Lista 6

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
6 a Lista - MAT 135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear 2012/II
1. Seja P =
(
−
√
2
2
,−3
√
3
3
,−√2
)
um ponto de IR 3 em coordenadas canoˆnicas. Determine as
coordenadas de P no sistema de coordenadas {O′, u1, u2, u3 } que tem como origem o ponto
O′ =
(√
2,
√
2,
√
2
)
e como base os vetores u1 =
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
, u2 =
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
e
u3 =
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
.
2. Encontre as coordenadas do ponto P = (4, 3,−1) em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas
cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base e´ dada pelos vetores (1, 2,−1), (3, 0, 4)
e (0,−1, 1).
3. Encontre as coordenadas do ponto P = (4, 3,−1) em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas
cuja origem coincide com a origem (0, 0, 0) e cuja base e´ dada pelos vetores ortonormais
u1 =
(√
2
2
,−
√
2
2
, 0
)
, u2 =
(√
6
6
,
√
6
6
,−
√
6
3
)
e u3 =
(√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
)
.
4. Considere o subconjunto de vetores β = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) }.
(a) Mostre que β e´ uma base para IR 3.
(b) Encontre a matriz de mudanc¸a de coordenadas A da base canoˆnica { i, j, k } de IR 3 para
a base β. Qual e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas A′ da base β para a base canoˆnica?
(c) Quais sa˜o as coordenadas dos vetores canoˆnicos i, j e k em relac¸a˜o a` base β?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,−2, 5) no sistema {O, i, j, k }, quais sa˜o as coordenadas
de P no sistema {O, β }?
5. Considere o subconjunto de vetores β = { (1, 1,−2), (1,−1, 0), (1, 1, 1) }.
(a) Mostre que β e´ uma base para IR 3.
(b) Encontre a matriz de mudanc¸a de coordenadas A da base canoˆnica { i, j, k } de IR 3 para
a base β. Qual e´ a matriz de mudanc¸a de coordenadas A′ da base β para a base canoˆnica?
(c) Quais sa˜o as coordenadas dos vetores canoˆnicos i, j e k em relac¸a˜o a` base β?
(d) Se o ponto P tem coordenadas (1,−2, 5) no sistema {O, i, j, k }, quais sa˜o as coordenadas
de P no sistema {O, β }?
1
6. Determine o polinoˆmio caracter´ıstico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
(a)
(
1 1
1 1
)
, (b)
(
3 1
1 3
)
, (c)
(
1 −1
−4 1
)
, (d)
 0 1 20 0 3
0 0 0
 ,
(e)
 1 0 0−1 3 0
3 2 −2
 , (f)
 −1 0 13 0 −3
1 0 −1
 .
7. Determine uma base para cada um dos autoespac¸os associados a cada autovalor encontrado
para as matrizes do exerc´ıcio anterior.
8. Decida se cada uma das matrizes do exerc´ıcio 6 e´ diagonaliza´vel, justificando sua resposta.
Quando for, encontre uma matriz P tal que P −1AP = D.
9. Dada a diagonalizac¸a˜o da matriz A na forma P −1AP = D, explicite os autovalores de A e
bases para os correspondentes autoespac¸os:
(a)
(
2 −1
−1 1
) (
5 −1
2 2
) (
1 1
1 2
)
=
(
4 0
0 3
)
.
(b)

1
8
1
8
1
8
−1
4
3
4
−1
4
5
8
−3
8
3
8

 1 3 32 0 2
3 3 1

 3 0 12 1 0
3 −1 −1
 =
 6 0 00 −2 0
0 0 −2
 .
10. Diagonalize cada matriz dada A por meio de uma matriz ortogonal, ou seja, ache uma matriz
ortogonal P tal que P tAP seja diagonal:
(a)
(
2 2
2 2
)
, (b)
(
2 1
1 2
)
, (c)
 0 0 10 0 0
1 0 0
 .
11. Identificar a coˆnica, achar a equac¸a˜o no u´ltimo sistema de coordenadas utilizado e fazer um
esboc¸o do gra´fico.
(a) 9x2 − 4xy + 6y2 = 30;
(b) 3x2 − 8xy − 12y2 + 81 = 0;
(c) 8x2 + 8y2 − 16xy + 33√2x− 31√2y + 70 = 0.
2
12. Identifique as qua´dricas a seguir.
(a) 2xy + 2xz + 2yz − 6x− 6y − 4z = −9;
(b) 7x2 + 7y2 + 10z2 − 2xy − 4xz + 4yz − 12x+ 12y + 60z = 24;
(c) 2xy − 6x+ 10y + z − 31 = 0
(d) 2x2 + 2y2 + 5z2 − 4xy − 2xz + 2yz + 10x− 26y − 2z = 0.
13. Sabendo que A =
(
0 1
2 1
)
, calcule A 10.
14. Demonstre que se A e B sa˜o semelhantes, enta˜o possuem os mesmos polinoˆmios caracter´ısticos
e, portanto, os mesmos autovalores.
15. Demonstre que se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o os autovalores de A sa˜o os
elementos da diagonal principal de A.
16. Demonstre que A e At possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os
autovetores de A e At ?
17. Seja λ um autovalor de A com autovetor associado v. Demonstre que λk e´ um autovalor de
Ak = A . . . A associado a v, em que k e´ um inteiro positivo.
18. Seja λ um autovalor da matriz na˜o singular A com autovetor associado v. Mostre que
1
λ
e´ um
autovalor de A−1 com autovetor associado v.
3