76801_Apostila Matematica Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
Administração de Empresas 
 
 
 
2010 
 
Prof. Ms. José Alberto Yemal 
Matemática Financeira 
 
 
Prof. Ms. José Alberto Yemal 2 yemal@bignet.com.br 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
OBJETIVOS GERAIS 
A finalidade básica da disciplina Matemática Financeira é estabelecer os critérios de 
recálculo dos valores financeiros na alteração das suas datas, bem como discutir as 
conseqüências desse recálculo, servindo como instrumento gerador dos dados que 
subsidiarão as conclusões dos profissionais da área. 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
A Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar aos alunos o domínio dos seus 
conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizá-los no uso das fórmulas e das 
calculadoras financeiras, facilitando-lhes o trânsito na área de finanças, de acordo com 
seu perfil profissional e servindo como base/instrumento para outras disciplinas do 
curso. 
Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de identificar e calcular as operações 
financeiras, relacionando-as às situações do dia-a-dia das empresas e da sua própria 
vida, utilizando-se de uma calculadora financeira. 
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1ºBimestre 
 -Introdução 
 -Importância da Matemática financeira 
 -Fundamentos 
 -Taxas: percentual, unitária. 
 -Capital, juro e montante. 
 -Regimes de capitalização 
 -Fluxo de caixa 
 -Juros Simples 
 -Fórmulas do Juro e do Montante 
 -Taxas equivalentes 
 -Juro Exato e juro Comercial 
 -Valor Nominal e valor Atual 
 -Descontos Simples 
Matemática Financeira 
 
 
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 -Conceitos básicos 
 -Desconto simples Racional ou “Por Dentro”. 
 -Desconto simples Comercial ou “Por Fora”. 
 -Taxa de Desconto e Taxa Efetiva 
 
 2ºBimestre 
 -Juros Compostos 
 -Fórmula do Montante Composto 
 -Taxas equivalentes 
 -Cálculo do montante em um número fracionário de períodos 
 -Período de capitalização diferente do período da taxa 
 -Valor Atual e valor Nominal a juros compostos 
 -Séries de Capitais 
 -Conceito 
 -Série Básica 
 -Valor Atual da Série Básica 
 -Montante da Série Básica 
 
BIBLIOGRAFIA 
Bibliografia Básica: 
 
MERCHEDE, Alberto. HP-12C: Cálculos e Aplicações Financeiras. 1ª Edição. São Paulo. 
Editora ATLAS S. A. - 2009. 
 
BRUNI, Adriano Leal & FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 4ª 
Edição. São Paulo. Editora ATLAS S.A. – 2007. 
 
MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. 5ª 
Edição. São Paulo. Editora ATLAS – 2008. 
 
 
 
Bibliografia Complementar: 
 
HAZZAN, Samuel & POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6ª Edição. São 
Paulo - Editora SARAIVA, 2007. 
 
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo – Ed. CAMPUS/ELSEVIER - 
2005. 
 
Matemática Financeira 
 
 
Prof. Ms. José Alberto Yemal 4 yemal@bignet.com.br 
 
 
 
 
Conceitos básicos 
 
 A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de 
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar 
procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 
 O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das 
pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por 
outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu 
desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos 
paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, 
que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no 
mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como 
taxa de juros. 
 Um conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação. 
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o 
aumento médio de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um 
índice expresso como uma taxa percentual relativa a este mesmo período. 
 O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, 
diminue a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. Assim, a 
remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-o a 
consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar. 
 Na época de inflação alta, quando a caderneta de poupança pagava até 30% ao mês, 
alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pagos pelo 
banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar 
cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos. 
 A taxa de juros que o banco cobra e paga inclue, além de ítens como o risco e o tempo 
de empréstimo, a expectativa de inflação para período. 
 A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação será calculada excluindo-se o 
percentual de inflação que a taxa efetiva embute. 
 
 
 
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 Taxa de juros 
 A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um 
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da 
especificação do período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 
 Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa 
percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre). 
 
 
Capital 
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também 
conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês 
usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
 
 
Juros 
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade 
produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou 
compostos. 
 
 
Montante 
Montante é a soma do juros ao capital, ou seja, é o valor que representa o total da 
remuneração com o capital empregado. 
 
 
 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado 
sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a 
partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de 
cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render 
juros também. 
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 Quando usamos juros simples e juros compostos? 
 A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: 
compras a médio e longo prazo, compras com cartãode crédito, empréstimos bancários, 
as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de 
renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das 
operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 
 
 
FLUXO DE CAIXA 
 O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em 
um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de 
períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por 
setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por 
setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o 
valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e 
saídas. 
 
 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o 
valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor 
Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de 
somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: 
J = P . i . n 
Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. 
pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros 
 Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número de períodos) 
M = P . (1 + i . n) 
 
 
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 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% 
a.a. durante 145 dias. 
 SOLUÇÃO: 
P = R$ 70.000,00 
i = 10,5% a.a. => 10,5/100 = 0,105 => 0,105 / 360 = 0,0002916666 
n = 145 dias 
 
 M = P . (1 + i.n) 
 M = 70000 (1 + 0,0002916666. 145) = R$ 72.960,42 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, 
dias. Daí ter dividido 10,5% por 360, para obter o valor equivalente em dias, já que um 
ano comercial possui 360 dias. 
 
 Ás vezes o período de aplicação ou empréstimo é uma fração do período expresso na 
taxa de juros. Nestes casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente. Taxas 
Equivalentes são aquelas que quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo período 
de tempo, produzem o mesmo juro. 
 
 Exemplo: Um banco oferece 36 % a.a. pelo regime de juros simples. Gostaria de saber 
quanto ganharia, se aplicasse R$ 10.000 em 1 mês? R: R$ 300,00 
0.36 / 12 = 0.03 a.m. ou 3 % a.m. 
10.000 x 0.03 = 300 
Neste exemplo achamos primeiro a taxa mensal equivalente aos 36 % a.a., para 
calcularmos os juros gerados em 1 mês de aplicação. 
 
 Exemplo: Quanto equivalerá uma taxa de 3.05 % a.m., juros simples, em 22 dias de 
aplicação? 
( 0.0305 / 30 ) x 22 = 0.0224 ou 2.24 % 
 
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 Exemplo: Quanto devo pagar por uma dívida de R$ 550,00 a uma taxa de 12 % a.t., 
juros simples, se já se passou 1 ano e 4 meses? 
( 0.12 / 3 ) x 16 = 0.64 
550 x ( 1+ 0.64 ) = 902,00 
 
 Exercícios sobre juros simples: 
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 0.13 / 6 = 0.02167 ou 2,167 % aq (a quinzena) 
 Logo, 4m15d = 9 quinzenas (15 dias = 1 quinzena) 
 j = 1200 x 0.02167 x 9 = 234 
 
 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 
36% a.a., durante 125 dias. 
 Temos: J = P.i.n 
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, 
dias, poderemos calcular diretamente: 
 J = 40000.0,001.125 = R$ 5.000,00 
 
 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 
3.500,00 de juros em 75 dias? 
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.((1,2/100)/30).(75) 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de 
tempo, ou seja, dias. 
Logo, 
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 3500 = P. 0,0004 . 75 = P . 0,030; 
Daí, vem: 
 P = 3500 / 0,030 = R$ 116.666,67 
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão 
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
 Objetivo: M = 2.P 
 Dados: i = 150/100 = 1,5 
 Fórmula: M = P (1 + i.n) 
 Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desconto Simples 
 
É a operação financeira que consiste na antecipação do recebimento futuro expresso 
num título de crédito de curto prazo. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma 
recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira desconto pode 
ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e seu valor atual 
apurado n períodos antes de seu vencimento. 
É, na verdade, uma operação financeira de empréstimo, de curto prazo, que visa ao 
reforço do capital de giro de empresas que vendem á prazo. 
Quando uma dívida é contratada, geralmente é escriturado um documento garantindo a 
operação; este documento é um título de crédito. 
São exemplos de títulos de crédito a Nota Promissória, a duplicata, a letra de câmbio, o 
cheque pré-datado. 
Tais títulos podem ser resgatados antecipadamente, segundo uma operação financeira 
chamada de Desconto. 
Já a operação de Factoring ocorre no âmbito comercial, fora da rede bancária, desde os 
tempos do Império Romano. Nela, o possuidor de tal título o leva a um profissional de 
uma empresa de Factoring que faz a troca/desconto e mantém o título até o vencimento, 
quando então recebe o que está no título. Para fazer o desconto ele usa o prazo escrito 
no título, seu valor nominal, e a taxa estipulada por ele. É comum pequenas empresas 
descontarem cheques pré-datados com Factors (profissionais de Factoring), levando a 
uma grande evasão de impostos. O Factor, diferentemente do banco, tem que arcar com 
um possível não pagamento dos títulos. 
O Desconto, propriamente falando, é a diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual 
de um título de crédito que foi resgatado antecipadamente, 
 
ou seja: 
D = Vn - Va 
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Valor nominal de um título de crédito é a importância declarada no título. é a importância 
a ser paga na data do vencimento do título. É o valor de resgate na data do vencimento. É 
o montante. (VF = M) 
Valor Atual de um título de crédito é o valor do título numa data anterior a aquela do seu 
efetivo vencimento. É o Valor Presente do Valor Nominal do título. (VP = P) 
Tipos de Desconto a juros SIMPLES: 
 
Desconto Por Dentro – Desconto Racional Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
É equivalente aos juros calculados sobre o Valor Atual do título, pelo prazo 
compreendido entre a data da operação de desconto e o vencimento do título. Não é 
usado na prática. 
Fórmula: 
D = Va . i . n 
(J=Pin) 
Onde i é a taxa de desconto praticada, D é o valor do desconto, n é o número de 
períodos que o título é negociado antes do seu vencimento. 
 
Capitalização simples: Taxa de juros i 
Desconto por Dentro
0 1 2 3 ... n-1 n
i F
V 
i 
P
V 
i i i i i 
Matemática Financeira 
 
 
 13 
Fórmulas derivadas: 
Para o cálculo de VN: 
VN = VA + D  VN = VA + VA . i . n 
VN = VA . (1 + i . n) 
 
Para o cálculo de VA: 
VA = VN 
 1 + i . n 
 
Para o cálculo do Desconto Racional em função do VN: 
D = VA . i . n 
 
Como 
 
VA = VN 
 1 + i . n 
 
Temos que 
 
D = VN . i . n 
 1 + i. n 
 
Logo: 
 
 
D = VN . i . n 
 1 + i . n 
Matemática Financeira 
 
 
 14 
Exercícios sobre desconto racional simples: 
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está 
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42 % a.a. a taxa 
nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado 
dessa operação. 
2. Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000 e 
valor atual na data de desconto de $ 24.436,10. 
 
 
Desconto Por Fora – Desconto Comercial Simples, Irracional 
ou Bancário 
 
 
 
 
 
 
 
 
É equivalente aos juros calculados sobre o Valor Nominal (VF) do título, pelo prazo 
compreendido entre a data da operação de desconto e o vencimento do título. É o 
realmente usado na prática. 
Fórmula: 
D = VN . d . n 
 
Capitalização simples: Taxa de desconto d 
Desconto por Fora
n n-1 ... 3 2 1 0
P
V 
F
V d 
d d d d d d 
Matemática Financeira 
 
 
 15 
Fórmulas Derivadas: 
Para o cálculo do Valor Atual Comercial: 
D = Vn - Va 
 
VA = VN – D  VA = VN – VN . d . n 
VA = VN . (1 - d . n) 
 
Para o cálculo do Valor Nominal: 
VN = VA 
 1 – d . n 
 
Para o cálculo do Desconto Comercial em função do VA: 
D = Vn . d. n  
D = VA . d . n 
 1 – d . n 
 
Exercícios sobre desconto comercial simples: 
1. Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está 
sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42 % a.a. a taxa 
de desconto adotada, pede-se calcular o desconto por fora e o valor 
descontado dessa operação. 
2. Determinar a taxa mensal de desconto por fora de um título negociado 60 
dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 26.000 e 
valor atual na data de desconto de $ 24.436,10. 
Matemática Financeira 
 
 
 16 
Taxa de juros efetiva de uma operação de Desconto Comercial 
ou Bancário 
 
É a taxa que, aplicada sobre o Valor Atual (calculado pelo modo comercial ou bancário), 
produz o Valor Nominal do título (montante). 
Os cálculos de apuração da taxa racional (desconto por dentro) de juros podem ser 
substituídos pelo emprego direto da fórmula: 
nd
nd
i



1 
 
Exercícios sobre taxa de juros efetiva simples: 
1. Uma empresa pretende descontar, num Banco Comercial, 3 meses antes do 
vencimento, um título de crédito de R$ 5.000,00. Sabendo que a taxa de 
desconto é de 4% a.m, calcule: 
a. qual o valor do Desconto praticado; 
b. qual o valor a ser recebido pela empresa; 
c. qual a taxa de juros simples efetivamente cobrada na operação? 
SOLUÇÃO: 
Vn = 5.000 
n = 3 meses 
d = 4% a.m. 
D = VN. d . n 
D = 5.000 x 0,04 x 3 
D = R$600,00  Valor do Desconto praticado 
VA = 5.000 - 600 
VA = R$ 4.400,00  Valor recebido pela empresa 
Matemática Financeira 
 
 
 17 
Cálculo da taxa efetiva de juros simples (ou seja, cálculo da taxa de juros simples 
efetivamente cobrada pelo Banco na operação de desconto): 
VN = 5.000 
VA = 4.400 
n = 3 meses 
i = ? 
M = P . (1 + i . n) 
5.000 = 4.400. (1 + i . 3) 
5.000 = 1 + 3 . i  1,1364 = 1 + 3 . i 
 4.400 
3 . i = 1,1364 – 1  3 . i = 0,1364 
i = 0,0455 
i = 4,55% am  Taxa Efetiva (de Juros Simples) da Operação 
 
2. Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento. A taxa 
de desconto definida pelo banco é de 3,3% am. Sendo de $ 25.000,00 o valor 
nominal deste título e sabendo-se que a instituição financeira trabalha com o 
sistema de desconto por fora pede-se calcular: 
a. valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título 
liberado para o cliente; 
b. a taxa implícita simples desta operação. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 18 
JUROS COMPOSTOS 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o 
mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são 
incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. 
 Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
 1º mês: M =P.(1 + i) 
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x 
(1 + i) 
 Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
M = P . (1 + i)n 
 
 Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, 
taxa de juros ao mês para n meses. 
 Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do 
período: 
J = M - P 
 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 19 
 
 Exemplo: 
 Calcule o montante de um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros compostos, 
durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. 
 Resolução: 
 P = R$ 6.000,00 
 n = 1 ano = 12 meses 
 i = 3,5 % a.m. = 0,035 
 M = ? 
 Usando a fórmula M = P.(1+i)n, obtemos: 
 M = 6000 . (1+0,035)12 = 6000 . (1,035)12 
 M = 6000 . 1,511068657 = 9066,411942. 
 Portanto o montante é R$ 9.066,41 
 
 
Relação entre juros e progressões 
 No regime de juros simples: 
 M( n ) = P + n r P 
 
 No regime de juros compostos: 
 M( n ) = P . ( 1 + r ) n 
 Portanto: 
 Num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão 
aritmética 
 Num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão 
geométrica 
 
Matemática Financeira 
 
 
 20 
TAXAS EQUIVALENTES 
 Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo 
período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo 
montante final. 
 Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . 
 Omontante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) 
 Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal 
im . 
 O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)
12 . 
 Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. 
 Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)
12 
 Daí concluímos que ia = (1 + im)
12 -1 
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal 
conhecida. 
 Exemplos: 
 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? 
 Em um ano temos dois semestres, então teremos: ia = (1 + is)
2 - 1 
 ia = 1,08
2 - 1 
 ia = 0,1664 = 16,64% a.a. 
 
 2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
 ia = (1 + im)
12 - 1 
 ia = (1,005)
12 - 1 
 ia = 0,0617 = 6,17% a.a. 
 
 
Matemática Financeira 
 
 
 21 
TAXAS NOMINAIS 
 A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
- 340% ao semestre com capitalização mensal. 
- 1150% ao ano com capitalização mensal. 
- 300% ao ano com capitalização trimestral. 
 Exemplo: 
 Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 
 15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608 
 
 
TAXAS EFETIVAS 
 A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital 
coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
- 140% ao mês com capitalização mensal. 
- 250% ao semestre com capitalização semestral. 
- 1250% ao ano com capitalização anual. 
 Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação. 
 
 
VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO 
 Na fórmula M = P . (1 + i)n, o principal P também é conhecido como Valor Presente 
(PV = present value) e o montante M também é conhecido como Valor Futuro (FV = 
future value). 
 Então essa fórmula pode ser escrita como 
 FV = PV (1 + i) n 
 Isolando PV na fórmula temos: 
Matemática Financeira 
 
 
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 PV = FV / (1+i)n 
 Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV. 
 Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente. 
 Exemplo: 
 Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.500,00 a 2% ao mês? 
 Solução: 
 FV = 1500 . (1 + 0,02)12 = R$ 1.902,36