Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 12. Diferenciação Logarítmica A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica consiste em executar os seguintes passos: 1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação � � ���� e usar as leis dos logaritmos; 2) Derivar implicitamente em relação a �� 3) Isolar ����. Cálculo da derivada de uma função composta por potências de funções Seja � � ���� uma função dada por: � � �� onde � � ���� � � � ����, ou seja, ���� � �������� Deseja-se calcular a derivada � ���� ou ���� ou ��. Vamos calcular a derivada seguindo as etapas da técnica de diferenciação logarítmica: 1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação e usar as lei dos logaritmos � � �� � � ���� � �! � ��� 2) Derivar implicitamente em relação a � " "� �� � ��� � " "� ��! � ���� # � ! "� "� � �! " "� �� ���� $ � ���! " "� ��� # � ! "� "� � �! # � ! "� "� $ � ���! "� "� 3) Isolar �� �� "� "� � � % � � ! "� "� $ � ���! "� "�& "� "� � �� ' � � ! "� "� $ � ���! "� "�( Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: Calcule a derivada das funções indicadas: #� � � ��) $ #�)� � ��� � � ���)$ #�)�� � *� ! � ��) $ #� ""� �� ���� � " "� �*� ! � ��)$ #�� #� ! "� "� � *�! " "� �� ��) $ #�� $ � ��)$ #� ! " "� �*�� #� ! "� "� � *�! ' # �)$ # ! " "� ��) $ #�( $ � ��) $ #� ! * #� ! "� "� � *�! ' *� �) $ #( $ * � ��) $ #� "� "� � � + ,�) �)$ #$ * � ��) $ #�- "� "� � ��)$ #�)� + ,�) �) $ #$ * � ��)$ #�- *� � � '# $ #�( � � ��� � � +'# $ #�( �- � � � '� $ #� ( . � ���/� � %� � '� $ #� (& � #� ! �� � .�/�! � ' � $ # � ( $ %� ' � $ # � (& � ! � #� ! �� � �#�! � ' � $ # � ($ # � $ #� ! %� $ #� & � ! � #� ! �� � � ' � $ # � ($ �) � $ # ! + .� $ #/�! � 0 .�/�! �� $ #� �) - #� ! �� � � ' � $ # � ($ �) � $ # ! ' � 0 �� $ #� �) ( #� ! �� � � ' � $ # � (0 # � $ # �� � � '� '� $ #� (0 # � $ #( � '# $ # �( � ! '� '� $ #� (0 # � $ #( Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 1� � � � 234�5�� � ��� � � 6� 234�5��7 � 8�9�1�� ! � ��� . � ���/� � .8�9�1�� ! � ���/� #� ! �� � .8�9�1��/�! � ��� $ .� ���/�! 8�9�1�� #� ! �� � :;< �1��.1�/�! � ��� $ # � ! 8�9�1�� �� � 1 � :;< �1�� � ��� $ �� ! 8�9�1�� �� � � 234�5�� '1 :;< �1�� � ��� $ 8�9�1��� ( ,� � � *=! :;< � � � ��� � � �*=! :;< � �� � � �*=� $ � �:;< � �� #� � � � # *= ! .*=/� $ # :;<� � ! .:;<� �/� #� � � � *= � �*� *= 0 8�9� � :;<� � � � � � '� �*� 0 8�9� �:;<� �( � *= :;<� � '� �*� 0 8�9� � :;<� �( � *= � �*� :;<� � 0 *=8�9� � >� ? � *�) $ � $ @√� $ * � � ?� � � +*�)$ � $ @√� $ * - � � ?� � � �*�)$ � $ @� 0 � 6√� $ *7 ""� �� � ?�� � " "� 6� �*�)$ � $ @� 0 � 6√� $ *77 #? ! "? "� � " "� �� �*�) $ � $ @�� 0 " "� 6� 6√� $ *77 #? ! "? "� � # *�)$ � $ @ " "� �*�) $ � $ @� 0 # √� $ * " "� 6√� $ *7 #? ! "? "� � ,� $ # *�)$ � $ @ 0 # * ! 6√� $ *7! 6√� $ *7 "?"� � ? ' ,� $ # *�) $ � $ @ 0 # *�� $ *�( � + *�)$ � $ @ √� $ * - ! ' ,� $ # *�)$ � $ @ 0 # *�� $ *�( Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 13. Diferenciais Seja � � ���� uma função diferenciável. A diferencial de � (denota-se "�) é uma variável independente que pode assumir qualquer valor real. A diferencial de � (denota-se "�) é dada pela equação: "� � � ���� "� A diferencial "� é uma variável dependente que depende do valor de � e de "�. Fixado um valor para �, a equação é a representação de uma função que a cada "� B C , associa "� B C , onde "� � � ���� "� . Tal função é denominada de diferencial de � em � , ou, simplesmente, diferencial de � � ����! Se "� D E então podemos escrever: "� "� � ����� Estamos acostumados a interpretar �� �� como uma simples notação para a derivada de � em relação a �F porém podemos interpretar ���� como o quociente entre a diferencial de � �"�� e a diferencial de � �"��. Na maioria das aplicações, as diferenciais "� e "� são consideradas como pequenos incrementos. O significado geométrico das diferenciais é mostrado na figura abaixo. Sejam ���F ����� e G�� $ H�F ��� $ H��� dois pontos sobre o gráfico da função � � ���� e considere "� como sendo o incremento dado na variável � , ou seja, "� � H�! De acordo com a figura, a distância "� entre os pontos I e � é "� � JK �L�"�. Mas JK �L� é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto ���F �����F então JK �L� � MN � � ����! Portanto, "� � � ���� "� e representa a variação na ordenada da reta tangente O, correspondente à variação "� em � . Observe que H� , a distância entre os pontos S e Q, representa a variação que a função sofre quando se passa de � para � $ "�. "� � � ����"� � H� � ��� $ "�� 0 ���� �� � $ H�� ����� ��� $ H��� H� � "�� H�� �� �� �� � � ����� "�� �� G � H� 0 "�� L� I Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Observe que se H� P E a diferencial "� pode ser vista como uma aproximação para H� , ou seja, H� P "� . Evidentemente, o erro absoluto “|H� 0 "�|” que se comete na aproximação de H� por "� será tanto menor quanto menor for H�. Fazendo "� � H� P E tem-se H� P "�, então H� P "� � � ���� "� R H� P � ���� "� �� H� P � ���� H� Utilizando as diferenciais podemos encontrar uma aproximação linear para a função � em torno de um ponto do domínio �S. Esta aproximação permite estimar o valor da função em um ponto � � �S $ H� , próximo de �SF cujo resultado será tanto melhor quanto menor for o incremento H�. Se "� � H� P E então H� P "� . Mas H� � ���S $ H�� 0 ���S� e " � � � ���S� H� . Então: ���S $ H�� 0 ���S� P ����S� H� ���S $ H�� P ���S� $ � ���S� H� ���S $ H�� P ���S�$ � ���S� �� 0 �S� Observe que a equação acima representa a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto �6�SF ���S�7! Exemplos: 1) Encontre a diferencial das funções � � � �5 $ *� Se � � ���� T "� � � ���� "� � ���� � 1�) $ *� R "� � �1�)$ *� "� U� � � 8�9� )� Se � � �� � T "� � � �� � " � �� � � :;<� )� "" � )� "� � * V�8� )� " V� � � V�8�� ���� Se � � ���� T "� � � ���� "� � ���� � 08�9�� ���� ! ""� �� ���� � 0 8�9�� ���� � "� � 08�9�� ����� "� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 2) Calcule o valor da diferencial "� para os valores de � e "� indicados � � � ��W , � � 0 , "� � 0,1 Se � � ���� ⇒ "� � � ���� "� � ���� � ��W ""� X � 4Y � ��W 4 "� � � � W 4 "� , Z � � � 0 � "� � 0,1 �M0 8� "� � �S 4 . 0,1 � 0,025 U� � � �) $ 2� , � � 3 , "� � 12 Se � � ���� ⇒ "� � � ���� "� � ���� � 2� $ 2 "� � �2� $ 2� "� , Z � � � 3 � "� � 12 �M 0 8� "� � �2.3 $ 2�. 1 2 � 4 3) Dada a função � � ����, calcule ∆�, "� e o erro absoluto que se comete na aproximação de ∆� por "�, para os valores de � e de ∆� indicados. � � � √� , � � 1 , ∆� � 1 ∆� � ��� $ ∆�� 0 ���� � ��2� 0 ��1� ∆� � √20 1 P 0,414 "� � � ���� "� � 12 √� "� � 1 2 . 1 � 0,5 ���� � |∆� 0 "�| ≅ |0,4140 0.5| ≅ 0,086 U� � � 16� , � � 4 , ∆� � 01 ∆� � ��� $ ∆�� 0 ���� � ��3� 0 ��4�∆� � 163 0 16 4 � 4 3 � 1,3333 "� � � ���� "� � 0 16�) "� � 0 16 16 . �01� � 1 ���� � |∆� 0 "�| ≅ |1,3330 1| ≅ 0,3333 4) Use diferenciais para estimar o valor do número dado: � �2,001�] Fazendo � � ���� � �], �S � 2 � ∆� � 0,001 ���S $ ∆�� P ���S� $ � ���S� ∆� �2,001�] � ��2,001� � ��2$ 0,001� P ��2� $ � ��2� 0,001 ��2� � 2] � 32 ; � ���� � 5�W ; ���2� � 5. 16 � 80 ��2,001� � 32 $ 80. 0,001 � 32,08 Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � U� ^__F\ Fazendo � � ���� � √� F � � #EE � H� � 0EF* ���S $ H�� P ���S� $ � ���S� H� ^__F\ � ��__F\� � ��#EE0 EF*� P ��#EE� $ � ��#EE� �0EF*� ��#EE� � √#EE � #E � � ���� � #*√� � ���#EE� � # *√#EE � EFE> ^__F\ � ��__F\�P #E $ �EFE>��0EF*�� #E0 EFE# � _F__ 5) Um comerciante deseja embalar seu produto em caixas em forma de cubo, com lados iguais a 30 cm. O fabricante das caixas informou que há a possiblidade de terem cometido erros durante a fabricação de no máximo 0.1 VM na medida de cada um dos lados do cubo. a) Use as differenciais para estimar o maior erro possível que os defeitos podem causar na medição do volume do cubo. Chamando de ` o volume e de � o comprimento dos lados dos cubos, o volume pode ser representado pela equação ` � �5, (` � ����). Queremos saber a variação do volume H` que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia no máximo de EF# VM. Como não estamos interessados se a variação de volume causará prejuízo (+0,1 cm) ou lucro (-0,1 cm) vamos considerar o valor positivo para o incremento da variável �, ou seja, H� � EF# ! Como desejamos uma estimativa, vamos usar as diferenciais, então H` P "` e H� � "� � EF#! ` � �5 T "` � ` ���� "� T "` � 1 �) "� Quando � � 1E e "� � EF# tem-se: "` � 1 �) "� � 1 �1E�) �EF#� � *aE VM5 O maior erro que os defeitos podem causar na medição do volume representa 1% do volume da caixa sem defeito de medição � ` � 1E5 �*aEEE VM5�. b) Cálcule o maior erro real possível que os defeitos podem causar na medição do volume do volume do cubo. Queremos saber a variação real do volume H` que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia de � � 1E VM para � � 1EF# VM ! H` � ��� $ H�� 0 ���� � ��1EF#� 0 ��1E� H` � �1EF#�5 0 1E5 � *aEF_E# VM5 Observe que H` P "` Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � 14. Regra de L’Hospital Observações: 1) É extremamente importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada EbE ou cbc para que a regra de L’Hospital possa ser utilizada. 2) Indeterminações do tipo E!c podem ser modificadas para indeterminações do tipo EbE ou cbc permitindo a utilização da regra de L’Hospital. E !c � E ! #E � E E �� E!c � # c !c � c c 3) A regra de L’Hospital pode ser aplicada repetidas vezes até que o quociente deixe de apresentar as formas indeterminadas EbE ou cbc Exemplos: Calcule o limite indicado utilizando a regra de L’Hospital, se possível #� �de�f) ��)0 ,� � 0 * � E E Z �V 9"� g�h�8Z� �de�f) ��) 0 ,� � 0 * � �de�f) i���)0 ,�i��� 0 *� � �de�f) *� # � *!# # � , *� �de�fS 8�9��� � � E E Z �V 9"� g�h�8Z� �de�fS 8�9��� � � �de�fS i��8�9����i���� � �de�fS :;< ��� # � :;<�E� # � # 1� �de�fjk � ��� � � $c $c Z �V 9"� g�h�8Z� �de�fjk � ��� � � �de�fjk i��� ����i���� � �de�fjk # �l# � �de�fjk # � � E �de�f� ���� ���� � E E �� �de�f� ���� ���� � c c �de�f� ���� ���� � �de�f� � ���� ����� Sejam ���� e ���� funções diferenciáveis e Se o limite �de�f� m���n��� existir (finito ou infinito), então. Obs: A regra também é válida se for substituído por j ou o, ou se � $c ou � 0c! Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � ,� �de�fjk� �o� � $c!�ok � $c! E Antes de aplicar a regra de L’Hospital devemos transformar a indeterminação �$c! E � em uma indeterminação do tipo EbE ou cbc �de�fjk� �o� � �de�fjk � �� � $c $c Z �V 9"� g�h�8Z� �de�fjk� �o� � �de�fjk � �� � �de�fjk i����i����� � �de�fjk # �� � # �jk � # $c � E >� �de�fjk �1�) $ >� 0 \� �a�) 0 *� $ #� � $c $c Z �V 9"� g�h�8Z� �de�fjk �1�) $ >� 0 \� �a�) 0 *� $ #� � �de�fjk .1�) $ >� 0 \/� .a�) 0 *� $ #/� � �de�fjk' @� $ > #,� 0 *( � $c $c Como o limite continua na forma indeterminada cbc aplica-se a regra de L’Hospital novamente. �de�fjk �1�) $ >� 0 \� �a�) 0 *� $ #� � �de�fjk .@� $ >/� .#,� 0 */� � �de�fjk @ #, � 1 a @� �de�f1 *� 0,��0 1�* � * E 9p� q Z�88r�� Z �V � ���� "� g�h�Z� Como o limite não leva a uma indeterminação do tipo EbE ou cbc não é possível calculá-lo pela regra de L’Hospital. Se aplicarmos a regra em uma forma que não tenha estas indeterminações, poderemos chegar a uma conclusão incorreta. Neste exemplo se tivéssemos utilizado a regra de L’Hospital teríamos: �de�f5 *� 0 , �� 0 1�) � �de�f5 .*� 0 ,/� .�� 0 1�)/� � �de�f5 * *�� 0 1� � �de�f5 .#/� .� 0 1/� � E # � E st�u��vOu O que estaria INCORRETO. O cálculo correto deste limite é feito através da análise de sinais dos limites laterais. �de�f5w *� 0 , �� 0 1�) � *�$� E�$� � $c � �de�f5x *� 0 , �� 0 1�) � *�$� E�$� � $c �de�f5w *� 0 , �� 0 1�) � �de�f5x *� 0 , �� 0 1�) � $c Portanto �de�f5 *� 0 , �� 0 1�) � $c Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 15. Variação das funções Função Crescente Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então: � é crescente em s se ���S� y ���z� sempre que �S y �z , quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s. � � Função Decrescente Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então: � é decrescente em s se ���S� { ���z� sempre que �S y �z , quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s. � � ��V� � ��U� 0 �� �U 0 � Teorema do Valor Médio ou de Lagrange Se � é uma função contínua em . , U/ e derivável em / , U. então existe V ∈ / , U. tal que a reta tangente ao gráfico de � no ponto �V, ��V�� é paralela à reta que passa por � , �� �� e �U, ��U��. Ou seja, � � � � V� U� �� �� ��U�� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: Faça a análise do crescimento e do decrescimento das funções: 1) ���� � 02� $ 3 i�M��� � C � � ���� � 02 A função � é contínua e derivável em todo � ∈ C . Assim o teorema do Valor Médio é válido e suas consequências podem ser aplicadas. � ���� � 02 y 0 , qualquer que seja � ∈ C Logo a função é decrescente a em todo o domínio. 2) ���� � �5 i�M��� � C � � ���� � 3 �) A função � é contínua e derivável em todo � ∈ C . A função � satisfaz as condições do teorema do Valor Médio (T.V.M.) e suas consequências podem ser aplicadas. � ���� � 3 �) { 0 , qualquer que seja � ∈ C Logo a função é crescente a em todo o domínio. 3) ���� � √�)| i�M��� � C � � ���� � 23 √�| ∄ Z � � � 0 A função � é contínua em � � 0, mas não é diferenciável em � � 0, então � não satisfaz as condições do T.V.M. . No intervalo �0∞,0/ o T.V.M é válido pois � é contínua em �0∞,0/ e diferenciável em �0∞,0� Quando � y 0 ; � ���� y 0 portanto � é "�V��8V�9 � �M �0∞,0/. No intervalo .0,$∞� o T.V.M é válido pois � é contínua em .0,$∞� e diferenciável em �0,$∞� Quando � { 0 ; � ���� y 0,.portanto � é V��8V�9 � �M .0,$∞� Consequências do Teorema do Valor Médio oude Lagrange Seja � é uma função contínua no intervalo fechado . , U/ e derivável no intervalo aberto / , U. então: Se � ���� { 0 para todo � ∈ / , U., então � é crescente em / , U.. Se � ���� y 0 para todo � ∈ / , U., então � é decrescente em / , U.. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: Encontre os pontos críticos do domínio das funções abaixo: #� ���� � √1� 0 @| $ * f ���� � �1� 0 @�z5 $ * � ���� � #1 �1� 0 @�o ) 5 ! .1� 0 @/� � ���� � #1 �� 0 #�o )5 ! �1� � #^�1� 0 @�)| Para �S ser ponto crítico, �S B i�M��� e � ���S� � E ou � ���S� }. i�M ��� � C � ���� não existe quando 1� 0 @ � E f � � * � � * é número crítico de � pois � � * B i�M ��� � � ��*� } ����� nunca se anula. *� ���� � �� $ >�) √� 0 ,| ����� � .�� $ >�)/� √� 0 ,| $ ~√� 0 ,| � �� $ >�) ����� � *�� $ >�.� $ >/� √� 0 ,| $ + #1 ^�� 0 ,�)| .� 0 ,/ �- �� $ >�) � ���� � *�� $ >� √� 0 ,| $ �� $ >�)1 ^�� 0 ,�)| � @�� $ >� �� 0 ,� $ �� $ >�) 1 ^�� 0 ,�)| � ���� � �� $ >� 6@ �� 0 ,� $ �� $ >�7* √� 0 , � �� $ >� �a� 0 #_ � 1 ^�� 0 ,�)| i�M��� � C ����� não existe quando � 0 , � E f � � , � � , é número crítico de � pois � � , B i�M ��� � � ��,� } � ���� � E quando � $ > � E f � � 0> � � 0> é número crítico de � pois � � 0> B i�M ��� � � ��0>� � E � ���� � E quando a� 0 #_ � E f � � z � � z é número crítico de � pois � � z B i�M ��� � � � Xz Y � E Ponto Crítico Um número �S B i�M��� é um número crítico de � se � ���S� � E ou se ����S� não existe. O número crítico também é chamado de ponto crítico do domínio de �. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Máximos e Mínimos Relativos (ou local) Uma função � terá um valor máximo relativo em �S se existir um intervalo aberto contendo �S, tal que ���S� ���� para todo � nesse intervalo. A função � terá um valor mínimo relativo em �z se existir um intervalo aberto contendo �z,, tal que ���z� ���� para todo � nesse intervalo. Os valores máximo e mínimo da função são também chamados de valores extremos, ou extremos de . Teste da Derivada Primeira Seja uma função ���� definida e contínua num intervalo aberto / , U. e �S ∈ / , U. . Se ���� é diferenciável em todos os pontos em / , U. exceto, possivelmente em �S, então: • � possui um máximo relativo em �S, y �S y U, se: � ���� { 0 para todo � em / , �S. e � ���� y 0 em /�S, U., isto é, se à esquerda de �S a função for crescente e à direita de �S a função for decrescente. • � possui um mínimo relativo em �S, y �S y U, se: � ���� y 0 para todo � em / , �S. e � ���� { 0 em /�S, U., isto é, se à esquerda de �S a função for decrescente e à direita de �S a função for crescente. � ���� { 0� � ���� { 0� crescente crescente �S �z � ���� y 0� decrescente Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Observações 1. Pelo teorema, se � � �S é um ponto de extremo local para � e � for derivável em � � �S, então � ���S� � 0. Assim, a reta tangente à curva � � ���� no ponto ��S, ���S�� é horizontal. 2. A recíproca não é verdadeira, ou seja, o fato de �S ser um ponto crítico não garante que �S seja um ponto de máximo ou de mínimo. � ���S� � 0 �� � ���S� ∄ Teorema Se � for uma função definida para todos os valores de � no intervalo aberto / , U. e se � tiver um extremo relativo (máximo ou mínimo) em � � �S , sendo y �S y U, então �S é número crítico de �, isto é: Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: Dada uma função, determine seus os intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos de máximo e de mínimo relativos, se existirem. 1) ���� � �5 • Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M��� � � ���S� � 0 �� � ���S� ∄ ����� � 3 �) �′��� existe para todos os valores de � . Devemos então procurar os valores de � tais que � ���� � 0 ����� � 3 �) � 0 → 3 �) � 0 → 3�) � 0 → � � 0 i�M��� � C � � 0 é número crítico de � pois � � 0 ∈ i�M��� � � ��0� � 0 • Cálculo do valor da função nos pontos críticos Em � � 0: ��0� � 0 • Intervalos de crescimento e de decrescimento: Análise do sinal de � ���� � 3 �) � y 0 � { 0 � ��01� � 3 { 0 � ��1� � 3 y 0 crescente crescente • Extremos Relativos Como à direita e a à esquerda de � � 0 a �’��) não muda de sinal, � não tem extremo relativo em � � 0. A função é sempre crescente. � ���� { 0� � ���� { 0� crescente crescente � � 0 Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 2) ���� � �5 0 3�) • Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M��� � � ���S� � 0 �� � ���S� ∄ ����� � 3 �) 0 6� ����� � 3 �) 0 6� � 0 → 3 �) 0 6� � 0 3� �� 0 2� � 0 → � � 0 �� � 0 2 � 0 � � 0 é número crítico de � pois � � 0 ∈ i�M��� � C � � ��0� � 0 � � 2 é número crítico de � pois � � 2 ∈ i�M��� � C � � ��2� � 0 • Cálculo do valor da função nos pontos críticos Em � � 0: ��0� � 0 Em � � 2: ��2� � �2�5 0 3�2�) � 04 • Intervalos de crescimento e de decrescimento: Análise do sinal de � ���� � 3 �) 0 6 � y 0 0 y � y 2 � { 2 � ��01� � 9 { 0 � ��1� � 03 y 0 �′�3� � 9 { 0 crescente decrescente crescente • Extremos Relativos Como em � � 0 a função passa de crescente para decrescente, � � 0 é ponto de máximo relativo e o valor máximo relativo da função é ��0� � 0. Como em � � 2 a função passa de decrescente para crescente, � � 2 é ponto de mínimo relativo e o valor mínimo relativo da função é ��2� � 04. � ���� { 0� � ���� { 0� crescente crescente � � 0 � � 2 � ���� y 0� decrescente Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � Exemplos Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os valores extremos relativos e absolutos da função ���� � �5 0 #* � em .01F >/. • Determinação dos pontos críticos de � no intervalo aberto /01 F >.. ����� � 1 �) 0 #* ����� existe para todos os valores de � B /01 F >.. Devemos procurar os valores de � tais que � ���� � E ����� � 1 �) 0 #* � E f �) � , f |�| � * � � 0* �� � � * � � 0* é número crítico de � pois � � 0* B /01 F >. � � ��0*� � E � � * é número crítico de � pois � � * B /01 F >. � � ��*� � E • Cálculo do valor da função nos números críticos ��0*� � �0*�50 #*! �0*� � #@ ��*� � �*�5 0 #*! �*� � 0#@ " ��9p� �M s q V� M "� "� u " ��9p� �M s q V� M "� "� r Máximos e Mínimos Absolutos Nem sempre uma função � possui extremo relativo em intervalo aberto s e, quando existe, ele não necessariamente é único. Teorema do Valor Extremo Se � é uma função contínua no intervalo fechado . F U/ então � toma seu valor máximo e seu mínimo ao menos uma vez em . F U/. Obs: A importância deste teorema é que ele garante a existência de valores extremos, se a função for contínua no intervalo fechado . F U/. Ou seja, se os valores extremos da função não ocorrem em algum ponto do intervalo aberto / F U. , então eles ocorrem nas extremidades do intervalo fechado . F U/, ou seja, em ou em U. Cálculo I - ����� �� � �� �� � � � • Intervalos de crescimento e de decrescimento:� ���� � 3 �) 0 12 .03 ,02. /0 2 , 2. / 2 , 5 / � ��03� � 15 { 0 � ��0� � 012 y 0 � ��3� � 15 { 0 crescente decrescente crescente • Extremos Relativos Como em � � 02 a função passa de crescente para decrescente, a função tem um valor máximo relativo ��02� � 16. Ponto �02 , 16� Como em � � 2 a função passa de decrescente para crescente, a função tem um valor mínimo relativo ��2� � 016. Ponto �2,016� • Cálculo do valor da função nos extremos do intervalo ��03� � �03�50 12. �03� � 9 ��5� � �5�5 0 12. �5� � 65 • Extremos Absolutos O maior valor da função no intervalo .03, 5/ ocorre em � � 5 e ��5� � 65 é o valor máximo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �5 ,65� O menor valor da função no intervalo .03, 5/ ocorre em � � 2 e ��2� � 016 é o valor mínimo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �2,016� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Concavidade Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para cima no intervalo aberto s quando ele estiver acima de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de s. ′ é crescente em . Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para baixo no intervalo aberto s quando ele estiver abaixo de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de s. ′ é decrescente em . Côncavo para cima Côncavo para baixo I� ������ y 0 Z � �"� � ∈ s → � �M V�9V ��" "� Z � U ��� �M s � Teste da Concavidade Seja � uma função contínua e derivável até a segunda ordem em s I� ������ { 0 Z � �"� � ∈ s → � �M V�9V ��" "� Z � V�M �M s�� Teste da Segunda Derivada Suponha �′′ contínua próxima de � � �S. Se � ���S� � 0 � � ����S� { 0 → � tem um mínimo local em � � �S Se � ���S� � 0 � � ����S� y 0 → � tem um máximo local em � � �S Se � ���S� � 0 � � ����S� � 0 nada se pode afirmar � ����S� � 0 Ponto de Inflexão Seja � uma função contínua e �S um ponto de seu domínio. O ponto �S é denominado de ponto de inflexão de � quando nele ocorre a mudança de concavidade do gráfico de �. Se � � �S é ponto de inflexão e � ����S� existe, então: OBS: � ����S� � 0 é condição necessária para �S ser um ponto de inflexão, porém não é suficiente. Devemos analisar o sinal de � ����� para � y �S e � { �S . Se houver mudança de sinal é ponto de inflexão. O gráfico de � pode ter um ponto de inflexão onde a derivada segunda não exista. Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Exemplos: Dada uma função � contínua no intervalo fechado . F U/ indicado, determine: a) Os pontos críticos do domínio de � em . F U/ b) Os valores extremos relativos de � c) Os valores extremos absolutos de � d) Pontos de inflexão e) Gráfico da função #� ���� � �W 0 *�) $ 1 �M ~0* F √1 a) Pontos Críticos: �S B / F U. � � ���S� � E ou � ���S� } ����� � ,�5 0 ,� definida em todo intervalo ����� � E ,�50 ,� � E f ,� ��)0 #� � E , � � E R � � E �� �) 0 # � E R ^�) � # R |�| � # R � � # �� � � 0# Como a função � é contínua no intervalo 0*F √1~ e os pontos � � E F � � # e � � 0# pertencem a esse intervalo e � ��E� � � ��#� � � ��0#� � E eles são pontos críticos do domínio de �. Pontos Críticos no intervalo 0*F √1~ � � EF � � # � � � 0# b) Valor da função nos pontos críticos ��0#� � �0#�W 0 *�0#�)$ 1 � * ��E� � �E�W 0 *�E�) $ 1 � 1 ��#� � �#�W 0 *�#�) $ 1 � * c) Extremos relativos de � em 60* F√17 ( pelo teste da Derivada Segunda) � ����� � #*�) 0 , Em � � 0# f � ���0#� � #*�0#�) 0 , � \ { E � � 0# é ponto de mínimo relativo e ��0#� � * é mínimo relativo de � ��9 � "� Mr9�M� �� ��� �0# F *� Em � � E f � ���E� � #* �E�) 0 , � 0, y E � � E é ponto de máximo relativo e ��E� � 1 é máximo relativo de � ��9 � "� M��M� �� ��� �E F 1� Em � � # f � ���#� � #*�#�)0 , � \ { E � � # é ponto de mínimo relativo e ��#� � * é mínimo relativo de � ��9 � "� Mr9�M� �� ��� � �# F*� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � d) Valor da função nos extremos do intervalo ~0* F √1 ��0*� � �0*�W 0 *�0*�)$ 1 � #@ 0 \ $ 1 � ## ��9 � 9� ����V� i�0* F ##� �6√17 � 6√17W 0 *6√17) $ 1 � _0 @$ 1 � @ ��9 � 9� ����V� v�√1 F @� e) Extremos Absolutos de � em ~0* F √1 O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � � 0* , portanto, � � 0* é ponto de máximo absoluto e ��0*� � ## é o valor máximo absoluto da função no intervalo ~0* F√1. O menor valor da função ocorre quando � � 0# ou quando � � # , portanto, � � 0# e � � #, além de serem pontos de mínimo relativo, são pontos de mínimo absoluto da função no intervalo fechado ~0* F√1 e ��0#� � ��#� � * é o valor mínimo absoluto da função no intervalo fechado. f) Pontos de Inflexão: � ����� � E condição necessária, mas não suficiente. ������ � #*�) 0 , R #* �) 0 , � E #* �) � , R �) � ,#* R ^�) � # 1l R |�| � # 1l � � √11 �� � � 0 √1 1 Análise da Concavidade � y 0√11 0 √1 1 y � y √1 1 � { √1 1 � ���0#� � \ { E � ���E� � 0, y E � ���#� � \ côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima Conclusão: � tem pontos de inflexão quando � � 0 √55 e � � √55 g) Valores da função ���� � �W 0 *�) $ 1 nos pontos de inflexão: � +√11 - � + √1 1 - W 0 * +√11 - ) $ 1 � 1 � _\#0 * 1 _ $ 1 � #0 @$ *a _ � ** _ [ *F,, � +0√11 - � +0 √1 1 - W 0 * +0√11 - ) $ 1 � 1 � _\#0 * 1 _ $ 1 � # 0 @ $ *a _ � ** _ [ *F,, ��9 �8 9� ����V� +0√11 F ** _ - � + √1 1 F ** _ - Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � Nos pontos de inflexão há a mudança de concavidade no gráfico da função. O intervalo .i, / contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para cima (� ����� { 0� no intervalo ~02,0√3/3. O intervalo ., / contém um máximo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para baixo (� ����� y 0� no intervalo ~0√3/3,√3/3. O intervalo .,v/ contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de � é côncavo para cima (� ����� { 0� no intervalo ~√3/3, √3. 2� ���� � �W 0 8� 5 3 �M %0 3 2 , 3& a) Pontos Críticos: �S ∈ / , U. � � ���S� � 0 ou � ���S� ∄ ����� � 4 �5 0 8�) � 0 é definida em todo intervalo ����� � 0 → 4�5 0 8�) � 0 → 4�) �� 0 2� � 0 4 �) � 0 ∴ � � 0 �� � 0 2 � 0 ∴ � � 2 Como a função � é contínua no intervalo /03/2 , 3. e os pontos � � 0 e � � 2 pertencem a esse intervalo e � ��0� � � ��2� � 0, � � 0, � � 2 são pontos críticos do domínio de �. b) Valor da função nos pontos críticos ��0� � 0 ��2� � �2�W 0 8�2� 5 3 � 0 16 3 ≅ 05,33 c) Extremos relativos de � em �01 , 3� ������ � 12�) 0 16 � Em � � 0 → � ���0� � 0 Como � ���0� � 0, o teste da derivada segunda não é conclusivo. Vamos determinar os extremos pelo teste da derivada primeira. � y 0 0 y � y 2 � { 2 � ��01� � 012 y 0 �′�1� � 04 y 0 � ��2,5� � 12.5 { 0 decrescente decrescente crescente Como em � � 0 �′ não muda de sinal, � não tem ponto extremo em � � 0. Como em � � 2 a função muda de decrescente para crescente, ��2� é mínimo relativo. ��9 � "� Mí9�M� �� ���: �2,05,33� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � d) Valor da Função nos extremos do intevalo ��03/2� � '032( W 0 83'0 3 2( 5 � 22516 ≅ 14,06 ��9 � 9� ��á��V�: �01,5 , 14,06� ��3� � �3�W 0 8�3� 5 3 � 9 ��9� 9� ��á��V�: �3 , 9� e) Extremos Absolutos de � em .03/2 , 3/ O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � � 03/2, portanto, ��03/2� ≅ 14,06 é o valor máximo absoluto da função no intervalo .03/2 , 3/. O menor valor da função ocorre quando � � 2, portanto ��2� � 05,33 é valor máximo relativo e absoluto. f) Pontos de Inflexão: � ����� � 0 condição necessária, mas não suficiente. ������ � 12�) 0 16 � ∴ 12 �) 0 16 � � 0 � �12 � 0 16� � 0 → � � 0 �� 12� 0 16 � 0 � � 0 �� � � 43 ≅ 1,33 Análise da Concavidade � y 0 0 y � y 4/3 � { 4/3 � ���01� � 28 { 0 � ���1� � 04 y 0 � ���2� � 16 { 0 côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima Em � � 0 e em � � 4/3 o gráfico de � muda sua concavidade, portanto são pontos de inflexão. g) Valor da função nos Pontos de Inflexão ��0� � 0 6���� � '43( W 0 83 '43( 5 � 0 25681 ≅ 03,16 Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 16. Problemas de Otimização Nestes problemas buscamos soluções que sejam “ótimas”, do ponto de vista matemático. Procuramos, de acordo com o problema, a solução que minimize ou maximize a função analisada. Exemplos: 1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída dobrando os lados para cima nas linhas pontilhadas. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. `� �M� � Á�� " U 8� . �� `��� � �150 2��.�8 0 2��.� `��� � 120 � 0 46 �)$ 4 �5 Sabemos que se a função ` possuir pontos de máximo, então eles ocorrem nos Pontos Críticos, então devemos ter `���� � � �� � 0. "` "� � 1200 92 � $ 12 �) "`"� � 1200 92 � $ 12 �) � 0 ¡�9�M�¢ çã� 0 £M ��9çã� � ��á �M � �� Mí9�M� �M �¤ ¥ � , U��8� �S ��� Z�9 � "� Mí9�M� �� ��� → ����S� � 0 � �����S� { 0� ¡ ��M�¢ çã� 0 £M ��9çã� � ��á �M � �� Má��M� �M �¤¥ � , U��8� �S ��� Z�9 � "� Má��M� �� ��� → � ���S� � 0 � �����S� y 0� uI: u8 �� ��M�8 U8� � �8 8� 9ã� �V����M 9� �9 ����� "� �9 ��� �, � � � �V����M 9 8 �� ��M�" "�8 "� �9 ��� � ��V� "� . , U/�� � � 150 2� 8 0 2� Cálculo I - ����� �� � �� �� ��� � 1200 92 � $ 12 �) � 0 ∴ � � 53 �� � � 6 Devemos observar que para a construção da caixa devemos ter 0 y � y 4 . Assim o domínio da função ` é o intervalo /0, 4., portanto � � 6 não pertence ao domínio e somente � � 5/3 é ponto crítico em /0, 4.. Devemos verificar se � � 5/3 é ponto de máximo ou de mínimo o que pode ser feito pelo teste da segunda derivada de `. ")`"�) � 092$ 24 � �9 ã� " )`"�)¦�§]/5 � 092 $ 24 ' 53( � 042 y 0 Como em � � 5/3 tem-se `� � 0 e `�� y 0, então � � 5/3 é ponto de máximo local. Portanto 5/3 é o valor que � deve ter para que o volume seja máximo. `��� � 120 � 0 46 �)$ 4 �5 ∴ `� �M� Má��M� � ` '53( � 120'53( 0 46'53( ) $ 4 '53( 5 ≅ 90.74 VM5 2) Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal utilizado para produzir a lata. • Queremos encontrar as dimensões da lata que armazena 1 litro (V=1 litro=1000 cm3) que tenha a menor superfície (ou área S) I � ¨�23 $ =�©ª� $ «�=3¬�« I � 2 �)$ 2 � � � ` � 1000 � �) � → � � 1000 �) I � 2 �)$ 2 � '1000 �) ( → I��� � 2 �)$ 2000� Sabemos que se a função I possuir pontos de máximo, então eles ocorrem nos Pontos Críticos, então devemos ter I���� � 0. I���� � 4 � 0 2000�) � 4 � 50 2000�) � 0 → � � ®200045 P 5,42 VM Verificação de ponto máximo ou mínimo I����� � 4 $ 4000�5 { 0 ¯� ¯��� "� 8�° � , Z��8 � { 0 8� I��5,42� � 0 � I���5,42� { 0, �9 ã� � � 5,42 é Z�9 � "� Mí9�M� I� � � 5,42 �9 ã� � � 1000 �) � 1000 �5,42�) P 10,84 VM R: A menor área é a produzida pelo cilindro de � � 5,42 VM e � � 10,84 VM.
Compartilhar