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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Determinantes
Prof. Ma´rcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acarau´
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Matricial - 2015.2
4 de fevereiro de 2016
1 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Suma´rio
1 Permutac¸o˜es
2 Determinante
3 Casos Particulares
4 Matrizes elementares
2 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Suma´rio
1 Permutac¸o˜es
2 Determinante
3 Casos Particulares
4 Matrizes elementares
3 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, ..., n) e´ uma disposic¸a˜o qualquer
desses nu´meros.
Ex: (3, 2, 1) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3)
Ex: (5, 3, 1, 4, 2) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, 4, 5)
Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, 4, 5, 6)
4 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Podemos reordenar uma permutac¸a˜o de modo a obter a sequeˆncia
natural (1, 2, 3, ..., n) trocando os elementos de posic¸a˜o dois a dois.
Por exemplo, considere a permutac¸a˜o (5, 3, 1, 2, 4).
Vamos realizar trocas de posic¸a˜o entre dois elementos ate´ que
obtenhamos a sequeˆncia (1, 2, 3, 4, 5).
Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4)→ (5, [1], [3], 2, 4);
Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4])→ (5, 1, 3, [4], [2]);
Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2])→ ([2], 1, 3, 4, [5]);
Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5])→ ([1], [2], 3, 4, 5);
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Portanto, foram necessa´rios k = 4 passos para reordenar a
permutac¸a˜o (5, 3, 1, 2, 4). Como k e´ um nu´mero par, dizemos que
a permutac¸a˜o e´ par.
Mesmo que tentemos outro caminho na reordenac¸a˜o, tambe´m
sera´ necessa´rio um nu´mero par de trocas.
Se toma´ssemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutac¸a˜o
ı´mpar.
Da´ı, atribuimos um sinal a` paridade da permutac¸a˜o, o nu´mero
σ(p);
Se uma permutac¸a˜o p e´ par, enta˜o σ(p) = +1;
Se uma permutac¸a˜o p e´ ı´mpar, enta˜o σ(p) = −1;
6 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Suma´rio
1 Permutac¸o˜es
2 Determinante
3 Casos Particulares
4 Matrizes elementares
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Considere uma matriz quadrada de ordem 3× 3
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que
na˜o se repita a coluna.
Por exemplo:
A =
 a11 [a12] a13a21 a22 [a23]
[a31] a32 a33

Assim, ordenando por linha, a sequeˆncia escolhida foi:
(a12, a23, a31)
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Observe o segundo ı´ndice de cada elemento do conjunto
(a12, a23, a31)
Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que e´ uma permutac¸a˜o de
(1, 2, 3)
Tal permutac¸a˜o e´ par pois σ(p) = +1 (duas trocas sa˜o
necessa´rias!);
Consideremos, enta˜o, o produto
σ(p).a12.a23.a31
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Retornando a matriz
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras
possibilidades, como por exemplo:
A =
 [a11] a12 a13a21 [a22] a23
a31 a32 [a33]

(a11, a22, a33), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1
E consideramos o produto σ(p).a11.a22.a33
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Tomando, enta˜o, todas as possibilidades para a matriz A, teremos
os seguintes produtos:
σ(p).a11.a22.a33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1
σ(p).a12.a23.a31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1
σ(p).a13.a21.a32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1
σ(p).a13.a22.a31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = −1
σ(p).a11.a23.a32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = −1
σ(p).a12.a21.a33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = −1
11 / 32
Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Definimos o determinante de A como a soma de todos os
produtos definidos anteriormente, isto e´:
det(A) =
σ(p).a11.a22.a33 + σ(p).a12.a23.a31 + σ(p).a13.a21.a32 +
σ(p).a13.a22.a31 + σ(p).a11.a23.a32 + σ(p).a12.a21.a33
Ou, usando notac¸a˜o de somato´rio,
det(A) =
∑
p
σ(p)a1p1 .a2p2 .a3p3
onde p = (p1, p2, p3) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3).
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
A ideia usada para matrizes de ordem 3× 3 pode ser estendida
para matrizes quadradas de ordem n × n:
det(A) =
∑
p
σ(p)a1p1 .a2p2 . · · · .anpn
onde p = (p1, p2, . . . , pn) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, . . . , n).
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Suma´rio
1 Permutac¸o˜es
2 Determinante
3 Casos Particulares
4 Matrizes elementares
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
A partir da definic¸a˜o, vimos que para o caso de matrizes 2× 2, o
deteminante era a diferenc¸a entre os produtos das diagonais:
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
det(A) = a11.a22 − a12.a21.
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
De modo ana´logo, deduzimos a regra de Sarrus para os
determinantes de matrizes de ordem 3× 3:
A =
 a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32

det(A) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 −
a13.a22.a31 − a11.a23.a32 − a12.a21.a33.
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Qual o determinante da matriz abaixo?
A =

3 1 6 4
1 0 1 −1
0 2 2 1
1 0 0 1

Resposta...
21
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Qual o determinante de uma matriz triangular?
det(A) = a11.a22. · · · .ann
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
O que acontece com o determinante da transposta AT ?
det(AT ) = det(A)
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Observac¸o˜es:
Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem
uma coluna completamente nula. O que se pode
dizer sobre o determinante desta matriz?
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Considere a matriz
A =
1 α 04 5 3
1 0 2

Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se
det(A) = 0?
Neste caso, qual o posto de A?
Ha´ colunas na˜o ba´sicas? Em caso afirmativo, como
se escrevem em termos das colunas ba´sicas?
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Suma´rio
1 Permutac¸o˜es
2 Determinante
3 Casos Particulares
4 Matrizes elementares
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Considere a matriz identidade de ordem n × n
I =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1

Lembrando que as operac¸o˜es elementares sobre as linhas de
uma matriz sa˜o:
1 Permuta de linhas;
2 Multiplicac¸a˜o de linha por escalar;
3 Combinac¸a˜o de linhas;
Uma matriz elementar e´ aquela obtida de I a partir da
aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar sobre as suas linhas
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
O que acontece com o determinante de uma matriz elementar?
1 Mudanc¸a de linha, provoca mudanc¸a no sinal do determinante;
2 Multiplicac¸a˜o de linha por escalar α, significa multiplicar o
deteminante por α
3 Combinac¸a˜o de linhas na˜o altera o determinante.
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o
produto E .A onde E e´ uma matriz elementar?
Considere a matriz A =
 −13 20 1 −3
4 3 1

Considere a matriz E1 =
 0 1 01 0 0
0 0 1

Qual o resultado de E1.A?
E1.A =
 0 1 −3−1 3 2
4 3 1

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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Considerando ainda a matriz A =
 −1 3 20 1 −3
4 3 1
 e as matrizes
elementares
E2 =
 1 0 00 1 0
0 0 3
 , E3 =
 1 1 00 1 0
0 0 1

Qual o resultado de E2.A?
Qual o resultado de E3.A?
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Conclusa˜o:
Aplicar uma operac¸a˜o elementar em uma matriz A
corresponde ao produto
E .A
onde E e´ a matriz elementar correspondente a operac¸a˜o sobre
as linhas de A
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Teorema
Sejam A e B matrizes de ordem n × n. Enta˜o
det(AB) = det(A).det(B)
Da´ı, se realizarmos uma operac¸a˜o elementar em A, estaremos
mudando o determinante de A de acordo com o que vimos
anteriormente para as matrizes elementares.
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Exemplo
Considere a matriz A =
[
3 2
1 1
]
.
Se E1 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida por meio de
permutac¸a˜o entre as linhas de I2, determine E1.A.
Se E2 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida de I2 pela
multiplicac¸a˜o de sua linha 2 por −1
3
, determine a matriz
E2.E1.A.
Se E3 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida de I2 pela substituic¸a˜o
de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz
E3.E2.E1.A.
Qual o determinante da matriz E3.E2.E1.A?
Qual o determinante da matriz A?
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Exemplo
No exemplo anterior, aconteceu o seguinte:
Constru´ımos a matriz T = E3.E2.E1.A onde E3,E2,E1 sa˜o
matrizes elementares!
Veja que T e´ uma matriz triangular, cujo determinante e´
simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal
principal.
Pelo teorema anterior, detT = detE3.detE2.detE1.detA
Ou seja,
detA =
detT
detE3.detE2.detE1
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Generalizando,
detA =
detT
detEk .detEk−1. · · · .detE1
Veja que se ao final do escalonamento, a matriz na˜o tiver
posto ma´ximo, enta˜o o(s) u´ltimo(s) elemento(s) da diagonal
principal e´(sa˜o) nulo(s).
Isso significa que detT = 0 e, consequentemente, detA = 0.
TEOREMA
Se A e´ uma matriz de ordem n × n, enta˜o detA 6= 0 se, e somente
se, posto(A) = n.
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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
Exemplo
Exemplo: Calcular o determinante de A =

1 0 1 −1
3 1 4 2
5 1 0 1
3 1 2 1

Resposta...
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32 / 32
	Permutações
	Determinante
	Casos Particulares
	Matrizes elementares

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