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– Página 3.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA CAPÍTULO 03 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 3.1) Dentro da região cilíndrica ρ ≤ 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo ρρ aD � � 35= C/m2. a) Qual a densidade volumétrica de carga em ρ = 3 m? b) Qual a densidade de fluxo elétrico em ρ = 3 m? c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? d) Quanto de carga existe dentro do cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? Resolução: a) Dados: = =⇒= m3 55 33 ρ ρρ ρρ DaD � � =⇒= =⇒⋅=⇒⋅= ⋅=⇒+⋅+⋅=•∇= 3v 2 v 3 v 4 v vv m C 180 3m araP 20 201 51 1 z z11 ρρ ρρρ ρ ρ∂ρ ρ∂ ρ ρ ∂ρ ρρ∂ ρ ρ∂ ∂ ∂φ φ∂ ρ∂ρ ρρ∂ ρ ρ )( )D(DD)D( D �� b) === 2 3 m C 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe ρρ ρρ aDaD � � � � . c) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•=Ψ vol vinterna S dvQ ρdSD � [ ]C 4050 .5 2 .3 . 52,5 52z 2 0 dz d 45 m3 dz d 5 dz d 5 onde , 4 3 2,5 52z 2 0 3 S aa adS aDdSD pipi pi φ φρ ρ φρρ φρ ρ ρρ pi φ ρ ρ =Ψ⇒=Ψ⇒∫ −= ∫ = = =Ψ •=Ψ∴ = = •=Ψ ∫ ∫ ∫ −= = , )( )()( , �� � � � � d) Pela Lei de Gauss, ∫∫ ==•=Ψ vol vinterna S dvQ ρdSD � . Logo, [ ]C 4050Qinterna pi= – Página 3.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.2) Dado o campo ( ) +−= 2 2 2 m C 220 φρ φφρ aaD �� � sensen , encontrar a carga total que se encontra dentro da região, 1 2 0 2 0 1< < < < < <ρ φ pi, / , .z Resolução: Dados: ( ) 220 e 20 220 22 2 2 2 =−=∴ +=+−= ρ φ ρ φ φφ ρ φρ φφρρφρ sen D sen D DDsensen aaaaD ���� � De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: ∫∫ •∇=•= volS interna dvQ DdSD �� (01) � Cálculo de D �� •∇ : ( )φ ρρ φ ρ φφ ρ ρ φ ρ φ φ ρρρρ φ ρ φ ∂φ ∂ ρρ φ ∂ρ ∂ ρ ∂ ∂ ∂φ φ∂ ρ∂ρ ρρ∂ ρ 2311023010 22 2 2 2 120 24020 22201120 2201201 z z11 333 3 33 2 22 2 2 2 cos cos cos cos cossen cos sen sensen DD)D( +=•∇⇒+=•∇ +−=•∇ +=•∇ ⋅⋅+ −⋅−=•∇ ⋅⋅+ −⋅⋅=•∇ +⋅+⋅=•∇ DD D D D D D ���� �� �� �� �� �� (02) – Página 3.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Substituindo (02) em (01), temos: ( ) [ ] [ ]C 2 5Q 1 2 10 2 10Q 1 0zz2 2310Q dz d d 23110Q internainterna 2 0 2 1 interna 1 0z 2 0 2 1 3interna pipi φφ ρ φρρφ ρ pi φρ pi φ ρ =⇒+ ⋅ +−= = ⋅ +⋅ −= += == = = = ∫ ∫ ∫ sen cos 3.3) Dado o campo = 2m C 4r 20 θ φθ aD �� sensen , na região, 3 4< <r , 0 4< <θ pi / , 0 2< <φ pi , determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos diferentes Resolução: Dados: =⇒= = 4r 20 4r 20 φθφθ θθθθ sensenDDsensen aaD �� � De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: ∫∫ •∇=•= volS interna dvQ DdSD �� 1o modo: ∫ •∇= vol interna dvQ D � � Cálculo de D �� •∇ : ∂φ φ∂ θ∂θ θθ∂ θ∂ ∂ D r 1D r 1 r rDr r 1 2 2 sen )sen( sen )( ++=•∇ D �� – Página 3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA ( ) ⋅⋅=•∇ ⋅ ⋅⋅=•∇ ⋅⋅=•∇ 4r 40 2 4r 20 r 1 4r 20 r 1 2 2 φθ θθφ θ φθ∂θ ∂ θ sencos cossensen sen sensen sen D D D �� �� �� � Cálculo de internaQ : ∫ ∫ ∫ = = = ⋅⋅= 4 3r 4 0 2 1 2 2interna d drd r4r 40Q pi θ pi φ φθθφθ sensencos [ ] [ ] ( ) [ ]C 40Q 0 2 40 2 10Q 4 42 2 120Q d 4 d 220Q d 4 d 2r20Q d 4 d dr40Q interna interna 2 0 4 0interna 4 0 2 0 interna 4 0 2 0 4 3rinterna 4 0 2 0 4 3r interna = °− −⋅ °− ⋅−= −⋅⋅ −⋅= ⋅⋅= ⋅⋅⋅= ⋅⋅= = = = = = = = = == ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ coscoscoscos coscos sensen sencossen sencossen pipi φθ φφθθ φφθθθ φφθθθ pi φ pi θ pi θ pi φ pi θ pi φ pi θ pi φ 2o modo: ∫ •= S internaQ dSD � ∫∫∫∫ •+•+•=•= BaseTopoLateralS internaQ dSDdSDdSDdSD ���� (01) Para a Lateral ) 4 ( drd 4 20 drd r 2 piθ φφθ φθ θ = ⋅=•∴ = sensen sen dSD adS � � (02) – Página 3.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Para o Topo ) 4r ( 0 d d r r 2 = =• = dSD adS � �φθθsen (03) Para a Base ) 3r 0 d d r r 2 = =• = ( sen dSD adS � �φθθ (04) Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: ( ) φφ φφθ pi φ pi φ piθ d 4 dr10Q drd 4 20Q 2 1 4 3r interna 2 0 4 3r 2 4 interna ∫∫ ∫ ∫ == = = = ⋅= ⋅= sen sensen [ ] [ ]C 40Q 04 2 410Q 4 4r10Q internainterna 2 0 4 3rinterna =⇒ °+ −⋅= −⋅⋅= = = coscos cos pi φ pi φ 3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica ρv . Determine o campo elétrico em função do raio r. Resolução: Pela Leide Gauss: ∫∫ ==• vol vinterna S dvQ ρdSD � � Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED �� – Página 3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA � Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: ∫∫ ==• vol vinterna S dvQ ρdSD � , onde == = r 2 r rr d d r aadS aD φθθsendS D r2 33 v22 33 v r 33 v 2 r 2 0 2 0 r r 2 v 2 0 2 0 2 r r r 3r r 3 r 3 4 r 4 d d dr r d d r aD )()(D)(D sensenD aa a a − ⋅=⇒ − ⋅=⇒−⋅⋅=⋅ =⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫ = = == = ρρpiρpi φθθρφθθ pi φ pi θ pi φ pi θ Mas ED ε= e oεε = . Portanto: r2 33 o v2 r r 3 aE )( a−⋅= ε ρ � Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r ≥ b: ∫∫ ==• vol vinterna S dvQ ρdSD � , onde == = r 2 r rr d d r aadS aD φθθsendS D r2 33 v32 33 v r 33 v 2 r 2 0 2 0 r 2 v 2 0 2 0 2 r r3r33 4 r 4 d d dr r d d r aD )()(D)(D sensenD abab ab b a − ⋅=⇒ − ⋅=⇒−⋅⋅=⋅ =⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫ = = == = ρρpiρpi φθθρφθθ pi φ pi θ pi φ pi θ Mas ED ε= e oεε = . Portanto: r2 33 o v3 r3 aE )( ab −⋅= ε ρ Área da esfera Volume da casca esférica Área da esfera Volume da casca esférica – Página 3.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com [ ] m C 4L piρ = , e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com = 2S m C 20ρ . Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, centrada na origem Resolução: Lei de Gauss: internaQ=Ψ , onde PlanoLinhainterna QQQ += (01) � Cálculo de LinhaQ : [ ] [ ]C 16Qz4Q dz 4QdLQ Linha 2 2zLinha 2 2z Linha L LLinha pipi piρ =⇒⋅= =⇒= −= −= ∫∫ � Cálculo de PlanoQ : [ ] [ ]C 60Q 2 20Q d d 20QdSQ Plano 3 0 2 2 0Plano 2 0 3 0 Plano S SPlano pi ρφ φρρρ ρ pi φ pi φ ρ =⇒ ⋅⋅= =⇒= = = = = ∫ ∫∫ Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [ ]C 76 6016Q interna pipipi =Ψ⇒+==Ψ 2 -2 (03) (02) – Página 3.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo elétrico ψ que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por βφα << . Resolução: 1o modo: Lei de Gauss: ∫∫ ==⋅•=Ψ vol vinterna S dvQ ρdSD � = = •=Ψ ∫ r 2 r2 S d d r r4 Q onde , adS aD dSD � � � � φθθ pi sen ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = ⋅=Ψ ⋅ =Ψ β αφ pi θ β αφ pi θ θθφ pi φθθ pi 0 0 2 2 d d 4 Q d d r r4 Q sen sen [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ]C 2 Q 0 4 Q 4 Q 0 αβ pi piαβ pi θφ pi pi θ β αφ −⋅=Ψ⇒°+−⋅−⋅=Ψ −⋅⋅=Ψ == coscos cos 2o modo: Considerando a esfera de raio r na sua totalidade: == =Ψ 2 esf esf r4Sesfera da Área Q pi (01) Considerando somente a casca esférica α φ β< < : ⇒ cascaΨ = ? [ ] [ ] ( )αβ θφθθφ φθθ pi θ β αφ β αφ pi θ β αφ pi θ −=∴ −⋅=⇒⋅= === == = = = = ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2 casca 0 2 casca 0 2 casca 0 2 cascaS cascacasca r2S rS d rdS d d rdSScasca da Área cossen sen (02) – Página 3.9 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Através de uma regra de três, encontramos: esf casca esfcasca S S ⋅Ψ=Ψ . (03) Substituindo (02) e (03) em (01),temos: ( ) ( )αβ pipi αβ −⋅=Ψ⇒−⋅=Ψ 2 Q r4 r2Q casca2 2 casca 3.7) Dado o campo m C 2 20 2 = φρ φ aD � � cos , na região, 21 << ρ , 20 /piφ << , 3z0 << , determinar a carga total contida no interior da região. Resolução: Dados: = =⇒= = dzdddv 2 20 2 20 φρρ ρ φ ρφ φφφφ cos DDcos aaD �� � De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: ∫∫ •∇=•= volS interna dvQ DdSD �� 1o modo: ∫ •∇= vol interna dvQ D � � Cálculo de D �� •∇ : z z11 ∂ ∂ ∂φ φ∂ ρ∂ρ ρρ∂ ρ DD)D( +⋅+⋅=•∇ D �� ⋅⋅=•∇ ρ φ ∂φ ∂ ρ 2 20 1 cos D �� 2 2 10 2 1 2 201 ρ φ φ ρρ −=•∇⇒ ⋅ −⋅−=•∇ sen sen DD ���� – Página 3.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA � Cálculo de internaQ : ∫ ∫ ∫ = = = ⋅−= 3 0z 2 0 2 1 2interna dz d d 2 10Q pi φ ρ φρρφ ρ sen [ ] [ ] ( ) ( ) [ ]C 183,12Q302 4 21210Q z 2 210Q dz 2 d10Q internainterna 3 0z 2 0 2 1interna 2 0 3 0z 2 1 interna −=⇒⋅ °+ −⋅−−= −−= ⋅ ⋅−= = = = = == ∫ ∫∫ coscoslnln .cos.ln. sen pi φρ φ ρ ρ pi φ ρ pi φρ 2o modo: ∫ •= S internaQ dSD � ∫∫∫∫∫∫∫ •+•+•+•+•+•=•= BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD ������� (01) Para a Lateral Esquerda ⋅−=• −= dzd 2 20 dz d ρφ ρ ρ φ cosdSD adS � � (02) Para a Lateral Direita ⋅=• = dzd 2 20 dz d ρφ ρ ρ φ cosdSD adS � � (03) Para a Frente =• = 0 dzd dSD adS � � ρφρ (04) Para o Fundo =• −= 0 dzd dSD adS � � ρφρ (05) Para o Topo =• = 0 dd z dSD adS � �φρρ (06) Para a Base =• −= 0 dd z dSD adS � �φρρ (07) – Página 3.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]C 181,12Q 122301260Q z210z20Q dzd 2 220dzd20Q dzd 2 120dzd 2 120Q internainterna 3 0z 2 1 3 0z 2 1interna 2 1 2 1 3 0z 3 0z interna 3 0z 2 1 2 3 0z 2 1 0 interna −=⇒−+−−= +−= ⋅⋅+⋅−= ⋅+ ⋅−= ==== = = == = = = = = = ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ lnlnlnln .ln.ln . coscos ρρ ρ ρ ρ piφ ρ φ ρρ ρ ρ ρ ρ ρφ ρ ρφ ρ 3.8) Uma carga pontual de 6µ [C] está localizada na origem do sistema de coordenadas, uma densidade linear uniforme de carga de 180η [ ] m C está distribuída ao longo do eixo x, e uma densidade superficial uniforme de carga de 25η [ ]2mC está distribuída sobre o plano z = 0. a) Determinar D� em A (0,0,4); b) Determinar D� em B (1,2,4); c) Determinar o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 4 m de raio, centralizada na origem. Resolução: a) Dados: [ ] [ ] ( ) = = = = 400A m C 25 m C 180 C 6Q 2S L ,, ηρ ηρ µ A densidade de fluxo total D � produzida no ponto A será a soma das densidades de fluxo produzidas pela carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD �������� ++=⇒++=∴ (01) � Cálculo de QD � : = pi = Ra R R aD � � � � � � de unitário um é R A ponto o para Q carga da dirigido vetor o é onde, R4 Q R R2Q – Página 3.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA µ pi =⇒ ⋅pi × =∴ = == ∴ − 2zQz2 6 Q zR z m C 32 3 44 106 4R ; 4 aDaD aa aR � � � � �� � � � Cálculo de LD � : = == ∴ == z z L L 4 ; 4 de unitário um é A ponto o para cargas de linha da dirigido vetor o é onde 2 aa a a aD �� �� �� � � � � ρ ρ ρ ρρ ρ ρρ ρ piρ ρ , =⇒ ⋅ × =∴ − 2zLz 9 L m C 2 45 42 10180 η pipi aDaD � � � � (03) � Cálculo de PD � : =⇒ × =∴ =⇒= − 2zPz 9 P zNNN S P m C 2 25 2 1025 A ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde 2 η ρ aDaD aaaaD � � � � ���� � , Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: =⇒++=⇒++= 2zzzPLQ m C 04950 2 25 2 45 32 3 µη pi η pi µ ,DaaaDDDDD � ��� ����� b) Dados: [ ] [ ] ( ) = = = = 421B m C 25 m C 180 C 6Q 2S L ,, ηρ ηρ µ A densidade de fluxo total D � produzida no ponto B será a soma das densidades de fluxo produzidas pela carga Q, carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD �������� ++=⇒++=∴ (01) (02) (04) – Página 3.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA � Cálculo de QD � : == Ra R R aD � � � � � � de unitário um é R B ponto o para Q carga da dirigido vetor o é onde R4 Q R R2Q ,pi ++=∴ ++ ⋅ × = ++ = =++= ∴ − 2zyxQ zyx6 Q zyx R zyx m C 8419929964 21 42 214 106 21 42 21R ; 42 η pi aaaD aaa D aaa a aaaR ��� � ��� � ��� � ��� � ,,, � Cálculo de LD � : +=⇒ + ⋅ ⋅ ⋅ =∴ + = =+= ∴ = = − 2zyL zy9 L zy zy L L m C 735862 20 42 202 10180 20 42 20 ; 42 de unitário um é B ponto o para (1,0,0) ponto cargas, de linha da dirigido vetor o é onde 2 η pi ρρ ρ ρρ ρ piρ ρ ρ ρ ρ aaD aa D aa a aa a aD �� � �� � �� � ��� �� � � � � ,, , � Cálculo de PD � : =⇒ ⋅ =∴ =⇒= − 2zPz 9 P zNNN S P m C 2 25 2 1025 B ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde 2 η ρ aDaD aaaaD � � � � ���� � , Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: ( ) ( ) zzyzyxPLQ 2257358628419929964 aaaaaaDDDDD ������ ����� +++++=⇒++= ,,,,, ++=∴ 2zyx m C 07387812964 ηaaaD ��� � ,,, (03) (04) (02) – Página 3.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA c) O fluxo total que deixa a esfera será a soma dos fluxos produzidos pela carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. De acordo com a Lei de Gauss: internaQ=Ψ . PLPLPlanoLinhaCarga QQ6QQQ ++=Ψ⇒++=Ψ⇒Ψ+Ψ+Ψ=Ψ∴ µ (01) � Cálculo de LQ : [ ] [ ]C 1440Q8QxQdxQ dx dL ondedLQ LLL 4 4xLL 4 4x LL L LL ηρρρ ρ =⇒=⇒⋅=⇒=∴ == −= −= ∫ ∫ , � Cálculo de PQ : [ ] [ ]C 400Q2Q 2 Qd d Q d d dS ondedSQ SSS 2 0 4 0 2 SS 2 0 4 0 SS S SP ηpipiρ φρρφρρρ φρρρ pi φ ρ pi φ ρ =⇒= ⋅ ⋅=⇒⋅=∴ == = == = ∫ ∫ ∫ , Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [ ]C 78 400 14406QQ6 PL µηpiηµµ ,=Ψ⇒++=Ψ⇒++=Ψ (02) (03)
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