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Funções Vetoriais - Seções 13.1-4
Cálculo II - ECT 1202
Escola de Ciências e Tecnologia
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Fevereiro 2011
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 1 / 72
Relembrando ...
Definição
Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D
exatamente a um elemento f (x), em um conjunto E. Em geral consideramos D
e E ⊆ R.
Diagrama de flechas Gráfico de uma função real
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 2 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Definição
Uma função vetorial~F de uma variável real t, é uma função cujo domínio é
um subconjunto de R e cuja a imagem é um conjunto de vetores (do R3).
Notação para~F(t)
Uma função vetorial~F(t) pode ser escrita como:
~F(t) = 〈f (t),g(t),h(t)〉= f (t)~i+g(t)~j+h(t)~k
As funções f (t), g(t) e h(t) são chamadas de funções componentes.
Domínio de~F(t)
O domínio de~F(t) é o maior subconjunto de R no qual todas funções
componentes estão definidas.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 3 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 1
Se~F(t) = 〈t3, ln(3− t),√t〉, determine suas funções componentes e o
domínio de~F(t).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 4 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 1
Se~F(t) = 〈t3, ln(3− t),√t〉, determine suas funções componentes e o
domínio de~F(t).
Solução
f (t) = t3 g(t) = ln(3− t) h(t) =√t
t3 está definida ∀t ∈ R,
ln(x) está definida para x> 0 =⇒ 3− t > 0 =⇒ t < 3,√
t está definida para t ≥ 0,
as três funções estão definidas no intervalo [0,3), portanto esse é o
domínio de~F(t).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 5 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Definição de Limite
Se~F(t) = 〈f (t),g(t),h(t)〉, então
lim
t→a
~F(t) = 〈lim
t→a f (t), limt→ag(t), limt→ah(t)〉
desde que o limite das funções componentes existam.
Propriedades do limite
Sejam~u e~v funções vetoriais e c uma constante, tem-se que:
a) limt→a[~u(t)+~v(t)] = limt→a~u(t)+ limt→a~v(t)
b) limt→a c~u(t) = c limt→a~u(t)
c) limt→a[~u(t) ·~v(t)] = limt→a~u(t) · limt→a~v(t)
d) limt→a[~u(t)×~v(t)] = limt→a~u(t)× limt→a~v(t)
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 6 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 2
Determine limt→0~F(t) onde~F(t) = 〈1+ t3, te−t, sin(t)t 〉.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 7 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 2
Determine limt→0~F(t) onde~F(t) = 〈1+ t3, te−t, sin(t)t 〉.
Solução
Pela definição temos que, se o limite existir:
lim
t→0
~F(t) = 〈lim
t→0
(1+ t3), lim
t→0
te−t, lim
t→0
sin(t)
t
〉
Lembrando que limt→0
sin(t)
t = 1, limite trigonométrico fundamental,
lim
t→0
~F(t) = 〈1,0,1〉=~i+~k
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 8 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Continuidade
Lembre-se que uma função do tipo y= f (x) se diz contínua em a se
lim
x→a f (x) = f (a)
Função contínua Função descontínua
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 9 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Continuidade para uma função vetorial
Uma função vetorial~F(t) é contínua em a se
lim
t→a
~F(t) =~F(a)
i.e,
~F(t) deve estar definida em t = a
deve existir limt→a~F(t) =~L
~L=~F(a)
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 10 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 3
Verifique se a seguinte função vetorial é contínua no ponto t = 0:
~F(t) =
{ 〈1,0,2〉 se t = 0
〈 sin(t)t , 1−cos(t)t , t+1〉 se t 6= 0
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 11 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 3
Verifique se a seguinte função vetorial é contínua no ponto t = 0:
~F(t) =
{ 〈1,0,2〉 se t = 0
〈 sin(t)t , 1−cos(t)t , t+1〉 se t 6= 0
Solução
~F(0) = 〈1,0,2〉,
~L= limt→0 = 〈limt→0 sin(t)t , limt→0 1−cos(t)t , limt→0(t+1)〉= 〈1,0,1〉,
~L= 〈1,0,1〉 6=~F(0), portanto não é contínua em t = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 12 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Curva espacial
Sejam f , g e h funções contínuas num intervalo I. O conjunto C de todos os
pontos (x,y,z) no espaço onde
x= f (t) y= g(t) z= h(t)
e t varia no intervalo I é chamado curva espacial.
Curva espacial
As equações acima são
denominadas equações
paramétricas, e t é conhecido
como parâmetro. Notação:
~r(t) = 〈f (t),g(t),h(t)〉
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 13 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 4
Descreva a curva definida pelas seguintes funções vetoriais
a) ~r(t) = 〈t−1,2t−3,0〉
b) ~r(t) = 〈cos(t),sin(t),0〉
c) ~r(t) = 〈cos(t),sin(t), t〉
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 14 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 4
Descreva a curva definida pelas seguintes funções vetoriais
a) ~r(t) = 〈t−1,2t−3,0〉
Solução
As equações paramétricas são dadas por:
x= f (t) = t−1 y= g(t) = 2t−3 z= h(t) = 0
Note que: {
t = x+1
t = y+32
=⇒ y= 2x−1 Eq. da reta
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 15 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 4
Descreva a curva definida pelas seguintes funções vetoriais
b) ~r(t) = 〈cos(t),sin(t),0〉
Solução
As equações paramétricas são dadas por:
x= f (t) = cos(t) y= g(t) = sin(t) z= h(t) = 0
Note que: {
x2 = cos2(t)
y2 = sin2(t)
=⇒ x2+ y2 = 1 Eq. da circunferência
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 16 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Exemplo 4
Descreva a curva definida pelas seguintes funções vetoriais
c) ~r(t) = 〈cos(t),sin(t), t〉
Solução
As equações paramétricas são dadas por:
x= f (t) = cos(t) y= g(t) = sin(t) z= h(t) = t
Ainda temos: {
x2 = cos2(t)
y2 = sin2(t)
=⇒ x2+ y2 = 1
Porém à medida que t aumenta a curva x2+ y2 = 1 deixa o plano xy formando
uma hélice. Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 17 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Derivada
Lembre-se que para uma função do tipo y= f (x), a derivada no ponto x= a é
definida como o seguinte limite (se este existir)
f ′(a) = lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
Derivada em x= a
Função derivada
f ′(x) = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 18 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Derivada de uma função vetorial
A derivada~r′(t) de uma função vetorial é definida como:
d~r
dt
=~r′(t) = lim
h→0
~r(t+h)−~r(t)
h
se este limite existir. A quantidade~r′(t) representa geometricamente o vetor
tangente à curva~r(t) para um dado t.
Vetor Secante Vetor Tangente
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 19 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Vetor tangente unitário
O vetor tangente unitário é definido da seguinte forma:
~T(t) =
~r′(t)
‖~r′(t)‖
Teorema
Se~r(t) = 〈f (t),g(t),h(t)〉= f (t)~i+g(t)~j+h(t)~k, onde f , g e h são funções
diferenciáveis, então:
~r′(t) = f ′(t)~i+g′(t)~j+h′(t)~k .
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 20 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 5
a) Determine a derivada de~r(t) = (1+ t3)~i+ te−t~j+ sin(2t)~k.
b) Encontre o vetor tangente unitário no ponto t = 0.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 21 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 5
Solução
a) Determine a derivada de~r(t) = (1+ t3)~i+ te−t~j+ sin(2t)~k.
Derivando cada função componente temos:
~r′(t) = (3t2)~i+(1− t)e−t~j+2cos(2t)~k
b) Encontre o vetor tangente unitário no ponto t = 0.
Do ítem a) temos:
~r′(0) =~j+2~k ‖~r′(0)‖=
√
5 =⇒ ~T(0) = 1√
5
~j+
2√
5
~k
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 22 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 6
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com
equações paramétricas:
x= 2cos(t) y= sin(t) z= t
no ponto (0,1,pi/2).
Relembrando ...
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 23 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 6
Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com
equações paramétricas:
Solução
A hélice é dada por~r(t) = 〈2cos(t),sin(t), t〉. O vetor tangente à hélice é:
~r′(t) = 〈−2sin(t),cos(t),1〉
O ponto (0,1,pi/2) corresponde a t = pi/2, i.e,~r′(pi/2) = 〈−2,0,1〉
~r(t) =~r(pi/2)+ t~v= 〈−2t,1, t+pi/2〉
logo:
x=−2t y= 1 z=pi
2
+ t.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 24 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Teorema
Suponha que~u e~v sejam funções vetoriais diferenciáveis, c, um escalar e f ,
uma função real. Então
1 ddt [~u(t)+~v(t)] =~u
′(t)+~v′(t)
2 ddt [c~u(t)] = c~u
′(t)
3 ddt [f (t)~u(t)] = f
′(t)~u(t)+ f (t)~u′(t)
4 ddt [~u(t) ·~v(t)] =~u′(t) ·~v(t)+~u(t) ·~v′(t)
5 ddt [~u(t)×~v(t)] =~u′(t)×~v(t)+~u(t)×~v′(t)
6 ddt [~u(f (t))] = f
′(t)~u′(f (t))
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 25 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 7
Mostre que, se ‖~r(t)‖= c (uma constante), então~r′(t) é ortogonal a~r(t) para
todo t.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 26 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 7
Mostre que, se ‖~r(t)‖= c (uma constante), então~r′(t) é ortogonal a~r(t) para
todo t.
solução
Note que:
~r(t) ·~r(t) = ‖~r(t)‖2 = c2
Da fórmula 4 do teorema anterior temos que:
0=
d
dt
[~r(t) ·~r(t)] =~r′(t) ·~r(t)+~r(t) ·~r′(t) = 2~r′(t) ·~r(t)
De onde temos ~r′(t) ·~r(t) = 0 para todo t, o que implica que~r′(t) é ortogonal
a~r(t).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 27 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Integral
A integral definida de uma função vetorial~r(t) é definida como a integral das
suas funções componentes.
∫ b
a
~r(t)dt =
(∫ b
a
f (t)dt
)
~i+
(∫ b
a
g(t)dt
)
~j+
(∫ b
a
h(t)dt
)
~k
A integral indefinida é definida como
∫
~r(t)dt =
(∫
f (t)dt
)
~i+
(∫
g(t)dt
)
~j+
(∫
h(t)dt
)
~k+~C
onde ~C é um vetor constante de integração.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 28 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 8
Calcule a integral indefinida da seguinte função vetorial:
~r(t) = 〈2cos(t),sin(t),2t〉
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 29 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 8
Calcule a integral indefinida da seguinte função vetorial:
~r(t) = 〈2cos(t),sin(t),2t〉
Solução∫
2cos(t)dt = 2sin(t)
∫
sin(t)dt =−cos(t)
∫
2tdt = t2
Logo: ∫
~r(t)dt = 2sin(t)~i− cos(t)~j+ t2~k+~C
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 30 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 9
Encontre~r(t) se~r′(t) = 〈2t,et, ln(t)〉 e~r(1) =~i−~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 31 / 72
Derivadas e integrais de funções vetoriais
Exemplo 9
Encontre~r(t) se~r′(t) = 〈2t,et, ln(t)〉 e~r(1) =~i−~k.
Solução ∫
2tdt = t2
∫
etdt = et
∫
ln(t)dt = t ln(t)− t
Assim temos que:
~r(t) = t2~i+ et~j+(t ln(t)− t)~k+~C
Mas~r(1) =~i−~k, logo:
~r(t) = t2~i+(et− e)~j+(t ln(t)− t)~k
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 32 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Comprimento de arco
Considere a seguinte curva espacial~r(t) = 〈f (t),g(t),h(t)〉, a≤ t ≤ b, o que é
equivalente às equações paramétricas x= f (t), y= g(t) e z= h(t), onde f ′, g′
e h′ são funções contínuas. Nessas condições o comprimento de arco L, da
curva em questão, é definido como:
L =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2+[g′(t)]2+[h′(t)]2dt
=
∫ b
a
√(dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(dz
dt
)2
dt
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 33 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Comprimento de arco
Note que escrevendo~r(t) = 〈x,y,z〉 na sua forma paramétrica, sua derivada é
dada por:
~r′(t) =
dx
dt
~i+
dy
dt
~j+
dz
dt
~k
A norma do vetor tangente é dada por:
‖~r′(t)‖=
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
Assim podemos reescrever o comprimento de arco como:
L=
∫ b
a
‖~r′(t)‖dt
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 34 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 10
Determine o comprimento de arco da hélice circular de equação
~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k do ponto (1,0,0) até o ponto (1,0,2pi).
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 35 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 10
Determine o comprimento de arco da hélice circular de equação
~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k do ponto (1,0,0) até o ponto (1,0,2pi).
Solução
Note que~r′(t) =−sin(t)~i+ cos(t)~j+~k, assim:
‖~r′(t)‖=
√
sin2(t)+ cos2(t)+1=
√
2
Note ainda que o ponto (1,0,0) corresponde a t = 0 e (1,0,2pi) a t = 2pi, logo:
L=
∫ 2pi
0
√
2dt = 2pi
√
2
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 36 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Reparametrização
Considere a hélice do exemplo anterior. Façamos a seguinte substituição
t = 4u, dessa forma~r(u) = cos(4u)~i+ sin(4u)~j+4u~k. Calculemos então o
comprimento de acro:
~r′(u) =−4sin(t)~i+4cos(t)~j+4~k =⇒ ‖~r′(u)‖= 4
√
2
Logo:
L=
∫ pi/2
0
4
√
2dt = 2pi
√
2
Ou seja, o comprimento de arco não muda se mudarmos o parâmetro da
curva.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 37 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Reparametrização
A forma mais natural de (re)parametrizar uma curva é através do comprimento
de arco. Para isso vamos definir a função comprimento de arco s(t).
Definição
Suponha que~r(t) = f (t)~i+g(t)~j+h(t)~k, a≤ t ≤ b, e que~r′(t) seja contínua.
A função comprimento de arco s(t) é definida por:
s(t) =
∫ t
a
‖~r′(u)‖du=
∫ t
a
√(
dx
du
)2
+
(
dy
du
)2
+
(
dz
du
)2
du
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 38 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Reparametrização
Uma vez determinada s(t), podemos (em tese) inverter essa relação, i.e,
escrever t(s), e substituição na expressão que define a curva vetorial~r. Assim
ficamos com:
~r(t(s)) =~r(s)
Derivada da função comprimento de arco
Do Teorema fundamental do cálculo temos que:
d
dt
s(t) =
d
dt
∫ t
a
‖~r′(u)‖du= ‖~r′(t)‖
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 39 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo11
Reparametrize a hélice circular~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k, utilizando o
comprimento de arco a partir do ponto (1,0,0).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 40 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo11
Reparametrize a hélice circular~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k, utilizando o
comprimento de arco a partir do ponto (1,0,0).
Solução
Já sabemos que ‖~r′(t)‖=√2, assim:
s(t) =
∫ t
0
√
2du=
√
2t
Ou seja:
t(s) =
s√
2
=⇒ ~r(s) = cos( s√
2
)~i+ sin(
s√
2
)~j+
s√
2
~k
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 41 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo12
Mostre que se~r está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor
tangente unitário é dado por~T(s) = d~r(s)ds . Verifique esse fato para a hélice do
Exemplo 11.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 42 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo12
Mostre que se~r está parametrizada pelo comprimento de arco, então o vetor
tangente unitário é dado por~T(s) = d~r(s)ds . Verifique esse fato para a hélice do
Exemplo 11.
Solução
Note que:
d~r(s)
ds
=
d~r
dt
dt
ds
=
d~r
dt
ds
dt
=
~r′(t)
‖~r′(t)‖ =
~T
No Exemplo 11,~r(s) = cos( s√
2
)~i+ sin( s√
2
)~j+ s√
2
~k logo:
d~r(s)
ds
=
−sin( s√
2
)
√
2
~i+
cos( s√
2
)
√
2
~j+
1√
2
~k =⇒ ‖d~r(s)
ds
‖= 1
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 43 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Curvatura
Considere as seguintes funções vetoriais~r1(t) =~r(t0)+ t~V e
~r2(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k, onde ~V é um vetor constante. Os respectivos
vetores tangentes unitários são dados por:
~T1(t) =
~r′1(t)
‖~r′1(t)‖
=
~V
‖~V‖
~T2(t) =
~r′2(t)
‖~r′2(t)‖
= 〈−sin(t)√
2
,
cos(t)√
2
,
1√
2
〉
Note que:
~T1(t) não muda de direção à medidada que t aumenta, uma vez que ~V é
um vetor constante
~T2(t) muda sua direção se curvando juntamente com a hélice
Podemos perceber que se uma curva muda de direção em um ponto, então
também muda de direção seu vetor tangente unitário.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 44 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Curvatura
Uma forma de medir como uma curva está se dobrando ou curvando é então
verificar como o vetor tangente unitário varia ao longo do comprimento s da
curva. Como base neste argumento definimos a curvatura de uma curva como
a seguinte taxa:
κ(s) = ‖d
~T(s)
ds
‖
Pela regra da cadeia tem-se que ‖d~Tds ‖= ‖d
~T
dt
dt
ds‖=
‖ d~Tdt ‖
‖ dsdt ‖
= ‖
~T ′(t)‖
‖~r′(t)‖ .
Assim a curvatura é dada por:
κ(t) =
‖~T ′(t)‖
‖~r′(t)‖
Leonardo Mafra (ECT-UFRN)Fevereiro 2011 45 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 13
Mostre que a curvatura de um círculo de raio a é 1/a.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 46 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 13
Mostre que a curvatura de um círculo de raio a é 1/a.
Solução
A parametrização de um círculo de raio a é:
x= acos(t) y= asin(t)
De forma que~r(t) = acos(t)~i+asin(t)~j. Logo:
~r′(t) =−asin(t)~i+acos(t)~j ‖~r′(t)‖= a =⇒ ~T(t) =−sin(t)~i+ cos(t)~j
Assim~T ′(t) =−cos(t)~i− sin(t)~j, ‖~T ′(t)‖= 1 e a curvatura fica dada por:
κ(t) =
1
a
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 47 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Teorema
Seja~r(t) uma curva diferenciável regular. A curvatura de uma curva dada pela
função vetorial~r(t) é:
κ(t) =
‖~r′(t)×~r′′(t)‖
‖~r′(t)‖3
Para o caso especial de uma curva plana dada por y= f (x), escolhemos x
como parâmetro e escrevemos~r(x) = x~i+ f (x)~j. De forma que
~r′(x) =~i+ f ′(x)~j,~r′′(x) = f ′′(x)~j e ‖~r′(x)‖=
√
1+[f ′(x)]2. Logo:
κ(x) =
|f ′′(x)|
{1+[f ′(x)]2} 32
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 48 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 14
Determine a curvatura de~r(t) = 〈t, t2, t3〉 para um ponto genérico e para o
ponto (0,0,0).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 49 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 14
Determine a curvatura de~r(t) = 〈t, t2, t3〉 para um ponto genérico e para o
ponto (0,0,0).
Solução
~r′(t) = 〈1,2t,3t2〉
~r′′(t) = 〈0,2,6t〉
‖~r′(t)‖=
√
1+4t2+9t4
~r′(t)×~r′′(t) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 2t 3t2
0 2 6t
∣∣∣∣∣∣= 6t2~i−6t~j+2~k
‖~r′(t)×~r′′(t)‖= 2
√
9t4+9t2+1
κ(t) =
2
√
9t4+9t2+1
(1+4t2+9t4)
3
2
κ(0) = 2
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 50 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 15
Determine a curvatura da parábola y= x2 nos pontos (0,0), (1,1) e (2,4).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 51 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 15
Determine a curvatura da parábola y= x2 nos pontos (0,0), (1,1) e (2,4).
solução
f ′(x) = 2x
f ′′(x) = 2
κ(x) =
2
[1+4x2]
3
2
Assim κ(0) = 2, κ(1) = 253/2 e κ(2) =
2
173/2 .
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 52 / 72
Vetor normal unitário e binormal
Vetor normal unitário
Como o vetor tangente unitário tem norma constante tem-se que:
~T(t) · d
~T(t)
dt
= 0 =⇒ ~T(t)⊥ d
~T(t)
dt
ou seja, d
~T(t)
dt é normal (ortogonal) à~T(t).
Definição
Se~r′(t) for diferenciável, então podemos definir o vetor normal unitário, ~N(t),
como:
~N(t) =
~T ′(t)
‖~T ′(t)‖
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 53 / 72
Vetor normal unitário e binormal
Vetor binormal
Dado dois vetores~A e~B, o produto vetorial ~C =~A×~B define outro vetor
ortogonal à~A e~B ao mesmo tempo. Através de~T(t) e ~N(t), podemos definir
um vetor normal à~T(t) e ~N(t) simultaneamente da seguinte forma:
~B(t) =~T(t)×~N(t)
este vetor é chamado de vetor binormal.
Referencial TNB
Como~T(t) e ~N(t) são
unitários, segue que o vetor
binormal~B(t) também é
unitário.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 54 / 72
Vetor normal unitário e binormal
Exemplo 16
Determine os vetores normal e binormal à hélice circular
~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 55 / 72
Vetor normal unitário e binormal
Exemplo 16
Determine os vetores normal e binormal à hélice circular
~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j+ t~k.
Solução
~r′(t) =−sin(t)~i+ cos(t)~j+~k
‖~r′(t)‖=
√
2
~T(t) =
1√
2
[−sin(t)~i+ cos(t)~j+~k]
~T ′(t) =
1√
2
[−cos(t)~i− sin(t)~j]
‖~T ′(t)‖= 1√
2
~N(t) = 〈−cos(t),−sin(t),0〉
~B(t) =
1√
2
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
−sin(t) cos(t) 1
−cos(t) −sin(t) 0
∣∣∣∣∣∣
=
1√
2
〈sin(t),−cos(t),1〉
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 56 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Velocidade e aceleração
Suponha que~r(t) determine a posição de uma partícula no espaço. Definimos
a velocidade média entre os instante de tempo t e t+h como o seguinte vetor:
~vm(t) =
~r(t+h)−~r(t)
h
.
Definimos o vetor velocidade, ou velocidade instantânea, como:
~v(t) = lim
h→0
~r(t+h)−~r(t)
h
=~r′(t).
Da definição acima vemos que o vetor velocidade é tangente a curva. A norma
do vetor velocidade é chamada de velocidade escalar e é dada por:
‖~v(t)‖= ‖~r′(t)‖= ds
dt
.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 57 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Velocidade e aceleração
A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade, ou seja:
~a(t) =~v′(t) =~r′′(t).
Exemplo 17
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano é dado por
~r(t) = t3~i+ t2~j. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração
do objeto no instante t = 1 e ilustre geometricamente.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 58 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Exemplo 17
O vetor posição de uma partícula se movendo no plano é dado por
~r(t) = t3~i+ t2~j. Determine a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração
do objeto no instante t = 1 e ilustre geometricamente.
Solução
Para um dado instante t temos:
~v(t) =~r′(t) = 3t2~i+2t~j ~a(t) =~r′′(t) = 6t~i+2~j ‖~v(t)‖=
√
9t4+4t2
Quando t = 1 temos:
~v(1) = 3~i+2~j ~a(1) = 6~i+2~j ‖~v(1)‖=
√
13.
Ver figura
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 59 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Exemplo 18
Uma partícula se move a partir de uma posição inicial~r(0) = 〈1,0,0〉 com
velocidade inicial~v(0) =~i−~j+~k. Sua aceleração é dada por
~a(t) = 4t~i+6t~j+~k. Determine sua velociadade e posição no instante t.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 60 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Exemplo 18
Uma partícula se move a partir de uma posição inicial~r(0) = 〈1,0,0〉 com
velocidade inicial~v(0) =~i−~j+~k. Sua aceleração é dada por
~a(t) = 4t~i+6t~j+~k. Determine sua velociadade e posição no instante t.
Solução
~v(t) =
∫
~a(t)dt =
∫
(4t~i+6t~j+~k)dt = 2t2~i+3t2~j+ t~k+~C
Como~v(0) =~i−~j+~k, temos que~v(t) = (2t2+1)~i+(3t2−1)~j+(t+1)~k.
~r(t) =
∫
~v(t)dt =
∫
[(2t2+1)~i+(3t2−1)~j+(t+1)~k]dt
~r(t) = (
2
3
t3+ t)~i+(t3− t)~j+(1
2
t2+ t)~k+~D
Como~r(0) = 〈1,0,0〉, temos que~r(t) = (23 t3+ t+1)~i+(t3− t)~j+(12 t2+ t)~k.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 61 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Componentes normal e tangencial da aceleração
Note que podemos reescrever o vetor velocidade da seguinte forma:
~v(t) = ‖~r′(t)‖~T(t) = ds
dt
~T(t).
Derivando a expressão acima temos:
~a(t) =
d2s
dt2
~T(t)+
ds
dt
~T ′(t)
Mas ‖~T ′(t)‖= κ‖~r′(t)‖, e~T ′(t) = ‖~T ′(t)‖~N(t), assim:
~a(t) =
d2s
dt2
~T(t)+
(
ds
dt
)2
κ~N(t).
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 62 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Componentes normal e tangencial da aceleração
Dessa forma podemos ver que o vetor aceleração pode ser decomposto em
duas componentes, uma tangencial e outra normal:
aT =
d2s
dt2
=
d
dt
‖~r′(t)‖ aN =
(
ds
dt
)2
κ= ‖~r′(t)‖2κ(t) .
Exemplo 19
Uma partícula se move com função posição dada~r(t) = 〈t2, t2, t3〉. Determine
as componentes tangencial e normal da aceleração.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 63 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Exemplo 19
Uma partícula se move com função posição dada~r(t) = 〈t2, t2, t3〉. Determine
as componentes tangencial e normal da aceleração.
Solução
~r′(t) = 〈2t,2t,3t2〉 ~r′′(t) = 〈2,2,6t〉 ‖~r′(t)‖=
√
8t2+9t4
Assim a componente tangencial fica:
aT =
d
dt
‖~r′(t)‖= 8t+18t
3
√
8t2+9t4
.
A componente normal é dada por:
aN = ‖~r′(t)‖2κ(t) = 6
√
2t2√
8t2+9t4
.
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 64 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Gráfico de uma reta
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 65 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Gráfico de uma circunferência
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 66 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Gráfico de uma circunferência
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 67 / 72
Funções vetoriais e curvas espaciais
Equação vetorial da reta
Reta na direção do vetor~v
~r(t) =~r(t0)+ t~v
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN)Fevereiro 2011 68 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Exemplo 10
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 69 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Função comprimento de arco
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 70 / 72
Comprimento de arco e curvatura
Variação do vetor tangente unitário
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 71 / 72
Movimento no espaço: velocidade e aceleração
Velocidade e aceleração em t = 1
Voltar
Leonardo Mafra (ECT-UFRN) Fevereiro 2011 72 / 72