sistema de amortização : sistema price,americano,constante e variavel

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ANDRESSA SANTOS LEITE 
GISELE JOSUE HOTTES 
GEISIANE MARIA DE SOUZA BIZI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AMORTIZAÇAO 
 
 
 
Trabalho apresentado a Universidade Federal 
de Rondônia como requisito parcial para 
obtenção da nota na disciplina de matemática 
financeira. 
 
Prof. Ademir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cacoal/RO 
2016 
 
2 
 
SUMARIO 
1.1 INTRODUÇÃO ___________________________________________ 3 
1.1 OBJETIVO GERAL __________________________________________ 4 
1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS ___________________________________ 4 
2.1 AMORTIZAÇÃO __________________________________________ 4 
2.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC _______________ 5 
2.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – SAF –SISTEMA PRICE. __ 8 
2.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA _______________ 12 
2.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL ______________________ 13 
4 CONSIDERAÇOES FINAIS ________________________________ 14 
5 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS _________________________ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
 
Há vários sistemas de amortização que acomodam a estrutura matemática 
para avaliar as prestações e evidenciar o desenvolvimento do financiamento ao longo 
do tempo. 
Nos dias em que se vive está cada vez mais fácil de pegar empréstimos em 
entidade financeiros, elas apresentam um capital que deverá ser devolvido com juros 
durante o período pré-determinado. 
Um sistema de amortização é um plano de prestação de uma dívida, os 
pagamentos podem ser amortizados em parcelas iguais ou diferentes com frequência 
mensal, trimestral, anual, quinzenal ou em períodos variáveis. Os sistemas de 
amortização mais aproveitados em todos os países sugerem em prestações mensais 
compostas por duas parcelas distintas de juros e de capital. 
Este presente artigo apresentará os tipos de amortização, seus significados 
distintos, proporcionando formulas e exemplos de exercícios resolvidos para facilitar 
o desenvolvimento do tal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
1.1 OBJETIVO GERAL 
 
 Conhecer o sistema de amortização constante, Frances, Americano e 
variável. 
 
 
1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS 
 Identificar os tipos de amortização e suas definições. 
 Relatar as classificações das modalidades de amortização. 
 
 
 
2.1 AMORTIZAÇÃO 
 
 
Segundo (FIOREZE) as formas de pagamento dos empréstimos são 
chamadas de Sistemas de Amortização, e estes sistemas são variados, alguns 
prevendo pagamento único, outros envolvendo pagamentos periódicos de parcelas, a 
qual denominou genericamente de prestações. 
Segue uma preparação de demonstrativos que acompanham cada 
pagamento do empréstimo e nestes demonstrativos deve constar o valor de cada 
parcela e o saldo devedor, devendo, ainda, o valor de cada parcela ser subdividido 
em juros e amortização. 
Os principais Sistemas de Amortização são; Sistema de Amortização 
Americano (SAA), com suas duas variantes; Padrão e Bullet; Sistema de Amortização 
Constante (SAC); Sistema de Amortização Francês (SAF) também referido como 
Sistema (PRICE); e o Sistema de Amortização variável. 
CHIANG (1992, citado SANTO, Ruthberg 2003) pode-se concluir que um 
sistema de amortização é, antes de tudo, um modelo matemático estando, portanto, 
constituído de um conjunto de equações destinadas a descrever sua estrutura e 
garantir a sua consistência e, de uma maneira geral, qualquer fluxo de pagamentos 
para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. 
5 
 
 
2.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 
 
 
No sistema de amortização constante (SAC) a parcela de amortização da 
dívida é calculada tomando por base o total da dívida (saldo devedor), dividido pelo 
prazo do financiamento, como um percentual fixo da dívida, desta forma, é 
considerado um sistema linear. No SAC a prestação inicial é um pouco maior que na 
Tabela PRICE, pois o valor que é pago da dívida (amortização) é maior, assim, se 
liquidará uma parcela mais significativa da dívida desde o inicio do financiamento e se 
pagará menos juros ao longo do contrato. (BAGATINE 2010) 
À medida que a dívida começa a ser amortizada, a parcela dos juros e 
consequentemente a prestação como um todo tende a decrescer, uma vez que o 
próprio saldo devedor se reduz. Com isso, no SAC, o saldo devedor e a sua prestação 
tendem a decrescer de forma constante desde o início do financiamento e não deixa 
resíduos, desta forma, o devedor estará menos exposto em caso de aumento do 
indexador do contrato (a TR, TJLP ou INCC) durante o financiamento. 
Este sistema é bastante utilizado pelo Sistema Financeiro de Habitação 
(SFH), no Programa Minha Casa Minha Vida. Também pelos bancos comerciais em 
seus financiamentos imobiliários, empréstimos através de entidades governamentais, 
ou seja, recursos repassados pelo BNDES e BRDE. Caso dos financiamentos de 
investimentos, Pronaf Agropecuário e outros. 
Segundo (BAGATINE) no sistema de amortização constante (SAC) a parcela 
de amortização da dívida é calculada tomando por base o total da dívida (saldo 
devedor), dividido pelo prazo do financiamento, como um percentual fixo da dívida, 
desta forma, é considerado um sistema linear. 
Para Bagatine (2010) O SAC é um financiamento com prestações 
decrescentes, ou seja, no início as prestações são maiores e vão decrescendo 
constantemente. Quando se adquire o empréstimo por este princípio, deve-se ter 
renda maior no início ou então ter um saldo para poder bancar maior valor no início 
do empréstimo. 
 
Veja alguns exemplos citados por (BAGATINE 2010) 
 
6 
 
01) Um empréstimo de R$ 300.000,00 para pagamento em 5 parcelas 
com juros de 4% a.m. 
RESOLUÇAO: 
Sistema SAC Demonstrativo 
N Juros Amortização Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 300.000,00 
1 12.000 60000 72000 240000 
2 9600 60000 69600 180000 
3 7200 60000 67200 12000 
4 4800 60000 64800 6000 
5 2400 60000 62400 0 
Saldo 360000 300000 336000 
 Calcular os 
juros simples 
sobre o saldo 
devedor a 
cada ano. 
J=CIN 
Dividir o saldo 
devedor inicial 
pelo número 
de 
prestações.𝐴 =
𝑃
𝑉
 
Somar a 
coluna de 
juros mais 
amortização. 
Abater a 
amortização 
do saldo 
devedor a 
cada ano. 
 
Resolução: 
Amortização 
𝐴 =
300.000 
5 
= 60.000 
Juros J1=300.000 x 0,04=12000 J2=240000x0,04=9600 
Prestações PMT1; 60000 + 12000 = 72000 PMT2=60000 + 9600 = 69600 
Saldo 
devedor 
Sd1=300000-60000=240000 
 
Sd2=240000-60000=180000 
 
 
Nos empréstimos, cujo pagamento contém cláusulas de carência, o 
pagamento durante a carência se limita aos juros. A amortização é feita nos períodos 
posteriores à carência. 
02) Foi contratado um empréstimo de R$ 90.000,00 para ser amortizado em 6 
prestações com 4 anos de carência à taxa de 5% ao semestre. Calcule a planilha. 
7 
 
 
Sistema SAC com Carência 
Demonstrativo 
n Juros Amortização Pagamento Saldo devedor 
0 0 0 0 90.0000,00 
1 9000 90.000,00 
2 9000 90.000,00 
3 9000 90.000,00 
4 9000 90.000,00 
5 9000 15.000,00 24.000,00 75.000,00 
6 7.500,00 15.000,00 22.500,00 60.000,00 
7 6.000,00 15.000,00 21.000,00 45.000,00 
8 4.500,00 15.000,00 19.500,00 30.000,00 
9 3.000,00 15.000,00 18.000,00 15.000,00 
10 1.500,00 15.000,00 16.500,00 0 
Dividir o saldo devedor inicial pelo número 
de prestações, amortizar após a carência. 
Abater a amortização do saldo devedor a 
cada ano, após a carência; 
 
 
Sistemade amortização constante com capitalização de juros na carência. 
Nesta modalidade de empréstimo, na carência, os juros correspondentes a cada 
período financeiro são capitalizados (adiciona-se ao saldo devedor). 
 
 
 
 
03) um empréstimo de r$ 500.000,00 foi feito nas seguintes condições: 
1. Amortização em 10 anos c/ prestações anuais; 
2) Juros de 1% a.m (12% aa) 
8 
 
3. Carência capitalizada de 4 anos 
 
N Juros Amortização Pagamento Saldo devedor 
0 500.000,00 
1 60.000,00 560.000,00 
2 67.200,00 627.200,00 
3 75.264,00 702.464,00 
4 84.295,68 786.759,68 
5 94.411,16 78.675,97 173.087,13 708.083,71 
6 84.970,05 78.675,97 163.646,02 629.407,74 
7 75.528,93 78.675,97 154.204,90 550.731,77 
8 66.087,81 78.675,97 144.763,78 472.055,80 
9 56.646,70 78.675,97 135.322,67 393.379,83 
10 47.205,58 78.675,97 125.881,55 314.703,86 
11 37.764,46 78.675,97 116.440,43 236.027,89 
12 28.323,35 78.675,97 106.999,32 157.351,92 
13 18.882,23 78.675,97 97.558,20 78.675,95 
14 9.441,11 78.675,97 88.117,08 0 
 
 
2.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS – SAF –SISTEMA PRICE. 
 
 
A “designação do Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido 
utilizado primeiramente na França, no século XIX. ” (SAMANEZ,2002, pág.208). 
Ao contrário do sistema SAC onde a amortização é igual, na Tabela PRICE, 
todas as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Este sistema seria ideal se 
não existisse no financiamento imobiliário a figura do indexador da prestação (índices: 
TR, TJLP, INCC, CUB, IGPM, etc.). 
Segundo Assaf Neto (2008), o Sistema Price de Amortização (ou Tabela 
Price) representa uma variante do Sistema de Amortização Francês. O sistema 
9 
 
francês, desenvolvido por Richard Price, assumiu esta denominação devido a seu 
amplo uso na França no século passado. 
ASSAF NETO (2008) o Sistema Price tem como característica básica o uso 
da taxa proporcional simples em vez da taxa equivalente composta de juros, sendo 
fundamentalmente adotado quando os períodos das prestações se apresentam 
menores que o da taxa de juros as prestações podem aumentar durante todo o prazo 
de financiamento. Nesse sistema, se estará mais exposto a um aumento nos 
indexadores provocados por um aumento da inflação e não temos nenhuma garantia 
e nem poderemos adivinhar o que ocorrerá daqui a vinte anos, mesmo com a pretensa 
estabilidade. 
 
Dado a formula 
 
𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉
(1 + 𝑖)𝑛∗1
1 − (1 + 𝑖)𝑛
 
 
 PMT= prestação 
 PV= valor presente 
 I= taxa 
 N= período 
 
Veja alguns exemplos citado por FIOREZE 
 
 EXEMPLO: Um empréstimo de R$ 300.000,00 para pagamento em 5 
parcelas com juros de 4% a.m. com distribuição pelo Sistema PRICE. 
 
Demonstrativo 
N Juros Amortização Pagamento Saldo 
devedor 
0 0 300.000,00 
1 12.000 55.388,13 67.388,13 244.611,87 
2 9784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 
3 7480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 
10 
 
4 5084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 
5 2591,85 64.796,28 67.388,13 0 
Total 36940,65 300.000,00 336.940,65 
 
 
Resolução 
Pagamento 300.000
1 − (1 + 0,04)−5
 
0,04 
= 67.388,13 
Juros J1=300.000,00*0,04*1 
= 12.000,00 
J2= 
244.611,87*0,04*1=9.784,47 
J3=187.008,21*0,04*1=7.4
80,32 
Amortização A1=67.388,13-
12.000,00 
= 55.388,13 
A2=67.388.13 -
9.784,47=57.603,66 
A3=67.3388,13-
7.480,32=59.907,81 
Saldo SD1=300.000,00-
55.388,13= 
244.611,87 
SD2=244.611,87-57.603,66 
=187.008,21 
SD3=187.008,21-
59.907,81=127.100,40 
 
Deve-se notar que todos os cálculos foram efetuados dentro do sistema de 
capitalização composta. Eventual confusão surge, quando pelo mecanismo de 
funcionamento da “PRICE”, se estabelece que a parcela de juros é calculada pela taxa 
de juros multiplicada pelo saldo devedor imediatamente anterior. O que não se diz 
claramente é que a parcela de amortização cresce geometricamente, mantendo a 
componente composta da relação. 
 
 
 
 
Na HP 12 C 
11 
 
 
 
Como o Sistema Francês/Price é o mais utilizado na prática, mostraremos o 
seguinte exemplo: Uma empresa pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 para ser 
resgatado em 5 prestações mensais iguais, com juros de 1% ao mês, pelo Sistema 
Francês. 
Calcular o valor de cada prestação, o valor dos juros de cada prestação, o 
saldo devedor após cada pagamento e elaborar um plano de amortização (tabela). 
 
[f] [CLEAR] [ REG] 0,00 
250.000 [CHS] [PV] -250.000,00 
5 [n] 5,00 
1 [i] 1,00 
[PMT] 51.509,95 Valor de cada prestação 
1 [f] [AMORT] 2.500,00 Parcela de juros da 1a prestação 
[x><y] 49.009,95 Parcela de amortização da 1a prestação 
[RCL] [PV] -200.990,05 Saldo devedor após pgto.1a prestação 
1 [f] [AMORT] 2.009,90 Parcela de juros da 2a prestação 
[x><y] 49.500,05 Parcela de amortização da 2a prestação 
[RCL] [PV] -151.490,00 Saldo devedor após pgto. 2a prestação 
1 [f] [AMORT] 1.514,90 Parcela de juros da 3a prestação 
[x><y] 49.995,05 Parcela de amortização da 3a prestação 
[RCL] [PV] -101.494,95 Saldo devedor após pgto. 3a prestação 
1 [f] [AMORT] 1.014,95 Parcela de juros da 4a prestação 
[x><y] 50.495,00 Parcela de amortização da 4a prestação 
[RCL] [PV] -50.999,95 Saldo devedor após pgto. 4a prestação 
1 [f] [AMORT] 510,00 Parcela de juros da 5à prestação 
[x><y] 50.999,95 Parcela de amortização da 5a prestação 
[RCL] [PV] 0,00 Saldo devedor após pgto. 5a prestação 
 
Plano de Amortização 
N Prestação Juros Pagos Valores das Parcelas 
de Amortização 
Saldo 
Devedor 
12 
 
0 250.000,00 
1 51.509,95 2.500,00 49.009,95 200.990,05 
2 51.509,95 2.009,90 49.500,05 151.490,00 
3 51.509,95 1.514,90 49.995,05 101.494,95 
4 51.509,95 1.014,95 50.495,00 50.999,95 
5 51.509,95 510,00 50.999,95 0,00 
 
 
2.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO – SAA 
 
 
No Sistema de Amortização Americano, o mutuário paga a cada período 
apenas os juros do financiamento e devolve o capital emprestado de uma só vez na 
data do vencimento da dívida (ZENTGRAF, 2007). 
Conforme Rezende (2003), mais uma vez observa-se o mesmo critério de 
cálculo de juros: sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior aplica‑se 
a taxa de juros e procede-se ao recebimento dos valores gerados no período, sem 
incorporá-los ao saldo devedor. Não existe, portanto, a denominada capitalização de 
juros. 
Neste modelo também se verifica o ponto de indiferença entre a aplicação de 
juros simples ou compostos, situação que, aliás, pode ser constatada em qualquer 
modelo em que os juros sejam totalmente pagos no ato de seu vencimento 
(REZENDE, 2003). 
Veja alguns exemplos citados por Rezende (2003). 
 EXEMPLO: Amortizar em 4 pagamentos anuais uma dívida de 50.000,00 
reais a uma taxa de 10% a.a. 
 
Tempo Divida Amortização Juros Parcela 
0 50.000,00 0 5.000,00 5.000,00 
1 50.000,00 0 5.000,00 5.000,00 
2 50.000,00 0 5.000,00 5.000,00 
13 
 
3 50.000,00 0 5.000,00 5.000,00 
40 50.000,00 5.000,00 55.000,00 
 
 
 
Conforme Rezende (2003), mais uma vez observa-se o mesmo critério de 
cálculo de juros: sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior aplica‑se 
a taxa de juros e procede-se ao recebimento dos valores gerados no período, sem 
incorporá-los ao saldo devedor. Não existe, portanto, a denominada capitalização de 
juros. 
Neste modelo também se verifica o ponto de indiferença entre a aplicação de 
juros simples ou compostos, situação que, aliás, pode ser constatada em qualquer 
modelo em que os juros sejam totalmente pagos no ato de seu vencimento 
(REZENDE, 2003). 
 
 
2.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL 
 
 
 Este sistema de amortização se caracteriza pelo fato de o devedor pagar 
periodicamente parcelas de amortização, combinadas na ocasião do contrato, sendo 
os juros calculados sobre o saldo devedor, que deverá ser pago totalmente, em 
conjunto com cada parcela de amortização. Um exemplo desse tipo de sistema de 
amortização são os cartões de créditos, em que os juros são cobrados a uma taxa 
prefixada sobre o saldo devedor. A fórmula utilizada para o cálculo de cada prestação 
será a mesma usada anteriormente, sempre aplicada sobre o saldo devedor, 
conforme o combinado na ocasião do contrato. 
Exemplo: Uma empresa pede emprestada $ 100.000,00, que serão 
amortizados anualmente do seguinte modo: 
1º ano: 10.000,00 
2º ano 20.000,00 
14 
 
3º ano 30.000,00 
4º ano 40.000,00 
Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência para o início das 
amortizações, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que os juros devidos serão pagos 
anualmente. A planilha é construída colocando-se inicialmente as amortizações. A 
seguir, são calculados os juros sobre o saldo devedor do período anterior e calculada 
a prestação. 
Anos (K) Saldo devedor 
(SD) 
Amortização 
(A) 
Juros (J) Prestações 
(R) 
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
3 90.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00 
4 70.000,00 20.000,00 9.000,00 29.000,00 
5 40.000,00 30.000,00 7.000,00 37.000,00 
6 - 40.000,00 4.000,00 44.000,00 
Total - 100.000,00 50.000,00 150.000,00 
 
 
 
 
 
 
4 CONSIDERAÇOES FINAIS 
 
 
Em resumo podemos dizer que este estudo colaborou para uma melhor 
compreensão sobre estes sistemas, proporcionando grande entendimento, 
conhecimento necessário para saber qual dos Sistemas de Amortização é o mais 
conveniente para determinada necessidade e condições de quitação da dívida. 
15 
 
Afinal as instituições bancárias adotam geralmente o Sistema PRICE na 
maioria dos financiamentos, podemos dizer que o Sistema SAC é o que acarreta 
menos pagamento de juros por conta de as primeiras prestações serem mais altas 
diminuindo assim mais rapidamente o saldo de devedor. 
Mas ainda temos o Sistema Americano, que nada mais é que um 
financiamento com período de carência de todo prazo do empréstimo, onde se pode 
aplicar o dinheiro e deixar render juros até o final do empréstimo, podendo assim quitar 
grande parte da dívida só com esta aplicação. O fato é que poucas instituições adotam 
este tipo de financiamento. 
O Sistema PRICE é muito utilizado por ser quitado em prestações sempre 
iguais, o que oferece uma certeza para o devedor como também para o credor. No 
entanto, não é aconselhável para empréstimos em longo prazo por conta dos 
indexadores de contrato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
 
BAGATINE F.A SISTEMA DE AMORTIZAÇAO DE EMPRESTIMOS Universidade 
Regional Integrada Do Alto Uruguai E Das Missões Campus De Erechim 2010 
disponível em http://www.uricer.edu.br/cursos/arq_trabalhos_usuario/1275.pdf 
acesso 05/01/2016 as 23 hr 
16 
 
 
CAPITAO A.C.O MATEMÁTICA FINANCEIRA EMPRÉSTIMOS AMORTIZAÇÕES 
DISPINIVEL EM 
http://www.capitao.pro.br/apostilas/matematica%20financeira/MF5%20-
%20Emprestimos%20e%20Amortiza%E7%F5es.pdf acesso em 05/01/2016 
 
FIOREZE L.A MATEMATICA FINANCEIRA. Unifra - Centro Universitário 
Franciscano DISPONIVEL EM http://www.unifra.br/professores/9011/Rendas1.pdf 
ACESSO EM 
 
REZENDE, Teotonio Costa. OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO NAS OPERAÇÕES 
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