ~vi = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do laborato´rio
I ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laborato´rio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
O referencial do centro de massa
No referencial do centro de massa:
~v ′CM = 0
~P ′ = M~v ′CM = 0
O referencial do centro de massa e´ um referencial de momento linear
NULO!
Velocidade das part´ıculas no referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM
I ~u′i = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do centro de massa
I ~vi = velocidade da i-e´sima part´ıcula no referencial do laborato´rio
I ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laborato´rio
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 27 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miv
2
i =
∑
i
1
2
mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =
∑
i
1
2
mi
[(
~u′i + ~vCM
) · (~u′i + ~vCM)]
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miv
2
i =
∑
i
1
2
mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =
∑
i
1
2
mi
[(
~u′i + ~vCM
) · (~u′i + ~vCM)]
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miv
2
i =
∑
i
1
2
mi (~vi · ~vi )
Usando o referencial do centro de massa:
~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM
T =
∑
i
1
2
mi
[(
~u′i + ~vCM
) · (~u′i + ~vCM)]
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 28 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
v2CM
∑
i
mi + ~vCM ·
∑
i
mi ~u
′
i
∑
i mi = M e
∑
i mi ~u
′
i = M~v
′
CM = 0
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
Mv2CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
v2CM
∑
i
mi + ~vCM ·
∑
i
mi ~u
′
i
∑
i mi = M e
∑
i mi ~u
′
i = M~v
′
CM = 0
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
Mv2CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
∑
i
1
2
miu
′2
i +
∑
i
1
2
miv
2
CM + 2
∑
i
1
2
mi
(
~u′i · ~vCM
)
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
v2CM
∑
i
mi + ~vCM ·
∑
i
mi ~u
′
i
∑
i mi = M e
∑
i mi ~u
′
i = M~v
′
CM = 0
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
Mv2CM
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 29 / 88
Energia cine´tica de um sistema de part´ıculas
T =
1
2
∑
i
miu
′2
i +
1
2
Mv2CM
1
2
∑
i miu
′2
i energia cine´tica das part´ıculas em relac¸a˜o ao centro de
massa (energia do movimento relativo). E´ a mesma em qualquer
referencial, pois so´ depende das velocidades das part´ıculas em relac¸a˜o
ao centro de massa.
1
2Mv
2
CM energia cine´tica do centro de massa. Depende do referencial.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 30 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 31 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensar que uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensarque uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensar que uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensar que uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensar que uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Colisa˜o
Colisa˜o: interac¸a˜o entre dois corpos com uma durac¸a˜o relativamente curta
Quando as forc¸as entre os corpos forem muito maiores do que as forc¸as externas,
como em geral ocorre na maior parte das coliso˜es, podemos desprezar
completamente as forc¸as externas e considerar os corpos como um sistema isolado
⇒ conservac¸a˜o do momento linear
Quando as forc¸as entre os corpos tambe´m forem conservativas, de modo que
nenhuma energia mecaˆnica e´ ganha ou perdida durante a colisa˜o, a energia
cine´tica total do sistema e´ a mesma antes e depois da colisa˜o ⇒ colisa˜o ela´stica
Uma colisa˜o na qual a energia cine´tica total do sistema depois da colisa˜o e´
diferente do que antes da colisa˜o denomina-se colisa˜o inela´stica
Chama-se colisa˜o completamente inela´stica a que ocorre quando os corpos
permanecem unidos e se movem como um u´nico corpo depois da colisa˜o
E´ um erro comum pensar que uma colisa˜o inela´stica ocorre somente quando os
corpos permanecem colados.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 32 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 33 / 88
Coliso˜es ela´sticas unidimensionais
Corpos de massa m1 e m2
Velocidades iniciais: v1A e v2A
Quais as velocidades finais v1D e v2D?
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 34 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear total
PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD
m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 35 / 88
Conservac¸a˜o da energia cine´tica
TA =
1
2
m1v
2
1A
+
1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1D
+
1
2
m2v
2
2D
= TD
1
2
m2v
2
2D
− 1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1A
− 1
2
m1v
2
1D
m2
(
v22D − v22A
)
= m1
(
v21A − v21D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservac¸a˜o da energia cine´tica
TA =
1
2
m1v
2
1A
+
1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1D
+
1
2
m2v
2
2D
= TD
1
2
m2v
2
2D
− 1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1A
− 1
2
m1v
2
1D
m2
(
v22D − v22A
)
= m1
(
v21A − v21D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservac¸a˜o da energia cine´tica
TA =
1
2
m1v
2
1A
+
1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1D
+
1
2
m2v
2
2D
= TD
1
2
m2v
2
2D
− 1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1A
− 1
2
m1v
2
1D
m2
(
v22D − v22A
)
= m1
(
v21A − v21D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Conservac¸a˜o da energia cine´tica
TA =
1
2
m1v
2
1A
+
1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1D
+
1
2
m2v
2
2D
= TD
1
2
m2v
2
2D
− 1
2
m2v
2
2A
=
1
2
m1v
2
1A
− 1
2
m1v
2
1D
m2
(
v22D − v22A
)
= m1
(
v21A − v21D
)
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 36 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e´ igual ao inverso da velocidade relativa
antes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e´ igual ao inverso da velocidade relativa
antes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Juntando as duas
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
v2D − v1D = − (v2A − v1A)
Velocidade relativa depois e´ igual ao inverso da velocidade relativa
antes
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111- F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 37 / 88
Velocidades apo´s o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Velocidades apo´s o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Velocidades apo´s o choque
m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )
(v2D + v2A) = (v1A + v1D )
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 38 / 88
Configurac¸a˜o final
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
Configurac¸a˜o final (v1D e v2D ) inteiramente determinada pela
configurac¸a˜o inicial (v1A e v2A) e pela conservac¸a˜o do momento e da
energia cine´tica, na˜o dependendo da natureza das forc¸as de interac¸a˜o
(desde que correspondam a um processo ela´stico).
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 39 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 40 / 88
m1 = m2
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
m1 = m2
v1D = v2A
v2D = v1A
part´ıculas trocam entre si as velocidades
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 41 / 88
m1 = m2
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
m1 = m2
v1D = v2A
v2D = v1A
part´ıculas trocam entre si as velocidades
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 41 / 88
Part´ıcula 2 inicialmente em repouso: v2A = 0
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
Part´ıcula 2 inicialmente em repouso: v2A = 0
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 42 / 88
Part´ıcula 2 inicialmente em repouso: v2A = 0
Velocidade da part´ıcula 1
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A +
2m2
m1 + m2
v2A
Velocidade da part´ıcula 2
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A −
m1 −m2
m1 + m2
v2A
Part´ıcula 2 inicialmente em repouso: v2A = 0
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A
v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 42 / 88
v2A = 0 e m1 � m2
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A e v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
m1 � m2 ⇒ m1
m2
' 0
v1D =
m1
m2
− 1
m1
m2
+ 1
v1A = −v1A
v2D =
2m1m2
m1
m2
+ 1
v1A = 2
m1
m2
v1A = 0
Part´ıcula de massa menor e´ praticamente refletida
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 43 / 88
v2A = 0 e m1 � m2
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A e v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
m1 � m2 ⇒ m1
m2
' 0
v1D =
m1
m2
− 1
m1
m2
+ 1
v1A = −v1A
v2D =
2m1m2
m1
m2
+ 1
v1A = 2
m1
m2
v1A = 0
Part´ıcula de massa menor e´ praticamente refletida
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 43 / 88
v2A = 0 e m1 � m2
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A e v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
m1 � m2 ⇒ m2
m1
' 0
v1D =
1− m2m1
1 + m2m1
v1A = v1A
v2D =
2
1 + m2m1
v1A = 2v1A
Velocidade de m1 praticamente na˜o se altera. m2 e´ lanc¸ada para
frente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 44 / 88
v2A = 0 e m1 � m2
v1D =
m1 −m2
m1 + m2
v1A e v2D =
2m1
m1 + m2
v1A
m1 � m2 ⇒ m2
m1
' 0
v1D =
1− m2m1
1 + m2m1
v1A = v1A
v2D =
2
1 + m2m1
v1A = 2v1A
Velocidade de m1 praticamente na˜o se altera. m2 e´ lanc¸ada para
frente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 44 / 88
Coliso˜es unidimensionais totalmente inela´sticas
2 part´ıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,
respectivamente, que passam a mover-se juntas apo´s a colisa˜o,
formando uma u´nica part´ıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservac¸a˜o do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =
m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Coliso˜es unidimensionais totalmente inela´sticas
2 part´ıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,
respectivamente, que passam a mover-se juntas apo´s a colisa˜o,
formando uma u´nica part´ıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservac¸a˜o do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =
m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Coliso˜es unidimensionais totalmente inela´sticas
2 part´ıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,
respectivamente, que passam a mover-se juntas apo´s a colisa˜o,
formando uma u´nica part´ıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .
Conservac¸a˜o do momento linear
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf
Velocidade final
vf =
m1v1i + m2v2i
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 45 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 46 / 88
Colisa˜o ela´stica bidimensional
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
Paraˆmetro de choque: b
I b = 0 ⇒ choque unidimensional
I b > r1 + r2 ⇒ na˜o ha´ choque
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 47 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservac¸a˜o do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f
I ~v1i , ~v1f e ~v2f no mesmo plano ⇒ plano de colisa˜o
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservac¸a˜o do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f
I ~v1i , ~v1f e ~v2f no mesmo plano ⇒ plano de colisa˜o
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservac¸a˜o do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f
I ~v1i , ~v1f e ~v2f no mesmo plano ⇒ plano de colisa˜o
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Conservac¸a˜o do momento linear
Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i
Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f
Conservac¸a˜o do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f
I ~v1i , ~v1f e ~v2f no mesmo plano ⇒ plano de colisa˜o
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1i
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 48 / 88
Equac¸o˜es
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1f cos(θ1) + m2v2f cos(θ2) = m1v1i
m1v1f sen(θ1)−m2v2f sen(θ2) = 0
Colisa˜o ela´stica ⇒ Tf = Ti
1
2
m1v
2
1f+
1
2
m2v
2
2f =
1
2
m1v
2
1i
I 3 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas: ~v1f , ~v2f , θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos paraˆmetros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equac¸o˜es
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1f cos(θ1) + m2v2f cos(θ2) = m1v1i
m1v1f sen(θ1)−m2v2f sen(θ2) = 0
Colisa˜o ela´stica ⇒ Tf = Ti
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f =
1
2
m1v
2
1i
I 3 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas: ~v1f , ~v2f , θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos paraˆmetros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equac¸o˜es
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1f cos(θ1) + m2v2f cos(θ2) = m1v1i
m1v1f sen(θ1)−m2v2f sen(θ2) = 0
Colisa˜o ela´stica ⇒ Tf = Ti
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f =
1
2
m1v
2
1i
I 3 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas: ~v1f , ~v2f , θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos paraˆmetros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Equac¸o˜es
θ1 θ2
m 1
v 1f
m
2 v2f
m1v1iCoordenadas
m1v1f cos(θ1) + m2v2f cos(θ2) = m1v1i
m1v1f sen(θ1)−m2v2f sen(θ2) = 0
Colisa˜o ela´stica ⇒ Tf = Ti
1
2
m1v
2
1f +
1
2
m2v
2
2f =
1
2
m1v
2
1i
I 3 equac¸o˜es e 4 inco´gnitas: ~v1f , ~v2f , θ1 e θ2
I Conhecer pelo menos um dos paraˆmetros, por exemplo: θ1 ou b
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 49 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cine´tica
v21f + v
2
2f
= v21i
Momento linear
~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equac¸a˜o do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f + v
2
2f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cine´tica
v21f + v
2
2f
= v21i
Momento linear
~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equac¸a˜o do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f + v
2
2f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cine´tica
v21f + v
2
2f
= v21i
Momento linear
~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equac¸a˜o do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f + v
2
2f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m
Energia cine´tica
v21f + v
2
2f
= v21i
Momento linear
~v1i = ~v1f + ~v2f
Quadrando a equac¸a˜o do momento linear
(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i
v21f + v
2
2f
+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 50 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1f v2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =
pi
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1f v2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =
pi
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1f v2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =
pi
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Velocidades finais
m1
m1
m2
m2
v1i
v1f
v2i=0
v2f
b θ1
θ2
y
x
θ1 θ2
v1f v2f
v1i
2(~v1f · ~v2f ) = 0
2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0
θ1 + θ2 =
pi
2
v1f = v1i cos(θ1)
v2f = v1i sen(θ1)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 51 / 88
Caso geral
Energia cine´tica
1
2
m1v
2
1f
+
1
2
m2v
2
2f
=
1
2
m1v
2
1i
⇒ m1v21f + m2v22f = m1v21i
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =
m1
m2
(~v1i − ~v1f )
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2~v1i · ~v1f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cine´tica
1
2
m1v
2
1f
+
1
2
m2v
2
2f
=
1
2
m1v
2
1i
⇒ m1v21f + m2v22f = m1v21i
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =
m1
m2
(~v1i − ~v1f )
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2~v1i · ~v1f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cine´tica
1
2
m1v
2
1f
+
1
2
m2v
2
2f
=
1
2
m1v
2
1i
⇒ m1v21f + m2v22f = m1v21i
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =
m1
m2
(~v1i − ~v1f )
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2~v1i · ~v1f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
Energia cine´tica
1
2
m1v
2
1f
+
1
2
m2v
2
2f
=
1
2
m1v
2
1i
⇒ m1v21f + m2v22f = m1v21i
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
Momento linear
m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =
m1
m2
(~v1i − ~v1f )
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2~v1i · ~v1f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88
Caso geral
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
m1
m2
(
v21i − v21f
)
=
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
(
m1
m2
− 1
)
v21i +
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i v1f cosθ1 = 0
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
m1
m2
(
v21i − v21f
)
=
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
(
m1
m2
− 1
)
v21i +
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i v1f cosθ1 = 0
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
m1
m2
(
v21i − v21f
)
=
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
(
m1
m2
− 1
)
v21i +
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i v1f cosθ1 = 0
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
v22f =
m1
m2
(
v21i − v21f
)
v22f =
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
m1
m2
(
v21i − v21f
)
=
(
m1
m2
)2 (
v21i + v
2
1f
− 2v1i v1f cosθ1
)
(
m1
m2
− 1
)
v21i +
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i v1f cosθ1 = 0
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 53 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
Mo´dulo de v1f - so´ ra´ızes reais e > 0
4
(
m1
m2
)2
v21i cos
2θ1 − 4
[(
m1
m2
)2
− 1
]
v21i ≥ 0
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
Mo´dulo de v1f - so´ ra´ızes reais e > 0
4
(
m1
m2
)2
v21i cos
2θ1 − 4
[(
m1
m2
)2
− 1
]
v21i ≥ 0
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
Mo´dulo de v1f - so´ ra´ızes reais e > 0
4
(
m1
m2
)2
v21i cos
2θ1 − 4
[(
m1
m2
)2
− 1
]
v21i ≥ 0
4v21i
[(
m1
m2
)2cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
Mo´dulo de v1f - so´ ra´ızes reais e > 0
4
(
m1
m2
)2
v21i cos
2θ1 − 4
[(
m1
m2
)2
− 1
]
v21i ≥ 0
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 54 / 88
Caso geral
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
(
m1
m2
)2 (
cos2θ1 − 1
)
+ 1 ≥ 0
1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
(
m1
m2
)2 (
cos2θ1 − 1
)
+ 1 ≥ 0
1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
4v21i
[(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
]
≥ 0
(
m1
m2
)2 (
cos2θ1 − 1
)
+ 1 ≥ 0
1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 55 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
v1f =
m1
m2
v1i cosθ1
m1
m2
+ 1
±
v1i
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
m1
m2
+ 1
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
v1f =
m1
m2
v1i cosθ1
m1
m2
+ 1
±
v1i
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
m1
m2
+ 1
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
(
m1
m2
+ 1
)
v21f − 2
m1
m2
v1i cosθ1v1f +
(
m1
m2
− 1
)
v21i = 0
v1f =
m1
m2
v1i cosθ1
m1
m2
+ 1
±
v1i
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1
m1
m2
+ 1
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 56 / 88
Caso geral
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condic¸a˜o satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ pi
I √ > cosθ1 ⇒ so´ +
m1 > m2:
m1
m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I √ < cosθ1 ⇒ 2 ra´ızes
I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase na˜o se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condic¸a˜o satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ pi
I √ > cosθ1 ⇒ so´ +
m1 > m2:
m1
m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I √ < cosθ1 ⇒ 2 ra´ızes
I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase na˜o se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condic¸a˜o satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ pi
I √ > cosθ1 ⇒ so´ +
m1 > m2:
m1
m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I √ < cosθ1 ⇒ 2 ra´ızes
I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase na˜o se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Caso geral
v1f =
m1v1i
m1 + m2
cosθ1 ± m2
m1
√(
m1
m2
)2
cos2θ1 −
(
m1
m2
)2
+ 1

1−
(
m1
m2
)2
(sen)2θ1 ≥ 0
m2 > m1: condic¸a˜o satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ pi
I √ > cosθ1 ⇒ so´ +
m1 > m2:
m1
m2
senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1
I √ < cosθ1 ⇒ 2 ra´ızes
I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase na˜o se desvia
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 57 / 88
Coliso˜es inela´sticas bidimensionais
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Condic¸o˜es iniciais: m1 → m1~v1 e m2 → v2 = 0
Condic¸o˜es finais: m3 → m3~v3 e m4 → m4~v4
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 58 / 88
Equac¸o˜es
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservac¸a˜o do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cine´tica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoe´rgico)
I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoe´rgico)
Paraˆmetros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equac¸o˜es
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservac¸a˜o do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cine´tica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoe´rgico)
I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoe´rgico)
Paraˆmetros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equac¸o˜es
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservac¸a˜o do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cine´tica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoe´rgico)
I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoe´rgico)
Paraˆmetros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equac¸o˜es
m1
m3
m2
m4
v1
v3
v2=0
v4
θ3
θ4
y
x
Conservac¸a˜o do momento linear
~p1 = ~p3 + ~p4
m1~v1 = m3~v3 + m4~v4
Energia cine´tica
Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0
I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoe´rgico)
I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoe´rgico)
Paraˆmetros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 59 / 88
Equac¸o˜es
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p
2
1 + p
2
3 − 2p1p3 cosθ3
Relac¸a˜o energia cine´tica - momento linear
T =
1
2
mv2 =
p2
2m
⇒ p =
√
2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2
√
2m1T1
√
2m3T3 cosθ3
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equac¸o˜es
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p
2
1 + p
2
3 − 2p1p3 cosθ3
Relac¸a˜o energia cine´tica - momento linear
T =
1
2
mv2 =
p2
2m
⇒ p =
√
2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2
√
2m1T1
√
2m3T3 cosθ3
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equac¸o˜es
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p
2
1 + p
2
3 − 2p1p3 cosθ3
Relac¸a˜o energia cine´tica - momento linear
T =
1
2
mv2 =
p2
2m
⇒ p =
√
2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2
√
2m1T1
√
2m3T3 cosθ3
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equac¸o˜es
~p4 = ~p1 − ~p3
p24 = p
2
1 + p
2
3 − 2p1p3 cosθ3
Relac¸a˜o energia cine´tica - momento linear
T =
1
2
mv2 =
p2
2m
⇒ p =
√
2mT
2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2
√
2m1T1
√
2m3T3 cosθ3
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 60 / 88
Equac¸o˜es
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3 − T1
Q =
(
1 +
m3
m4
)
T3 −
(
1− m1
m4
)
T1 − 2
√
m1
m4
m3
m4
T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Equac¸o˜es
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3 − T1
Q =
(
1 +
m3
m4
)
T3 −
(
1− m1
m4
)
T1 − 2
√
m1
m4
m3
m4
T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Equac¸o˜es
T4 =
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3
Q = T3 + T4 − T1
Q = T3 +
m1
m4
T1 +
m3
m4
T3 − 2
√
m1
m4
T1
√
m3
m4
T3 cosθ3 − T1
Q =
(
1 +
m3
m4
)
T3 −
(
1− m1
m4
)
T1 − 2
√
m1
m4
m3
m4
T1T3 cosθ3
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 61 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massavaria´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 62 / 88
Posic¸a˜o do centro de massa
m1
m2
y
x
r1
r2
rCM
r1'
r2'
Vetor posic¸a˜o do centro de massa
~rCM =
m1~r1 + m2~r2
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 63 / 88
Posic¸o˜es relativas
m1
m2
y
x
r1
r2
rCM
r1'
r2'
Vetor posic¸a˜o relativa ao centro de massa do corpo de massa m1
~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 − m1~r1
m1 + m2
− m2~r2
m1 + m2
=
m2~r1 −m2~r2
m1 + m2
=
m2 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
Vetor posic¸a˜o relativa ao centro de massa do corpo de massa m2
~r ′2 = ~r2 − ~rCM = m1~r2 −m1~r1
m1 + m2
= −m1 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
= −m1
m2
~r ′1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 64 / 88
Posic¸o˜es relativas
m1
m2
y
x
r1
r2
rCM
r1'
r2'
Vetor posic¸a˜o relativa ao centro de massa do corpo de massa m1
~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 − m1~r1
m1 + m2
− m2~r2
m1 + m2
=
m2~r1 −m2~r2
m1 + m2
=
m2 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
Vetor posic¸a˜o relativa ao centro de massa do corpo de massa m2
~r ′2 = ~r2 − ~rCM = m1~r2 −m1~r1
m1 + m2
= −m1 (~r1 − ~r2)
m1 + m2
= −m1
m2
~r ′1
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 64 / 88
Centro do movimento
Combinando
~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2~r ′2 = 0
m1
d~r ′1
dt
+ m2
d~r ′2
dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e´ o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Centro do movimento
Combinando
~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2~r ′2 = 0
m1
d~r ′1
dt
+ m2
d~r ′2
dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e´ o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Centro do movimento
Combinando
~r ′2 = −m1
m2
~r ′1
m1~r ′1 + m2~r ′2 = 0
m1
d~r ′1
dt
+ m2
d~r ′2
dt
= ~p′1 + ~p′2 = 0
I O CM e´ o centro do movimento
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 65 / 88
Colisa˜o bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i + ~p
′
2i = 0
Conservac¸a˜o do momento linear ⇒
momento linear final
~p′1f + ~p
′
2f = 0
~p′1f = −~p′2f
I Mesma direc¸a˜o, mas sentidos inversos
θ′1 + θ
′
2 = pi
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Colisa˜o bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i + ~p
′
2i = 0
Conservac¸a˜o do momento linear ⇒
momento linear final
~p′1f + ~p
′
2f = 0
~p′1f = −~p′2f
I Mesma direc¸a˜o, mas sentidos inversos
θ′1 + θ
′
2 = pi
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Colisa˜o bidimensional no referencial do CM
p’1i
p’2i
p’1f
p’2f
θ’1
θ’2
Momento linear inicial
~p′1i + ~p
′
2i = 0
Conservac¸a˜o do momento linear ⇒
momento linear final
~p′1f + ~p
′
2f = 0
~p′1f = −~p′2f
I Mesma direc¸a˜o, mas sentidos inversos
θ′1 + θ
′
2 = pi
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 66 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 67 / 88
Foguete
Propulsa˜o de um foguete
I Foguete se deslocando no espac¸o:
∑ ~Fext = 0
v
m
t
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combust´ıvel com relac¸a˜o ao foguete
I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a` queima do combust´ıvel
I Velocidade do combust´ıvel com relac¸a˜o ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsa˜o de um foguete
I Foguete se deslocando no espac¸o:
∑ ~Fext = 0
v
m
t
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combust´ıvel com relac¸a˜o ao foguete
I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a` queima do combust´ıvel
I Velocidade do combust´ıvel com relac¸a˜o ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsa˜o de um foguete
I Foguete se deslocando no espac¸o:
∑ ~Fext = 0
v
m
t
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combust´ıvel com relac¸a˜o ao foguete
I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a` queima do combust´ıvel
I Velocidade do combust´ıvel com relac¸a˜o ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Foguete
Propulsa˜o de um foguete
I Foguete se deslocando no espac¸o:
∑ ~Fext = 0
v
m
t
x
y
v + dv
m + dm
t + dt
vc
-dm
I vc - velocidade de escape do combust´ıvel com relac¸a˜o ao foguete
I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a` queima do combust´ıvel
I Velocidade do combust´ıvel com relac¸a˜o ao referencial
vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 68 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Acelerac¸a˜o
Conservac¸a˜o do momento linear
mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)
mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm
mdv = −vcdm
m
dv
dt
= F = −vc dm
dt
I F - forc¸a de propulsa˜o
a = −vc
m
dm
dt
a > 0, vc > 0 e
dm
dt < 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 69 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massa
final. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vc dm
m
∫ vf
vi
dv = −vc
∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(
mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(
mi
mf
)
I mi
mf
= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf
= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massa
final. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vc dm
m∫ vf
vi
dv = −vc
∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(
mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(
mi
mf
)
I mi
mf
= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf
= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massa
final. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vc dm
m∫ vf
vidv = −vc
∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(
mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(
mi
mf
)
I mi
mf
= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf
= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massa
final. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vc dm
m∫ vf
vi
dv = −vc
∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(
mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(
mi
mf
)
I mi
mf
= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf
= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Velocidade final
Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massa
final. Qual a velocidade final vf ?
dv = −vc dm
m∫ vf
vi
dv = −vc
∫ mf
mi
dm
m
vf − vi = −vc ln
(
mf
mi
)
vf = vi + vc ln
(
mi
mf
)
I mi
mf
= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc
I mi
mf
= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 70 / 88
Suma´rio
1 Momento linear
2 Conservac¸a˜o do momento linear
3 Centro de massa
4 Coliso˜es
5 Coliso˜es unidimensionais
6 Casos particulares
7 Coliso˜es bidimensionais
8 Colisa˜o no referencial do centro de massa
9 Sistemas com massa varia´vel
10 Exerc´ıcios
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 71 / 88
Exerc´ıcio 1
Suponha que voceˆ jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma
parede. Ela colide com a parede quando esta´ se movendo horizontalmente
da direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da
esquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forc¸a
resultante sobre a bola durante sua colisa˜o com a parede. (b) Sabendo
que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a
forc¸a horizontal me´dia que a parede exerce sobre a bola durante a colisa˜o.
R: ~J = 20ıˆ kg m/s. Fmed = 2000 N.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 72 / 88
Exerc´ıcio 1
Suponha que voceˆ jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma
parede. Ela colide com a parede quando esta´ se movendo horizontalmente
da direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da
esquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forc¸a
resultante sobre a bola durante sua colisa˜o com a parede. (b) Sabendo
que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a
forc¸a horizontal me´dia que a parede exerce sobre a bola durante a colisa˜o.
R: ~J = 20ıˆ kg m/s. Fmed = 2000 N.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 72 / 88
Exerc´ıcio 2
A massa de uma bola de futebol e´ igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela se
desloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e´ chutada
deslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, com
mo´dulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forc¸a resultante e a forc¸a
resultante me´dia, supondo um intervalo de tempo da colisa˜o
∆t = 0, 010 s.
R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 73 / 88
Exerc´ıcio 2
A massa de uma bola de futebol e´ igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela se
desloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e´ chutada
deslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, com
mo´dulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forc¸a resultante e a forc¸a
resultante me´dia, supondo um intervalo de tempo da colisa˜o
∆t = 0, 010 s.
R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 73 / 88
Exerc´ıcio 3
Um canha˜o de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kg
na horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relac¸a˜o ao canha˜o, que
recua (sem atrito) com uma velocidade V em relac¸a˜o a` Terra. (a) Qual o
valor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relac¸a˜o a` Terra
vT ?
R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 74 / 88
Exerc´ıcio 3
Um canha˜o de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kg
na horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relac¸a˜o ao canha˜o, que
recua (sem atrito) com uma velocidade V em relac¸a˜o a` Terra. (a) Qual o
valor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relac¸a˜o a` Terra
vT ?
R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 74 / 88
Exerc´ıcio 4
Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sa˜o afastados e
depois liberados sem velocidade inicial. Qual e´ a frac¸a˜o da energia cine´tica
total em cada bloco depois que eles sa˜o liberados?
m1 m2
R: f1 =
m2
m1 + m2
e f2 =
m1
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 75 / 88
Exerc´ıcio 4
Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superf´ıcie
horizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sa˜o afastados e
depois liberados sem velocidade inicial. Qual e´ a frac¸a˜o da energia cine´tica
total em cada bloco depois que eles sa˜o liberados?
m1 m2
R: f1 =
m2
m1 + m2
e f2 =
m1
m1 + m2
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 75 / 88
Exerc´ıcio 5
Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente em
repouso em um piso sem atrito, quebrando-se em treˆs pedac¸os, que sa˜o
arremessados horizontalmente. A figura mostra os pedac¸os vistos de cima.
O pedac¸o C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual a
velocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade do
fragmento A?
A
B
C vCvA
vB
100o
130o
R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 76 / 88
Exerc´ıcio 5
Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente em
repouso em um piso sem atrito, quebrando-se em treˆs pedac¸os, que sa˜o
arremessados horizontalmente. A figura mostra os pedac¸os vistos de cima.
O pedac¸o C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual a
velocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade do
fragmento A?
A
B
C vCvA
vB
100o
130o
R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/s
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 76 / 88
Exerc´ıcio 6
Treˆs part´ıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg
situadas nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado a = 140 cm. Qual
a localizac¸a˜o do centro de massa do sistema?
R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 77 / 88
Exerc´ıcio 6
Treˆs part´ıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kg
situadas nos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado a = 140 cm. Qual
a localizac¸a˜o do centro de massa do sistema?
R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 77 / 88
Exerc´ıcio 7
A figura mostra uma placa meta´lica circular de raio 2R da qual foi
removido um disco de raio R. Qual a posic¸a˜o do centro de massa do
sistema?
y
x
2RR
R: xCM =
R
3 e yCM = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 78 / 88
Exerc´ıcio 7
A figura mostra uma placa meta´lica circular de raio 2R da qual foi
removido um disco de raio R. Qual a posic¸a˜o do centro de massa do
sistema?
y
x
2RR
R: xCM =
R
3 e yCM = 0
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 78 / 88
Exerc´ıcio 8
Voceˆ precisa pendurar uma placa homogeˆnea de massa M por um u´nico
fio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura. O lado de
dimensa˜o a deve ficar paralelo ao solo. A que distaˆncia da extremidade
esquerda da placa voceˆ deve fixar o fio?
a
b
R: xCM =
2
3a
V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - F´ısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 79 / 88
Exerc´ıcio 8
Voceˆ precisa pendurar uma placa homogeˆnea de massa M por um u´nico
fio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura.