Métodos Numéricos - Elementos de treliça

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Estácio ENG0814 
Prof. Rubens Mitri 
 1 
 
 
 
CAPÍTULO II – ELEMENTOS DE TRELIÇA 
 
 
II.1 – Geometria e carregamento 
 
É um elemento unidimensional1, de eixo2 reto (direção x), capaz de resistir à ação de forças 
aplicadas na direção de seu eixo. A geometria da seção transversal pode ser constante ou variável, 
simétrica ou não, desde que o eixo permaneça reto (Figura II.1). 
 
x x x 
Figura II.1 – Elementos de treliça – geometria 
 
Elementos de treliça podem ser representados por um segmento de reta i-j, na direção de seu eixo, 
conforme a Figura II.2. Note que a figura representa também os deslocamentos (translações) u, v e 
w na direção de x, y e z respectivamente. 
 
l
i
j
x,u
y,v
z,w
 
Figura II.2 – Elementos de treliça - geometria 
 
As forças externas são aplicadas na direção do eixo do elemento, podendo ser concentradas nas 
extremidades (Fi e Fj) ou distribuídas ao longo do eixo (f(x)), como representa a Figura II.3. 
 
x,u
y,v
z,w
i
Fi
Fj
f (x)
j 
 
Figura II.3 – Elementos de treliça – carregamento 
 
1 A dimensão na direção de x (comprimento) é muito maior que na direção das demais dimensões (y e z). 
2
 Eixo: lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais. 
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 2 
II.2 – Esforços internos 
 
Como as forças externas são aplicadas na direção do eixo, não havendo forças transversais nem 
momentos aplicados, apenas esforços normais atuam em elementos de treliça. Se o carregamento 
for constituído apenas por forças concentradas nas extremidades, então o esforço normal será 
constante ao longo do eixo, como mostra a Figura II.4a. Se houver cargas distribuídas, o diagrama 
de esforço sofrerá variações ao longo de x, como representa a Figura II.4b. 
 
Note que, devido ao equilíbrio das forças na direção de x, as forças aplicadas não são independentes 
entre si, como indicado na Figura. II.4. De forma mais genérica, o equilíbrio das forças na direção 
de x pode ser escrito como: 
 
 ∫∑ +=⇒=
l 
0 
 )( 0 dxxfFFF jix (II.1) 
 
 
FjFi
Fi Fj
+
DN
l
 
 Observação: ji FF = 
 
a) Forças concentradas nas extremidades 
FjFi
Fi
Fj+
DN
l
fxf =)(
 
 Observação: l fFF ji += 
b) Forças concentradas e distribuídas 
 Figura II.4 – Esforços em elementos de treliça 
II.3 – Tensões 
 
Como apenas esforços normais estão presentes, apenas tensões normais na direção de x atuam no 
elemento. Essas tensões são supostas constantes ao longo da seção transversal, podendo ser obtidas 
a partir do esforço normal como: 
 
A
N
x
=σ (II.2) 
 
Devido à ausência de forças aplicadas nas faces laterais do elemento, todas as demais componentes 
de tensão são nulas. Vale ainda acrescentar que as faces são supostas livres, não havendo 
confinamento lateral do elemento. 
 
II.4 – Deformações e deslocamento 
 
O esforço normal causa também deformações normais na direção de x (
x
ε ), ocorrendo também 
deformações em direções transversais ao eixo devido ao efeito de Poisson ( )ν . As deformações nas 
direções transversais podem ser facilmente determinadas a partir de 
x
ε como: xzy ενεε −== . 
Contudo, como que 0 ==
zy
σσ , a energia de deformação associada aos pares yy σε - e zz σε - é 
nula, não havendo interesse em determinar essas deformações. Lembramos ainda que a energia de 
deformação de cisalhamento também é nula, devido à hipótese de tensões (e deformações) de 
cisalhamento nulas. 
 
As deformações xε causam deslocamentos dos pontos do elemento na direção de x (deslocamento 
u). Se o esforço normal e a área da seção transversal forem constantes na direção de x, então xε 
também será constante, podendo ser obtidas a partir do deslocamento relativo das extremidades, ou 
seja: lll /)(/
ijx
uu −=∆=ε . No caso mais geral, 
x
ε pode ser obtido como: 
 
x
u
x ∂
∂=ε (II.3) 
onde u representa o deslocamento na direção de x (Figura II.3). 
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 3 
II.5 – Relações constitutivas 
 
Como apenas a componente de tensão 
x
σ atua no elemento, sua relação com 
x
ε independe do 
coeficiente de Poisson, podendo ser escrita como: 
 
 
xx
E εσ = (II.4) 
 
onde E representa o módulo de elasticidade do material. 
 
II.6 – Energia de deformação 
 
 Conforme discutido na seção II.4, apenas o par 
xx
σε - promove energia de deformação. Assim 
escrevemos: 
 dxA(x)dVUU xxxxx 2
1
 
2
1 
0 
 
V 
εσεσ ∫∫ ===
l
 (II.5) 
 
onde V representa o volume do elemento e A(x) a área da seção transversal. Substituindo a equação 
(II.4) em (II.5) escrevemos : 
 
 dxA(x)EU
xx
 
2
1 
0 
εε∫=
l
 (II.6) 
 
II.7 – Trabalho das forças externas 
 
O trabalho das forças externas pode ser escrito como: 
 
 dxxuxfuFW
l
iiext )( )( 2
1
 
2
1 
0 
. ∫∑ += (II.7) 
 
onde 
i
F representa uma força concentrada, 
i
u o deslocamento no ponto de aplicação da força
i
F , 
f(x) representa o carregamento distribuído e u(x) é a função que fornece o deslocamento u em 
qualquer ponto do elemento. 
 
Exercício II.1) Determinar analiticamente a distribuição de esforços normais N(x), das 
deformações axiais )(x
x
ε e dos deslocamentos u(x) nos elementos de treliça 
indicados3. Considere que o eixo x tem origem na extremidade esquerda dos 
elementos e o material é linear elástico com módulo de elasticidade 
27 /10 mKNE = . 
x,u
y
a b
12 m
cmh 30=
cmb 10=
F=600 KN
a)
 
 
x,u
y
q(x) = 100 KN / m
a b
12 m
cmh 30=
cmb 10=
b)
 
 
3 Sugestão: Traçar o Diagrama de Esforços Normais (DN) e calcular: 
ExA
xN
E
x
x
1
)(
)()(
)( ==
σ
ε ; ∫=
x
dxxxu
 
0 
 )()( ε 
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 4 
x,u
y
F = 600KN
f = 100KN / m
a b
12 m
2211 )( hNhNxh +=
cmb 10=
c)
 
com: mh
a
 10,0= ; mh
b
 30,0= ; 12/11 xN −= e 12/2 xN = . 
x,u
y
F = 600KN
f = 100KN/m
a b
12 m
ba
hNhNxh )( 21 +=
ba
NNxb b b )( 21 +=
d)
 
com: mh
a
 10.0= ; mh
b
 30.0= ; mb
a
05.0= ; mbb 15.0= ; 12/11 xN −= e 12/2 xN = 
 
Exercício II.2) Para cada um dos casos do exercício II.1, calcule a energia de deformação e o 
trabalho das forças externas conforme as equações (II.7) e (II.5). 
 
II.8 - Formulação de Elementos Finitos para Estrutura de Treliça 
 
II.8.1 – Formulação genérica para família de elementos de treliça 
Considere um elemento de treliça submetido a forças concentradas nas extremidades4 e forças 
distribuídas ao longo do comprimento, conforme a Figura II.5a. Desejamos conhecer as tensões e 
deformações decorrentes do carregamento aplicado. Para tal, seria suficiente conhecer os 
deslocamentos na direção de x, visto que as deformações podem ser obtidas derivando-se esse 
deslocamento (equação (II.3)), e as tensões podem ser calculadas a partir das deformações 
conforme a equação (II.4). Em outras palavras, nosso problema estaria resolvido se conhecêssemos 
a função )(xu que fornece o deslocamento em qualquer ponto do elemento. 
 
x,u
z
1 2
1uˆ
1F 2F
2uˆ
b) Elemento com 2 nós: interpolação linear 
x,u
y,v
z,w
i
Fi
Fj
f(x)
j 
 
a) Elemento de treliça: carregamento e geometria 
3uˆ
3F
x,u
z
1 4
1uˆ
1F 2F
2uˆ
2
4F
4uˆ
3
c) Elemento com 4 nós: interpolação cúbica 
Figura II.5 – Representação de elementos de treliça atravésde elementos finitos 
 
A formulação de elementos de treliça através do Método dos Elementos Finitos (MEF) consiste em 
estabelecer os deslocamentos em certos pontos do elemento como parâmetros incógnitos, e 
substituir a função exata 
exat
xu )( por de uma função aproximada 
aprox
xu )( , escrita a partir desses 
parâmetros. Os pontos selecionados são denominados pontos nodais (ou simplesmente nós) e os 
parâmetros incógnitos são deslocamentos nodais5,6. As Figuras II.5b e II.5c apresentam elementos 
 
4 Por simplicidade iremos considerar que as forças concentradas são sempre aplicadas nas extremidades do elemento. 
5 Em outros tipos de análise os parâmetros nodais podem ter outros significados físicos, tais como temperaturas, 
pressões, velocidade de fluídos etc. Parâmetros nodais podem também ser denominados graus de liberdade nodais ou 
ainda incógnitas nodais. 
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 5 
de treliça com dois e quatro nós, indicando a numeração dos nós e dos deslocamentos nodais. A 
aproximação de elementos finitos tem a forma: 
 
 
 
i
NNOSi
i
iaproxexat
uNxuxu ˆ )()(
1
.. ∑
=
=
=≈ (II.8) 
 
onde NNOS é o número de nós do elemento, 
i
uˆ representa o deslocamento nodal do nó i, e Ni são 
funções de interpolação (também denominadas funções de forma). As funções de interpolação são 
tais que, no nó i, 1=
i
N e, nos demais nós do elemento, 0=
i
N . Note que isso garante que 
iaproxi
uu x ˆ .)( = . Neste curso serão sempre adotadas funções de interpolação polinomiais, e o grau 
desses polinômios depende do número de nós do elemento, seguindo-se a regra: 1−= NNOSG , 
onde G é o grau da interpolação e NNOS é o número de nós do elemento. 
A equação (II.8) pode ser escrita em forma matricial como7: 
 
 11 }ˆ{ ][)( NNOSxxNNOS uNxu = (II.9) 
 
onde ][N é a matriz de funções de interpolação e }ˆ{u é o vetor de deslocamentos dados por: 
 
 [ ]NNOSNNNN ...][ 21= ; 














=
NNOSu
u
u
u
ˆ
:
ˆ
ˆ
}ˆ{ 2
1
 
 
O campo de deformação pode ser obtido a partir das equações (II.3) e (II.9), resultando em: 
 
 }ˆ]{[ uB
x
u
x
=
∂
∂=ε (II.10) 
onde [B] é denominada matriz de deformação ou matriz gradiente discreto sendo dada por: 
 
 





∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
x
N
x
N
x
N
x
N
B NNOS.....
][
][ 21 (II.11) 
 
Conhecidas as deformações, as tensões podem ser obtidas a partir das relações constitutivas como8: 
 
 ( ) ][ }ˆ{ EBuEE TTT
xxx
=== εεσ (II.12) 
 
Utilizando as equações (II.5), (II.10) e (II.12), escrevemos a energia de deformação como: 
 
 }ˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1 T uKuU = (II.13) 
 
onde ][K é denominada matriz de rigidez dada por: 
 
 dxA(x)BEK ][ [B] ][
 
0 
T∫=
l
 (II.14) 
 
6 A abordagem em que os deslocamentos são interpolados é denominada Método das Deformações (ou Método dos 
Deslocamentos) e é adotada na grande maioria das aplicações de estruturas. 
7 A partir de agora não utilizaremos subscritos para denotar aproximação, ou seja, .)( aproxxu será substituído por )(xu . 
8 A equação (II.12) embute um pequeno artifício algébrico que deriva do fato de o escalar xε , dado pela equação 
(II.10), poder ser interpretado como uma matriz 1x1 (sempre simétrica), de forma que 
[ ] [ ] TTT
xxxx
Nu ][}{ ˆ 11 11 == εε . 
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 6 
As forças nodais decorrentes do carregamento aplicado podem ser agrupadas no vetor de cargas 
organizado como: 
 














=+=
NNOS
adistribuídaconcentrad
F
F
F
FFF
:
}{}{}{ 2
1
 (II.15) 
 
onde }{ aconcentradF contém forças aplicadas nos nós e }{ adistribuídF contém termos decorrentes de forças 
distribuídas9. Independentemente da origem das cargas (se distribuídas ou concentradas), elas 
resultam em forças nodais, e o trabalho por elas realizado pode ser escrito em forma matricial 
como: 
 }{ }uˆ{ 
2
1 T
. FWext = (II.16) 
Igualando a energia de deformação e o trabalho das forças externas (equações (II.13) e (II.16)), 
escrevemos: 
 }{ }uˆ{ }ˆ{ ][ }ˆ{ TT FuKu = (II.17) 
 
Para satisfazer a equação (II.17) basta que: 
 }{ }ˆ{ ][ FuK = (II.18) 
 
A equação (II.18) é de grande utilidade pois relaciona forças e deslocamentos nodais através da 
matriz de rigidez. O Quadro II.1 apresenta as principais equações envolvidas no desenvolvimento 
de elementos finitos de treliça. 
 
Campo de deslocamento 
 
}ˆ{ ][)( uNxu = (II.9) 
 
Campo de deformações 
 
}ˆ]{[ uB
x
=ε (II.10) 
com: 
 






∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
N
x
N
x
N
B NNOS.....][ 21 (II.11) 
Campo de tensões 
 
 ][ }ˆ{ EBu TT
x
=σ (II.12) 
 
Matriz de rigidez 
 
dxA(x)BEK ][ [B] ][
 
0 
T∫=
l
 (II.14) 
 
Relação deslocamentos-forças nodais 
 
}{ }ˆ{ ][ FuK = (II.18) 
Quadro II.1 – Formulação de elemento finito para treliça (Método dos Deslocamentos) 
 
II.8.2 – Elemento de treliça com campo de deslocamento linear 
Considere o Elemento representado na Figura II.6, com dois nós (NNOS=2) e um grau de liberdade 
por nó. Note que e as coordenadas dos nós estão referidas ao sistema de eixos xyz que tem origem 
no nó 1, de forma que 01 =x e l=2x . O deslocamento )(xu é interpolado através de polinômios 
do primeiro grau (G=NNOS-1=1), ou seja, é dado pela equação (II.9) com: 
 
 [ ]21][ NNN = ; 






=
2
1
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
u
u (II.19ab) 
onde 1N e 2N são funções lineares dadas por: 
 
l
x
N −= 11 ; 
l
x
N =2 (II.20) 
 
9 Forças distribuídas podem ser transformadas em forças nodais equivalentes, como veremos mais adiante. Por 
enquanto, considere que o carregamento é constituído apenas por forças concentradas nos nós. 
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 7 
Note que 1N e 2N são tais que 1=iN no nó i e 0=iN nos demais nós, como representa a Figura 
II.7. 
x,u
y,v
z,w
1
2
1uˆ
2uˆ
F2
F1
 
Figura II.6 – Elemento de treliça linear – nós, graus de liberdade e forças nodais 
 
x
N1
1
1 2
l 
x
N2
1
1 2
l 
Figura II.7 – Funções de forma lineares em 1 d 
 
O campo de deformação é obtido através da equação (II.10) com: 
 
 


−=



∂
∂
∂
∂
=
ll
11][ 21
x
N
x
N
B (II.21) 
 
Note que a matriz [B] é constante, pois é obtida a partir da derivação de funções de forma lineares. 
A matriz de rigidez é fornecida pela equação (II.14) resultando em: 
 
 ∫∫∫










−
−
===
lll
ll
ll
 
0 
22
22 
0 
T
 
0 
T 
11
11
 ][ ][ ][ ][ ][ dxA(x)EdxA(x)BEBdxA(x)BEBK (II.22) 
 
Frequentemente, elementos de treliça têm seção transversal constante. Neste caso a equação (II.22) 
toma a forma: 
 
11
11
][ 





−
−
=
l
EA
K (II.23) 
 
Deslocamentos e forças nodais se relacionam pela equação (II.18) e com o vetor de forças dado por: 
 
 






=
2
1}{
F
F
F (II.24) 
 
onde F1 e F2 são forças externas aplicadas nos nós (Figura II.6). 
 
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 8 
II.8.3 – Elemento de treliça com campo de deslocamento quadrático 
Este elemento possui três nós (dois situados nas extremidades e um no meio do elemento) e um 
grau de liberdade por nó, como representa a Figura II.8. As coordenadas dos nós estão referidas ao 
sistema de eixos xyz que tem origem no nó 1, de forma que 01 =x , 2/2 l=x e l=3x . 
 
 
x,u
y,v
z,w
1
2
3
1uˆ
2uˆ
3uˆF2
F3
F1
 
Figura II.8 – Elemento de treliça quadrático – nós, graus de liberdade e forças nodais 
 
 
O campo de deslocamento é interpolado como na equação (II.9) com: 
 [ ]321][ NNNN = ; 










=
3
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
u
u
u (II.25ab) 
onde 
 
2
2
1
 2 31
ll
xx
N +−= ; 
2
2
2
 4 4
ll
xx
N −= ; 
2
2
3
 2 
ll
xx
N +−= (II.26) 
 
Note que, mais uma vez, as funções de forma são tais que 1=
i
N no nó i e 0=
i
N nos demais nós, 
conforme a Figura II.9. 
 
 
N1
1
ll /2
x ll /2
1
x
N2
l
1
N3
xl /2
 
 Figura II.9 – Funções de forma quadráticas – treliça de 3 nós 
 
 
A deformação axial é dada pela expressão (II.10) com: 
 
 


 +−−+−=





∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
222
 41 84 4 3 
)(
 
)(
 
)(
][
llllll
xxx
x
N
x
N
x
N
B k
ji (II.27) 
 
A matriz de rigidez é fornecida pela equação (II.14) resultando em: 
 
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 9 
dxA(x)
xxxxx
xxxxx
xxxxx
E
dxA(x)BEBK
 
413224416163
3224484324012
1616332401243
 
 ][ ][ ][
 
0 
2
24
2
324
2
32
4
2
32
2
24
2
32
4
2
324
2
32
2
2
 
0 
T
∫
∫























 +−−+−+−
−+−




 −−+−
+−−+−




 +−
=
==
l
l
llllllll
llllllll
llllllll
 (II.28) 
 
Se a área da seção transversal for constate ao longo do comprimento, a equação (II.28) toma a 
forma: 
 










−
−−
−
=
781
8168
187
3
][
l
EA
K (II.29) 
 
Deslocamentos e forças nodais se relacionam pela equação (II.18) e com o vetor de forças, 
organizado como: 
 
 [ ]321}{ FFFF T = (II.30) 
 
onde F1 , F2 e F2 são forças externas aplicadas nos nós (Figura II.8). 
 
Exercício II.3) Para cada um dos elementos do Exercício II.1: 
 
a) Determinar matriz de rigidez considerando uma interpolação linear de 
deslocamentos (considere o nó esquerdo como nó inicial e o direito como final); 
 
b) Determinar matriz de rigidez considerando uma interpolação quadrática de 
deslocamentos (considere o nó esquerdo como nó inicial e o direito como final). 
 
II.9 – Significado dos coeficientes da rigidez de rigidez de elemento 
 
Conforme vimos anteriormente, a matriz de rigidez relaciona deslocamentos e forças nodais 
conforme a equação (II.18). A fim de não limitar nosso estudo a um tipo particular de elemento, 
imagine que um dado elemento de treliça possua N graus de liberdade nodais. Neste caso, o vetor 
de forças e o vetor de deslocamentos nodais terão N linhas, e a matriz de rigidez terá N linhas e N 
colunas. Suponha que desejamos impor ao elemento uma configuração na qual certo deslocamento 
nodal 
M
uˆ seja unitário, e todos os demais deslocamentos nodais sejam nulos. Para que esta 
configuração seja imposta, é preciso aplicar forças nodais que podem ser obtidas através das 
equações (II.18) como: 
 
 




















=








































=




















MN
MM
M
M
NNMNNN
NMMMM
NM
NM
N
M
k
k
k
k
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
F
F
F
F
,
,
,2
,1
,,2,1,
,3,2,1,
,1,22,21,2
,1,12,11,1
2
1
...
...
0
...
1
...
0
0
 
.........
........................
....
........................
........
........
...
...
 (II.31) 
Estácio ENG0814 
Prof. Rubens Mitri 
 10
A solução dada pela equação (II.31) informa que, para estabelecer a configuração 1ˆ =
M
u e demais 
deslocamentos nodais nulos, devemos aplicar uma força com intensidade 
M
K ,1 na direção do 
deslocamento 1uˆ , com intensidade MK ,2 na direção do deslocamento 2uˆ etc. De forma mais 
genérica, podemos definir um coeficiente de rigidez 
ji
K , como sendo “a força que devemos aplicar 
na direção do deslocamento 
i
uˆ , para manter a configuração 1ˆ =
j
u com todos os demais 
deslocamentos nodais nulos”. Podemos então olhar para uma coluna “ j ” da matriz de rigidez 
como sendo o vetor de forças que provoca a configuração 1ˆ =
j
u com todos os demais 
deslocamentos nodais nulos. Como exemplo, considere o elemento com dois g.l. e sua respectiva 
matriz de rigidez10 representado na Figura II.10. As forças nodais para impor as configurações 
0ˆ ,1ˆ 21 == uu e 1ˆ ,0ˆ 21 == uu correspondem respectivamente aos coeficientes da primeira e da 
segunda coluna da matriz de rigidez do elemento, como indica a Figura II.11. Vale observar que 
qualquer outro estado de deformação do elemento pode ser obtido pela combinação linear das duas 
configurações representadas na figura. Note também que os coeficientes de rigidez satisfazem o 
equilíbrio de forças na direção de x, ou seja, jj kk ,2,1 −= . 
 
1 2
e1
1uˆ 2uˆ
1l
A1
seçao transversal 
 






−
−
=





=
1 1
11 
][
1
11
2,21,
2,11,1
1 11
11
l
AE
kk
kk
ke
2
 
Figura II.10 – Elemento linear com dois g.l. e seção transversal constante 
 
2
e1
1ˆ1 =u 1111,22
/ 1 lAEkRx −==
1
11
1,1
 
1
l
AE
k =
1
 
a) Forças nodais para a Configuração 1: 0ˆ1ˆ 21 , == uu 
2
e1
1ˆ2 =u
1
1
11
2,2
 
1
l
AE
k =
1112,11 / 1 lAEkRx −==
 
b) Forças nodais para a Configuração 2: 1ˆ0ˆ 21 , == uu 
Figura II.11 – Configurações de deformação básicas para treliça linear 
 
 
II.10 - Associação de elementos de treliça em uma dimensão. 
 
Considere três elementos de treliça lineares e suas respectivas matrizes de rigidez, como 
representado na Figura II.12, e imagine que desejamos obter a matriz de rigidez da estrutura 
composta por estes três elementos dispostos em linha, conforme a Figura II.13. A numeração dos 
nós e deslocamentos nodais da Figura II.12 é dita numeração local e a da Figura II.13 é dita 
numeração global. Dessa forma, na estrutura da Figura II.13, o primeiro deslocamento local do 
elemento e2 corresponde ao deslocamento global numero 2, o segundo deslocamento local do 
elemento e3, corresponde ao deslocamento global 4, etc. 
 
1 3
e1
1uˆ 2uˆ
 
 





=
2,21,2
2,11,1
1 11
11
][
kk
kk
ke 
a) elemento e1 
1 3
e2
1uˆ 2uˆ
 






=
2,21,2
2,11,1
2 22
22
][
kk
kk
ke 
b) elemento e2 
1 3
e3
1uˆ 2uˆ
 






=
2,21,2
2,11,1
3 33
33
][
kk
kk
ke 
c) elemento e3 
Figura II.12 – Elementos de treliça com dois – numeração e matriz de rigidez locais 
 
10 Por simplicidade, estamos supondo que a seção transversal é constante, mas o estudo pode ser diretamente aplicado 
para elementos de seção transversalvariável. 
Estácio ENG0814 
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 11
 
2
e1 e3e2
3 41
1uˆ 2uˆ 3uˆ 4uˆ
 
Figura II.13 – Estrutura constituída por três elementos de treliça associados em linha – numeração global 
 
A matriz de rigidez da estrutura ][ GK deve relacionar deslocamentos e forças nodais na forma: 
 
 }{}ˆ{ ][ GGG FuK = (II.32) 
 
onde }ˆ{ Gu e }{ GF são respectivamente o vetores de deslocamentos e forças nodais da estrutura 
dados por: 
 
 ]ˆˆˆˆ[}ˆ{ 4321 uuuuu
T
G = (II.33) 
e 
 
 ][}{ 4321 FFFFF
T
G = (II.34) 
 
Conforme o estudo feito na Seção II.9, os coeficientes de uma coluna j da matriz que relaciona 
deslocamentos e forças nodais na forma da equação (II.32) correspondem ao vetor das forças 
necessárias para que seja mantida a configuração 1ˆ =ju e demais deslocamentos nodais nulos. 
Assim, para obter a matriz de rigidez da estrutura, basta conhecer as forças nodais que atuam em 
cada uma dessas configurações, conforme representa a Figura II.14. Note que as forças nodais 
indicadas (coeficientes de rigidez globais KGij) são dadas em função dos coeficientes de rigidez dos 
elementos e1, e2 e e3 (coeficientes kNij), cujos significados estudamos na seção anterior e estão 
resumidos na Figura II.15. 
 
2
e1 e3e2
3 4
KG2,1 = k12,1
1ˆ1 =u
KG1,1 = k11,1
1
KG3,1= 0 KG4,1= 0
a) Configuração 1: e demais g.l. nulos 1ˆ1 =u 
1ˆ2 =u
3 41 2
KG2,2 = k12,2+ k21,1
KG 1,2= k11,2 KG3,2= k22,1
e1 e3e2
KG4,2= 0
b) Configuração 2: e demais g.l. nulos 1ˆ2 =u 
41
1ˆ3 =u
2
KG2,3 = k21,2KG1,3 = 0
KG3,3 = k22,2+ k31,1
e1 e2
KG4,3= k32,1 
3
c) Configuração 3: e demais g.l. nulos 1ˆ3 =u
e3
 
41
1ˆ4 =u
2
KG2,4 = 0KG1,4 = 0 KG3,4 = k31,2
e1 e3e2
KG4,4 = k32,2 
3
d) Configuração 4: e demais g.l. nulos 1ˆ4 =u 
Figura II.14 – Configurações 1ˆ =ju com demais g.l. nulos para estrutura com 4 nós 
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 12
 
 Elemento e1 Elemento e2 Elemento e2 
C
on
fi
g.
 1
 
2
e1
1ˆ1 =u
1
F1= k11,1
Rx2= k12,1
 
(a1) 
2
e2
1ˆ1 =u
1
F1 = k21,1
Rx2= k22,1 
(b1) 
2
e3
1ˆ1 =u
1
F1 = k31,1
Rx2= k32,1
 
(c1) 
C
on
fi
g.
 2
 
2
e1
1ˆ2 =u
Rx1= k11,2
F2= k12,2
1
 
(a2) 
2
e2
1ˆ2 =u
1
Rx1 = k21,2
F2 = k22,2
 
 (b2) 
2
e3
1ˆ2 =u
1
k31,2 F2= k32,2
Rx1= k31,2
 
 (c2) 
Figura II.15 - Configurações 1ˆ =iu , 0ˆ =ju para elementos de dois nós 
 
Examinando as Figuras II.14 e II.15, podemos facilmente determinar os coeficiente de rigidez 
globais. Por exemplos, a Figura II.14b mostra que, para estabelecer a configuração 2 ( 1ˆ2 =u com 
0ˆˆˆ 431 === uuu ), é preciso alongar (tracionar) o elemento e1 e encurtar (comprimir) o elemento e2. 
As forças nodais necessárias para causar as deformações dos elementos e1 e e2 são dadas na Figura 
II.15 (para o elemento e1 ver a Figura II.15a2 e, para o elemento e2, ver a Figura II.15b1). Note que 
o nó global 2 está conectado aos elementos e1 e e2, de forma que o coeficiente de rigidez 2,2KG 
envolve a soma de coeficientes de rigidez dos dois elementos. Por outro lado, o nó 1 está conectado 
apenas ao elemento e1, e a força 2,1KG que ali atua conta apenas com a contribuição do elemento 
e1. Note que o elemento e3 não oferece contribuição para qualquer coeficiente 2,iKG , visto que não 
sofre deformações na configuração 2. 
 
Coletando os coeficiente de rigidez indicados na Figura II.14, escrevemos a matriz de rigidez da 
estrutura como: 
 














=
+
+
2,21,2
2,11,12,21,2
2,11,12,21,2
2,11,1
33
3322
2211
11
00
0
0
00
][
kk
kkkk
kkkk
kk
KG (II.35) 
II.11 – Introdução de aparelhos de apoio 
 
Para que uma estrutura apresente condições de estabilidade, é preciso que sejam introduzidos 
aparelhos de apoio que impeçam certos deslocamentos nodais. Os deslocamentos nodais impedidos 
são ditos deslocamentos prescritos, e os demais deslocamentos nodais são ditos deslocamentos 
livres. Como exemplo, considere a estrutura da Figura II.13 com os deslocamentos 1uˆ e 4uˆ 
prescritos e os demais deslocamentos nodais livres, como representa a Figura II.16. Note que esses 
deslocamentos deixam de ser incógnitas, visto que são conhecidos (nulos), e as forças externas 
(conhecidas) são aplicadas apenas nas direções livres, ou seja, na direção de 2uˆ e 3uˆ conforme 
indicado. Por outro lado, as forças que atuam nos nós 1 e 4 são reações de apoio desconhecidas 
(incógnitas), ou seja, na direção de 1uˆ atua a força nodal 1Rx e, na direção de 4uˆ , atua a força nodal 
4Rx . Dessa forma podemos escrever a equação (II.32) como: 
 
 














=


























4
3
2
1
3
2
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
0
ˆ
ˆ
0
Rx
F
F
Rx
u
u
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
 
 
 
 
 
 
(II.36) 
Estácio ENG0814 
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 13
2
e1 e3e2
3 4
1
2uˆ 3uˆ
F2 F3
Rx1 Rx4 
Figura II.16 – Estrutura constituída por três elementos de treliça com prescrições de apoio 
 
A equação (II.36) constitui um sistema de quatro equações onde as incógnitas são os 
deslocamentos nodais livres ( 2uˆ e 3uˆ ) e as reações de apoio ( 1Rx e 4Rx ). Suponha que inicialmente 
desejamos determinar apenas os deslocamentos livres, ou seja, não temos interesse na primeira e na 
quarta equação do sistema que podem ser riscadas, como indica a Figura II.17a. Podemos notar que 
os coeficientes de rigidez da primeira e quarta colunas serão multiplicados por 0, de forma que 
podemos também eliminar essas colunas, como indica a Figura II.17b. 
 














=


























4
3
2
1
3
2
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
0
ˆ
ˆ
0
Rx
F
F
Rx
u
u
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
 
a) eliminando linhas associadas a 1uˆ e 4uˆ 














=


























4
3
2
1
3
2
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
0
ˆ
ˆ
0
Rx
F
F
Rx
u
u
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
 
b) eliminando colunas associadas a 1uˆ e 4uˆ 
Figura II.17 – Introdução de prescrições de apoio 
 
Conforme indicado na Figura II.17b, o sistema de equações que fornece os deslocamentos nodais 
livres pode ser escrito como: 
 }{}ˆ]{[ *** FdK = (II.37) 
 
onde ][ *K , }ˆ{ *d e }{ *F são respectivamente a matriz de rigidez, o vetor de deslocamentos e o 
vetor de cargas após as prescrições de apoio, dados por: 
 
 





=
3,32,3
3,22,2*][
KGKG
KGKG
K ; 






=
3
2*
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
u
d ; 






=
3
2*}{
F
F
F (II.38) 
 
Note que, de forma mais genérica, podemos afirmar que ][ *K é obtida a partir da matriz de 
rigidez, eliminando-se as linhas e as colunas associadas a deslocamentos prescritos. De forma 
semelhante, os vetores }ˆ{ *d e }{ *F são obtidos a partir de partir de }ˆ{d e }{F , eliminando-se as 
linhas associadas a deslocamentos prescritos. Se as prescrições de apoio forem adequadas, então o 
sistema representado pela equação (II.37) é possível e determinado, e os deslocamentosnodais 
livres (incógnitos) podem ser obtidos como: 
 }{ ][}ˆ{ *1** FKd −= (II.39) 
 
Uma vez conhecidos os deslocamentos nodais livres, as reações de apoio podem ser facilmente 
determinadas. Para isso, a Figura II.18 volta a estudar o sistema da equação (II.32), eliminando 
agora as linhas referentes aos deslocamentos 2uˆ e 3uˆ , já conhecidos, e considerando a primeira e 
quarta equações do sistema, que são referentes às reações de apoio. Note que as colunas referentes 
aos g.l. prescritos permanecem eliminadas, pois são multiplicadas por deslocamentos nulos. 
 














=


























4
3
2
1
3
2
4,43,42,41,4
4,33,32,31,3
4,23,22,21,2
4,13,12,11,1
0
ˆ
ˆ
0
Rx
F
F
Rx
u
u
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
KGKGKGKG
 
Figura II.18 – Determinação das reações de apoio 
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 14
A partir da Figura II.18, escrevemos: 
 }ˆ]{[}{ *dKR R= (II.40) 
onde: 
 





=
3,42,4
3,12,1
][
KGKG
KGKG
K R ; 






=
2
1}{
Rx
Rx
R 
 
De forma mais genérica, podemos dizer que ][ RK é obtida a partir da matriz de rigidez da 
estrutura, eliminando-se as linhas associadas a deslocamentos nodais livres e as colunas 
associadas a graus de liberdade prescritos. 
 
II.12 – Determinação do vetor de forças para carregamentos distribuídos 
 
Quando o carregamento é constituído por forças concentradas nos nós, os elementos do vetor de 
cargas são as próprias forças aplicadas, e o trabalho realizado por essas forças pode ser obtido pelo 
produto }{}ˆ{ .2
1
conc
T Fu
ext
W = (vide equação (II.16)). Contudo, quando o carregamento é distribuído 
ao longo do elemento, tal como mostra a Figura II.19, é necessário adotar algum critério para 
transformar o carregamento distribuído em forças nodais. A figura procura mostrar o deslocamento 
sofrido por um segmento elementar de comprimento dx, e o trabalho do carregamento sobre ele 
aplicado. 
 
x,u
y
dxx
f(x)
i
j
dx
f(x) 
dx
f(x) 
Feq Feq=f(x) dx
u(x)
posição inicial posição final
dxxfxu )( )( 
2
1=
== )( 
2
1
eqext FxudW
Trabalho de f(x) ao longo de dxDeslocamento do segmento dx 
 
Figura II.19 – Trabalho de forças distribuídas em um segmento de comprimento dx 
 
É possível obter vetores de forças nodais tais que o trabalho das forças nodais ao longo dos 
deslocamentos nodais seja igual ao trabalho das forças distribuídas ao longo do campo de 
deslocamento interpolado. Neste caso, o vetor de carga é dito consistente, pois mantém a igualdade 
entra a energia de deformação e o trabalho das forças externas. O vetor de carga pode também ser 
obtido de forma simplificada, a partir de um valor médio de f(x.) Neste caso, o vetor de forças 
resultante pode ser denominado vetor de carga discreto, conforme estudamos a seguir. 
 
II.12.1 – Vetor de carga consistente 
O vetor de carga consistente é obtido de forma que o trabalho das forças nodais ao longo dos 
deslocamentos nodais é igual ao trabalho das forças distribuídas ao longo do campo de 
deslocamento interpolado. Considerando a expressão de dWext dada na Figura II.19 e a interpolação 
dos deslocamentos dada pela equação (II.9), escrevemos o trabalho do carregamento distribuído ao 
longo do campo de deslocamento como: 
 ∫∫∫ ===
ll 
0 
T
 
0 
 )( ][ }ˆ{ 
2
1 )( )( 
2
1
dxxfNudxxfxudWW Textext (II.41) 
 
O trabalho fornecido pelas forças nodais contidas no vetor de carga consistente é dado por: 
 
 }{F }ˆ{ 
2
1
consist.
* T
ext uW = (II.42) 
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 15
Igualando-se as equações (II.41) e (II.42), escrevemos o vetor de carga consistente como: 
 ∫=
l 
0 
. )( ][ }{ dxxfNF
T
consist (II.43) 
Se o carregamento distribuído for constante (
__
 )( fxf = ), a equação (II.43) toma a forma 
simplificada: 
 ∫=
l 
0 
__
. ][ }ˆ{ dxNfF
T
consist (II.44) 
 
Para os elementos os elementos com 2 e 3 nós estudados na seção (II.8) (cujas matrizes de 
interpolação são dadas pelas expressões (II.19a) e (II.25a)), a equação (II.44) fornece: 
 
 






=






== ∫∫ 1
1
 
2
 
 ][ }{ 
__
 
0 
__ 
0 
__
2
lll f
 dx
N
N
 fdxNfF
j
iT
nós (a) 
 










=










== ∫∫
1
4
1
 
6
 
 ][ }{ 
__
 
0 
__ 
0 
__
3
lll f
 dx
N
N
N
 fdxNfF
k
j
i
T
nós (b) (II.45) 
II.12.2 – Vetor de carga discreto 
O vetor de carga discreto é obtido através de uma simplificação na qual f(x) é suposto constante e 
igual a 
__
 f . De modo geral, adota-se que 
__
 f é o valor de f(x) no centro do elemento, ou seja, 
)2/( 
__
l== xff . Considera-se então que esse carregamento uniforme atua em trechos do elemento. 
Esses trechos são separados pelos nós internos, havendo sempre um nó na extremidade de cada 
segmento. A força total aplicada em cada trecho é dada pelo produto de 
__
 f pelo comprimento do 
segmento, e metade dessa força total deve ser somada em cada um dos nós das extremidades do 
trecho. A Figura II.20 procura esclarecer o processo para os elemento de treliça com 2 e 3 nós, para 
os quais o vetor de força resultante é: 
 






=
1
1
2
 
}{ 
__
2
lf
F nós ; 










=
1
2
1
 
4
 
}{ 
__
3
lf
F nós (II.46ab) 
Comparando as equações (II.45) e (II.46) notamos que, para um carregamento uniformemente 
distribuído, o elemento linear possui vetores de força discreto e consistente idênticos, enquanto que, 
para o elemento quadrático, há uma significativa diferença na distribuição de forças, com o vetor de 
cargas consistente atribuindo mais carga para o nó interno. 
 
 Carregamento distribuído Forças nodais (discretas) 
T
re
li
ça
 c
om
 
 2
 n
ós
 
 
1 2
l 
x
)2/()(
___
l==≅ xffxf
 
 
⇒ 
1 2
l 
x
___
1 2
fF
l=
___
2 2
fF
l=
 
T
re
li
ça
 c
om
 
 3
 
nó
s 
l / 2
1 2 3
l / 2
x
)2/()(
___
l==≅ xffxf
 
 
⇒ 
l / 2
1 2 3
l / 2
x
___
1 4
fF
l=
___
2 2
fF
l=
___
3 4
fF
l=
 
Figura II.20 – Vetor de carga discreto 
 
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Exercício II.4) Para cada uma das estruturas do Exercício II.1: 
 
a) determinar o deslocamento do nó b utilizando um elemento de treliça linear (2 nós); 
b) determinar o deslocamento do nó b utilizando um elemento de treliça quadrático (3 nós); 
c) determinar o deslocamento do nó b utilizando três elementos de treliça lineares; 
d) determinar o deslocamento do nó b utilizando três elementos de treliça quadráticos. 
 
II.13 – Estruturas de treliça em duas dimensões 
 
II.13.1 – Introdução 
Conforme estabelecemos anteriormente, treliças são elementos de natureza unidimensional, ou seja, 
são capazes de resistir apenas a forças aplicadas na direção do seu eixo, sofrendo deslocamentos e 
deformações nesta direção. Contudo, elementos de treliça podem ser associados para formar 
estruturas em duas ou três dimensões. A Figura II.21a mostra uma treliça em duas dimensões que 
pode, por exemplo, ser usada com a função de viga (estrutura 2d). A Figura II.21b procura salientar 
que, neste caso, um deslocamento nodal }ˆ{d possui duas componentes ( uˆ e vˆ ). As Figuras II.21c e 
II.21d apresentam um exemplo de estrutura tridimensional construída comelementos de treliça, e 
salientam que, neste caso, um deslocamento nodal }ˆ{d tem 3 componentes ( uˆ , vˆ e wˆ ). 
 
F F F F F FF F
 
a) Estrutura de treliça bidimensional 
Y
X
vˆ
uˆ dˆ
 
b) deslocamento nodal em 2d 
 
 
c) Estrutura de treliça tridimensional 
 
 
Y
X
vˆ
uˆ
dˆ
Z
wˆ
 
c) deslocamento nodal em 3d 
Figura II.21 – Associação de elementos de treliça para formação de estruturas 2D e 3D 
 
Lembramos ainda que os nós são rotulados e o carregamento é constituído apenas por forças 
aplicadas nos nós, de forma que apenas esforços normais atuam na estrutura. Finalmente, devemos 
observar que, em estruturas bidimensionais, um nó não apoiado deve estar conectado a pelo menos 
dois elementos não coaxiais e, para estruturas tridimensionais, são necessários pelo menos três 
elementos de treliça não coaxiais. 
 
II.13.2 - Sistema de eixos locais 
Considere o elemento e o sistema de eixos xý´ representados na Figura II.22. Note que o eixo x´ é 
alinhado com o eixo do elemento e que o deslocamento nesta direção foi denotada como u´. Na 
direção normal a x´, temos o eixo y´ e a translação v´, como indicado na figura. Esse sistema de 
eixos é denominado sistema de eixos locais, e os vetores e matrizes a eles referidos são 
denominados matrizes e vetores locais. Assim, o vetor de forças e de deslocamentos nodais locais 
podem ser organizados como: 
 






=
}{
}{
}{
'
2
'
1'
F
F
F ; 








=
}ˆ{
}ˆ{
}ˆ{
'
2
'
1'
d
d
d (II.47ab) 
onde: 
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





=
'
1
'
1'
1}{
Fy
Fx
F ; 






=
'
2
'
2'
2}{
Fy
Fx
F (II.48ab) 
e 
 






=
'
1
'
1'
1 ˆ
ˆ
}ˆ{
v
u
d ; 






=
'
2
'
2'
2 ˆ
ˆ
}ˆ{
v
u
d (II.49ab) 
 
 x´,u´
y´,v´
Fx´1
1 2
Fx´2
Fy´2
´
1uˆ
´
1ˆv ´
2uˆ
´
2vˆ
Fy´1
 
Figura II.22 – Forças e deslocamentos nodais referidos a sistemas de eixos locais. 
 
Devemos notar que o elemento possui rigidez apenas na direção de x´ de maneira que, para que haja 
equilíbrio, é preciso que 021 == FyFy , e qualquer deslocamento na direção de y´ equivale a um 
movimento de corpo rígido (não causa deformações). Assim, os coeficientes de rigidez associados a 
deslocamentos na direção de y´ são nulos, e os coeficientes associados a deslocamentos na direção 
de x´ são os mesmos obtidos para o caso unidimensional. Assim, a matriz de rigidez do elemento, 
referida ao sistema x´-y´ pode ser escrita como: 
 
 












=
0000
00
0000
00
][
2,21,2
2,11,1
´
kk
kk
K (II.50) 
 
onde jik , é o coeficiente associado à matriz e rigidez para o caso unidimensional. 
 
II.13.3 - Sistema de eixos globais 
Considere um elemento de treliça com dois nós e seu sistema de eixos locais x’y’, como 
representado na Figura II.23. A figura indica também o sistema de eixos XY , que é denominado 
sistema de eixos global. De modo geral, esse sistema tem o eixo X alinhado com a horizontal, 
conforme está representado na figura, e a ele estão referidas as translações u e v, como indicado. O 
sistema de eixos global é utilizado quando temos uma estrutura constituída por diversos elementos 
de treliça, e precisamos referir coordenadas, forças e deslocamentos nodais a um único sistema 
global. A figura mostra ainda que, dadas as coordenadas globais das extremidades do elemento, 
podemos facilmente obter o seu comprimento, assim como o seno e cosseno do ângulo α (ângulo 
entre os eixos X e x´, medido como indicado). 
 
 
22 )()( jjij YYXX −+−=l
l
)(
)cos( ij
XX −
=α
l
)(
)( ij
YY
sen
−
=αα
X,u
Y,v
x´, u
'
1
2
y',v'
 
Figura II.23 – Sistema de eixos globais 
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Os deslocamentos e as forças nodais podem ser referidos ao sistema global XY, como representa a 
Figura II.24. Assim, definimos o vetor de forças globais }{F e o vetor de deslocamentos globais 
}ˆ{d como: 
 






=
}{
}{
}{
2
1
F
F
F ; 








=
}
ˆˆ
{
}ˆ{
}ˆ{
2
1
d
d
d (II.51ab) 
onde: 
 






=
1
1
1 }{
Fy
Fx
F ; 






=
2
2
2 }{
Fy
Fx
F (II.52ab) 
e 
 






=
1
1
1 ˆ
ˆ
}ˆ{
v
u
d ; 






=
2
2
2 ˆ
ˆ
}ˆ{
v
u
d (II.53ab) 
 
Fx2
Fy2
2uˆ
2vˆ
1uˆ 1ˆ
v
Fx1
Fy1
α
X,u
Y,v
1
2
l
 
Figura II.24 – Deslocamentos e forças nodais referidos ao sistema de eixos globais 
 
II.13.4 - Transformações para referir deslocamentos e forças a sistemas de eixos distintos 
O deslocamento sofrido por um ponto em um plano pode ser representado por um vetor que liga a 
sua posição inicial (antes do carregamento) à sua posição final (após a aplicação do carregamento). 
Tratando-se de deslocamento no plano (2 dimensões), esse vetor pode ser definido por duas 
componentes de deslocamentos ortogonais entre si. Contudo, há diversos pares de deslocamentos 
mutuamente ortogonais que descrevem o mesmo deslocamento, ou seja, há diversos sistemas de 
eixos ortogonais em relação aos quais podemos referir um mesmo deslocamento. Por exemplo, o 
deslocamento d
r
, representado na Figura II.25, pode ser definido por um vetor de componentes u´ e 
v´, referidas ao sistema de eixos locais x’y’, ou pelas componentes Gu e Gv , referidas ao sistema 
global XY, também indicado na figura. A figura procura mostrar que, se sairmos do ponto inicial e 
caminharmos uma distância u´ na direção de x´ e depois uma distância y´ na direção de y´, 
chegaremos ao ponto final. Alternativamente, poderíamos caminhar uma distância Gu na direção de 
X e depois e uma distancia Gv na direção de Y. 
 
x´
y´
X
Y
u´
v´
uG
vG
α
posição inicial
posição final
d
 
Figura II.25 – Deslocamento de um ponto em 2d 
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Muitas vezes é preciso transformar as componentes de um deslocamento referidas ao sistema de 
eixos global XY em componentes referidos ao sistema xý´ e vice-versa. A fim de estudar essa 
transformação, vamos avaliar os deslocamentos no sistema local causados pelas componentes 
globais Gu e Gv aplicadas separadamente, conforme a Figura II.26. Note que cada uma das 
componentes globais gera projeções nos dois eixos locais, como indicado na figura 
 
 
 
α
X
Y
uG
y',
v'
x',u
'
uG c
os(
α)
uG s
en(
α)
 
 
 
a) Componentes de uG referidas ao sistema local 
α
X
Y
y',
v'
x',u
'
vG c
os(
α)
vG
α
vG sen(α)
 
b) Componentes de vG referidas ao sistema local 
Figura II.26 – Deslocamentos parciais nos sistemas local e global 
 
A Figura II.27 procura mostrar que , quando as duas componentes de deslocamento globais ( Gu e 
Gv ) são aplicadas simultaneamente, as respectiva componentes de deslocamento referidas ao 
sistema local (u´ e v´) são dadas pela soma dos deslocamentos indicados na Figura II.26, podendo 
ser obtidos como 
 )sen( )cos( ´ αα GG vuu += (a) 
 )cos( )(sen ´ αα GG vuv +−= (b) (II.54) 
 
vG s
en(
α)
uG c
os(
α)
u´
 
b) Projeções de uG e vG sobre x´ 
 
 
x´
y´
X
Y
u´
v´
uG
vG
α
posição inicial
posição final
 
a) Deslocamento de um ponto – componentes globais e locais 
vG c
os(
α)
uG s
en(
α)
v´
 
c) Projeções de uG e vG sobre y´ 
Figura II.27 – Componentes de deslocamentolocais dadas em função de componentes globais 
 
A equação (II.54) pode ser escrita em forma matricial como: 
 [ ] }{ ´}{ dRd = (II.55) 
 
onde [R] é denominada matriz de rotação dada por: 
 
 





=
)cos()(sen-
)(sen)cos( 
][
αα
αα
R (II.56) 
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e ´}{d e }{d são os vetores de deslocamento referidos aos sistemas local e global, ou seja: 
 
 






=
´
´
´}{
v
u
d ; 






=
G
G
v
u
d}{ (II.57ab) 
A equação (II.55) permite obter as componentes de deslocamento locais (referidas ao sistema xý´) a 
partir das componentes globais (referidas a XY) e vice versa. Note que esta transformação depende 
apenas do ângulo de defasagem entre os dois sistemas (ângulo α ), podendo os sistemas local e 
global ter a mesma origem ou não. Ainda, o mesmo estudo pode ser feito para forças referidas aos 
dois sistemas. Assim, as componentes de uma força iF
r
 referidas aos sistemas de eixos locais e 
globais podem ser relacionadas como: 
 
 [ ] }{ }{ ´ ii FRF = (II.58) 
 
onde }{ 'iF contém as componentes iF
r
 referidas ao sistema local (Figura II.22) e }{ iF contém as 
componentes de força referidas ao sistema global (Figura II.24), ou seja: 
 
 






=
'
'
'}{
i
i
i
Fy
Fx
F ; 






=
i
i
i
Fy
Fx
F }{ (II.59ab) 
 
Finalmente, pode-se facilmente constatar que o determinante da matriz de rotação dada na equação 
(II.56) é igual a 1, ou seja, [R] é sempre inversível. Ainda, pode-se facilmente constatar que [R] é 
ortogonal, ou seja: 
 





==−
)cos()(sen
)(sen-)cos(
][][ 1
αα
αα
TRR (II.60) 
 
Assim, das equações (II.55), (II.58) e (II.60) escrevemos: 
 
 ´}{ ][ }{ T dRd = (II.61) 
 }{ ][}{ 'T ii FRF = (II.62) 
 
II.13.5 – Matriz de rigidez de elemento referida ao sistema global 
Considere o elemento com dois nós com seus deslocamentos e forças nodais referidos ao sistema de 
eixos locais, como representa a Figura II.28a. Os deslocamentos e forças nodais podem também ser 
referidos ao sistema global, como representa a Figura II.28b. Considerando as equações (II.47b) e 
(II.55), podemos escrever o vetor de deslocamento nodais }ˆ{ 'd , referido ao sistema local x’y’, em 
função dos deslocamentos referidos ao sistema global como: 
 
 








=








=
}ˆ{ ][
}ˆ{ ][
}ˆ{
}ˆ{
}ˆ{
'
2
1
'
2
'
1'
dR
dR
d
d
d (II.63) 
 
Fx'2
Fy'2
'
2uˆ
'
2vˆ
'
1uˆ
'
1ˆv
Fx'1
Fy'1
α
X,u
Y,v
1
2
y'
x'
a) Forças e deslocamentos locais 
Fx2
Fy2
2uˆ
2vˆ
1uˆ
1ˆv
Fx1
Fy1
α
X,u
Y,v
1
2
y'
x'
b) Forças e deslocamentos globais 
Figura II.28 – Deslocamentos nodais para elemento de 2 nós – sistema local e global 
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A equação (II.63) pode ser escrita como: 
 
 }ˆ{ ][}ˆ{ ' dRRd = (II.64) 
com: 
 
 












=





=
)cos()(sen-00
)(sen)cos(00
00)cos()(sen-
00)(sen)cos(
][]0[
]0[[R]
 ][
αα
αα
αα
αα
R
RR (II.65) 
 
De forma análoga, considerando as equações (II.47a) e (II.58) , o vetor de forças nodais referido ao 
sistema de eixos locais pode ser escrito em função do vetor de forças globais como: 
 
 }{ ][}{ ' FRRF = (II.66) 
 
Pode-se facilmente constatar que a matriz [RR] é ortogonal, de forma que: 
 
 }ˆ{ ][}ˆ{ 'dRRd T= (a) 
 }{ ][}{ 'FRRF T= (b) (II.67) 
 
Considere que a matriz de rigidez local ][ 'K de um dado elemento tenha sido obtida conforme a 
equação (II.50), e desejamos agora obter a matriz de rigidez ][K , referida ao sistema de eixos 
globais XY. Conforme estudamos na seção II.8.1, a matriz de rigidez deve ser tal que, quando pré e 
pós multiplicada pelo vetor de deslocamentos nodais, resulte na energia de deformação, conforme a 
equação (II.13), ou seja, as matrizes de rigidez local ][ 'K e global ][K devem ser tais que: 
 
 }ˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1}dˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1 ''T'T dKdKdU == (II.68)
 
onde U é a energia de deformação, }ˆ{ 'd é o vetor de deslocamento local e }ˆ{ d é o vetor de 
deslocamento global . Da equação (II.64) é imediato que TTT RRdd ][ }ˆ{ }ˆ{ ' = . Assim, substituindo 
Td }ˆ{ ' e }ˆ{ 'd no último termo da expressão (II.68) obtemos: 
 
 }ˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1}ˆ{ ][ ][ ][ }ˆ{ 
2
1 T'TT dKddRRKRRdU == (II.69) 
 
onde 
 ][ ][ ][ ][ 'T RRKRRK = (II.70) 
 
é a matriz de rotação referida ao sistema global. O trabalho das forças nodais referidas ao sistema 
global é dado por: 
 
 }{}ˆ{
2
1
FdW Text = (II.71) 
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Igualando-se o trabalho externo dado pela equação (II.71) e a energia de deformação dada pelo 
último termo da expressão (II.69), escrevemos: 
 
 }{}ˆ{
2
1}ˆ{ ][ }ˆ{ 
2
1 T FddKd T= (II.72) 
e ainda: 
 
 }{}ˆ]{[ FdK = (II.73) 
 
Exercício Resolvido II.1 
Para o elemento de treliça representado na Figura II.29, submetido às condições de apoio e forças 
indicadas, calcular as reações de apoio, o esforço normal e o deslocamento vertical do nó 2. Utilize 
um elemento de treliça linear (2 nós). 
 
50 KN
Y
3 m
4 m
1
2
X
seção transversal
10 cm
30 cm
2
7 10
m
KN
E =
módulo de elasticidade
 
Figura II.29 – Elemento de treliça sob ação de força vertical 
Solução 
 
a) Matriz de rigidez local 
Na Figura II.30a, indicamos o sistema local x’y’, o ângulo de defasagem com o sistema global XY 
(α ), a numeração dos deslocamentos nodais (sistema global) e o comprimento do elemento. Note 
que apenas o deslocamento nodal 2vˆ é desconhecido, e todos os demais são nulos como indicado. 
Por outro lado, conforme indica a Figura II.30b, apenas a força nodal 2Fy é conhecida, enquanto 
que as demais forças nodais são reações de apoio a determinar. 
 
Y
1
2
X
0ˆ2 =u
2vˆ
0ˆ1 =u
01ˆ =v
α
x´
y´
l 
= 5
 m
 
a) Deslocamentos nodais 
Y
1
2
X
11 RyFy =
11 RxFx =
2Fy
22 RxFx =
KNFy 502 −=
 
b) Forças nodais 
Na Figura II.30 – Forças e deslocamentos nodais de elemento submetido a força vertical 
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 23
A matriz de rigidez referida ao sistema local é obtida através das equações (II.23) e (II.50) como: 
 












−
−
×=












−
−
××=












−
−
=
−
00 00 
01 01
00 00 
0101 
106
00 00 
01 01
00 00 
0101 
5
10310
00 0 0 
01 01
00 00 
0101 
][ 4
27
'
l
EA
K 
 
b) Matriz de rigidez global 
Das Figuras II.29 e II.30a escrevemos: 
 sen(α ) = 3 / 5= 0,60 
 cos(α ) = 4 / 5= 0,80 
Utilizando a equação (II.65), escrevemos: 
 












=
80,00,60-00
0,6080,000
0080,00,60-
000,6080,0
 ][RR 
A matriz de rigidez do elemento referida a XY é dada por: 
























−
−












=
==
80,00,60-00
0,6080,000
0080,00,60-
000,6080,0
00 00 
01 01
00 00 
0101 
 
80,00,60-00
0,6080,000
0080,00,60-
000,6080,0
10 6 
][ ][ ][ ][ 
4
'T
x 
T
RRKRRK
 
o que resulta em: 
 












−−
−−
−−
−−
=
00,216 00,288 00,21600,288
00,288 00,384 00,28800,384
00,21600,28800,21600,288 
00,28800,38400,288 00,384 
10][ 2K 
C) Determinação dos deslocamentos e reações de apoio. 
 
A partir da Figura II.30 , escrevemos os vetores de forças e deslocamentos nodais como: 
 














=














=
22
2
1
1
ˆ
0
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
vv
u
v
u
d ; 














−
=














=
50
 
 
 
}{
2
1
1
2
2
1
1
Rx
Ry
Rx
Fy
Fx
Fy
Fx
F 
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 24
Conforme estudamos na seção II.11 (equação (II.39)), os deslocamentos nodais livres (incógnitos) 
podem ser obtido como: 
 
}{ ][}ˆ{ *1** FKd −= 
 
onde }ˆ{ *d e }{ *F são obtidos a partir dos vetores de deslocamentos e de forças nodais, eliminando-
se as linhas associadas a deslocamentos prescritos, e ][ *K obtida eliminando-se as linhas e as 
colunas de [K] associadas a deslocamentos prescritos. Assim, como 1uˆ , 1vˆ e 2uˆ são prescritos, 
temos que: 
 
}50{}{}{ 2
* −== FyF ; ]216[10][][ 24,4
* == KK 
e 
}310315,2{}50{ 
10216
1}{][}ˆ{}ˆ{
2
*1*
2
*
x
m xFKvd −−=−


=== − 
 
Conforme a equação (II.40), as reações de apoio podem ser obtidas como: 
 
}ˆ]{[}{ *dKR R= 
 
onde ][ RK é obtida a partir da matriz de rigidez da estrutura, eliminando-se as linhas associadas a 
deslocamentos nodais livres e as colunas associadas a graus de liberdade prescritos. Assim, 
eliminando-se a 4ª linha (associada 2vˆ ) e as 1ª, 2ª e 3ª colunas (associadas a 1uˆ , 1ˆv e 2uˆ ) da 
matriz de rigidez global. 
 










−
=−










−
−
==










= −
672,66
000,50 
672,66 
}10 315,2{ 
00,288 
00,216
00,288
10}ˆ{ ][{R} 32
2
1
1
x*R dK
Rx
Ry
Rx
 
 
Conhecidas as reações de apoio e a força externa aplicada, podemos traçar o diagrama de corpo 
livre do elemento como: 
 
Y
1
2
X
66,72 KN
50.00 KN
50.00 KN
66,72 KN
 
Na Figura II.31– Diagrama da corpo livre referido ao sistema global 
 
A equação (II.66) permite obter o vetor de forças nodais referido ao sistema local como: 
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 25
 
 














−
=














−
−












==
0
4.83
0
4,83
00,50
72,66
00,50
72,66
80,00,60-00
0,6080,000
0080,00,60-
000,6080,0
}{ ][}{ ' FRRF 
Note que as forças transversais ao eixo da barra são nulas, como esperado. Considerando as 
componentes de }{ 'F , podemos traçar o diagrama de corpo livre referido ao sistema local como 
representa a Figura II.32. Notamos que o elemento está submetido a uma compressão de 83.4 KN. 
Y
1
2
X
83.4 KN
83.4 KN
y ' 
x ' 
 
Na Figura II.32 – Diagrama da corpo livre referido ao sistema local 
 
II.13.6) Associação de elementos em duas dimensões 
Considere uma estrutura formada por três elementos de treliça como representa a Figura II.33a e a 
numeração global de deslocamentos e forças nodais indicadas na Figura (II.33b) . Em cada 
elemento, o nó inicial está indicado com (i) e o nó final está indicado com (j), de forma que os nós 
inicial e final dos elementos E1, E2 e E3 são respectivamente 3-2, 1-2 e 3-1. Assim, os vetores de 
forças e deslocamentos desses elementos, referidos às direções globais, são dados por: 
 
 ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 43651 ddddd
T
E = (a) ; ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 43651 FFFFF
T
E = (b) 
 ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 43212 ddddd
T
E = (c) ; ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 43212 FFFFF
T
E = (d) 
 ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 21653 ddddd
T
E = (e) ; ]ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 21653 FFFFF
T
E = (f) (II.74) 
 
1
2
3
1dˆ
6ˆd
5dˆ
4dˆ
3dˆ
2dˆ
6ˆF
1ˆF
2ˆF
3ˆF
4ˆF
5ˆF
E1
E3 E2
( i ) ( j )
( i )
( j )
( i )
( j )
X,u
Y,v
1
3
E1
E3 E2
( i ) ( j )
( i )
( i )
( j )X,u
Y,v
2
( j )
 
 a) numeração dos nós e incidência dos elementos b) numeração global de forças e deslocamentos 
Figura II.33 - Associação de elementos de treliça em 2d 
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 26
 
Considere ainda que as matrizes de rigidez dos elementos, referidas ao sistema global, sejam 
conhecidas, e a matriz de um elemento N seja denotada como: 
 
 












=
44434241
34333231
24232221
14131211
][
KNKNKNKN
KNKNKNKN
KNKNKNKN
KNKNKNKN
KN (II.75) 
 
Desejamos obter a matriz de rigidez da estrutura [KG] tal que: 
 
 }ˆ{}ˆ]{[ GG FdKG = (II.76) 
 
onde }ˆ{ Gd e }ˆ{ GF são respectivamente os vetores de deslocamentos e de forças nodais dados por: 
 ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 654321 ddddddd
T
G = (II.77) 
 ]ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[}ˆ{ 654321 FFFFFFF
T
G = (II.78) 
 
Os coeficientes da matriz [KG] podem ser interpretados como: 
 
KGij = força na direção de idˆ quando 1
ˆ =jd e todos os demais deslocamentos nodais forem nulos. 
 
Conforme estudamos anteriormente, os coeficientes de uma coluna j da matriz de rigidez 
correspondem às forças nodais necessárias para que se mantenha a configuração 1ˆ =jd e demais 
deslocamentos nodais nulos. Por exemplo, os coeficientes da primeira coluna de [KG] 
correspondem às forças nodais para que 1ˆ1 =d e demais deslocamentos nodais nulos, como 
representa a Figura II.34a. Podemos perceber que nessa configuração o elemento E1 não é 
solicitado, pois os deslocamentos em suas extremidades são nulos, enquanto que os elementos E2 e 
E3 sofrem deformações, como mostram as Figura II.34b e II.34c. 
 
a) estrutura - Config. d1=1 b) elemento E2 - config. ui =1 c) elemento E3 - config. uj =1
1
3
133K
( i )
( j )
E3
433K
333K
233K
1ˆ =ju
1
2
( i )
( j )
E2
1ˆ =iu
112K
212K
312K
412K
1
2
11ˆ =d
( i ) ( j )
( i )
( j )( i )
( j )X,u
Y,v
E1
E2
E3
3
11KG
21KG
31KG
41KG
51KG
61KG
 
Figura II.34 - Configuração 1ˆ1 =d , demais deslocamentos nodais nulos 
 
As Figura II.34b e II.34c indicam as forças nodais que devem ser aplicadas nas extremidades de 
cada elemento para provocar as deformações representadas. Essas forças nodais estão indicadas em 
termos de coeficiente de rigidez de elemento. Observe que, devido à incidência dos elementos 
(Figura II.34a), o deslocamento global 1dˆ corresponde ao deslocamento iuˆ para o elemento E2 e ao 
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 27
deslocamento juˆ para o elemento E3 (Figuras II.34bc). Assim, as forças indicadas no elemento E2 
correspondem aos coeficientes da matriz [K2] pertencentes à coluna associada ao deslocamento iuˆ 
(1ª coluna) e, para o elemento E3, as forças nodais correspondem aos os coeficientes da matriz [K3] 
pertencentes à coluna associada a juˆ (3ª coluna). Como as forças nodais representadas na Figura 
II.34a são dadas pela soma das forças indicadas nas Figura II.34b e II.34c, escrevemos: 
 
 
 331111 32 KKKG += ; 432121 32 KKKG += 
 3131 2KKG = ; 4141 2KKG = 
 1351 3KKG = ; 2361 3KKG = (II.79) 
 
Observe que no lado direito das equações (II.79) não constam contribuições do elemento E1, visto 
que este elemento não se deforma na configuração em estudo. Ainda, notamos que no lado direito 
das equações estão os coeficientes da rigidez da primeira coluna da [KG], visto que na configuração 
em estudo temos 1ˆ1 =de demais deslocamentos nodais nulos. De forma análoga, para obter os 
coeficientes de rigidez da 2ª à 6ª colunas de [KG], devemos respectivamente estudar as 
configurações associadas a 1ˆ2 =d até 1ˆ6 =d , como representam as Figuras II.35 a II.39. 
 
 
1
2
( i )
( j )
E2
122K
222K
322K
422K
1ˆ =iv
243K
1
3
143K
( i )
( j )
E3
443K
343K1ˆ =jv1
23
1ˆ2 =d
( i ) ( j )
( i )
( j )
( i )
X,u
Y,v
E1
E2
E3
( j )
12KG
22KG
32KG
42KG
52KG
62KG
 
Figura II.35 - Configuração 1ˆ2 =d , demais deslocamentos nodais nulos 
 
 
 
1
2
( j )
E2
132K
232K
332K
432K
1ˆ =ju
( i )
431K
331K131K
231K
3
( i ) ( j )
1ˆ =ju
E1
2
1
23 ( i ) ( j )
( i )
( j )( i )
( j )
X,u
Y,v
E1
E2
E3
1ˆ3 =d
13KG
23KG
33KG
43KG
53KG
63KG
 
Figura II.36 - Configuração 1ˆ3 =d , demais deslocamentos nodais nulos 
 
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 28
441K
341K
141K
241K
3
( i )
( j ) 1ˆ =jv
E1 2
1
2
( j )
E2
142K
242K
342K
442K
( i )
1ˆ =jv1
ˆ
4 =d
1
23 ( i )
( j )
( i )
( i )
( j )
X,u
Y,v
E1
E2
E3
( j )
14KG
24KG
34KG
44KG
54KG
64KG
 
Figura II.37 - Configuração 1ˆ4 =d , demais deslocamentos nodais nulos 
 
411K
311K
111K
211K
3
( i ) ( j )
E1 2
1ˆ =iu
1
3
113K
( i )
( j )
E3
413K
313K
1ˆ =iu
213K
1ˆ5 =d
1
23
( i )
( i )
X,u
Y,v
E1
E2
E3 ( j )
( j )
( i ) ( j )
15KG
25KG
35KG
45KG
55KG
65KG
 
Figura II.38 - Configuração 5dˆ , demais deslocamentos nodais nulos 
 
 
1ˆ =iv
421K
321K
121K
221K
3
( i )
E1 2(
 j )
1ˆ6 =d
1
23
( i )
( i )
X,u
Y,v
E1
E2E3
( j )
( j )
( i )
( j )
16KG
26KG
36KG
46KG
56KG
66KG
1
3
123K ( i )
( j )
E3
423K
323K
1ˆ =iv
223K
 
Figura II.39 - Configuração 1ˆ6 =d , demais deslocamentos nodais nulos 
 
A partir das Figuras II.34 a II.39, podemos montar a matriz de rigidez da estrutura em função das 
matrizes de rigidez dos elementos como: 
 




















++
++
++
++
++
++
=
2222212124232423
1212111114131413
4241444443434241
3231343433333231
4241242344224321
3231141334123311
31311133
31311133
11212122
11212122
33223232
33223232
][
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KG 
 
 
 (II.80) 
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 29
Exercício resolvido II.2 
Determine os deslocamentos nodais, as reações de apoio e os esforços para a treliça representada na 
Figura II.40. 
2
7 10
m
KN
E =
módulo de elasticidade
seção transversal
20 cm
20 cm
50 KN
100 KN
5 m
o60 o60
a b
c
 
Figura II.40 – Treliça apoiada – geometria, carregamento e condições de apoio 
Solução 
Inicialmente estabelecemos o sistema global, a numeração global e a incidência dos elementos, como mostra a Figura 
II.41a. Note que ao definirmos as incidência dos elementos, estabelecemos também os respectivos sistemas locais e o 
ângulo de defasagem em relação ao sistema global XY (o ângulo α ), como representam as Figuras II.41 b a II.41d. 
 
3 2
1
X
Y
e1
e3 e2
3Fx
3Fy
0ˆ3 =v
2uˆ0ˆ3 =u
0ˆ2 =v
02 =Fx
2Fy
KNFx 501 =
KNFy 1001 −=
1uˆ
1ˆv
elem. nó jnó i
1
3 2
2
13
e1
e2
e3
a ) Sistema global
Tabela de incidênciaTabela de coodenadas
0,00 0,00
5,00 0,00
4,332,501
2
3
nó YX
 
e3
3
1
u'
1
v'
1
u'
3
v'
3
y'
x'
o60=α
d ) Sistema local - elemento e3
x'3 2
e1
'
3vˆ
'
2uˆ
'
3uˆ
'
2vˆ
y'
o0=α
b ) Sistema local - elemento e1
e2
2
1
u' 1
v' 1
u' 2
v' 2
y'
x'
o300=α
c ) Sistema local - elemento e2 
Figura II.41. Treliça apoiada – numeração nodal, incidência de elementos e sistemas de referência. 
 
a) Matrizes de rigidez locais 
Da Figura II.40, podemos verificar que todos os elementos têm o mesmo comprimento ( m 5=l ), 
mesma seção transversal (com área 22 10420,020,0 mA −×=×= ) e mesmo módulo de elasticidade. 
Assim, todos elementos têm a mesma matriz de rigidez local (equações (II.23) e (II.50)). Note que o 
sistema local do elemento e1 coincide com o sistema global XY. Então: 
 












−
−
×=












−
−
××=












−
−
===
−
00 00
01 01
00 00 
0101 
108
00 00 
01 01
00 00 
0101 
5
10410
00 0 0 
01 01
00 00 
0101 
]3[]2[]1[ 4
27
'''
l
EA
KKK
b) Matriz de rigidez global 
b.1) Matrizes de rigidez dos elementos referidas ao sistema global 
Da Figura II.41 temos: 01 =eα , 
o
e 3002 =α e 
o
e 603 =α . Assim, utilizando a equação (II.65): 
Elemento )(sen α )cos(α 
e1 0,000 1,000 
e2 -0,866 0,500 
e3 0,866 0,500 
; 












=
000,10,00000
0,000000,100
00000,10,000
000,000000,1
 ][ 1eRR 
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 30












=
500,00,86600
0,866-500,000
00500,00,866
000,866-500,0
 ][ 2eRR ; 












=
0,5000,866-00
0,8660,50000
000,5000,866-
000,8660,500
 ][ 3eRR 
 
Note que a matriz [RR] para o elemento e1 é a matriz identidade como esperado (XY e x’y’ 
coincidentes). Assim, para este elemento, a matriz de rigidez global é idêntica à local, ou seja: 
 
]1[]´][1][[]][1[][]1[ '1
'
1 KIKIRRKRRK e
T
e === 
 
Para os elementos e2 e e3, devemos fazer a rotação da matriz local conforme a equação (II.70): 
 
























−
−












=
500,00,86600
0,866-500,000
00500,00,866
000,866-500,0
00 00 
01 01
00 00 
0101 
 
500,00,86600
0,866-500,000
00500,00,866
000,866-500,0
10 8]2[ 4x 
T
K 
 
























−
−












=
0,5000,866-00
0,8660,50000
000,5000,866-
000,8660,500
00 00 
01 01
00 00 
0101 
 
0,5000,866-00
0,8660,50000
000,5000,866-
000,8660,500
10 8]3[ 4x 
T
K 
 
Assim: 












−
−
=
00 00 
000,800 000,800
00 00 
000,800000,800 
10]1[ 2K 
 












−−
−−
−−
−−
=
00,006 41,34600,60041,346 
41,34600,200 41,346 00,200
00,60041,346 600,00 41,346
41,346 00,20041,34600,200 
10]2[ 2K 
 












−−
−−
−−
−−
=
00,600 41,346- 00,60041,346
41,346- 00,200 41,34600,200
00,60041,34600,600 41,346 
41,34600,20041,346 00,200 
10]3[ 2K 
 
b.2) Matriz de rigidez da estrutura 
Podemos notar que a incidência dos elementos adotada na Figura II.41, assim como a numeração de 
nós e elementos, é convenientemente idêntica à adotada na Figura II.33 que utilizamos quando 
estudamos a montagem da matriz de rigidez da estrutura em duas dimensões (seção II.13.6). Assim, 
podemos obter a matriz de rigidez da estrutura utilizando a equação (II.80), que fornece a matriz de 
rigidez da treliça como: 
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 31
















=




















++
++
++
++
++
++
=
++−−
++−−
+−−
−−+−
−−−++−
−−−+−+
=
00,600041,34600000,60041,346
41,346000,20000,800000,80041,34600,200
0000,600041,346000,60041,346
000,80041.346000,20000,80041.34600,200
00,60041.34600,60041,34600,60000,60041,34641,346
41,34620041,34600,20041,34641,346200200
 210 
2222212124232423
1212111114131413
4241444443434241
3231343433333231
4241242344224321
3231141334123311
31311133
31311133
11212122
11212122
33223232
33223232
][
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KKKKKKKK
KG
 
Resultando em: 
v2u1 u3u2v1 v3




















−−
−−−
−−
−−−
−−−
−−−
=
00,600 41,346 0000,60041,346
41,346 00,1000 000,80041,34600,200
0000,600 41,34600,60041,346 
000,80041,34600,100041,346 00,200
00,60041,34600,60041,346 00,12000
41,34600,20041,34600,200000,400 
10][ 2KG
u1
u3
u2
v1
v2
v3 
C) Determinação dos deslocamentos e reações de apoio. 
Eliminando as linhas e colunas associadas aos deslocamentos prescritos ( 2vˆ , 3uˆ e 3vˆ ), obtemos a 
matriz ][ *KG : 










−
−
=
00,100041.34600,200
41.34600,12000
00,200000,400
10][ 2*KG => 










−
−−
−
= −−
00,125083,36000,625
83,36050,93742,180
00,62542,18050,2812
10][ 81*KG 
 
Os vetores de forças e de deslocamentos nodais associados aos deslocamentos livres são: 










=
2
1
1
*
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
u
v
u
d ; 










−=










=
0
100
50
}{
2
1
1
*
Fx
Fy
Fx
F ’ 
 
Os deslocamentos livres podem ser calculados como: 










−=










−










−
−−
−
== −−−
733,6 
277,10
866,15 
10
0
100
50
00,125083,36000,625
83,36050,93742,180
00,62542,18050,2812
10}{][}ˆ{ 48*1** FKGd 
 
A matriz ][ RKG é obtida a partir da matriz de rigidez da estrutura, eliminando-se as linhas 
associadas a deslocamentos nodais livres ( 1uˆ , 1ˆv e 2uˆ ) e as colunas associadas a graus de liberdade 
prescritos ( 2vˆ 3uˆ e 3vˆ ). Assim, obtermos as reações de apoio como: 
 










−=










−










−−
−−−
−−
==










−
70,6 
00,50
30.93 
733,6 
277,10
866,15 
10
000,60041,346
00,80041,34600,200
41,34600,60041,346
10}ˆ]{[ 42*
3
3
2
dKG
Ry
Rx
Ry
R 
 
Estácio ENG0814 
Prof. Rubens Mitri 
 32
A Figura II.42 mostra o diagrama de corpo livre, a configuração deformada , as forças e os 
deslocamentos nodais da estrutura. 
 
3 2
1
e3 e2
mu 41 1087,15ˆ
−×=
mv 41 1028,10ˆ
−×−=
mu 42 1073,6ˆ
−×=
0ˆ2 =v 0ˆ3 =v
0ˆ3 =u e1
 
3 2
1
e1
e3 e2
50,00 KN
100,00 KN
6,7 KN 93,3 KN
50,00 KN 0,00
 
 a) deslocamentos nodais b)diagrama de corpo livre 
 
















−
= −
0
0
0
73,6 
28,10
87,15 
10}ˆ{ 4d ; 
















−
−
=
70,6
00,50
30,93
0
00,100
00,50
}{F 
 b) vetor de deslocamentos s e forças nodais 
Figura II.42. Treliça apoiada – forças e deslocamentos nodais 
 
d) Determinação dos esforços nos elementos 
Como há sempre mais de um elemento conectado a cada nó, é preciso avaliar que parcela das 
forças nodais é absorvida por cada um dos elementos. As forças absorvidas por um elemento 
podem ser obtidas multiplicando-se a matriz de rigidez do elemento por seu vetor de 
deslocamento. O vetor de deslocamento dos elementos referidos ao sistema global são dados 
por: 














=














=
0
73,6 
0
0 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
2
2
3
3
1
v
u
v
u
de ; 














−
=














=
0
73,6 
28,10
87,15 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
2
2
1
1
2
v
u
v
u
de ; 














−
=














=
28,10
87,15 
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
}ˆ{
1
1
3
3
3
v
u
v
u
de 
 
Assim, as forças absorvidas por cada elemento, referidas ao sistema global são dadas por: 
 













−
=


























−
−
== −
0
87,53
0
87,53
0
73,6
0
0
10
00 00 
000,800 000,800
00 00 
000,800000,800 
10}ˆ]{1[}{ 4211 dKFe 
 














=














−












−−
−−
−−
−−
== −
30,93 
53,86-
30,93-
53,87 
0
 6,73 
28,10
87,15 
10
00,600 41,34600,60041,346 
41,34600,200 41,346 00,200
00,60041,346 00,600 41,346
41,346 00,20041,34600,200 
10}ˆ]{2[}{ 4222 dKFe 
 














−
−
=














−












−−
−−
−−
−−
== −
70,6
87,3
70,6 
87,3 
28,10
87,15 
0
0
10
00,600 41,346 00,60041,346
41,346 00,200 41,34600,200
00,60041,34600,600 41,346 
41,34600,20041,346 00,200 
10}ˆ]{1[}{ 4213 dKFe 
 
Na Figura II.43 representamos as forças nodais contidas nos vetores }{ 1eF a }{ 3eF . Note que no 
elemento e1 atuam apenas forças na direção do eixo do elemento, visto que o seu sistema local 
coincide com o global. Como conseqüência, as reações verticais são integralmente absorvidas 
pelos elemento e2 e e3. Na Figura II.42b verificamos que há uma carga vertical de 100KN 
aplicada no nó 1 e, na Figura II.43 notamos que 93,3% dessa força é absorvida pelo elemento 
e2, cabendo apenas 6,70% da carga para o elemento e3. Note ainda que as reações de apoio 
podem ser obtidas a partir da análise da figura. 
Estácio ENG0814 
Prof. Rubens Mitri 
 33
 
 
 
3 2
e153,87KN 53,87KN
 
2
1
e2
53,87KN
93,30KN
53,87KN
93,30KN
 
e3
3,87 KN
6,70 KN
3,87 KN
6,70 KN
1
3
 
 
Figura II.43 – Diagrama de corpo livre de elemento referido ao sistema global 
Os vetores de força dos elementos referidos aos respectivos sistemas de coordenadas locais podem 
ser calculados como: 













−
==
0
87,53
0
87,53
}]{[}{ 11
'
1 eee FRRF ; 














−
==
0
73,107
0
73,107
}]{[}{ 22
'
2 eee FRRF ; 














−
==
0
74,7
0
74,7
}]{[}{ 33
'
3 eee FRRF 
As forças contidas nos vetores }{ '1eF a }{
'
3eF permitem traçar diagramas de corpo livre dos