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1 2 3 Reitor Prof. Me. Stefano Barra Gazzola Gestão da Educação a Distância Prof. Me. Wanderson Gomes de Souza Design Instrucional e Diagramação Amanda Alves Isabella de Menezes Revisão Ortográfica / Gramatical Olga Tereza Prado Martins 4 Armando Belato Pereira Engenheiro Civil graduado pela Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto (EM/UFOP) e mestrando em Geotecnia pela mesma instituição (NUGEO/UFOP). Foi bolsista do Núcleo de Geotecnia Aplicada (NGA/UFOP) entidade pela qual trabalhou em projeto de execução de túnel (Túnel Bala) para transposição de córrego na cidade de Mariana - MG. Também estagiou na Dinâmica Engenharia onde prestou serviços ligados a projetos e execução de obras. Participou do Programa Jovens Talentos em estágio de férias na Construtora Norberto Odebrecht na obra da Ferrovia Transnordestina. Atuou como Chefe do Departamento de Controle do Plano Diretor e Coordenador de Projetos de Expansão Urbana na Prefeitura Municipal de Mariana – MG. Atualmente é professor titular do curso de Engenharia Civil do Centro Universitário do Sul de Minas – UNIS, onde leciona disciplinas como: Introdução à Engenharia Civil, Desenho Técnico I, Mecânica dos Solos, Engenharia de Transportes I e II, Fundações e Estruturas Especiais de Concreto Armado e é coordenador do curso de Engenharia Civil modalidade ensino à distância (EaD) da mesma instituição. Atua também como engenheiro projetista desenvolvendo projetos arquitetônicos, estruturais, de instalações elétricas e hidrossanitárias e de prevenção e combate a incêndio e pânico. E-mail: armando.pereira@unis.edu.br 5 . PEREIRA, Armando Belato. Guia de Estudo – Desenho I. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2014. 171p. 1. Desenho Técnico I 2. Geometria Descritiva 3. Desenho de Arquitetura I. Título. 6 EMENTA DA DISCIPLINA _________________________________________________________ 12 ORIENTAÇÕES GERAIS DA DISCIPLINA ______________________________________________ 12 PALAVRAS-CHAVE ______________________________________________________________ 12 UNIDADE I - ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRIA DESCRITIVA _________________________ 14 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 14 INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 14 1. HISTÓRICO DA GEOMETRIA DESCRITIVA ____________________________________________ 15 1.1. CONCEITOS E ELEMENTOS FUNDAMENTAIS ________________________________________ 16 1.2. SISTEMAS DE PROJEÇÃO ____________________________________________________ 18 1.3. MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO MONGEANA ______________________________________ 22 1.4. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 24 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 29 RESUMINDO ___________________________________________________________________ 31 UNIDADE II – ESTUDO DO PONTO _________________________________________________ 33 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 33 INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 33 2. ESTUDO DAS PROJEÇÕES DO PONTO ______________________________________________ 34 2.1. ESTUDO DAS COORDENADAS DO PONTO _________________________________________ 35 ___________________________________________________________________________ 37 2.2. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 37 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 39 2.3. POSIÇÕES PARTICULARES DO PONTO ____________________________________________ 40 ___________________________________________________________________________ 43 2.4. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 44 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 45 2.5. SIMETRIA DE PONTOS ______________________________________________________ 47 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 47 RESUMINDO ___________________________________________________________________ 48 UNIDADE III – ESTUDO DA RETA ___________________________________________________ 50 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 50 INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 50 3. ESTUDO DAS PROJEÇÕES DA RETA ________________________________________________ 51 3.1. POSIÇÕES PARTICULARES DAS RETAS ____________________________________________ 51 7 3.1.1. RETA FRONTOHORIZONTAL (OU HORIZONTAL DE FRENTE) ____________________________ 52 3.1.2. RETA DE TOPO ________________________________________________________ 53 3.1.3. RETA VERTICAL ________________________________________________________ 53 3.1.4. RETA HORIZONTAL (OU DE NÍVEL) ___________________________________________ 54 3.1.5. RETA FRONTAL (DE FRENTE) _______________________________________________ 55 3.1.6. RETA DE PERFIL ________________________________________________________ 56 3.1.7. RETA QUALQUER (OU GENÉRICA) ____________________________________________ 57 3.2. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 58 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 60 3.3. PERTINÊNCIA ENTRE PONTO E RETA _____________________________________________ 61 ___________________________________________________________________________ 62 3.4. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 62 3.5. TRAÇOS DE RETAS ________________________________________________________ 63 3.6. EXERCÍCIO RESOLVIDO _____________________________________________________ 64 ATIVIDADES ___________________________________________________________________ 66 RESUMINDO ___________________________________________________________________ 67 UNIDADE IV – ESTUDO DO PLANO _________________________________________________ 69 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 69 INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 69 4. TRAÇOS DO PLANO __________________________________________________________ 70 4.1. POSIÇÕES PARTICULARES DO PLANO ____________________________________________ 71 4.1.1. PLANO HORIZONTAL ____________________________________________________ 72 4.1.2. PLANO FRONTAL _______________________________________________________ 72 4.1.3. PLANO DE TOPO _______________________________________________________ 73 4.1.4. PLANO VERTICAL _______________________________________________________ 74 4.1.5. PLANO DE PERFIL _______________________________________________________ 74 4.1.6. PLANO DE RAMPA (OU PARALELO À LINHA DE TERRA) ______________________________ 75 4.1.7. PLANO QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA _______________________________________ 76 4.1.8. PLANO QUALQUER _____________________________________________________ 76 4.2. PERTINÊNCIA DE RETA E PLANO _______________________________________________ 77 RESUMINDO ___________________________________________________________________ 78 UNIDADE V – EQUIPAMENTOS PARA DESENHO ______________________________________ 80 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 80INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 80 5. PRANCHETA ______________________________________________________________ 81 5.1. RÉGUA TÊ _____________________________________________________________ 81 5.2. LÁPIS E LAPISEIRA ________________________________________________________ 82 5.3. ESQUADROS ____________________________________________________________ 82 5.4. COMPASSO _____________________________________________________________ 83 5.5. ESCALÍMETRO ___________________________________________________________ 83 5.6. GABARITOS_____________________________________________________________ 84 8 5.7. RÉGUA GRADUADA _______________________________________________________ 84 5.8. TRANSFERIDOR __________________________________________________________ 85 RESUMINDO ___________________________________________________________________ 85 UNIDADE VI – NORMAS PARA DESENHO TÉCNICO ____________________________________ 87 OBJETIVOS DESTA UNIDADE ________________________________________________________ 87 INTRODUÇÃO __________________________________________________________________ 87 6. NBR 6492 - REPRESENTAÇÃO DE PROJETOS DE ARQUITETURA ____________________________ 88 6.1. NBR 10068 – FOLHA DE DESENHO – LEIAUTE E DIMENSÕES ___________________________ 88 6.2. NBR 10582 – APRESENTAÇÃO DA FOLHA PARA DESENHO TÉCNICO _______________________ 93 6.3. NBR 10067 – PRINCÍPIOS GERAIS DE REPRESENTAÇÃO EM DESENHO TÉCNICO _______________ 94 6.4. NBR 13142 – DESENHO TÉCNICO – DOBRAMENTO DE CÓPIA __________________________ 95 6.5. NBR 8402 – EXECUÇÃO DE CARACTER PARA ESCRITA EM DESENHO TÉCNICO ________________ 98 6.6. NBR 8403 – APLICAÇÃO DE LINHAS EM DESENHOS – TIPOS DE LINHAS – LARGURAS DAS LINHAS __ 100 6.7. NBR 10126 – COTAGEM EM DESENHO TÉCNICO __________________________________ 103 6.8. NBR 8196 – DESENHO TÉCNICO – EMPREGO DE ESCALAS ____________________________ 108 RESUMINDO __________________________________________________________________ 110 UNIDADE VII – VISTAS ORTOGRÁFICAS E PERSPECTIVAS ISOMÉTRICAS __________________ 112 OBJETIVOS DESTA UNIDADE _______________________________________________________ 112 INTRODUÇÃO _________________________________________________________________ 112 7. VISTAS ORTOGRÁFICAS ______________________________________________________ 114 7.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ___________________________________________________ 117 7.2. EXERCÍCIO PROPOSTO _____________________________________________________ 119 7.3. PERSPECTIVAS __________________________________________________________ 119 7.3.1. APLICAÇÕES PRÁTICAS __________________________________________________ 121 7.3.2. TRAÇANDO A PERSPECTIVA ISOMÉTRICA ______________________________________ 124 ATIVIDADES __________________________________________________________________ 128 RESUMINDO __________________________________________________________________ 132 UNIDADE VIII – ESCALAS ________________________________________________________ 135 OBJETIVOS DESTA UNIDADE _______________________________________________________ 135 INTRODUÇÃO _________________________________________________________________ 135 8. CONCEITO DE ESCALA _______________________________________________________ 136 8.1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ___________________________________________________ 140 ATIVIDADES __________________________________________________________________ 142 RESUMINDO __________________________________________________________________ 143 UNIDADE IX – DESENHO ARQUITETÔNICO _________________________________________ 145 OBJETIVOS DESTA UNIDADE _______________________________________________________ 145 INTRODUÇÃO _________________________________________________________________ 145 9. PLANTA BAIXA ____________________________________________________________ 146 9 9.1. PLANTA DE SITUAÇÃO _____________________________________________________ 148 9.2. PLANTA DE LOCAÇÃO _____________________________________________________ 149 9.3. PLANTA (OU DIAGRAMA) DE COBERTURA ________________________________________ 151 9.4. CORTES ______________________________________________________________ 153 9.5. FACHADAS ____________________________________________________________ 155 9.6. CARIMBO _____________________________________________________________ 156 9.7. QUADRO DE ESQUADRIAS __________________________________________________ 158 9.8. QUADRO DE ÁREAS ______________________________________________________ 158 9.9. LINHAS E TRAÇOS ________________________________________________________ 159 9.10. EXERCÍCIO RESOLVIDO ____________________________________________________ 160 ATIVIDADES __________________________________________________________________ 161 RESUMINDO __________________________________________________________________ 161 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ___________________________________________________ 161 10 É de conhecimento de todos o momento de grande crescimento econômico o qual o Brasil está submetido. É nesse ambiente de desenvolvimento que o Engenheiro Civil encontra-se como protagonista, criando a infraestrutura necessária para a implantação de empreendimentos dos mais diversos vultos e finalidades. Em seu trabalho, o Engenheiro Civil projeta e executa as etapas de obras civis. E para projetar tais obras, ele estuda um grande conjunto de áreas que são apresentadas em forma de disciplinas e compõem a grade curricular do curso de Engenharia Civil. E é nesse contexto que se insere a nossa disciplina de Desenho Técnico I. Todos os prédios, estradas, pontes, viadutos, etc. que vemos no nosso dia a dia foram executados seguindo um projeto. Você já parou para pensar que o produto final de um projeto, o chamado projeto executivo, compõe-se de um conjunto de desenhos? A nossa disciplina de Desenho I tem alguns objetivos gerais que são: apresentar a vocês as normas técnicas que padronizam os desenhos, as aplicações do desenho geométrico ao desenho técnico, as escalas, as representações de peças, o desenho de arquitetura, etc., afim de que você tenha condições de, dentro em breve, aplicar esses conceitos aos projetos estruturais, arquitetônicos, hidrossanitários, etc. Podemos dizer que o desenvolvimento das tecnologias computacionais facilitou e muito os processos de representação gráfica de objetos tridimensionais. Porém, é de suma importância ressaltar que a capacidade de raciocínio do ser humano continua sendo a principal ferramenta para a interpretação e elaboração de desenhos técnicos e, mais 11 do que isso, para a criação e transmissão de novas ideias. Ou seja, por mais que os softwares otimizem o desenvolvimento dos desenhos que comporão um projeto arquitetônico, por exemplo, a entrada e a interpretação da saída de dados é de responsabilidade de nós Engenheiros Civis. A utilização dos recursos computacionais, só se torna coerente se o indivíduo possuir uma aprimorada visão espacial, sendo capaz de visualizar em três dimensões. Ao contrário do que possa parecer, essa habilidade pode ser desenvolvida e aperfeiçoada e esse é o objetivo principal da nossa disciplina! Nossa interação será essencial! Conte comigo! Abraço, Prof. Armando Belato Pereira "Todo ponto de vista é a vista de um ponto. Ler significa reler e compreender, interpretar. Cada um lê com os olhos que tem. E interpreta a partir de onde os pés pisam". (Leonardo Boff, 1997, p. 9) 12 Ementa da disciplina Equipamentos para desenho. Elementos básicos de geometria descritiva, construções geométricas fundamentais, concordâncias. Aplicação do desenho geométrico aodesenho técnico. Normas. Escalas. Desenho de arquitetura. Dimensionamento. Esboço colado. Representação de peças. Cortes. Projeções ortogonais de vistas múltiplas. Vistas auxiliares. Verdadeira grandeza. Perspectiva: isométrica e cavaleira. Orientações gerais da disciplina Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual. Palavras-chave Desenho Técnico I, Geometria Descritiva, Desenho de Arquitetura. 13 14 Unidade I - Elementos básicos de geometria descritiva Objetivos desta unidade Conhecer os principais métodos de projeção e os elementos que os constituem. Conhecer os conceitos fundamentais que envolvem a Geometria Descritiva Conhecer e aplicar o método da dupla projeção mongeana. Introdução Antes de iniciarmos o desenvolvimento de projetos de peças ou projetos arquitetônicos precisamos ampliar a nossa a nossa habilidade de imaginar objetos no espaço 3D. Nesse contexto, a Geometria Descritiva exerce papel fundamental, fornecendo subsídios para a interpretação, leitura e criação de desenhos técnicos. Nesta nossa primeira unidade apresentaremos alguns conceitos fundamentais para o desenvolvimento do curso de Desenho Técnico I. 15 1. Histórico da Geometria Descritiva Classificamos a Geometria como um ramo da matemática que tem por ocupação principal estudar a forma, o tamanho e a posição de figuras. Partindo-se desta definição para Geometria, podemos enquadrar a Geometria Descritiva como um ramo da Geometria que tem por finalidade maior representar no plano as figuras espaciais (tridimensionais), de sorte que possamos resolver todos os questionamentos relativos a tais figuras em um sistema bidimensional. A história da Geometria Descritiva inicia-se com o seu protagonista, Gaspard Monge (Figura 1.1), na França no final do século XVIII. Monge desde muito cedo mostrara claramente sua genialidade ligada à matemática, física e à geometria e, desta maneira, desenvolveu essa linha de estudos da Geometria que inicialmente tinha caráter militar, voltada para a representação gráfica de fortificações no plano e, posteriormente desenvolveu-se para o Desenho Técnico. Figura 1.1 – Gaspard Monge (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 16 “Eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica” Gaspard Monge 1.1. Conceitos e elementos fundamentais Quando tratamos de Geometria, alguns conceitos se fazem fundamentais, são eles: forma e dimensão. A forma de um elemento seria o seu aspecto, ou seja, sua configuração espacial (quadrada, arredondada, etc.). A dimensão de um objeto diz respeito à quantificação de suas medidas, seja ela comprimento, altura, largura, etc. Também não podemos nos esquecer dos elementos os quais chamamos de fundamentais em termos geométricos: ponto, reta e plano. O ponto pode ser considerado o elemento mais simples em termos de geometria, uma vez que não possui forma, muito menos dimensão. Porém, é importantíssimo ter em mente que mesmo com essa simplicidade toda, a partir do ponto podemos obter qualquer configuração geométrica. Observe que se fizermos com que um ponto se desloque no espaço, obteremos uma linha, com algumas particularidades: se o ponto caminhar sem desvios, obteremos uma linha reta (Figura 1.2 – a). Caso o ponto alterne constantemente sua direção, obteremos uma linha curva (Figura 1.2 – b). Já se o ponto sofrer uma mudança brusca de direção teremos uma poligonal (Figura 1.2 – c). Portanto, concluímos que apesar de a linha ser formada por pontos, esta possui uma dimensão: o comprimento. 17 a) Linha reta b) Linha curva c) Poligonal. Figura 1.2 – Configurações que um ponto pode assumir no espaço (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado). Em um segundo momento, se pegarmos a linha, a movimentarmos e somarmos o conjunto de suas posições ocupadas, obteremos uma superfície. Da maneira como movimentamos a linha, podemos encontrar superfícies particulares: se avaliarmos a movimentação de uma linha reta e paralela a si mesma e somarmos suas posições, encontraremos uma superfície plana ou plano; caso esta superfície seja obtida pelo movimento de uma linha curva que se desloca no espaço, obteremos uma superfície curva. Com relação à reta, podemos dizer que esta se prolonga rumo ao infinito, ou seja, ela é ilimitada nos dois sentidos. Porém, caso venhamos a marcar dois pontos (A e B) sobre esta reta teremos o chamado segmento de reta AB. Figura 1.3 – Segmento de reta AB (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado). 18 1.2. Sistemas de projeção Conforme evidenciamos anteriormente, o estudo da Geometria Descritiva está baseado na representação de objetos em planos, tal representação é o que chamamos de projeção. Projeção trata-se de um fenômeno físico o qual convivemos diariamente: como exemplo temos a ação dos raios solares incidindo sobre um objeto e projetando este sobre uma superfície. Para compreendermos um sistema de projeção, precisaremos antes de mais nada comentar a respeito de alguns elementos básicos que o compõem: o objeto (ou ponto objetivo), a projeção, o centro de projeção, as projetantes e o plano de projeção. Para que tais conceitos fiquem mais claros, analisemos a Figura 1.4. A partir do centro de projeção (O) é que as “retas” projetantes partem, passando pelos pontos objetivos (A), (B) e (C) e interceptando o plano de projeção indicado por (α). É no plano α que obteremos as projeções A, B e C (respectivas projeções dos pontos objetivos). No caso da Figura 1.4 temos um centro de projeção a uma distância dita finita do objeto, as projetantes não são paralelas entre si, sendo portanto, divergentes, o que dá origem ao que denominamos de projeção cônica ou central. Figura 1.4 – Projeção cônica ou central (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Caik Realce 19 Quando nos deparamos com uma situação em que as “retas” projetantes são paralelas entre si, podemos dizer que o centro de projeção (O) está localizado a uma distância infinita do objeto, então, neste caso, temos a chamada projeção cilíndrica ou paralela (Figura 1.5). Observe ainda que a direção das projetantes é oblíqua ao plano de projeção, o que evidencia uma projeção cilíndrica oblíqua. Figura 1.5 – Projeção cilíndrica oblíqua (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Em outra circunstância, quando a direção das projetantes é perpendicular ao plano de projeção (α), temos a chamada projeção cilíndrica ortogonal, apresentada na Figura 1.6. 20 Figura 1.6 – Projeção cilíndrica ortogonal (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Para uma real percepção das dimensões e forma do objeto, seja ele uma peça, por exemplo, é necessário que a representação do mesmo no plano de projeção apresente as dimensões reais do objeto. A esta representação das dimensões reais do objeto no plano de projeção chamamos de verdadeira grandeza (VG). Façamos agora uma análise da Figura 1.7, a seguir. 21 Figura 1.7 – Objetos oblíquos ao plano de projeção (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). É fácil verificar que em nenhum dos casos apresentados na Figura 1.7 o objeto está projetado em VG. Na situação do sistema de projeções cônicas, observamos que nem mesmo se o objeto estiver paralelo ao plano de projeção obteremos a sua VG. No segundo caso, do sistema de projeções cilíndricasoblíquas, se o objeto for colocado paralelamente ao plano de projeção o mesmo será representado em VG, porém, uma vez que as projetantes são oblíquas a projeção poderá se localizar em várias posições diferentes. No sistema de projeções cilíndricas ortogonais, uma vez que o objeto esteja paralelo ao plano de projeção, obteremos a projeção em VG, pois, para que as projetantes sejam perpendiculares ao plano de projeção, elas somente podem assumir uma direção. Esta última explanação justifica o fato da projeção cilíndrica ortogonal ser o sistema de projeções mais utilizados no Desenho Técnico e na Geometria Descritiva. As situações apresentadas são esboçadas na Figura 1.8, respectivamente. 22 Figura 1.8 – Objetos paralelos ao plano de projeção (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 1.3. Método da dupla projeção Mongeana De maneira a simplificar a representação dos objetos tridimensionais no plano Gaspard Monge desenvolveu um método que consiste em obter duas projeções cilíndricas ortogonais do objeto em questão sobre dois planos perpendiculares entre si, designados: plano horizontal de projeção (π) e plano vertical de projeção (π’), Figura 1.9. Figura 1.9 – Planos mongeanos (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 23 É importante observar que a interseção destes dois planos, π e π’, forma uma reta denominada de linha de terra (LT) e divide o espaço em quatro regiões, as quais convencionou-se chamá-las de diedros. Desta interseção ainda definimos quatro semiplanos (Figura 1.10): horizontal anterior (πa), horizontal posterior (πp), vertical superior (π’s) e vertical inferior (π’i). Figura 1.10 – Semiplanos mongeanos (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Os objetos representados no sistema mongeano possuirão duas projeções: projeção horizontal, representada sobre o plano π e projeção vertical, representada sobre o plano π’. Rebatendo-se o plano horizontal (π) sobre o vertical (π'), ou vice- versa, é possível representar uma figura do espaço tridimensional em um único plano. Assim, pode-se rebater o plano (π) sobre o plano (π '), girando 24 de 90° o plano (π) em torno da linha de terra, no sentido horário, fazendo com que os dois planos de projeção fiquem em coincidência, obtendo-se o que se chama de épura (Figura 1.11). A épura possibilita, portanto, a representação de um objeto tridimensional em um espaço bidimensional, a folha de papel, tornando possível a resolução de inúmeros problemas geométricos (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Figura 1.11 – Projeções ortogonais e épura do objeto (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 1.4. Exercício resolvido Sabendo-se que o triângulo (A)(B)(C) é paralelo ao plano (α) de projeção, completar a projeção deste triângulo sobre o referido plano. Posteriormente, identificar o sistema de projeção utilizado. Dados: (O): (155, 70) (A): (110, 113) (B): (125, 85) (C): (100, 80) Vértice inferior esquerdo do plano (α): (5, 5) 25 Vértice inferior direito do plano (α): (95, 55) Vértice superior esquerdo do plano (α): (5, 155) Vértice superior direito do plano (α): (95, 205) Resolução Observe que para a resolução deste exercício, o ideal seria utilizar-se de um papel milimetrado e valer-se de um plano cartesiano definindo a origem no canto esquerdo inferior da página. O primeiro passo é locar os pontos através de suas coordenadas, lembrando-se que: Figura 1.12 – Representação dos pontos. A Figura 1.13 mostra os pontos locados no plano, formando o triângulo (A) (B) (C) e o plano α. 26 Figura 1.13 – Locação dos pontos e do plano α. 27 Uma vez que temos centro de projeção e os pontos objetivos já representados, basta traçarmos as projetantes, que partem de (O), passam pelos pontos objetivos e se estendem até o plano de projeção formando o triângulo A B C, que é paralelo a (A) (B) (C). Obteremos então a Figura 1.14. 28 Figura 1.14 – Triângulo ABC projetado no plano α. 29 É fácil de se observar que temos um centro de projeção a uma distância dita finita dos pontos objetivos, que as projetantes não são paralelas entre si (ou seja, divergentes) e formam uma projeção que não será em verdadeira grandeza, o que caracteriza claramente um sistema de projeções cônicas. Na representação dos elementos apresentados, utilizar o sistema cartesiano (x, y), definindo o canto inferior esquerdo da folha de papel milimetrado como a origem dos eixos cartesianos (0, 0) e posicionando os elementos conforme as coordenadas informadas. 01 - O hexágono (D)(E)(F)(G)(H)(I) é paralelo ao plano (β) de projeção e o seu centro de projeções está localizado no infinito, represente a projeção deste hexágono sobre o referido plano. Em seguida, identifique o sistema de projeção utilizado. Dados: - Coordenado dos pontos objetivos: (D): (120, 95) (E): (150, 85) (F): (150 , 55) (G): (130, 35) (H): (100, 45) (I): (100, 75) Atividades 30 - Coordenadas do plano β: Vértice inferior esquerdo: (5, 5) Vértice inferior direito: (95, 55) Vértice superior esquerdo: (5, 155) Vértice superior direito: (95, 205) 31 - A Geometria é o ramo da matemática que tem por ocupação principal estudar a forma, o tamanho e a posição de figuras. - A Geometria Descritiva foi criada na França no século XVIII por Gaspard Monge. - Um sistema de projeção é composto alguns elementos básicos, são eles: o objeto (ou ponto objetivo), a projeção, o centro de projeção, as projetantes e o plano de projeção. - No sistema de projeção cônica ou central, temos um centro de projeção a uma distância dita finita do objeto e as projetantes não são paralelas entre si, sendo portanto, divergentes. - A projeção cilíndrica oblíqua apresenta as “retas” projetantes paralelas entre si, o centro de projeção (O) está localizado a uma distância infinita do objeto e a direção das projetantes é oblíqua ao plano de projeção. Quando a direção das projetantes é perpendicular ao plano de projeção, temos a chamada projeção cilíndrica ortogonal. - A verdadeira grandeza corresponde a representação das dimensões reais do objeto no plano de projeção. - Os objetos representados no sistema mongeano possuirão duas projeções: projeção horizontal, representada sobre o plano π e projeção vertical, representada sobre o plano π’. Resumindo 32 33 Unidade II – Estudo do ponto Objetivos desta unidade Conhecer as coordenadas do ponto e saber localizá-lo no espaço tridimensional. Conhecer as posições assumidas pelo ponto em relação aos planos de projeção Introdução Uma vez conhecidos os sistemas de projeção é hora de aplicarmos tais conhecimentos ao estudo das projeções do ponto. Na presente unidade trabalharemos com o método de projeção mongeano para a representação de pontos no plano, o que nos dará condições futuras de estudar as retas e os planos. 34 2. Estudo das projeções do ponto Determinar as projeções de um ponto (A) para os conceitos da Geometria Descritiva significar obter suas projeções horizontal e vertical. Em posse de tais projeções é possível situar a posição deste ponto no espaço. Convencionou-se designar que todo ponto situado no espaço é representado por uma letra maiúscula entre parênteses, como exemplo temos o ponto (A) na Figura 2.1. Porém, quando tratamos das projeçõesdeste, designamos pela mesma letra maiúscula sem parêntesis no caso da projeção ser a horizontal (no plano π) e no caso da projeção vertical (no plano π’), a letra é acompanhada de um apóstrofo. Na Figura 2.1 também é possível verificar a épura do ponto (A) que é obtida através do processo de rebatimento do plano horizontal sobre o vertical conforme apresentado no capítulo anterior. Em épura, as projeções do ponto (horizontal e vertical) são unidas por uma linha denominada linha de chamada, a qual deverá ser perpendicular a linha de terra (LT). 35 Figura 2.1 – Projeções e épura do ponto (A) (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado). 2.1. Estudo das coordenadas do ponto Para iniciarmos o estudo das coordenadas do ponto, analisemos a Figura: 36 Figura 2.2 – Coordenadas e épura do ponto (A) (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado). Analisando a épura do ponto (A) podemos definir o afastamento como a distância do ponto até o plano vertical de projeção (π’) e a cota como distância deste ponto ao plano horizontal de projeção (π). Por convenção, o afastamento é dito positivo quando o ponto está ao lado direito do plano vertical, ou seja, quando ele ocupa o primeiro ou o quarto diedro e, por consequência, negativo quando está no 2° ou 3° diedro. A cota é dita positiva quando o ponto está situado acima do plano horizontal (π), podendo então ocupar o 1° ou 2° diedro. Uma vez que falamos do espaço 3D, consequentemente, precisamos de três coordenadas para localizar um ponto no espaço, ou seja, somente a cota e o afastamento não serão suficientes para individualizá-lo. Desta forma, concluímos a necessidade de uma terceira coordenada, chamada de abscissa que é tomada sobre a linha de terra (LT). A abscissa tem sua origem a partir de um ponto “O” marcado 37 arbitrariamente sobre a linha de terra; à direita deste ponto consideramos a abscissa positiva e à esquerda, negativa. As três coordenadas citadas constituem as chamadas coordenadas do ponto, e são apresentadas sempre em ordem alfabética: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z). Portanto, para um determinado ponto (P), a indicação das coordenadas é feita da seguinte maneira: (P)[ x ; y ; z ]. 2.2. Exercício resolvido Representar os pontos (A), (B) e (C) em épura, conhecendo-se as suas coordenadas (em cm) e a sua posição no espaço. Dados: (A) [0; 2; 2], (B) [-1; 1; -2] e (C) [1; -3; 2]. Resolução A primeira interpretação que devemos ter do problema apresentado é a noção dos diedros em que cada ponto está localizado. Observando a Figura 2.3 concluímos que o ponto (A) encontra-se no 1° diedro e, para tanto, apresenta afastamento e cota positivos; o ponto (B) encontra-se no 4° diedro e, para tanto, apresenta afastamento positivo e cota negativa; já o ponto (C) encontra-se no 2° diedro e, para tanto, possui afastamento negativo e cota positiva. 38 Figura 2.3 – Locação dos pontos (A) (B) (C) no espaço (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado). O próximo passo é identificar os pontos em épura, conforme a Figura 2.4. 39 Figura 2.4 – Locação dos pontos (A) (B) (C) em épura. Representar os pontos (D), (E) e (F) na épura abaixo e informar a sua posição no espaço. Dados: (D) [1; 2; 1]; (E) [2; -1; 2]; (F) [-1; 3; -2] e (G) [1; 0; 2]. Atividades 40 2.3. Posições particulares do ponto Para sabermos a posição que um ponto ocupa no espaço precisamos conhecer sua abscissa, afastamento e cota. Porém, o valor da abscissa não influi na posição do ponto em relação aos planos de projeção horizontal (π) e vertical (π’). Tabela 2.1 – Posições assumidas pelo ponto em relação aos planos de projeção Coordenada Posição em relação aos planos de projeção 1° diedro 2° diedro 3° diedro 4° diedro Semi plano horizontal anterior Semi plano horizontal posterior Semi plano vertical superior Semi plano vertical inferior Linha de terra 1° D 2° D 3° D 4° D πa πp π's π'i L.T. Afastamento + - - + + - 0 0 0 Cota + + - - 0 0 + - 0 Cruz, D. C.; Amaral, L. G. H. (2012) apresentam uma tabela com as posições particulares do ponto, bastante esclarecedora e que será reproduzida na Tabela 2.2, a seguir. 41 Tabela 2.2 – Posições particulares do ponto (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012, adaptado) 42 43 44 2.4. Exercício resolvido Indicar as posições dos pontos (J), (K), (L), (M), (N), (O) e (P) em relação aos planos de projeção, conhecendo-se as suas projeções dadas na épura abaixo: Resolução: Para a resolução do exercício proposto precisamos fazer uma análise para cada uma das projeções do ponto, como será feito a seguir: - Ponto (J): a projeção horizontal J encontra-se sobre a LT e a projeção vertical J’ é negativa, pois, encontra-se representada abaixo da LT, ou seja, temos afastamento nulo (0) e cota negativa (-) portanto, podemos dizer que o ponto (J) está localizado no semi plano vertical inferior (π’i). - Ponto (K): a projeção horizontal K encontra-se acima da LT e a projeção vertical K’ abaixo da LT, ou seja, temos uma situação em que cota e afastamento são negativos (-), portanto, podemos dizer que o ponto (K) encontra-se no 3° diedro. - Ponto (L): a projeção horizontal L encontra-se abaixo da LT e a projeção vertical L’ acima da LT, ou seja, temos uma situação em que cota e afastamento são positivos (+), portanto, podemos dizer que o ponto (L) encontra-se no 1° diedro. 45 - Ponto (M): a projeção horizontal M encontra-se sobre a LT e a projeção vertical M’ acima da LT, ou seja, temos uma situação em que o afastamento é nulo (0) e a cota é positiva (+), portanto, podemos dizer que o ponto (M) encontra-se no semiplano vertical superior (π’s). Para saber mais sobre o estudo do ponto acesse vídeo a seguir: https://www.youtube.com/watch?v=eER4 nfY8FPA&list=PLE33F148F70AD2BD3 01 - Representar uma épura com os pontos (A), (B) e (C), conhecendo-se as suas posições no espaço conforme a figura abaixo: Atividades 46 02 - Representar os pontos (D), (E), (F), (G), (H), (I), (J), (K) e (L) no espaço e informar a sua posição, conhecendo-se as suas representações em épura conforme a figura abaixo: Representar cada ponto em um desenho separado, desenhando-se os planos de projeção em perspectiva com as seguintes dimensões: 47 2.5. Simetria de pontos Para que dois pontos sejam simétricos em relação a um plano, este deve ser o mediador do segmento de reta formado pelos dois pontos. Ou seja, dois pontos são simétricos em relação a um plano quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contém o seu ponto médio. No exemplo apresentado na Figura 2.5 é fácil observar a simetria existente entre os pontos (A) e (B) com relação ao plano vertical superior (π’s). Figura 2.5 – Simetria de pontos (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Representar em épura o ponto (C), simétrico do ponto (D) em relação ao plano (π), e o ponto (E), simétrico do ponto (F) em relação ao plano (π'). Dados: (D) [0; 10; 20] e (F) [15; -30; 15]. Atividades 48 - Determinar as projeções de um ponto (A) para os conceitos da Geometria Descritiva significar obter suas projeções horizontal e vertical. - As coordenadas do ponto são apresentadas sempre em ordem alfabética: abscissa(x), afastamento (y) e cota (z). Portanto, para um determinado ponto (P), a indicação das coordenadas é feita da seguinte maneira: (P)[ x ; y ; z ]. - O afastamento é a distância do ponto até o plano vertical de projeção (π’) e a cota como distância deste ponto ao plano horizontal de projeção (π). Por convenção, o afastamento é dito positivo quando o ponto está ao lado direito do plano vertical, ou seja, quando ele ocupa o primeiro ou o quarto diedro e, por consequência, negativo quando está no 2° ou 3° diedro. A cota é dita positiva quando o ponto está situado acima do plano horizontal (π), podendo então ocupar o 1° ou 2° diedro. - É importante compreender as posições particulares assumidas pelo ponto apresentadas na “Tabela 2.1 – Posições assumidas pelo ponto em relação aos planos de projeção”. - Dois pontos são simétricos em relação a um plano quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contém o seu ponto médio. Resumindo 49 50 Unidade III – Estudo da reta Objetivos desta unidade Conhecer os tipos de retas. Analisar as posições das retas no espaço e em épura. Conhecer a relação de pertinência entre ponto e reta. Introdução Após o estudo dos sistemas de projeção e das coordenadas do ponto, podemos passar para construções geométricas um pouco mais complexas como as retas. Portanto, na presente unidade estudaremos as projeções da reta, os tipos de reta e a relação de pertinência entre ponto e reta. 51 3. Estudo das projeções da reta Podemos admitir como dito anteriormente, que a reta é constituída por um conjunto de pontos consecutivos, em que, dois pontos bastam para definir um segmento de reta. Entendemos então que a projeção de um segmento de reta sobre um plano é o lugar das projeções dos infinitos pontos que o compõem sobre o plano citado. Na Figura 3.1 evidencia-se a projeção de um segmento de reta (A)(D) sobre o plano horizontal (π), obtendo-se a projeção ortogonal AD. O plano α formado entre o segmento de reta (A)(D) e a projeção AD é chamado de plano projetante da reta e trata-se de um plano perpendicular a π uma vez que estamos falando de projeção ortogonal do segmento. Figura 3.1 – Projeção do segmento de reta AD no plano horizontal (π) (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1. Posições particulares das retas A reta pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, posições essas que irão definir o nome desta e impor propriedades particulares. A seguir apresentaremos os tipos de retas. 52 3.1.1. Reta frontohorizontal (ou horizontal de frente) A reta frontohorizontal apresenta como características principais: ser paralela aos planos horizontal e vertical de projeção (π e π’) e possuir pontos com cota e afastamentos constantes. Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralela à linha de terra e, observe que, dada as condições de paralelismo da mesma, qualquer uma das projeções (que são iguais) representam a verdadeira grandeza da reta (V.G.). Figura 3.2 – Reta frontohorizontal no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 53 3.1.2. Reta de topo A reta de topo apresenta como características principais: ser paralela ao plano horizontal de projeção (π) e perpendicular ao plano vertical de projeção (π’) e possuir pontos de mesmas abscissa e cota. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto (projeção pontual) e projeção horizontal perpendicular à linha de terra (L.T.), esta representada em verdadeira grandeza (V.G.). Figura 3.3 – Reta de topo no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1.3. Reta vertical A reta de vertical apresenta como características principais: ser paralela ao plano vertical de projeção e perpendicular ao plano horizontal de projeção e possuir pontos com mesmas abscissa e afastamento. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (projeção pontual) e a vertical perpendicular à linha de terra, esta representada em V.G. 54 Figura 3.4 – Reta vertical no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1.4. Reta horizontal (ou de nível) A reta horizontal apresenta como características principais: ser paralela ao plano horizontal de projeção e oblíqua ao plano vertical de projeção e possuir pontos com cota constante. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à L.T. e a projeção horizontal oblíqua à mesma. Observe que a projeção horizontal da reta de nível é obtida em V.G. 55 Figura 3.5 – Reta horizontal no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1.5. Reta frontal (de frente) A reta frontal apresenta como características principais: ser oblíqua ao plano de projeção e paralela ao plano vertical de projeção e possuir pontos com afastamento constante. Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela à L.T. e a vertical oblíqua a essa mesma linha, em que esta é obtida em V.G. 56 Figura 3.6 – Reta frontal no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1.6. Reta de perfil A reta de perfil apresenta como características principais: ser oblíqua aos dois plano de projeção e ortogonal à L.T. e possuir todos os pontos na mesma absissa. Observe na Figura 3.7 que a reta de perfil é contida por um único plano, chamado de plano de perfil (α). Sua épura é caracterizada por possuir as duas projeções perpendiculares à L.T. e nenhuma destas projeções em verdadeira grandeza (V.G.). 57 Figura 3.7 – Reta de perfil no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 3.1.7. Reta qualquer (ou genérica) A reta qualquer apresenta como características principais: ser oblíqua aos dois planos de projeção e à linha de terra e possuir todos os pontos de abscissa, afastamento e cota diferentes. Sua épura é caracterizada por possuir as duas projeções oblíquas à linha de terra. 58 Figura 3.8 – Reta qualquer no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Para conhecer mais sobre os tipos de retas estudados, acesso o endereço a seguir: https://www.youtube.com/watch?v=RHr7 0Q-0MFk 3.2. Exercício resolvido Dar a épura das retas (A)(B) e (C)(D) e defini-las (nomeá-las). (A) [1; 2; 1] (B) [3; 1; 3] (C) [-3; -2; -2] (D) [0; -2; 3] 59 Resolução Para a resolução deste exercício, inicialmente é necessário representar a épura das retas. Começamos então representando a épura dos pontos (A) (B) (C) (D). Sabemos que o conhecimento de dois pontos pertencentes a uma reta é suficiente para que possamos traçá-la, portanto, obtida a épura dos pontos, basta unir as projeções verticais A’ e B’ para encontrarmos a projeção vertical do segmento de reta (A)(B) e unis as projeções horizontais A e B para encontrarmos a projeção horizontal do segmento do mesmo. De maneira análoga, fazemos o procedimento descrito para o segmento de reta (C)(D). Uma vez representada a épura das retas, é o momento de classificá- las. Oberve que o segmento de reta (A)(B) possui tanto a sua projeção vertical quanto horizontal oblíquas à linha de terra e, consequentemente, pontos com abscissa, cota e afastamento diferentes, portanto, fica claro que trata-se de uma reta qualquer. O segmento de reta (C)(D) possui projeção horizontal paralela à linha de terra e projeçãovertical oblíqua à mesma e, consequentemente pontos com afastamento constante, portanto, trata-se de uma reta frontal. 60 Representar as retas (E)(F), (G)(H), (I)(J), (K)(L) e (M)(N) em épura, nomeando-as. Dados: (E) [2; 1; 1] (F) [2; 3; -2] (G) [0; 1; 2] (H) [3; 1; 2] (I) [-1; 1; -2] (J) [2; 2; -2] (K) [2; 1; 1] (L) [2; 1; 3] (M) [1; 1; 2] (N) [1; 3; 2] Atividades 61 3.3. Pertinência entre ponto e reta Em linhas gerais, um ponto pertence a uma reta quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, quando a projeção horizontal do ponto está sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto está sobre a projeção vertical da reta. Na Figura 3.9, o ponto (C), que não pertence ao segmento de reta (A)(B), possui apenas a projeção horizontal sobre a projeção horizontal desse segmento. Já o ponto (D), que pertence ao segmento (A)(B), possui as duas projeções sobre as projeções de mesmo nome do segmento (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Figura 3.9 – Pertinência entre ponto e reta (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Fazendo-se uso da regra geral apresentada, observa-se que o ponto (B) da Figura 3.10 pertence à reta (r); já o ponto (A) não pertence à reta (r), enquanto o ponto (C) pertence à reta (r). 62 Figura 3.10 – Estudo de pertinência entre ponto e reta (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). De uma maneira geral a regra de pertinência entre ponto e reta é aplicada para todos os tipos de reta, exceto para o caso da reta de perfil, assunto o qual não será abordado no presente momento. 3.4. Exercício resolvido Verificar se os pontos (C) e (D) pertencem à reta (A)(B). Dados: (A) [0 ; 3; 1] (B) [4; 1; 1] (C) [2; 2; 1] (D) [3; -1; -15] Resolução Em posse das épuras da reta (A)(B) e dos pontos (C) (D), podemos avaliar a pertinência entre os pontos e o segmento de reta. Como não trata- se de uma reta de perfil, podemos dizer que os pontos (C) e (D) serão pertinentes à reta (A)(B) se as suas projeções estiverem sobre as projeções de mesmo nome da mesma. Observamos que a projeção vertical do ponto (C), ou seja, C’, está sobre a projeção vertical da reta (A)(B), ou seja, A’B’; sua projeção horizontal C também está sobre a projeção horizontal da reta (AB), portanto, o ponto (C) pertence ao citado seguimento de reta. Já o ponto (D) possui sua projeção horizontal sobre a projeção vertical do seguimento de 63 reta e sua projeção vertical sobre a projeção horizontal da mesma, portanto, suas projeções de nomes opostos são coincidentes, o que configura que o ponto (D) não pertence à reta (A)(B). 3.5. Traços de retas Chamamos de traço de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta perpassa esse plano. A determinação do traço da reta é de grande importância pois, permite que tomemos conhecimento de sua trajetória espacial. Desta forma, quando a reta for paralela a um plano de projeção, a mesma não terá traço sobre esse plano. O traço sobre o plano vertical (π’) é o traço vertical e, por convenção, é representado por (V) e o traço sobre o plano horizontal (traço horizontal) é representado por (H). 64 Figura 3.11 – Traço de uma reta (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Através da Figura 3.11 podemos observar uma reta que encontra-se no 1° diedro e possui seus traços vertical (V) e horizontal (H) apresentados. Ao lado temos a épura dos traços (V) e (H) e, é importante dizer que a projeção vertical do traço (V), ou seja, V’ é coincidente com (V) e, sua projeção horizontal, V, encontra-se sobre a linha de terra; a projeção horizontal do traço (H), ou seja, H, é coincidente com (H) e, sua projeção vertical, H’, encontra-se sobre a linha de terra. 3.6. Exercício resolvido Dada a reta (A)(B) pede-se: a) sua épura; b) seus traços; c) definição (nome). (A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5] 65 Resolução Para a resolução deste exercício proposto, inicialmente iremos traçar a épura da reta, conforme a imagem abaixo. Observe que traçando a épura da reta, automaticamente já obtemos os traços da mesma, (H) e (V). Dadas as projeções da reta, que são oblíquas aos planos de projeção e à linha de terra, bem como apresenta abscissa, afastamento e cota diferentes, podemos afirmar que trata-se de uma reta qualquer. 66 01 - Completar a épura da figura a seguir, sabendo-se que (C) pertence a (A)(B): 02 – Por um ponto (A) [2; 2; 2] traçar uma reta (A)(B) paralela a uma reta dada (C)(D). (B) [0; ?; ?] (C) [-1; -1; 3] (D) [3; 0; -1] Atividades 67 - A reta é constituída por um conjunto de pontos consecutivos, em que, dois pontos bastam para definir um segmento de reta. - A projeção de um segmento de reta sobre um plano é o lugar das projeções dos infinitos pontos que o compõem sobre o plano citado. - É muito importante compreender os diversos tipos de reta apresentados no item “3.1 – Posições particulares das retas”. - Em linhas gerais, um ponto pertence a uma reta quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, ou seja, quando a projeção horizontal do ponto está sobre a projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto está sobre a projeção vertical da reta. Resumindo 68 69 Unidade IV – Estudo do plano Objetivos desta unidade Conhecer os diversos tipos de traços de planos. Conhecer as posições particulares assumidas pelos planos. Conhecer e aplicar a relação de pertinência entre plano e reta. Introdução Até o presente momento estudamos os sistemas de projeção, o ponto e a reta. Para fecharmos o estudo da Geometria Descritiva vamos estudar agora os planos, suas posições particulares, traços e pertinência. 70 4. Traços do plano Da mesma forma como vimos no estudo das retas, um plano pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, tomando em consequência nomes diferentes. Chamamos de traço de um plano a sua interseção com outro plano. Na Figura 4.1 temos a interseção de entre os planos α e β, conforme dito, chamaremos essa interseção de traço αβ. Figura 4.1 – Traço αβ (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). Em termos de interseção de um plano α com os planos de projeção, temos que o traço deste plano sobre o plano horizontal de projeção é chamado de traço horizontal do plano α, ou seja, απ, com relação ao plano vertical, temos o traço vertical do plano α, ou seja, απ’. 71 Figura 4.2 – Traços do plano α sobre os planos de projeção (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). É importante ressaltar que, normalmente, um plano possui dois traços em relação aos planos de projeção, exceto quando ele for paralelo a um destes. 4.1. Posições particulares do plano Do mesmo modo como estudamos no capítulo anterior as posições das retas, veremos agora as posições dos planos, nomenclaturas e épuras. 72 4.1.1. Plano horizontal De maneira bastante simplista, podemos definir o plano horizontal como um plano paralelo ao plano horizontal de projeção. Portanto, sua épura caracteriza-se por possui apenas o traço vertical que será paralelo á linha de terra. Figura 4.3 – Representação do plano horizontal no1° diedro eem épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.1.2. Plano frontal O plano frontal é aquele plano paralelo ao plano vertical de projeção. Portanto, sua épura é caracterizada por possuir apenas o traça horizontal que será paralelo à linha de terra. 73 Figura 4.4 – Representação do plano frontal no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.1.3. Plano de topo O plano de topo caracteriza-se por ser perpendicular ao plano vertical e oblíquo ao horizontal. Em épura possui traço horizontal perpendicular à linha de terra e traço vertical oblíquo à mesma linha. Figura 4.4 – Representação do plano de topo no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 74 4.1.4. Plano vertical O plano vertical é caracterizado por ser perpendicular ao plano horizontal e oblíquo ao vertical de projeção. Em épura possui o traço vertical perpendicular á linha de terra e o horizontal oblíquo à mesma. Figura 4.5 – Representação do plano vertical no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.1.5. Plano de perfil O plano de perfil caracteriza-se por ser perpendicular aos dois planos de projeção. Em épura possui ambos os traços em coincidência, perpendiculares à linha de terra. 75 Figura 4.6 – Representação do plano de perfil no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.1.6. Plano de rampa (ou paralelo à linha de terra) Como o próprio nome já diz, trata-se de um plano paralelo à linha de terra e, consequentemente, oblíquo aos dois planos de projeção. Em épura apresente dois traços que são paralelos entre si e entre à linha de terra. Figura 4.7 – Representação do plano de rampa no1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 76 4.1.7. Plano que passa pela linha de terra Trata-se de um plano oblíquo aos dois planos de projeção e que contém a linha de terra, portanto, nesta situação, os dois traços são coincidentes. É importante ressaltar que se a inclinação deste plano não for conhecida, ele só será determinado se algum elemento pertencente ao mesmo (ponto ou reta) for conhecido. Figura 4.8 – Representação do plano que passa pela linha de terra no 1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.1.8. Plano qualquer O plano qualquer é caracterizado por ser oblíquo aos dois planos de projeção e à linha de terra. Em épura possui os dois traços oblíquos à linha de terra. 77 Figura 4.9 – Representação do plano qualquer no 1° diedro e em épura (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 4.2. Pertinência de reta e plano De uma maneira geral, uma reta pertence a um plano quando possui seus traços sobre os traços correspondentes do plano. Na Figura 4.10 observa-se que a reta r é pertencente ao plano α, pois, o traço horizontal (H) está sobre AP e o traço vertical (V) está sobre απ’. Porém, analisando a reta s, conclui-se que a mesma não é pertencente ao plano β, pois, apesar de (V) estar sobre βπ’, (H) não está sobre βπ. Figura 4.10 – Retas pertencente e não pertencente ao plano (CRUZ, D. C.; AMARAL, L. G. H., 2012). 78 É importante ressaltar que a regra apresentada não é válida para se determinar se uma reta pertence a um plano que passa pela linha de terra. Tal análise particular não será objeto de estudo no presente momento. - Um plano pode ocupar várias posições em relação aos planos de projeção, tomando em consequência nomes diferentes. - O traço de um plano é a sua interseção com outro plano. - Um plano possui dois traços em relação aos planos de projeção, exceto quando ele for paralelo a um destes. - É importante compreender os tipos de planos apresentados no item “4.1 – Posições particulares do plano”. - De uma maneira geral, uma reta pertence a um plano quando possui seus traços sobre os traços correspondentes do plano. É importante ressaltar que a regra apresentada não é válida para se determinar se uma reta pertence a um plano que passa pela linha de terra. Resumindo 79 80 Unidade V – Equipamentos para desenho Objetivos desta unidade Conhecer e utilizar os equipamentos básicos para Desenho Técnico. Introdução Para que possamos desenvolver desenhos de caráter técnico, sejam eles projetos arquitetônicos ou de peças, precisamos de ferramentas que nos auxiliem nessa empreitada. Para tanto, a partir de agora serão apresentados alguns dos instrumentos que são fundamentais para o desenvolvimento gráfico do nosso curso de Desenho Técnico I. 81 5. Prancheta A prancheta é um instrumento utilizado para apoio e fixação dos papéis. Figura 5.1 – Pranchetas. 5.1. Régua Tê A régua tê é um instrumento móvel que serve para traçar linhas horizontais paralelas no sentido do comprimento da prancheta. Também serve de apoio aos esquadros para traçar paralelas verticais ou com determinadas inclinações. Figura 5.2 – Régua Tê. 82 5.2. Lápis e lapiseira As lapiseiras mais utilizadas atualmente são as de grafite 0,5 mm e 0,7 mm de diâmetro. Os lápis mais comuns para o uso em desenho técnico são os do tipo B e 2B, considerados macios. Normalmente utilizamos as lapiseiras para desenhar traços mais finos (0,5 mm) e médios (0,7 mm) e o lápis 2B (0,9 mm) para o desenvolvimento de traços mais grossos. 5.3. Esquadros São instrumentos, em sua grande maioria de plástico ou acrílico, utilizado para traçar retas, que podem ser perpendiculares às horizontais traçadas com a régua tê ou paralela. Podendo também ser, perpendiculares às retas inclinadas, neste caso sem a utilização de régua. Existem dois tipos de esquadros, um menor em forma de um triângulo de 45º. E outro maior, em forma de triângulo retângulo³, cujos ângulos são de 30 e 60º (CALDAS, D. B., 2011). Figura 5.3 – Jogo de esquadros. 83 5.4. Compasso O compasso é um instrumento utilizado para traçar circunferências ou arcos de circunferência. Figura 5.4 – Compasso. 5.5. Escalímetro É uma espécie de régua graduada em formato triangular bastante utilizada, que traz consigo seis escalas de medição diferentes. No mercado existem vários padrões de escalímetro, variando de acordo com o tipo de escala. O mais usual é o que traz as escalas de 1:20 (lê-se: "um para vinte"); 1:25; 1:50; 1:75; 1:100 e 1:125 (também pode ser representada da seguinte forma: 1/20; 1/25; 1/50; 1/75; 1/100 e 1/125) (CALDAS, D. B., 2011). Figura 5.5 – Escalímetro (CALDAS, D. B., 2011). 84 5.6. Gabaritos São instrumentos que servem como base para a representação precisa de determinados objetos e/ou equipamentos bastante utilizados no desenho técnico. Auxiliando o projetista na elaboração de desenhos já universalmente reconhecidos e padronizados, não havendo, portanto, a necessidade de construir novos desenhos que o representam. Existe uma diversidade de modelos, tais como: gabarito de círculos; formas geométricas; louça sanitária; instalações elétricas; instalações hidráulicas; mobiliário; dentre outros (CALDAS, D. B., 2011). Figura 5.6 – Gabarito (CALDAS, D. B., 2011). 5.7. Régua graduada Instrumento de plástico ou acrílico, utilizado para traçar retas e fazer leitura de medidas de comprimento. 85 5.8. TransferidorInstrumento de plástico ou acrílico, utilizado para medir ângulos. Normalmente temos os transferidores de 180° e de 360°. - Prancheta: instrumento utilizado para apoio e fixação dos papéis. - Régua tê: instrumento móvel que serve para traçar linhas horizontais paralelas no sentido do comprimento da prancheta. - Esquadro: instrumento utilizado para traçar retas, que podem ser perpendiculares às horizontais traçadas com a régua tê ou paralela. - Compasso: instrumento utilizado para traçar circunferências ou arcos de circunferência. - Escalímetro: espécie de régua graduada em formato triangular que traz consigo seis escalas de medição diferentes. - Gabaritos: instrumentos que servem como base para a representação precisa de determinados objetos e/ou equipamentos bastante utilizados no desenho técnico. - Régua graduada: instrumento utilizado para traçar retas e fazer leitura de medidas de comprimento. - Transferidor: instrumento utilizado para medir ângulos. Resumindo 86 87 Unidade VI – Normas para desenho técnico Objetivos desta unidade Conhecer e aplicar as normas que regem o desenvolvimento de desenhos técnicos. Introdução As normas técnicas tem por função principal uniformizar os diversos elementos componentes do Desenho Técnico, de maneira a padronizar a forma como se produz desenhos voltados à Engenharia e Arquitetura, por exemplo. Neste tópico abordaremos as principais normas vigentes. 88 6. NBR 6492 - Representação de projetos de arquitetura A NBR 6492 faz suas considerações acerca de projetos arquitetônicos, definições, fases de projeto, representações gráficas de arquitetura, etc., assuntos que abordaremos de maneira mais aprofundada no decorrer das disciplinas de Desenho Técnico I e II. Figura 6.1 – NBR 6492 (ABNT, 1994). 6.1. NBR 10068 – Folha de desenho – Leiaute e dimensões A NBR 10068 versa basicamente sobre os formatos das folhas utilizadas para o desenho técnico, questões de legendas e margens. 89 Figura 6.2 – NBR 10068 (ABNT, 1987). Conforme cita a NBR 10068, o formato básico para desenhos técnicos é o retângulo de área igual a 1 m² e de lados medindo 841 mm x 1189 mm (folha A0), isto é, guardando entre si a mesma relação que existe entre o lado de um quadrado e sua diagonal: x/y = ½. 90 Figura 6.3 – Origem dos formatos da série “A” (ABNT, 1987). A Figura 6.4 apresenta os formatos derivados da série “A”. Figura 6.4 –Formatos derivados da série “A” (ABNT, 1987). 91 A Tabela 6.1 apresenta os formatos de folhas da série “A”. Tabela 6.1 – Formatos da série “A” (ABNT, 1987). A legenda, que é a descrição do desenho, deve estar dentro do quadro para desenho de tal forma que contenha a identificação do desenho (número de registro, título, origem, etc.); deve estar situado no canto inferior direito, tanto nas folhas posicionadas horizontalmente como verticalmente (Figura 6.5). Figura 6.5 – Posição da legenda nas folhas posicionadas verticalmente e horizontalmente (ABNT, 1987). 92 Conforme aponta a NBR 10068, as margens são limitadas pelo contorno externo da folha e quadro. O quadro limita o espaço para o desenho (Figura 6.6). As margens esquerda e direita, bem como as larguras das linhas, devem ter as dimensões constantes na Tabela 6.2. A margem esquerda serve para ser perfurada e utilizada no arquivamento. Figura 6.6 – Margem e quadro (ABNT, 1987). Tabela 6.2 – Largura das linhas e das margens (ABNT, 1987). 93 6.2. NBR 10582 – Apresentação da folha para desenho técnico A NBR 10582 fixas as condições exigíveis para a localização e disposição do espaço para desenho, espaço para texto e espaço para legenda. Figura 6.7 – NBR 10582 (ABNT, 1988). Na Figura 6.8 é apresentado um desenho esquemático das disposições para desenho, texto e legenda. Figura 6.8 – Disposição para desenho, texto e legenda (ABNT, 1988). 94 Na Figura 6.9 é apresentado um exemplo de legenda que será utilizada em trabalhos no formato A4 (dimensões em mm). Figura 6.9 – Modelo de legenda (carimbo). 6.3. NBR 10067 – Princípios gerais de representação em desenho técnico A NBR 10067 normaliza o método de projeção, a denominação das vistas, cortes, etc. Ambos serão objetos de estudo posteriormente. Figura 6.10 – NBR 10067 (ABNT, 1995). 95 6.4. NBR 13142 – Desenho técnico – dobramento de cópia A NBR 13142 (ABNT, 1999) fixa a forma de dobramento de todos os formatos “A” de folhas desenho. Figura 6.11 – NBR 13142 (ABNT, 1999). As cópias devem ser dobradas de modo a deixar visível a legenda (NBR 10582). Esta dobragem facilita a fixação das folhas em pastas que serão arquivadas, sendo assim as folhas são dobradas até que suas dimensões sejam as da folha A4. As Figuras 6.12, 6.13, 6.14 e 6.15 indicam como deve ser feito o dobramento das cópias A4, A3, A2, A1 e A0. 96 Figura 6.12 – Dobramento de cópia A4 e A3 (UFPA). 97 Figura 6.13 – Dobramento de cópia A2 (UFPA). Figura 6.14 – Dobramento de cópia A1 (UFPA). 98 Figura 6.15 – Dobramento de cópia A0 (UFPA). 6.5. NBR 8402 – Execução de caracter para escrita em desenho técnico A NBR 8402 normaliza as condições para a escrita usada em Desenhos Técnicos, visando a uniformidade e a legibilidade. 99 Figura 6.16 – NBR 8402 (ABNT, 1994). A Figura 6.17 e a Tabela 6.3 apresentam como deve ser feita a escrita em desenho técnico. A altura h das letras maiúsculas deve ser tomada como base para o dimensionamento. Tabela 6.3 - Proporções e dimensões de símbolos gráficos (ABNT, 1994). 100 Figura 6.17 – Características da forma de escrita (ABNT, 1994). 6.6. NBR 8403 – Aplicação de linhas em desenhos – Tipos de linhas – Larguras das linhas A NBR 8403 fixa tipos e o escalonamento de larguras de linhas para uso em desenhos técnicos e documentos semelhantes. Figura 6.18 – NBR 8403 (ABNT, 1984). 101 A NBR 8403 apresenta os seguintes tipos de linha: Tabela 6.4 – Tipos de linhas (ABNT, 1984). 102 As linhas são os principais elementos gráficos do desenho arquitetônico. Além de definirem o formato, dimensões e posicionamento das paredes, portas, janelas, pilares, vigas, escadas, etc., também informam as características e dimensões de cada elemento projetado. Sendo assim, deverão estar perfeitamente representadas dentro do desenho (XAVIER, S., 2011). As linhas de um desenho normatizado devem ser regulares, legíveis (visíveis) e devem possuir contraste umas com as outras. Nas plantas, cortes e fachadas, para sugerir profundidade, as linhas sofrem uma gradação no traçado em função do plano onde se encontram. As linhas em primeiro plano (plano mais próximo) serão sempre mais grossas e escuras, enquanto as do segundo e demais planos visualizados (mais afastados) serão menos intensas. Também se diferem as espessuras das linhas dos elementos seccionados (transpassados pelos planos de corte) das linhas dos elementos em vista (que estão além do plano de corte), representando- se com maior intensidade visual os primeiros (elementos em seção) em relação aos últimos (elementos emvista) (XAVIER, S., 2011). Na disciplina de Desenho Técnico trabalharemos com os seguintes tipos de linhas: 103 Tabela 6.5 – Tipos de linhas utilizadas em Desenho Técnico (XAVIER, S., 2011). 6.7. NBR 10126 – Cotagem em desenho técnico A NBR 10126 tem como objetivo fixar os princípios gerais de cotagem, através de linhas, símbolos, notas e valor numérico numa unidade de medida. As recomendações na aplicação de cotas são: - Cotagem completa para descrever de forma clara e concisa o objeto; - Desenhos de detalhes devem usar a mesma unidade para todas as cotas sem o emprego do símbolo; - Evitar a duplicação de cotas, cotar o estritamente necessário; - Sempre que possível evitar o cruzamento de linhas auxiliares com linhas de cotas e com linhas do desenho; - A cotagem deve se dar na vista ou corte que represente mais claramente o elemento. 104 Figura 6.19 – NBR 10126 (ABNT, 1987). Os elementos gráficos para a representação da cota são (Figura 6.20): - Linha de cota; - Linha auxiliar; - Limite da linha de cota (seta ou traço oblíquo); - Valor numérico da cota. 105 Figura 6.20 – Elementos de cotagem (UFPA). As Figuras 6.21 e 6.22 são reproduzidas de Montenegro, G. A., 1997, que de uma maneira bastante descontraída apresenta algumas orientações sobre cotagem. 106 Figura 6.21 – Algumas diretrizes para cotagem (MONTENEGRO, G. A., 1997). 107 Figura 6.22 – Princípios gerais de cotagem (MONTENEGRO, G. A., 1997). Para treinar um pouco acerca da cotagem de desenhos técnicos, observe a Figura 6.23 e tente descobrir os erros. 108 Figura 6.23 – Erros de cotagem (MONTENEGRO, G. A., 1997). 6.8. NBR 8196 – Desenho técnico – Emprego de escalas A NBR 8196 fixa as condições exigíveis para o emprego de escalas e suas designações em desenhos técnicos. 109 Figura 6.24 – NBR 8196 (ABNT, 1999). O assunto acerca de escalas será retomado posteriormente. 110 - Normas técnicas têm por função principal uniformizar os diversos elementos componentes do Desenho Técnico, de maneira a padronizar a forma como se produz desenhos voltados à Engenharia e Arquitetura, por exemplo. - NBR 6492: Representação de projetos de arquitetura. - NBR 10068: Folha de desenho – Leiaute e dimensões. - NBR 10582: Apresentação da folha para desenho técnico. - NBR 10067: Princípios gerais de representação em desenho técnico. - NBR 13142: Desenho técnico – dobramento de cópia. - NBR 8402: Execução de caracter para escrita em desenho técnico. - NBR 8403: Aplicação de linhas em desenhos – Tipos de linhas – Larguras das linhas. - NBR 10126: Cotagem em desenho técnico. - NBR 8196: Desenho técnico – Emprego de escalas. Resumindo 111 112 Unidade VII – Vistas ortográficas e perspectivas isométricas Objetivos desta unidade Desenvolver vistas ortográficas e perspectivas isométricas de peças. Compreender a importância da utilização de vistas isométricas para o real entendimento de um desenho técnico. Introdução Imaginemos uma peça qualquer envolvida por um cubo, deste, cada uma de suas faces representará uma vista do objeto, ou seja, o que você estaria enxergando da peça se a estivesse olhando de frente em cada uma das posições das faces do cubo. Desmembrando este cubo é possível visualizarmos todos os lados da peça no plano. A Figura 7.1 esboça justamente a situação apresentada. 113 Figura 7.1 – Vistas de uma peça no 1° diedro (ABNT, 1995). Na Geometria Descritiva duas projeções são suficientes para representar um objeto, já no Desenho Técnico, esta identificação torna-se impraticável, utilizando-se, normalmente, uma terceira projeção, para definir de modo inequívoco a forma dos objetos. A segunda distinção é encontrada no posicionamento do objeto. Em Desenho Técnico o objeto é colocado com suas faces principais paralelas aos planos de projeção, de modo a obtê-las em verdadeira grandeza (VG) na projeção em que seja paralela. O mesmo não ocorre com a Geometria Descritiva, onde se 114 resolvem problemas de representação com objetos colocados em qualquer posição relativa aos planos de referência (UFPA). 7. Vistas ortográficas Separando-se cada uma das vistas apresentadas na Figura 7.1, temos a Figura 7.2 em que são apresentadas 6 vistas ortográficas, ou seja, 6 vistas em verdadeira grandeza. Figura 7.2 – Vistas do objeto (ABNT, 1995). 115 Fixando a vista frontal (A) conforme a Figuras 7.2, as posições relativas das outras vistas são as seguintes: a) vista superior (B), posicionada abaixo; b) vista lateral esquerda (C), posicionada à direita; c) vista lateral direita (D), posicionada à esquerda; d) vista inferior (E), posicionada acima; e) vista posterior (F), posicionada à direita ou à esquerda, conforme a conveniência. Normalmente no desenho técnico, três vistas são suficientes para definir uma peça: vista frontal, vista lateral esquerda ou direita e vista superior. Observemos o exemplo (Figura 7.3) a seguir em que temos a representação das vistas de um dado. 116 Figura 7.3 – Vistas de um dado (DORNELES, V., SENAI). Na Figura 7.4 são apresentados os elementos componentes de um estudo de projeção em função da posição do observador. 117 Figura 7.4 – Elementos de uma projeção (DORNELES, V., SENAI). 7.1. Exercícios resolvidos Dada a peça a seguir, esboçar suas vistas frontal, lateral esquerda e superior. Dimensões em milímetros (mm). 118 Resolução: 119 Na primeira imagem, a esquerda, temos a vista frontal; na imagem a direita, a vista lateral esquerda e na imagem inferior, a vista superior da peça. 7.2. Exercício proposto Escreva nas vistas ortográficas apresentadas, as letras da peça a seguir que correspondem aos seus vértices. 7.3. Perspectivas Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes aparentam ser menores. A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano, pois transmite a ideia de três dimensões: comprimento, largura e altura. O desenho, para transmitir essa mesma ideia, precisa recorrer a um modo especial de representação gráfica: a perspectiva. Ela representa graficamente as três dimensões de um objeto um único plano, de maneira a transmitir a ideia de profundidade e relevo (DORNELES, V., SENAI). 120 Figura 7.5 – Tipos de perspectivas (DORNELES, V., SENAI). Nas disciplinas de Desenho Técnico I e II trabalharemos basicamente com a perspectiva isométrica. Iso quer dizer mesmo e métrica quer dizer medida, ou seja, são mantidas as mesmas proporções de comprimento, largura e altura do objeto representado. 121 7.3.1. Aplicações práticas Uma planta baixa é uma representação gráfica de uma edificação uma vez realizado um corte imaginário nesta a aproximadamente 1,50 m de altura
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