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Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Determinantes Prof. Ma´rcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acarau´ Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matema´tica Disciplina: A´lgebra Matricial - 2015.2 4 de fevereiro de 2016 1 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Suma´rio 1 Permutac¸o˜es 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 2 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Suma´rio 1 Permutac¸o˜es 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 3 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, ..., n) e´ uma disposic¸a˜o qualquer desses nu´meros. Ex: (3, 2, 1) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3) Ex: (5, 3, 1, 4, 2) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3, 4, 5, 6) 4 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Podemos reordenar uma permutac¸a˜o de modo a obter a sequeˆncia natural (1, 2, 3, ..., n) trocando os elementos de posic¸a˜o dois a dois. Por exemplo, considere a permutac¸a˜o (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posic¸a˜o entre dois elementos ate´ que obtenhamos a sequeˆncia (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4)→ (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4])→ (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2])→ ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5])→ ([1], [2], 3, 4, 5); 5 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Portanto, foram necessa´rios k = 4 passos para reordenar a permutac¸a˜o (5, 3, 1, 2, 4). Como k e´ um nu´mero par, dizemos que a permutac¸a˜o e´ par. Mesmo que tentemos outro caminho na reordenac¸a˜o, tambe´m sera´ necessa´rio um nu´mero par de trocas. Se toma´ssemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutac¸a˜o ı´mpar. Da´ı, atribuimos um sinal a` paridade da permutac¸a˜o, o nu´mero σ(p); Se uma permutac¸a˜o p e´ par, enta˜o σ(p) = +1; Se uma permutac¸a˜o p e´ ı´mpar, enta˜o σ(p) = −1; 6 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Suma´rio 1 Permutac¸o˜es 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 7 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Considere uma matriz quadrada de ordem 3× 3 A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que na˜o se repita a coluna. Por exemplo: A = a11 [a12] a13a21 a22 [a23] [a31] a32 a33 Assim, ordenando por linha, a sequeˆncia escolhida foi: (a12, a23, a31) 8 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Observe o segundo ı´ndice de cada elemento do conjunto (a12, a23, a31) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3) Tal permutac¸a˜o e´ par pois σ(p) = +1 (duas trocas sa˜o necessa´rias!); Consideremos, enta˜o, o produto σ(p).a12.a23.a31 9 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Retornando a matriz A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a11] a12 a13a21 [a22] a23 a31 a32 [a33] (a11, a22, a33), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1 E consideramos o produto σ(p).a11.a22.a33 10 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Tomando, enta˜o, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a11.a22.a33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a12.a23.a31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a13.a21.a32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a13.a22.a31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = −1 σ(p).a11.a23.a32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = −1 σ(p).a12.a21.a33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = −1 11 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto e´: det(A) = σ(p).a11.a22.a33 + σ(p).a12.a23.a31 + σ(p).a13.a21.a32 + σ(p).a13.a22.a31 + σ(p).a11.a23.a32 + σ(p).a12.a21.a33 Ou, usando notac¸a˜o de somato´rio, det(A) = ∑ p σ(p)a1p1 .a2p2 .a3p3 onde p = (p1, p2, p3) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, 3). 12 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares A ideia usada para matrizes de ordem 3× 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n × n: det(A) = ∑ p σ(p)a1p1 .a2p2 . · · · .anpn onde p = (p1, p2, . . . , pn) e´ uma permutac¸a˜o de (1, 2, . . . , n). 13 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Suma´rio 1 Permutac¸o˜es 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 14 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares A partir da definic¸a˜o, vimos que para o caso de matrizes 2× 2, o deteminante era a diferenc¸a entre os produtos das diagonais: A = ( a11 a12 a21 a22 ) det(A) = a11.a22 − a12.a21. 15 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares De modo ana´logo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3× 3: A = a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 det(A) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 − a13.a22.a31 − a11.a23.a32 − a12.a21.a33. 16 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Qual o determinante da matriz abaixo? A = 3 1 6 4 1 0 1 −1 0 2 2 1 1 0 0 1 Resposta... 21 17 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Qual o determinante de uma matriz triangular? det(A) = a11.a22. · · · .ann 18 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares O que acontece com o determinante da transposta AT ? det(AT ) = det(A) 19 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Observac¸o˜es: Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz? 20 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Considere a matriz A = 1 α 04 5 3 1 0 2 Para qual (ou quais) valor(es) de α tem-se det(A) = 0? Neste caso, qual o posto de A? Ha´ colunas na˜o ba´sicas? Em caso afirmativo, como se escrevem em termos das colunas ba´sicas? 21 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Suma´rio 1 Permutac¸o˜es 2 Determinante 3 Casos Particulares 4 Matrizes elementares 22 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Considere a matriz identidade de ordem n × n I = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1 Lembrando que as operac¸o˜es elementares sobre as linhas de uma matriz sa˜o: 1 Permuta de linhas; 2 Multiplicac¸a˜o de linha por escalar; 3 Combinac¸a˜o de linhas; Uma matriz elementar e´ aquela obtida de I a partir da aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar sobre as suas linhas 23 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares O que acontece com o determinante de uma matriz elementar? 1 Mudanc¸a de linha, provoca mudanc¸a no sinal do determinante; 2 Multiplicac¸a˜o de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α 3 Combinac¸a˜o de linhas na˜o altera o determinante. 24 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o produto E .A onde E e´ uma matriz elementar? Considere a matriz A = −13 20 1 −3 4 3 1 Considere a matriz E1 = 0 1 01 0 0 0 0 1 Qual o resultado de E1.A? E1.A = 0 1 −3−1 3 2 4 3 1 25 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Considerando ainda a matriz A = −1 3 20 1 −3 4 3 1 e as matrizes elementares E2 = 1 0 00 1 0 0 0 3 , E3 = 1 1 00 1 0 0 0 1 Qual o resultado de E2.A? Qual o resultado de E3.A? 26 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Conclusa˜o: Aplicar uma operac¸a˜o elementar em uma matriz A corresponde ao produto E .A onde E e´ a matriz elementar correspondente a operac¸a˜o sobre as linhas de A 27 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Teorema Sejam A e B matrizes de ordem n × n. Enta˜o det(AB) = det(A).det(B) Da´ı, se realizarmos uma operac¸a˜o elementar em A, estaremos mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares. 28 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Exemplo Considere a matriz A = [ 3 2 1 1 ] . Se E1 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida por meio de permutac¸a˜o entre as linhas de I2, determine E1.A. Se E2 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida de I2 pela multiplicac¸a˜o de sua linha 2 por −1 3 , determine a matriz E2.E1.A. Se E3 e´ a matriz de ordem 2× 2 obtida de I2 pela substituic¸a˜o de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E3.E2.E1.A. Qual o determinante da matriz E3.E2.E1.A? Qual o determinante da matriz A? 29 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Exemplo No exemplo anterior, aconteceu o seguinte: Constru´ımos a matriz T = E3.E2.E1.A onde E3,E2,E1 sa˜o matrizes elementares! Veja que T e´ uma matriz triangular, cujo determinante e´ simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal. Pelo teorema anterior, detT = detE3.detE2.detE1.detA Ou seja, detA = detT detE3.detE2.detE1 30 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Generalizando, detA = detT detEk .detEk−1. · · · .detE1 Veja que se ao final do escalonamento, a matriz na˜o tiver posto ma´ximo, enta˜o o(s) u´ltimo(s) elemento(s) da diagonal principal e´(sa˜o) nulo(s). Isso significa que detT = 0 e, consequentemente, detA = 0. TEOREMA Se A e´ uma matriz de ordem n × n, enta˜o detA 6= 0 se, e somente se, posto(A) = n. 31 / 32 Permutac¸o˜es Determinante Casos Particulares Matrizes elementares Exemplo Exemplo: Calcular o determinante de A = 1 0 1 −1 3 1 4 2 5 1 0 1 3 1 2 1 Resposta... 8 32 / 32 Permutações Determinante Casos Particulares Matrizes elementares
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