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Universidade Federal do Pampa - UNIPAMPA
Lista de exerc´ıcios me´todo dos mı´nimos quadrados
Professor: Jorge Pedraza Arpasi,
Email: jorgearpasi@unipampa.edu.br
1. Dada a base de R4, B = {(2, 3,−4,−1), (1,−1, 0, 3), (2,−1, 2, 0), (1, 0, 0, 3)} construir uma base ortonormal
aplicando o processo de Gram-Schmidt.
2. Aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base {1, x, x2, x3, x5}.
3. O que e´ projec¸a˜o ortogonal Proj~v
~u
?. O que e´ projec¸a˜o ortogonal Proj~u
S
?, onde S e´ um subespac¸o?. Proj~v
~u
e´ ortogonal com algum vetor?. Se f e´ um func¸a˜o enta˜o qual e´ o valor do produto interno < f − Projf
S
, g >
se g ∈ S?
4. Dado o vetor ~v = (−1, 2, 3, 4, 5) ∈ R5, a) Calcular a melhor aproximac¸a˜o ~u do subespac¸o gerado pelos vetores
{(0, 1,−1, 0,−2), (1, 2,−3, 0, 1), (2, 1,−2, 2, 1)}. b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual
e´ o erro relativo de aproximac¸a˜o?
5. A tabela a seguir lista o nu´mero de acidentes em ve´ıculos motorizados no Brasil em alguns anos entre 1990
e 2011.
Ano Nu´meros de acidentes Acidentes por
(em milhares) 10.000 ve´ıculos
1990 8.500 1.688
1995 9.900 1.577
2000 10.500 1.397
2005 13.200 1.439
2009 14.100 1.418
2010 14.800 1.485
2011 15.400 1.510
a) Calcular a regressa˜o linear de acidentes no tempo. b) De acordo com esta regressa˜o, qual sera´ o nu´mero
de acidentes no ano da copa?. c) Calcular uma regressa˜o quadra´tica do nu´mero de acidentes por 10.000
ve´ıculos. d) De acordo com esta regressa˜o, qual sera´ o nu´mero de acidentes por cada 10.000 ve´ıculos no ano
2014? e) Quais foram as matrizes A e B em cada caso?
6. Mostrando as matrizes A e B, ajustar 1
x2+1
por uma reta no intervalo [0,1]. Tambe´m calcular o erro relativo
deste ajuste.
7. Mostrando as matrizes A e B, ajustar 1
x2+1
por uma reta no intervalo [0,1], utilizando o produto interno
< f, g >= 1
2
∫
1
0
f(x)g(x)dx. Tambe´m calcular o erro absoluto deste ajuste.
8. Dada a func¸a˜o f(x) = 5
x3+5
, a) Encontrar a melhor aproximac¸a˜o polinomial tal que grau de p(x) ≤ 3 no
intervalo [1,2], b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro relativo de aproximac¸a˜o?
9. Dada a func¸a˜o f(x) = 5
x3+5
, a) Encontrar a melhor aproximac¸a˜o polinomial tal que grau de p(x) ≤ 3 no
intervalo [1,2], utilizando uma base ortonormal. b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual
e´ o erro relativo de aproximac¸a˜o?
10. Dada a func¸a˜o y = f(x) dada pelos pontos
x 1 2 3 4 5
y 2 4 5 6 9
Construir uma base ortonormal a partir
da base {1, x, x2}.
11. Dada a func¸a˜o y = f(x) dada pelos pontos
x 1 2 3 4 5
y 2 4 5 6 9
a) Ajustar por um polinoˆmio de grau ≤ 2,
b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro relativo de aproximac¸a˜o?
12. Dada a func¸a˜o y = f(x) dada pelos pontos
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y -1 0 -1.5 -2 0 1 2 3
a) Ajustar por um
polinoˆmio de grau ≤ 3, b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro relativo de
aproximac¸a˜o?
13. Dada a func¸a˜o perio´dica f(t) =
{
t; 0 ≤ t ≤ 1
−t+ 2; 1 < t ≤ 2
e f(t) = f(t+2) para qualquer t ∈ R. a) Aproximar
por um somato´rio de Fourier de ordem 5, b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro
relativo de aproximac¸a˜o? e) Se poss´ıvel, escrever a se´rie completa de Fourier. Se na˜o for poss´ıvel explicar
porque. e) Desenhar o gra´fico de f(t).
14. Dada a func¸a˜o y = f(x) dada pelos pontos
x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y 1.5 2.5 1 0.5 2.5 3.5 4.5 5.5
a) Aproximar
por um func¸a˜o exponencial abx, b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro relativo
de aproximac¸a˜o? e) Entre a aproximac¸a˜o exponencial, geome´trica axb e racional a+x
2
b+x
qual e´ melhor?
15. Dado N = 8 e xk =
2πk
N
, k ∈ {0, 1, 2, . . . , 7} e {yk}
7
k=0
= {4, 4, 5, 5, 4, 4, 6, 6} a) Aproximar por um somato´rio
de Fourier de ordem 5, b) Qual foi a matriz A?, c) Qual foi a matriz B?, d) Qual e´ o erro relativo de
aproximac¸a˜o? e) Se poss´ıvel, escrever a se´rie completa de Fourier. Se na˜o for poss´ıvel explicar porque. e)
Desenhar o gra´fico de f(t).