ALGEBRA_LINEAR_EXERCICIOS
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SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6 
 
 
 
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na qual 1 e 2 são os valores próprios da matriz simétrica 
 
A = 
e as colunas 
 
 
 
são os vetores próprios unitários de A, associados a 1 e 2, respectívamente. 
 
Os valores próprios de A são 1 = 0 e 2 = 25 e os vetores próprios de A são v1 = (3,4) 
e v2 = (4, -3), sendo os seus respectivos vetores unitários 
 
 
 (Os cálculos ficam a cargo do leitor). Logo, a equação (2) fica 
 
ou 
25 y\u20192 \u2013 25x\u2019 + 50 = 0 
ou ainda 
y\u20192 \u2013 x\u2019 + 2 = 0 (3) 
que é a equação da cônica (1), referida ao sistema x\u2019 0 y\u2019 cujos eixos são suportes de v1 e v2 
(ou de 1 e 2). 
 
2º) Translação de eixos 
 
A equação (3), por meio de uma translação de eixos, pode ser simplificada. De fato: 
 
y\u20192 \u2013 x\u2019 + 2 = 0 
y\u20192 = x \u2013 2 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6 
 
 
 
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(y\u2019 - 0)2 = x\u2019 \u2013 2 (4) 
 
Pelas fórmulas de translação de eixos, fazendo 
X = (x\u2019\u2013 2) 
Y = (y\u2019\u2013 0), 
a equação (4) fica 
Y
2
 = X 
que é a equação reduzida da cônica (1), referida ao sistema X 0\u2019 Y no qual 0\u2019 (2, 0), sendo as 
coordenadas de 0\u2019 medidas no sistema x\u2019 0 y\u2019. 
 
b) A cônica representada pela equação (1) é uma parábola de parámetro igual a , sendo 
o seu eixo o eixo dos X (Fig. 6.4.1.c). 
 
 
 
3) Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação 
 
4x
2
 \u2013 3y2 + 24xy \u2013 156 = 0 (1) 
 
Solução 
 
a) Tendo em vista que essa equação não apresenta os termos de 1º grau em x e y (d = 
e = 0 na equação (6.1), item 6.1), a solução dependerá somente da mudança de base. A 
equação (1) na forma matricial é 
 
 
 
que, por uma mudança de base, se transforma na equação 
 
SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS \u2013 Capítulo 6 
 
 
 
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 (2) 
na qual 1 e 2 são os valores próprios da matriz simétrica 
 
A = 
O cálculo dos vetores próprios (ou dos seus correspondentes vetores unitáríos), como 
se vê na equação (2), é dispensável para a obtenção da equação reduzida, a não ser que se 
deseje construir o gráfico da cónica (que é o caso presente, por razões de ordem didática), 
pois são esses vetores que determinam o novo referencial x\u2019 0 y\u2019. 
 
Os valores próprios de A são 1 = \u201312 e 2 = 13, sendo v1 = (3, \u20134) e v2 = (4,3) os 
vetores próprios associados, respectivamente a 1 e 2. (Cálculos a cargo do leitor). Logo, a 
equação (2) fica 
 
 
 
ou 
 
\u201312x\u20192 + 13y\u20192 = 156 
 
ou ainda 
 
 
 
que é a equação reduzida da cônica (1) referida ao sistema x\u2019 0 y\u2019. 
 
b) A cônica representada pela equação é uma hipérbole com eixo real sobre o eixo dos 
y\u2019 (Fig. 6.4.1.d), sendo o semi-eixo real igual a . 
 
 
 
 
 
 
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Leitura: A Ocorrência das Cônicas 
Extraído do site: http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm 
 
 
 
 Matemáticos têm o hábito de estudar, apenas por diversão, coisas que parecem não ter 
utilidade então séculos mais tarde seus estudos adquirem enorme valor científico. 
 Não há melhor exemplo disso que o trabalho feito pelos gregos nas curvas conhecidas 
como cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole. Elas foram estudadas primeiramente pelos 
discípulos de Platão. Não houve aplicação científica importante para as cônicas até o século 
17 quando Kepler descobriu que os planetas se movem em trajetória elíptica e Galileu provou 
que projéteis viajam em trajetórias parabólicas. Apolônio de Perga, geômetra grego do século 
3 A.C., escreveu o maior tratado sobre essas curvas. No seu trabalho intitulado \u2015Cônicas\u2016 foi 
o primeiro a mostrar como todas as três curvas, juntamente com o círculo, poderiam ser 
obtidas através da interseção de um plano com dois cones conforme a figura abaixo. 
 
 
 
A elipse 
 
 
 
 Embora não tão simples quanto o círculo, a elipse é 
sem dúvida a curva mais vista no dia-a-dia. O motivo é que 
todo círculo visto obliquamente parece elíptico. 
 
 
 
 
 
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 Qualquer cilindro cortado inclinadamente 
revelará uma elipse na seção transversal (como visto 
no Planetário Tycho Brahe em Copenhagen). 
 
 
 
 
 
 Se você inclinar um copo de água, a superfície vai 
adquirir um contorno elíptico. 
 
 
 
 
 Os primeiros astrônomos gregos 
achavam que os planetas se moviam em 
órbitas circulares em torno da Terra (que era 
considerada estática). 
 No século 17, Johannes Kepler 
descobriu que cada planeta viaja ao redor do 
sol em uma órbita elíptica. Nesse caso, o sol 
está em um dos seus focos. 
 As órbitas da lua e dos satélites artificiais da Terra são também elípticas como 
também são as trajetórias dos cometas em órbita permanente ao redor do sol. 
 O cometa Halley leva aproximadamente 76 anos para viajar ao redor do sol. Edmund 
Halley viu o cometa em 1682 e previu corretamente o seu retorno em 1759. Embora ele não 
tivesse tido oportunidade de viver para ver sua previsão se realizar, o cometa recebeu o seu 
nome. 
 
 
 
 Numa escala muito menor, os elétrons de um átomo se 
movem em órbitas aproximadamente elípticas com o núcleo 
num dos seus focos. 
 
 
 
 
 
 
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 A elipse tem uma propriedade importante que é 
usada na reflexão da luz e de ondas sonoras. Qualquer 
luz ou sinal que é emitido num dos focos será refletido 
para o outro foco. 
 Esse princípio é usado em litotripsia, um 
procedimento médico para tratar pedra nos rins. O 
paciente é colocado num tanque de água elíptico de 
forma a posicionar a pedra num dos focos. Então, ondas 
de choque de alta freqüência geradas no outro foco são 
concentradas na pedra pulverizando-a. 
 
 O princípio é também usado na construção de 
edificações como a Catedral de São Paulo em 
Londres. Se uma pessoa sussurra perto de um dos 
seus focos ela poderá ser ouvida no outro foco, 
embora não possa ser ouvida nas suas proximidades. 
 
 
 
 
 
 
 
A Parábola 
 
 
 
 Uma das mais conhecidas ocorrências da parábola é 
a trajetória de uma bola de golfe sujeita à gravidade quando 
se despreza o atrito com o ar. 
 
 
 
 
 A descoberta, por Galileu no século 17, que a 
trajetória de projéteis é parabólica tornou possível a 
determinação da trajetória das balas de canhão 
quando lançadas num determinado ângulo. 
 
 
 
 
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 O movimento do centro de gravidade dos corpos 
como no salto dos golfinhos é descrito por uma parábola. 
 
 
 
 
 
 A maneira mais simples de visualizar a 
trajetória parabólica de um projétil é observar o 
esguicho de água de um bebedouro. 
 
 
 
 Parábolas exibem propriedades refletivas 
interessantes. Se uma fonte de luz é posicionada no foco de 
um espelho parabólico, a luz será refletida em raios 
paralelos ao seu eixo formando um feixe de luz. Por causa 
dessa propriedade, superfícies parabólicas são geralmente 
usadas nos faróis de carros e motos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O princípio oposto é usado nos telescópios e em 
antenas que recebem ondas de rádio e televisão vindas 
do espaço. O feixe vem na direção da superfície 
parabólica e é enviado para o ponto focal. 
 
 
 
 
 
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 Ondas de calor, assim como a luz e ondas 
sonoras, podem ser refletidas para o ponto focal de uma 
superfície parabólica. 
 Se um material inflamável for posicionado no 
foco de um refletor parabólico direcionado para o sol, 
então o material pode pegar fogo (a palavra foco vem do 
latim focus e significa local de fogo). 
 Um forno solar produz calor focando a luz do sol 
através de um arranjo