Serie 1

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
SÉRIE 1 – Introdução à Álgebra Linear
1-) Mostre que os pontos A(a,b+c), B(b,a+c) e C(c,a+b) são colineares e determine a equação da reta de ajuste destes pontos (ou seja, equação da reta que os contém!).
2-) Determine y de modo que P(3,y) seja ponto interior do triângulo definido pelas retas:
r: 2x – y = 0 ; s: x + y = 0 ; t: 7x + y – 36 = 0.
3-) Balancear a equação química: 
4-) Uma determinada empresa automobilística fabrica carros de luxo e caminhonetes. A empresa acredita que os mais prováveis clientes são homens e mulheres com altos rendimentos. Para abordar estes grupos, a empresa decidiu por uma campanha de propagandas na TV, e comprou 1 minuto do tempo de comercial de 2 tipos de programa, quais sejam: comédia e transmissão de futebol. Cada comercial durante o programa de comédias é visto por 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homens com grande poder aquisitivo. Um minuto de comercial durante o programa de comédias custa $50,000.00, e durante a transmissão de futebol, $100,000.00. A empresa gostaria que pelo menos 28 milhões de mulheres e 24 milhões de homens de grande poder aquisitivo assistissem sua propaganda. Obter o modelo matemático que permitirá a empresa atender as suas necessidades de propaganda a um mínimo custo. Resolver geometricamente o modelo proposto.
5-) Uma empresa fabrica carros e caminhonetes. Cada veículo precisa ser trabalhado nas seções de pintura e montagem. Se a seção de pinturas trabalhar somente com caminhonetes, poderão ser pintadas 40 caminhonetes por dia. Se estiver trabalhando somente com carros, a capacidade passa a ser 60 carros por dia. Se a seção de montagens estiver trabalhando somente com caminhonetes, poderão ser montadas 50 caminhonetes por dia. O mesmo número é obtido para carros se este for o único produto na linha. Cada caminhonete contribui com $ 300.00 para o lucro e cada carro contribui com $ 200.00. Determine a programação de produção que maximizará o lucro da empresa.
6-) Supondo que a empresa do exemplo anterior tem que produzir pelo menos 30 caminhonetes e 20 carros diariamente, qual será a nova programação de produção ?
7-) Uma fábrica tem que reduzir a emissão dos seus 3 principais poluentes atmosféricos: as partículas, os óxidos sulfúricos e os hidrocarbonetos, em pelo menos 72, 50 e 24 milhares de quilos por ano, respectivamente. Para este efeito a fábrica vai modificar a chaminé, aumentando a altura e/ou a área dos filtros. Estas modificações permitem reduzir a emissão anual dos poluentes nos valores (em milhares de quilos) indicados na tabela seguinte.
	ESTRATÉGIA >
	Aumentar em 1m 
Altura da Chaminé
	Aumentar em 1m2
Área dos Filtros
	Partículas
	9
	18
	Óxidos sulfúricos
	10
	10
	Hidrocarbonetos
	12
	4
Os custos de aumentar 1 m a altura e 1 m2 a área dos filtros da chaminé são, respectivamente, 10 e 7 mil euros. A fábrica pretende determinar os valores dos aumentos da altura e da área dos filtros de modo a atingir o objetivo proposto com o menor custo possível.
8-) Um avião de combate a incêndios florestais pode transportar dois tipos de produtos, P1 e P2. Uma tonelada de P1 ocupa 0,5 m3, permite combater uma área de incêndio de 1,5 ha e custa 2000 Euros. Uma tonelada de P2 ocupa 2 m3, permite combater uma área de 4 ha e custa 3000 Euros. O peso e espaço reservados para o transporte desses produtos não pode ultrapassar os 1,5 toneladas e 1.0 m3. Pretende-se determinar se a quantidade a transportar de cada produto de modo a combater incêndios numa área de pelo menos 2,5 ha e minimizando os custos.
SOLUÇÃO