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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Ca´lculo II
Prof.: Francisco Petrucio Data: 03/02/2016
LISTA DE EXERCI´CIOS - SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
1. Calcule os seguintes limites quando a sequeˆncia convergir, ou diga porque a sequeˆncia
diverge:
(a) lim
n→∞
(n+ 1)!
(n+ 2)!
(b) lim
n→∞
[ln(n+1)−ln(n+√n)] (c) lim
n→∞
(n− e
n
)n
(d) lim
n→∞
sen
(npi
2
)
(e) lim
n→∞
(n+ lnn)
1
n (f) lim
n→∞
(4n+ 1)5
7n3 + 6n2 + 3
(g) lim
n→∞
n!
3 · 5 · 7 · . . . · (2n+ 1)
2. Considere a sequeˆncia
{ 3n
n+ sen(2n)
}∞
n=1
.
(a) Essa sequeˆncia possui um limite?
(b) Essa sequeˆncia converge?
(c) Essa sequeˆncia e´ limitada?
(d) Essa sequeˆncia e´ mono´tona?
3. Considere a sequeˆncia dada por a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an, n ≥ 1.
(a) Essa sequeˆncia e´ mono´tona?
(b) Essa sequeˆncia e´ limitada?
(c) Essa sequeˆncia e´ convergente? Qual e´ o seu limite?
4. Considere a sequeˆncia dada por a1 = 1 e an+1 = 1 +
1
1 + an
, n ≥ 1.
(a) Essa sequeˆncia e´ mono´tona?
(b) Essa sequeˆncia e´ limitada?
(c) Essa sequeˆncia e´ convergente? Qual e´ o seu limite?
5. Seja sn a soma parcial da se´rie
∑∞
n=1 an.
(a) Por definic¸a˜o, quando
∑∞
n=1 an e´ convergente?
(b) Por definic¸a˜o, quando
∑∞
n=1 an e´ absolutamente convergente?
(c) Por definic¸a˜o, quando
∑∞
n=1 an e´ condicionalmente convergente?
(d) Se
∑∞
n=1 an e´ divergente, o que podemos dizer sobre
∑∞
n=1 |an|?
6. Se a n-e´sima soma parcial da se´rie
∞∑
n=1
an e´ sn =
n− 1
n+ 1
, encontre an e
∞∑
n=1
an.
7. Seja {an}∞n=1 uma sequeˆncia tal que an > 0 para todo n e lim
n→∞
an+1
an
= L < 1. Encontre
o limite dessa sequeˆncia.
8. Uma se´rie
∑∞
n=1 an e´ definida pela sequeˆncia a1 = 1 e an+1 =
an
arctg(n)
, para n ≥ 1.
Determine se
∑∞
n=1 an converge ou diverge.
9. Encontre o limite da sequeˆncia convergente {an} tal que a1 = 1 e an+1 = an + 1
2n+1
para n ≥ 1.
10. Teste a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
arctg(n) (b)
∞∑
n=1
(−1)n n
n2 + 1
(c)
∞∑
n=2
lnn
n
(d)
∞∑
n=1
(5n+ 1)n
n2n
(e)
∞∑
n=1
n!
nn
(f)
∞∑
n=1
1 + 2n+ n3√
1 + n4 + n8
(g)
∞∑
n=1
1
n+ 7n
(h)
∞∑
n=1
cosn
1 + 2n
11. Encontre a soma das se´ries.
(a)
∞∑
n=1
(2
5
)n
(b)
∞∑
n=0
(−1)npi2n+1
32n+1(2n+ 1)!
(c)
∞∑
n=0
(−1)npi2n
(2n)!
(d)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
(e)
∞∑
n=0
pi
n+2
2
n!
(f)
∞∑
n=1
e(n+1)
pi(n−1)
(g)
∞∑
n=1
[arctg(n+ 2)− arctg(n)]
12.
∞∑
n=1
1
n11/10
=
N∑
n=1
1
n11/10
+RN e´ uma p-se´rie.
(a) Encontre o limite superior integral para o resto RN .
(b) Qual e´ o menor valor de N que garante que RN ≤ 110?