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– Página 2.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO CAPÍTULO 02 LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 µC. A uma distância de 2 m de sua extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 µC. Obter o ponto no espaço onde o campo elétrico seja nulo. Resolução: � Definições: P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo. 1E � é o campo elétrico gerado em P pela carga Q. 2E � é o campo elétrico gerado em P pelo fio. � Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q: )( )( x2 o 1 d24 Q aE � � − − = piε , onde Q = 2µC. (01) � Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio: ∫ +− = x2 o L 2 dx24 dL aE � � )(piε ρ ,onde: [ ] = =⇒= ∆ ∆ = dxdL m C1 m2 C2 L Q LL ρ µρ (02) De (01), conclui-se que ∫ = +− = 2 0x x2 o L 2 dx24 dx aE � � )(piε ρ (03) Substituição de variáveis na integral: −= +−= dxdu dx2u (04) Substituindo (04) em (03), temos: + −−=∴ +− −=⇒ − =⇒= = = − ∫ d2 1 d 1 4 dx2 1 41 u 4u du 4 o L 2 x 2 0xo L 2x 2 0x 1 o L 2x2 o L 2 piε ρ piε ρ piε ρ piε ρ E aEaEaE � ������ (05) – Página 2.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 021 =+ EE �� . (06) Substituindo (01) e (05) em (06), temos: ][ )())(()( )()( m 3 2d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4 0d2dd2d2d2d2 0 d2 1 d 1 d2 20 d2 1 d 1 4 101 d24 102 323222 22 2 o 6 2 o 6 =⇒=+−+−+−−+−+ =−+−+−+ = + +− − ⇒= + − ⋅ − − ⋅ −− piεpiε Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m] 2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no vácuo. a) Determinar E� em P (1, 3, -4 ); b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com ρS = 18 ηC/m2, determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo. Resolução: a) � Campo elétrico para uma linha de cargas: ρρpiε ρ aE � � o L L 2 = , onde: = ρ ρρ ρ ρ �� � � de unitário o é P ponto o para linha da dirigido vetor o é a (01) � Cálculo de ρ� e de ρ: yxzyx 205321 aaaaa ������� −−=⇒+−+−= ρρ )()( (02) 521 22 =⇒+= ρρ � Cálculo de ρa � : 5 2 yx aa a �� � � � −− == ρ ρ ρ (03) – Página 2.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (02) e (03) em (01), temos: ][ )( mV 360180 2180 5 2 52 1050 yx yx yx o 9 aaE aaE aa E ��� ��� �� � −−= −−=⇒ −− ⋅ ⋅ = − piε b) Para TE � ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha. � Campo elétrico para uma linha de cargas: ρρpiε ρ aE � � o L L 2 = , onde: = ρ ρρ ρ ρ �� � � de unitário o é P ponto o para linha da dirigido vetor o é a (01) � Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas: N o S P 2 aE � � ε ρ = , onde: 0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na � (02) � Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha: −+− −+− = −+−=−+−= 22 yx 22 yx 5y2x 5y2x 5y2x ; 5y2x )()( )()( )()()()( aa a aa �� � ��� ρ ρρ (03) – Página 2.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (03) em (01), temos: 22 yx 22 o L L o L L 5y2x 5y 2x 5y2x22 )()( )()( )()( −+− −+− −+− =⇒= aa EaE �� ��� piε ρ ρpiε ρ ρ ])()[( ])()[( yx22 o L L 5y 2x 5y2x2 aaE �� � −+− −+− =∴ piε ρ (04) � Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície: xN aa �� −= (05) Substituindo (05) em (02), temos: x o S P 2 aE � � ε ρ −= Mas 0PLT =+= EEE ��� (07) Substituindo (04) e (06) em (07): =⇒= − ⇒=− −+− − =⇒= −+− − ∴ = −+− − + − −+− − = ⋅ ⋅ − −+− −+− ⋅ −+−⋅ ⋅ =− −+− −+− ⋅ −+− = − − − − 88,2x 324 2x 9000324 5y2x 2x900 5y 0 5y2x 5y900 0 5y2x 5y900 324 5y2x 2x900 0 36 102 1018 5y2x 5y 2x 5y2x 36 102 1050 0 25y2x 5y 2x 5y2x2 22 22 y22x22 x9 9 22 yx 22 9 9 x o S 22 yx 22 o L T pipi pi pipi pi ε ρ piε ρ )()( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()( )()( )()( )()( )()( )()( aa a aa a aa E �� � �� � �� � Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0). 2.3) Oito cargas pontuais de 1 µC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m de lado, no espaço livre. Encontrar E � no centro: a) do cubo; b) de uma face do cubo; c) de uma aresta do cubo; (06) – Página 2.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Resolução: P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo; K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face; M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta. a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição. Logo, o campo elétrico em P é nulo. b) KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG ��������� +++++++= , onde: D; em carga pela em gerado campo o é H; em carga pela em gerado campo o é E; em carga pela em gerado campo o é A; em carga pela em gerado campo o é F; em carga pela em gerado campo o é B; em carga pela em gerado campo o é C; em carga pela em gerado campo o é G; em carga pela em gerado campo o é D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é D H E A F B C G KE KE KE KE KE KE KE KE KE K K K K K K K K K � � � � � � � � � Por simetria: 0FBCG =+++ KKKK EEEE ���� , o que torna KKKKK EEEEE DHEA ����� +++= . (01) � Cálculo de KEA � : K K k aE AR2 Ao A R4Q �� piε = , onde: = . ; ; KK KK K Ra R KAR AAR AA A de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� � � – Página 2.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO K K KKK R aaaaR A A ARAzyxA R ; 51R ; 5050 � ����� ==++= ,,, K K k RE A23 Ao A R4 Q �� piε =∴ (02) � Cálculo de KEE � : K K k aE ER2 Eo E R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; KK KKKK K Ra RR KER EER AEAE E de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � K K KKKK R aaaaR A E ERAEzyxE R ; 51RR ; 5050 � ����� ===++−= ,,, K K k RE E23 Ao E R4 Q �� piε =∴ (03) � Cálculo de KEH � : K K k aE HR2 Ho H R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; KK KKKK K Ra RR KHR HHR AHAH H de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � K K KKKK R aaaaR A H HRAHzyxH R ; 51RR ; 5050 � ����� ===−+−= ,,, K K k RE H23 Ao H R4 Q �� piε =∴ (04) � Cálculo de KED � : K K k aE DR2 Do D R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; KK KKKK K Ra RR KDR DDR ADAD D de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � K K KKKK R aaaaR A D DRADzyxD R ; 51RR ; 5050 � ����� ===−+= ,,, K K k RE D23 Ao D R4 Q �� piε =∴ (05) – Página 2.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01): )( KKKK K k RRRRE DHEA23 AoR4 Q ����� +++= piε (06) Mas: yDHEA zyxzyxzyxzyxDHEA 4 5050505050505050 aRRRR aaaaaaaaaaaaRRRR KKKK KKKK ����� ���������������� =+++∴ −++−+−+++−+++=+++ ),,(),,(),,(),,( Substituindo (07) em (06) ,temos: [ ] m V 57,19 57,19 51 4 104 R4 Q4 y y23 o 9 y23 Ao =⇒= ⋅ =⇒= − kk k K k EaE aEaE ��� ���� ,piεpiε c) MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE ��������� +++++++= , onde: D; em carga pela em gerado campo o é C; em carga pela em gerado campo o é G; em carga pela em gerado campo o é H; em carga pela em gerado campo o é B; em carga pela em gerado campo o é A; em carga pela em gerado campo o é F; em carga pela em gerado campo o é E; em carga pela em gerado campo o é D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é D C G H B A F E ME ME ME ME ME ME ME ME ME M M M M M M M M M � � � � � � � � � Por simetria: 0FE =+ MM EE �� Portanto: MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA ������� +++++= (01) � Cálculo de MEA � : M M M aE AR2 Ao A R4 Q �� piε = , onde: = . ; ; MM MM M Ra R MAR AAR AA A de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� � � (07) – Página 2.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO M M MMM R aaaaR A A ARAzyxA R ; 251R ; 050 � ����� ==++= ,, M M M RE A23 Ao A R4 Q �� piε =∴ (02) � Cálculo de MEB � : M M M aE BR2 Bo B R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; MM MMMM M Ra RR MBR BBR ABAB B de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � M M MMMM R aaaaR A B BRABzyxB R ; 251RR ; 050 � ����� ===+−= ,, M M M RE B23 Ao B R4 Q �� piε =∴ (03) � Cálculo de MEH � : M M M aE HR2 Ho H R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; MM MMMM M Ra RR MHR HHR AHAH H de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � M M MMMM R aaaaR A H HRAHzyxH R ; 251RR ; 500 � ����� ===−+= ,, M M M RE H23 Ao H R4 Q �� piε =∴ (04) � Cálculo de MEG � : M M M aE GR2 Go G R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; MM MMMM M Ra RR MGR GGR AGAG G de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � M M MMMM R aaaaR A G GRAGzyxG R ; 251RR ; 500 � ����� ===−−= ,, M M M RE G23 Ao G R4 Q �� piε =∴ (05) – Página 2.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO � Cálculo de MED � : M M M aE DR2 Do D R4 Q �� piε = , onde: = . ; ; MM MM M Ra R MDR DDR DD D de versor um é R ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� � � M M MMM R aaaaR D D DRDzyxD R ; 252R ; 50 � ����� ==−+= ,, M M M RE D23 Do D R4 Q �� piε =∴ (06) � Cálculo de MEC � : M M M aE CR2 Co C R4 Q �� piε = , onde: === . ; ; MM MMMM M Ra RR MCR CCR DCDC C de versor um é RR ponto ao em carga da dirigido vetor o é �� �� � M M MMMM R aaaaR D C CRDCzyxC R ; 252RR ; 50 � ����� ===−−= ,, M M M RE C23 Do CG R4 Q �� piε =∴ (07) Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: + + +++ = 23 D CD 23 A GHBA o RR4 Q M MM M MMMM M RRRRRR E ������ � piε (08) Mas: zxGHBA zyzyyxyxGHBA 22 50505050 aaRRRR aaaaaaaaRRRR MMMM MMMM ������ ������������ −=+++∴ −+−+−++=+++ ),(),(),(),( e zxCD zyxzyxCD 22 5050 aaRR aaaaaaRR MM MM ���� �������� −=+∴ −−+−+=+ ),(),( Substituindo (09) e (10) em (08), temos: [ ] m V 7625 21182118 252 22 251 22 4 101 zx 23 zx 23 zx o 9 ,,, ,, =⇒−= − + −⋅ = − MM M EaaE aaaa E ���� ���� � piε (09) (10) – Página 2.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEEDDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo ρL = 10pi ηC/m para z ≥ 0 e ρL = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante. � Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano: z o S PzNN o S P 2 :onde 2 aEaaaE � ����� ε ρ ε ρ =⇒== , (01) � Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha: z9 z3 z9R z3 onde R4 dz 2 zy R 2 zy R2 o L L + − = +== −= = ∫ aa a R aaR aE �� � � ��� �� , piε ρ z232 o L y232 o L L zy232 zy o L L z9 zdz 4z9 dz3 4 dz z9 z3 4 aaE EE aa E ��� �� �� � ∫∫ ∫ + − + = += + − = )()( )( )( piε ρ piε ρ piε ρ z9 zdz 4 z9 dz3 4 z232 o L z y232 o L y + −= + = ∴ ∫ ∫ aE aE �� �� )( )( piε ρ piε ρ (02) (03) (04) – Página 2.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a condição de zP EE �� = deve ser satisfeita. Fazendo (01) = (04), temos: ∫ + = 2322 o L o S z3 zdz 42 )(piε ρ ε ρ (05) Substituição de variáveis na integral: = = θθ θ d3dz 3tg z 2sec (06) Substituindo (06) em (05), temos: [ ] m C 3 5 3 105 d 3 105 27 d3tg3 2 1010 2S 90 0 9 S 9 S3 29 S =⇒− ⋅ = ⋅ =⇒⋅ ⋅ = ° = − −− ∫∫ ηρθρ θ θ θθρ θ θθθ pi piρ θcos cos cos.sen sec sec. � Cálculo do campo elétrico resultante ( TOTALE � ): Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente na direção de ya � , conclui-se que yTOTAL EE �� = (07) Substituindo (03) em (07), temos: y2322 o L TOTAL z3 dz3 4 aE � � ∫ + = )(piε ρ (08) Substituição de variáveis na integral: = = θθ θ d3dz 3tg z 2sec (09) Substituindo (09) em (08), temos: [ ] [ ] m V 1294 6 105 d 6 105 27 d33 4 1010 TOTALy 90 0 o 9 TOTAL y o 9 y3 2 o 9 TOTAL ,sen cos sec sec. =⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ = ° = − −− ∫∫ EaE aaE ��� ��� θθε θθ εθ θθ piε pi – Página 2.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.5) Dado o campo vetorial ( ) zyx2 xyzyx aaaD ��� � +++= [C/m2]. Determinar o fluxo de D � através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela reta x z+ = 1 . Dados: ( ) = +++= y zyx 2 dxdz xyzyx adS aaaD � ���� ; Resolução: ( ) [ ]C 6 1 3 111 2 1 3 x xx 2 1 dx 2 xx21dx 2 x1 dx 2 z zdzdxdzdxzy dxdz xy zyx 1 0x 3 2 1 0x 21 0x 2 1 0x 1 0x x1 0z 2x1 0z 1 0x x1 0z 0y S yzyx 2 S =Φ⇒ +−=Φ⇒ +−=Φ +− =Φ⇒−=Φ =Φ⇒=Φ⇒+=Φ •+++=Φ⇒•=Φ = == = = − = − == − = = ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ )( )( )( )( aaaadSD ���� � 2.6) Dado o campo y3x2 y5 yx15 aaE ��� += , encontrar, no plano xy: a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 ); b) um vetor unitário Ea � especificando a direção de E � no ponto P; c) um vetor unitário Na � que é perpendicular a E � no ponto P. Resolução: = = ⇒+=+= 3 y 2 x y 3 x 2 yyxx y5 yx15 y5 yx15 E E EE aaaaE ���� � a) Dados: P ( 2, 3, -4 ) c x 1 y 1 3 x dx y dy3 x dx y dy3 x3 y dx dy yx15 y5 dx dy dx dy 22 222 2 2 3 y x +−= −⇒= =⇒=⇒=⇒= ∫ ∫ E E (01) – Página 2.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos: 2 1 -c c 2 1 3 1 3 =⇒+−= − (02) Substituindo (02) em (01), temos: 2 1 x 1 y 3 - −−= Portanto, a Equação da linha de Força é: 0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - =−=++ b) ). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE �� yxPy 3 x 2 P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE ������ +=⇒+=∴ )().( yxE yx E 22 yx E P P E 60 80 225 135 180 135180 135 180 aaa aa a aa a E E a ��� �� � �� � � � � ,, +=⇒ + = + + =⇒= c) = ⊥=• += versor.um é pois 1 pois 0 :que modo de n m Seja NN ENEN yxN aa aaaa aaa �� ���� ��� , ;, De (01), conclui-se que: n75,0-m n 0,8 0,6 -m n6,0 m8,0 0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx =⇒=⇒−= =+⇒=+•+ aaaa ),,()( ���� De (02), conclui-se que: 1n m 22 =+ (04) Substituindo (04) em (03) ,temos: 8,0 n 640n 7501 1 n 1nn) (-0,75 2 2 222 ±=⇒=⇒ + =⇒=+ ,, ),( (05) Substituindo (05) em (03), temos: 6,0 m 0,8)( . -0,75m ∓=⇒±= (06) Substituindo (05) e (06) em (01), temos: yxN 80 6,0 aaa �� ∓ � ,±= (01) (02) – Página 2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 1 2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade ρS constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases. Resolução: Sabe-se que zRzRR21R aaaEEE ������ EEE ++=+= φφρρ onde, RE � é o campo resultante, 1E � é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 2E � é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2). Devido à simetria das distribuições, RE � não apresenta componentes nas direções de φρ aa �� de e ( 0RR == φρ EE ). Deste modo, as componentes de 1E � e de 2E � na direção de za � definem a direção e a magnitude de RE � .Assim, z2z1R 22 EEE ��� == . (01) � Cálculo de 1E � : + +− = +=+−= ∴ = = = 22 z R 22 z R R2 o S 1 a a aR ; a de unitário um é R ); a 0, 0, ( ponto o para área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é d d dS onde , R4 dSd ρ ρ ρρ φρρ piε ρ ρ ρ aa a aaR Ra R R aE �� � ��� �� � � �� . ; ; Substituindo (02) em (01), temos: z111z2322 o S 1 )a a4 dd d EEEaaE ������ +=⇒+− + = ρρρρpiε φρρρ ( )( (03) (02) – Página 2.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO a4 dd a ) SimetriaPor ( 0 )a a4 dd 2 0 a 0 z2322 o S z1 1 2 0 a 0 z2322 o S 1 + = = ∴ +− + = ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = pi φ ρ ρ pi φ ρ ρ ρpiε φρρρ ρ ρpiε φρρρ aE E aaE �� � ��� )( ( )( � Cálculo de RE � : Substituindo (05) em (01), temos: ∫∫ ∫ ∫ == = = + = + = a 0 z2322 2 0o S R 2 0 a 0 z2322 o S R d a d 4 a2 a4 d d a 2 ρ pi φ pi φ ρ ρ ρ ρφ piε ρ ρpiε φρρρ aE aE �� �� )( )( Substituição de variáveis na integral: = = θθρ θρ d ad tg a 2sec Substituindo (07) em (06), temos: [ ] [ ] [ ]mV 2 1 -1 )(-cos0-)(-cos45 cos- d sec a d sec tga sec a d sec a tga2 4 a2 z o S R z o S Rz 4 0 o S R z 4 0o S Rz 4 0 33 23 o S R z 4 0 33 2 o S R aE aEaE aEaE aE �� ���� ���� �� =∴ °°=⇒= =⇒= ⋅= = == = ∫∫ ∫ ε ρ ε ρθ ε ρ θθ ε ρ θ θθθ ε ρ θ θθθ pi piε ρ pi θ pi θ pi θ pi θ sen (04) (05) (06) =⇒= °=⇒= 4a 00 piθρ θρ (07) – Página 2.16 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está yE no seu máximo. Resolução: � Cálculo do campo elétrico para a carga pontual: + ++ = +=++= ∴ == 2 zyx R 2 zyx R R2 o y10 3y y10R ; 3y de unitário um é R ) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é onde , R4 Q aaa a aaaR Ra R R aE ��� � ���� �� � � �� piε Substituindo (02) em (01), temos: ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ∴ + ++ ⋅=⇒ + ++ ⋅ + = y104 Q3 y104 Q y y104 Q y10 3y 4 Q y10 3y y104 Q z232 o z y232 o y x232 o x 232 zyx o2 zyx 22 o aE aE aE aaa E aaa E �� �� �� ��� � ��� � )( )( )( )()( piε piε piε piεpiε De (03), conclui-se que 232 o yy y10 y 4 Q E )( + ⋅== piε E � (01) (02) (03) – Página 2.17 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO � Cálculo de máxy E : 0 y10 .y y2 . y102 3y10 4 Q 0 y E 32 212232 o y = + +−+ ⋅⇒= ∂ ∂ )( )()( piε 5y y3y10 y3 y10 y10yy103y10 22 2 212 232 2212232 ±=⇒=+ = + + ⇒+=+ )( )( .).()( Logo, maxy E ocorre nos pontos ( ) ( )3, 5, -1 e 3, 5, 1 .
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