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Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
12. Diferenciação Logarítmica 
A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções 
compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica 
consiste em executar os seguintes passos: 
 
1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação � � ���� e usar as leis dos logaritmos; 
2) Derivar implicitamente em relação a �� 
3) Isolar ����. 
 
Cálculo da derivada de uma função composta por potências de funções 
 
Seja � � ���� uma função dada por: 
� � �� 
onde			� � ����		�	� � ����, ou seja, ���� � �������� 
Deseja-se calcular a derivada		� ���� ou ���� ou ��. 
 
Vamos calcular a derivada seguindo as etapas da técnica de diferenciação 
logarítmica: 
 
1) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação e usar as lei 
dos logaritmos 
� �	�� � � ���� � �! � 	��� 
2) Derivar implicitamente em relação a �	 
"
"� �� �	��� �
"
"� ��! � ���� 
#
� !
"�
"� � �!
"
"� �� ���� $ � ���!
"
"� ��� 
#
� !
"�
"� � �!
#
� !
"�
"� $ � ���!
"�
"� 
3) Isolar 
��
�� 
"�
"� � �	 %
�
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"�
"� $ � ���!
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"�& 
"�
"� � �� 	'
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"� $ � ���!
"�
"�( 
 
Cálculo I - �����	��	
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��																				 ���
�
Exemplos: 
Calcule a derivada das funções indicadas: 
 
#�	� � ��) $ #�)� 
				� ��� � � ���)$ #�)�� � *�		! � ��) $ #� 
			 ""� �� ���� �
"
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Cálculo I - �����	��	
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1�	� � � 234�5�� 
				� ��� � � 6� 234�5��7 � 8�9�1��		! � ��� 
			.	� ���/� � .8�9�1��	! � ���/� 
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#
*�� $ *�( 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
13. Diferenciais 
Seja � � ���� uma função diferenciável. A diferencial de � (denota-se "�) é 
uma variável independente que pode assumir qualquer valor real. A 
diferencial de � (denota-se "�) é dada pela equação: 
"� � � ����	"� 
A diferencial "� é uma variável dependente que depende do valor de � e de "�. Fixado um valor para �, a equação é a representação de uma função 
que a cada "� B C , associa "� B C , onde "� � � ����	"� . Tal função é 
denominada de diferencial de �	em � , ou, simplesmente, diferencial de � � ����! 
 
Se "� D E então podemos escrever: 
"�
"� � ����� 
Estamos acostumados a interpretar 
��
�� como uma simples notação para a 
derivada de � em relação a �F porém podemos interpretar ���� como o 
quociente entre a diferencial de � �"��	e a diferencial de � �"��. Na maioria 
das aplicações, as diferenciais "� e "� são consideradas como pequenos 
incrementos. 
 
O significado geométrico das diferenciais é mostrado na figura abaixo. 
Sejam ���F ����� e G�� $ H�F ��� $ H��� dois pontos sobre o gráfico da função � � ���� e considere "� como sendo o incremento dado na variável � , ou 
seja, "� � H�! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a figura, a distância "� entre os pontos I e � é 	"�	 � 	 JK �L�"�. Mas JK 	�L� é o coeficiente angular da reta tangente T, no 
ponto ���F �����F então JK �L� � MN � � ����! Portanto, "� � � ����	"� e 
representa a variação na ordenada da reta tangente O, correspondente à 
variação "�	em � . Observe que H� , a distância entre os pontos S e Q, 
representa a variação que a função sofre quando se passa de	� para � $ "�. 
 "� � � ����"�								�							H� � ��� $ "�� 0 ����	 
�� � $ H��
�����
��� $ H���
H� � "��
H��
��
��
��
� � �����
"��
��
G	
�	 H� 0 "��
L�
I	
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Observe que se H� P E a diferencial "� pode ser vista como uma 
aproximação para H� , ou seja, H� P "� . Evidentemente, o erro absoluto 
“|H� 0 "�|” que se comete na aproximação de H� por "� será tanto menor 
quanto menor for H�. 
Fazendo "� � H� P E tem-se H� P "�, então 
H� P "� � � ����	"�								 R 			 H� P � ����	"�					��			H� P � ����	H� 
Utilizando as diferenciais podemos encontrar uma aproximação linear para a 
função � em torno de um ponto do domínio �S. Esta aproximação permite 
estimar o valor da função em um ponto � � �S $ H� , próximo de �SF cujo 
resultado será tanto melhor quanto menor for o incremento H�. 
Se "� � H� P E então H� P "� . Mas H� � ���S $ H�� 0 ���S� e "	� � � ���S�	H� . 
Então: 
���S $ H�� 0 ���S� 	P ����S�		H� 
���S $ H�� P ���S� $ � ���S�	H� 
���S $ H�� P ���S�$ � ���S�	�� 0 �S� 
Observe que a equação acima representa a equação da reta tangente ao 
gráfico da função no ponto �6�SF ���S�7! 
 
Exemplos: 
 
1) Encontre a diferencial das funções 
�		� � �5 $ 	*�												 
Se � � ���� 		T 						"� � � ����	"�		 
� ���� � 1�) $ *�									 R 					"� � �1�)$ *�		"�							 
 
U�	� � 8�9�	)�													 
Se � � ��	� 		T 						"� � � ��	�	"			 
� ��	� � :;<�	)�		 ""	 �	)�		 
		"� � *		V�8�	)�	"	 
 
V�	� � V�8�� ����						 
Se � � ���� 		T 						"� � � ����	"�		 
� ���� � 08�9�� ����	!		 ""� �� ���� � 	0
8�9�� ����
� 			 
"� � 08�9�� ����� 	"� 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
2) Calcule o valor da diferencial "� para os valores de	� e "� indicados 
�		� � ��W					, � � 0			,					"� � 0,1											 
Se � � ���� 		⇒ 						"� � � ����	"�			 
� ���� � ��W 	 ""� X
�
4Y �
��W
4 											 
"� � �
�
W
4 		"�		, Z
�
	� � 0		�		"� � 0,1					�M0 8�				"� �
�S
4 . 0,1	 � 0,025 
 
U�		� � �) $ 2�					, � � 3			,					"� � 12											 
Se � � ���� 		⇒ 						"� � � ����	"�		 
� ���� � 2� $ 2									 
"� � �2� $ 2�	"�		, Z
�
			� � 3		�		"� � 12 				�M 0 8�				"� � �2.3 $ 2�.
1
2 	� 4 
 
3) 		Dada a função � � ����,	calcule ∆�,	 "� e o erro absoluto que se comete 
na aproximação de ∆� por "�, para os valores de � e de ∆� indicados. 
�		� � √�			, � � 1			,					∆� � 1								 
∆� � ��� $ ∆�� 0 ���� � ��2� 0 ��1� 
∆� � √20 1 P 0,414 
"� � � ����	"� �	 12	√� 		"� � 	
1
2	. 1 � 0,5 
���� � |∆� 0 "�| ≅ |0,4140 0.5| ≅ 0,086 
 
U�		� � 16� 			 , � � 4			,					∆� � 01								 
∆� � ��� $ ∆�� 0 ���� � ��3� 0 ��4�∆� � 163 0
16
4 �
4
3 � 1,3333 
"� � � ����	"� � 0	16�) 		"� � 0	
16
16 . �01� 	� 1 
���� � |∆� 0 "�| ≅ |1,3330 1| ≅ 0,3333 
 
4) 		Use diferenciais para estimar o valor do número dado: 
�		�2,001�]								 
Fazendo � � ���� � �],			�S � 2			�				∆� � 0,001	 
���S $ ∆�� P ���S� $ � ���S�	∆�			 
�2,001�] � ��2,001� � ��2$ 0,001� P ��2� $ � ��2�	0,001 
��2� � 2] � 32		;					� ���� � 5�W	; 					���2� � 5. 16 � 80 
��2,001� � 32 $ 80.		0,001 � 32,08 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �	�
�
U�		^__F\ 
Fazendo � � ���� � √�		F				� � #EE			�			H� � 0EF* 
���S $ H�� P ���S� $ � ���S�	H�			 
^__F\ � ��__F\� � ��#EE0 EF*� P ��#EE� $ � ��#EE�	�0EF*� 
��#EE� � √#EE � #E	�					� ���� � #*√� 	� 					���#EE� �
#
*√#EE � EFE> 
^__F\ � ��__F\�P #E $ �EFE>��0EF*�� #E0 EFE# � _F__ 
 
5) 		Um comerciante deseja embalar seu produto em caixas em forma de 
cubo, com lados iguais a 30 cm. O fabricante das caixas informou que há 
a possiblidade de terem cometido erros durante a fabricação de no 
máximo 0.1 VM na medida de cada um dos lados do cubo. 
 
a) Use as differenciais para estimar o maior erro possível que os defeitos 
podem causar na medição do volume do cubo. 
 
Chamando de ` o volume e de � o comprimento dos lados dos cubos, o 
volume pode ser representado pela equação ` � �5, (` � ����). 
 
Queremos saber a variação do volume H` que é causada quando o 
comprimento de cada um dos lados do cubo varia no máximo de EF#	VM. 
Como não estamos interessados se a variação de volume causará 
prejuízo (+0,1 cm) ou lucro (-0,1 cm) vamos considerar o valor positivo 
para o incremento da variável �, ou seja, H� � EF#	!		Como desejamos uma 
estimativa, vamos usar as diferenciais, então H` P "` e H� � "� � EF#! 
` � �5 							T 				"` � ` ����	"�					 T 		"` � 1	�)	"� 
Quando � � 1E	 e "� � EF# tem-se: 
"` � 1	�)	"� � 1	�1E�)	�EF#� � *aE	VM5 
O maior erro que os defeitos podem causar na medição do volume 
representa 1% do volume da caixa sem defeito de medição		�	` � 1E5 �*aEEE	VM5�. 
 
b) Cálcule o maior erro real possível que os defeitos podem causar na 
medição do volume do volume do cubo. 
Queremos saber a variação real do volume H`	que é causada quando o 
comprimento de cada um dos lados do cubo varia de � � 1E	VM para � � 1EF#	VM	! 
H` � ��� $ H�� 0 ���� � ��1EF#� 0 ��1E� 
H` � �1EF#�5 0 1E5 � *aEF_E#	VM5 
Observe que H` P "` 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �
�
�
14. Regra de L’Hospital 
 
 
 
Observações: 
1) É extremamente importante verificar se um dado quociente tem a 
forma indeterminada EbE ou cbc para que a regra de L’Hospital 
possa ser utilizada. 
2) Indeterminações do tipo E!c podem ser modificadas para 
indeterminações do tipo EbE ou cbc permitindo a utilização da regra 
de L’Hospital. 
E	!c � E	! #E 	�
E
E 											��										E!c �
#
c		 !c �
c
c 
3) A regra de L’Hospital pode ser aplicada repetidas vezes até que o 
quociente deixe de apresentar as formas indeterminadas EbE ou cbc 
 
Exemplos: 
Calcule o limite indicado utilizando a regra de L’Hospital, se possível 
#�	 �de�f)
��)0 ,�
� 0 * �
E
E 						
Z
�V
9"�	g�h�8Z�	

	 
�de�f)
��) 0 ,�
� 0 * � �de�f)
i���)0 ,�i��� 0 *� �	 �de�f) 	
*�
# �
*!#
# � 	, 
*�	�de�fS
8�9���
� �
E
E 						
Z
�V
9"�	g�h�8Z�	

 
	�de�fS
8�9���
� � �de�fS
i��8�9����i���� �	 �de�fS 	
:;<	���
# �
:;<�E�
# � 	# 
1� �de�fjk
� 	���
� �
$c
$c					
Z
�V
9"�	g�h�8Z�	

	 
�de�fjk
� 	���
� � �de�fjk
i��� 	����i���� �	 �de�fjk 	
# �l# � �de�fjk
#
� � 	E					 
�de�f� 	
����
����	 �
E
E 													��										 �de�f� 	
����
����	 �
c
c	 
�de�f� 	
����
����	 � 	 �de�f� 	
� ����
�����							 
Sejam ���� e ���� funções diferenciáveis e 
Se o limite �de�f� 	m���n���					existir (finito ou infinito), então. 
Obs: A regra também é válida se 
 for substituído por 
j ou 
o, ou se 
 � $c ou 
 � 0c! 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
,� �de�fjk� �o� � $c!�ok � $c!		E		 
Antes de aplicar a regra de L’Hospital devemos transformar a 
indeterminação �$c!		E	�	 em uma indeterminação do tipo EbE ou cbc 
�de�fjk�	�o� � �de�fjk
�
�� �
$c
$c									
Z
�V
9"�	g�h�8Z�	

			 
�de�fjk�	�o� � �de�fjk
�
�� � �de�fjk
i����i����� �	 �de�fjk 	
#
�� �
#
�jk		 �
#
$c � E								 
 
>� �de�fjk
�1�) $ >� 0 \�
�a�) 0 *� $ #� �
$c
$c 					
Z
�V
9"�	g�h�8Z�	

			 
			 �de�fjk
�1�) $ >� 0 \�
�a�) 0 *� $ #� � �de�fjk
.1�) $ >� 0 \/�
.a�) 0 *� $ #/� � �de�fjk'
@� $ >
#,� 0 *( �
$c
$c 
Como o limite continua na forma indeterminada cbc aplica-se a regra de 
L’Hospital novamente. 
�de�fjk
�1�) $ >� 0 \�
�a�) 0 *� $ #� �		 �de�fjk
.@� $ >/�
.#,� 0 */� � �de�fjk
@
#, �	
1
a 
 
@�	�de�f1 *� 0,��0 1�* 		 �
*
E 				9p�	q	Z�88r��
	
Z
�V
�	
	����
	"�	g�h�Z�	

 
Como o limite não leva a uma indeterminação do tipo EbE ou cbc não é 
possível calculá-lo pela regra de L’Hospital. Se aplicarmos a regra em uma 
forma que não tenha estas indeterminações, poderemos chegar a uma 
conclusão incorreta. 
Neste exemplo se tivéssemos utilizado a regra de L’Hospital teríamos: 
�de�f5
*� 0 ,
�� 0 1�) 	 � �de�f5
.*� 0 ,/�
.�� 0 1�)/� �	 �de�f5
*
*�� 0 1� � �de�f5
.#/�
.� 0 1/� �
E
# � E		st�u��vOu 
O que estaria INCORRETO. 
O cálculo correto deste limite é feito através da análise de sinais dos limites 
laterais. 
�de�f5w
*� 0 ,
�� 0 1�) 		 �
*�$�
E�$� 	 � $c								�						 �de�f5x
*� 0 ,
�� 0 1�) 		 �
*�$�
E�$� 	 � $c	 
�de�f5w
*� 0 ,
�� 0 1�) 	 � �de�f5x
*� 0 ,
�� 0 1�) � $c		 
Portanto 
�de�f5
*� 0 ,
�� 0 1�) � $c 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
15. Variação das funções 
 
 
 
Função Crescente 
 
Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então: 
� é crescente em s	 se ���S� y ���z� sempre que �S y �z , 
quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s. 
� �
Função Decrescente 
 
Seja ���� uma função definida em um intervalo s, então: 
� é decrescente em s	se ���S� { ���z� sempre que �S y �z	, 
quaisquer que sejam �S e �z pertencentes a s. 
�
� ��V� � ��U� 0 ��
�U 0 
 �
Teorema do Valor Médio ou de Lagrange 
 
Se � é uma função contínua em .
, U/ e derivável em /
, U. então 
existe V	 ∈ 		 /
, U. tal que a reta tangente ao gráfico de � no ponto 
�V, ��V�� é paralela à reta que passa por �
, ��
�� e �U, ��U��. Ou seja, 
�
�
�
� V� U�
��
��
��U��
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
Exemplos: Faça a análise do crescimento e do decrescimento das funções: 
1) ���� � 02� $ 3 
i�M��� � C														�							� ���� � 02 
A função � é contínua e derivável em todo � ∈ 	C	. Assim o teorema do 
Valor Médio é válido e suas consequências podem ser aplicadas. 
� ���� � 02 y 0		, qualquer que seja � ∈ 	C 
Logo a função é decrescente a em todo o domínio. 
2) ���� � �5 
i�M��� � C									�				� ���� � 3	�) 
A função	� é contínua e derivável em todo � ∈ 	C	. A função � satisfaz 
as condições do teorema do Valor Médio (T.V.M.) e suas 
consequências podem ser aplicadas. 
� ���� � 3	�) 	{ 0		, qualquer que seja � ∈ 	C 
Logo a função é crescente a em todo o domínio. 
3) ���� � √�)| 
i�M��� � C													�									� ���� � 23	√�| 					∄		Z
�
	� � 0 
A função � é contínua em � � 0, mas não é diferenciável em � � 0, 
então � não satisfaz as condições do T.V.M. . 
 
No intervalo �0∞,0/ o T.V.M é 
válido pois � é contínua em �0∞,0/ 
e diferenciável em �0∞,0� 
 
Quando		� y 0		; 			� ���� y 0		portanto 
�	é	"�V��8V�9	�		�M	�0∞,0/.	 
 
 
No intervalo .0,$∞� o T.V.M é 
válido pois � é contínua em .0,$∞� 
e diferenciável em �0,$∞� 
 
Quando � { 0	; 				� ���� y 0,.portanto		�	é	V��8V�9	�		�M	.0,$∞� 
Consequências do Teorema do Valor Médio oude Lagrange 
 
Seja � é uma função contínua no intervalo fechado .
, U/ e derivável 
no intervalo aberto /
, U.		então: 
 
Se � ���� { 0 para todo � ∈ /
, U., então � é crescente em /
, U.. 
 
Se � ���� y 0 para todo � ∈ /
, U., então � é decrescente em /
, U.. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
Exemplos: 
Encontre os pontos críticos do domínio das funções abaixo: 
#�	���� � √1� 0 @| $ *						 f 						���� � �1� 0 @�z5 	$ * 
� ���� � #1	�1� 0 @�o	
)	5	! .1� 0 @/� 
� ���� � #1	�� 0 #�o	
)5	! �1� � #^�1� 0 @�)| 
Para �S ser ponto crítico, �S 	 B i�M��� e � ���S� � E ou � ���S�		}. 
 i�M	��� � 	C 
� ����		não existe quando 	1� 0 @ � E			 f 					� � * 
� � *	 é número crítico de � pois � � *	 B i�M	���	�	� ��*�		}		 
����� nunca se anula. 
 
*�	���� � �� $ >�)		√� 0 ,| 			 
����� � .�� $ >�)/�	√� 0 ,| $ ~√� 0 ,| �	�� $ >�) 
����� � *�� $ >�.� $ >/�	√� 0 ,| $ + #1	^�� 0 ,�)| 	.� 0 ,/
�-	�� $ >�) 
� ���� � *�� $ >�	√� 0 ,| $ �� $ >�)1	^�� 0 ,�)| �
@�� $ >�	�� 0 ,� $ �� $ >�)
1	^�� 0 ,�)| 			 
� ���� � �� $ >�	6@	�� 0 ,� $ �� $ >�7*	√� 0 ,	 	 �
�� $ >�		�a� 0 #_	�	
1	^�� 0 ,�)| 		 
 
i�M��� � 	C 
����� não existe quando � 0 , � E	 f 				� � 			, 
� � ,	 é número crítico de � pois � � ,	 B i�M	���	�	� ��,�		}		 
� ���� � E quando � $ > � E					 f 				� � 0> 
� � 0>	 é número crítico de � pois � � 0>	 B i�M	���	�	� ��0>� � E		 
� ���� � E quando a� 0 #_ � E	 f 				� � 		 z€ 
� � z€ 	 é número crítico de � pois � � z€ 	 B i�M	���	�	� � Xz€ Y � E		 
Ponto Crítico 
Um número �S 	 B i�M���	é um número crítico de � se 	� ���S� � E ou se ����S� não existe. O número crítico também é chamado de ponto 
crítico do domínio de �. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Máximos e Mínimos Relativos (ou local) 
Uma função � terá um valor máximo relativo em �S se existir um 
intervalo aberto contendo �S, tal que ���S� ‚ ���� para todo � nesse 
intervalo. 
A função � terá um valor mínimo relativo em �z se existir um 
intervalo aberto contendo �z,, tal que ���z� ƒ ���� para todo � nesse 
intervalo. 
 
 
Os valores máximo e mínimo da função são também chamados de 
valores extremos, ou extremos de „. 
Teste da Derivada Primeira 
 
Seja uma função ���� definida e contínua num intervalo aberto /
, U. 
e �S 	 ∈ 	 /
, U.		. Se ���� é diferenciável em todos os pontos em /
, U. 
exceto, possivelmente em �S, então: 
 
• �	possui um máximo relativo em �S, 
 y �S y U,		se: 
 � ���� { 0 para todo �	 em /
, �S. e � ���� y 0 em /�S, U., isto é, se à 
esquerda de �S a função for crescente e à direita de �S a função 
for decrescente. 
• �	possui um mínimo relativo em �S, 
 y �S y U,		se: 
 � ���� y 0 para todo �	 em /
, �S. e � ���� { 0 em /�S, U., isto é, se à 
esquerda de �S a função for decrescente e à direita de �S a função 
for crescente. 
� ���� { 0� � ���� { 0�
crescente crescente �S	 �z	
� ���� y 0�
decrescente 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
Observações 
1. Pelo teorema, se � � �S	é um ponto de extremo local para � e � for 
derivável em � � �S, então � ���S� � 0. Assim, a reta tangente à curva 
� � ���� no ponto ��S, 	���S�� é horizontal. 
 
2. A recíproca não é verdadeira, ou seja, o fato de �S ser um ponto 
crítico não garante que �S seja um ponto de máximo ou de mínimo. 
 
 
 
 
 
� ���S� � 0						��						� ���S�		∄	 
Teorema 
 
Se � for uma função definida para todos os valores de � no intervalo 
aberto /
, U. e se � tiver um extremo relativo (máximo ou mínimo) 
em � � �S , sendo 
 y �S y U, então �S é número crítico de �, isto é: 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
Dada uma função, determine seus os intervalos de crescimento e de 
decrescimento e seus pontos de máximo e de mínimo relativos, se 
existirem. 
1) ���� � �5 
• Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M���	� � ���S� � 0			��	� ���S�	∄ 
����� � 3	�) 
�′��� existe para todos os valores de � . Devemos então procurar os 
valores de � tais que � ���� � 0 
����� � 3	�) � 0			 → 				 3	�) � 0			 → 				3�) � 0		 → 				� � 0 
						 
i�M��� � C 
� � 0		é número crítico de � pois � � 0	 ∈ i�M���			�		� ��0� � 0 
• Cálculo do valor da função nos pontos críticos 
Em � � 0: ��0� � 0 
• Intervalos de crescimento e de decrescimento: 
Análise do sinal de � ���� � 3	�) 
� y 0 � { 0 
� ��01� � 3 { 0 � ��1� � 3 y 0 
crescente crescente 
 
 
 
 
 
• Extremos Relativos 
Como à direita e a à esquerda de � � 0 a �’��) não muda de sinal, � não tem 
extremo relativo em � � 0. A função é sempre crescente. 
 
 
 
 
 
 
� ���� { 0� � ���� { 0�
crescente crescente � � 0	
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
2) ���� � �5 0 3�) 
• Determinação dos pontos críticos:�S ∈ i�M���	� � ���S� � 0			��	� ���S�	∄ ����� � 3	�) 0 6� 
����� � 3	�) 0 6� � 0								 → 				3	�) 0 6� � 0		 
3�		�� 0 2� � 0		 → 				� � 0						��			� 0 2 � 0			 
� � 0		é número crítico de � pois � � 0	 ∈ i�M��� � C			�		� ��0� � 0 
� � 2		é número crítico de � pois � � 2	 ∈ i�M��� � C		�		� ��2� � 0 
• Cálculo do valor da função nos pontos críticos 
Em � � 0: ��0� � 0 
Em � � 2: ��2� �	 �2�5 0 3�2�) �	04 
 
• Intervalos de crescimento e de decrescimento: 
Análise do sinal de � ���� � 3	�) 0 6 
� y 0 0 y � y 2 � { 2 
� ��01� � 9 { 0 � ��1� � 03 y 0 �′�3� � 9 { 0 
crescente decrescente crescente 
 
 
 
 
 
 
• Extremos Relativos 
Como em � � 0 a função passa de crescente para decrescente, � � 0 é ponto 
de máximo relativo e o valor máximo relativo da função é ��0� � 0. 
Como em � � 2 a função passa de decrescente para crescente, � � 2 é ponto 
de mínimo relativo e o valor mínimo relativo da função é ��2� � 04. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� ���� { 0� � ���� { 0�
crescente crescente � � 0	 � � 2	
� ���� y 0�
decrescente 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �	�
�
 
 
 
 
Exemplos 
Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os valores 
extremos relativos e absolutos da função ���� � �5 0 #*	�	 em .01F >/. 
• Determinação dos pontos críticos de � no intervalo aberto /01	F >.. 
����� � 1	�) 0 #* 
����� existe para todos os valores de � B	 /01	F >.. Devemos procurar os 
valores de � tais que � ���� � E 
 
����� � 1	�) 0 #* � E			 f 				 	�) � ,						 f 	 |�| � * 
� � 0*		��	� � * 
 
� � 0*		é número crítico de � pois � � 0*	 B /01	F >.		�		� ��0*� � E 
� � 	*					é número crítico de � pois � � *	 B /01	F >.				�					� ��*� � E 
 
• Cálculo do valor da função nos números críticos 
��0*� � �0*�50 #*! �0*� � #@ 
��*� � �*�5 0 #*! �*� � 0#@ 
†	‡ˆ‰Š‹	ŒˆŠ‹	"
	��9Žp�	�M	s	q	V�
M
"�	"�	ŒˆŠ‹	‡‰‡Š	ˆ‘’Š“”Š	 
u	‡•–Š‹	ŒˆŠ‹	"
	��9Žp�	�M	s	q	V�
M
"�	"�	ŒˆŠ‹	‡r–‰‡Š	ˆ‘’Š“”Š	 
Máximos e Mínimos Absolutos 
 
Nem sempre uma função � possui extremo relativo em intervalo aberto s e, 
quando existe, ele não necessariamente é único. 
 
Teorema do Valor Extremo 
 
Se �	é uma função contínua no intervalo fechado .
	F U/ então � toma 
seu valor máximo e seu mínimo ao menos uma vez em .
	F U/. 
 
Obs: A importância deste teorema é que ele garante a existência de 
valores extremos, se a função for contínua no intervalo fechado .
	F U/. Ou seja, se os valores extremos da função não ocorrem em 
algum ponto do intervalo aberto /
	F U. , então eles ocorrem nas 
extremidades do intervalo fechado .
	F U/, ou seja, em 
 ou em U. 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �
�
�
• Intervalos de crescimento e de decrescimento:� ���� � 3	�) 0 12 
 
.03	,02. /0	2		, 	2. /	2		, 5	/ 
� ��03� � 15 { 0 � ��0� � 012 y 0 � ��3� � 15 { 0 
crescente decrescente crescente 
 
• Extremos Relativos 
Como em � � 02 a função passa de crescente para decrescente, a função 
tem um valor máximo relativo ��02� � 16. Ponto �02	, 16� 
Como em � � 2 a função passa de decrescente para crescente, a função 
tem um valor mínimo relativo ��2� � 016. Ponto �2,016� 
 
• Cálculo do valor da função nos extremos do intervalo 
��03� � �03�50 12. �03� � 9 
��5� � �5�5 0 12. �5� � 65 
 
• Extremos Absolutos 
 
O maior valor da função no intervalo .03, 5/ ocorre em � � 5 e ��5� � 65 é o 
valor máximo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �5	,65� 
O menor valor da função no intervalo .03, 5/ ocorre em � � 2 e ��2� � 016 é 
o valor mínimo absoluto da função nesse intervalo. Ponto �2,016� 
 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
 
 
Concavidade 
Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para cima no 
intervalo aberto s quando ele estiver acima de todas as retas 
tangentes traçadas em todos os pontos de s. „′ é crescente em —. 
 
Dizemos que o gráfico de � tem concavidade para baixo no 
intervalo aberto s quando ele estiver abaixo de todas as retas 
tangentes traçadas em todos os pontos de s. „′ é decrescente em —. 
 
 
 
 
 
 
 Côncavo para cima Côncavo para baixo 
I�	������ y 0	Z
�
		�"�	� ∈ s → �		�M	V�9V
��"
"�	Z
�
	U
���	�M	s	�
Teste da Concavidade 
Seja � uma função contínua e derivável até a segunda ordem em s 
I�	������ { 0	Z
�
		�"�	� ∈ s → �		�M	V�9V
��"
"�		Z
�
	V�M
	�M	s��
Teste da Segunda Derivada 
Suponha �′′ contínua próxima de � � �S. 
 
Se	� ���S� � 0		�	� ����S� { 0	 → �	tem um mínimo local em � � �S 
Se	� ���S� � 0		�	� ����S� y 0	 → �	tem um máximo local em � � �S 
Se	� ���S� � 0		�	� ����S� � 0 nada se pode afirmar 
� ����S� � 0 
Ponto de Inflexão 
Seja � uma função contínua e �S um ponto de seu domínio. O ponto 
�S	é denominado de ponto de inflexão de � quando nele ocorre a 
mudança de concavidade do gráfico de �. 
 
Se � � �S é ponto de inflexão e � ����S� existe, então: 
OBS: � ����S� � 0 é condição necessária para �S ser um ponto de 
inflexão, porém não é suficiente. Devemos analisar o sinal de � ����� 
para � y �S e � { �S . Se houver mudança de sinal é ponto de 
inflexão. 
O gráfico de � pode ter um ponto de inflexão onde a derivada 
segunda não exista. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
Dada uma função � contínua no intervalo fechado .
F U/ indicado, determine: 
a) Os pontos críticos do domínio de � em .
F U/ 
b) Os valores extremos relativos de � 
c) Os valores extremos absolutos de � 
d) Pontos de inflexão 
e) Gráfico da função 
 
#�		���� � �W 0 *�) $ 1						�M					~0*	F √1		 
a) Pontos Críticos: �S 	 B 	 /
F U.			�			� ���S� � E	 ou 	� ���S�	} 
����� � ,�5 0 ,�				definida em todo intervalo 
����� � E		 
		,�50 ,� � E			 f 					,�		��)0 #� � E 
,	�	 � E				 R 				� � E									��						 
�) 0 # � E						 R 				^�) � #			 R 			 |�| � #				 R 			� � #			��		� � 0# 
Como a função �	é contínua no intervalo 0*F √1~ e os pontos � � E		F � � # 
e	� � 0#	 pertencem a esse intervalo e � ��E� � � ��#� � � ��0#� � E eles são 
pontos críticos do domínio de �. 
Pontos Críticos no intervalo 0*F √1~ ˜ 	� � EF �	 � #		�		� � 0# 
b) Valor da função nos pontos críticos 
��0#� � �0#�W 0 *�0#�)$ 1 � *										 
��E� � �E�W 0 *�E�) $ 1 � 1								 
��#� � �#�W 0 *�#�) $ 1 � *							 
c) Extremos relativos de � em 60*	F√17 ( pelo teste da Derivada Segunda) 
 � ����� � #*�) 0 ,		 
Em � � 0#		 f 				 � ���0#� � 	#*�0#�) 0 , � \ { E	 � � 0# é ponto de mínimo relativo e ��0#� � * é mínimo relativo de �	 
��9	�	"�	Mr9�M�	��
	���™		š�0#	F *� 
Em � � E		 f 			 � ���E� � #*	�E�) 0 , � 0, y E	 � � E é ponto de máximo relativo e ��E� � 1 é máximo relativo de � 
��9	�		"�	M��M�	��
	���™	›�E	F 1� 
 
Em � � #		 f 				 � ���#� � 	#*�#�)0 , � \ { E 
 � � # é ponto de mínimo relativo e ��#� � * é mínimo relativo de � 
��9	�	"�	Mr9�M�	��
	���™	�	�#	F*� 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
d) Valor da função nos extremos do intervalo ~0*	F √1 
��0*� � �0*�W 0 *�0*�)$ 1 � #@ 0 \ $ 1 � ##									��9	�	9�	����V�™	i�0*	F ##� 
�6√17 � 6√17W 0 *6√17) $ 1 � _0 @$ 1 � @														��9	�	9�	����V�™	v�√1	F @� 
e) Extremos Absolutos de � em ~0*	F √1 
O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � � 0* , 
portanto, � � 0* é ponto de máximo absoluto e ��0*� � ## é o valor 
máximo absoluto da função no intervalo ~0*	F√1. 
O menor valor da função ocorre quando � � 0# ou quando � � # , 
portanto, � � 0# e � � #, além de serem pontos de mínimo relativo, são 
pontos de mínimo absoluto da função no intervalo fechado ~0*	F√1 e 
��0#�	 � ��#� � * é o valor mínimo absoluto da função no intervalo 
fechado. 
 
f) Pontos de Inflexão: � ����� � E	condição necessária, mas não suficiente. 
������ � #*�) 0 ,										 R 			#*	�) 0 , � E 
#*	�) � ,							 R 				 �) � ,#*					 R 					 ^�) � œ# 1l 			 R 			 |�| � œ# 1l 
� � √11 							��					� � 0
√1
1 
 
Análise da Concavidade 
� y 0√11 0	
√1
1 y � y
√1
1 � {
√1
1 
� ���0#� � \ { E � ���E� � 0, y E � ���#� � \ 
côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima 
 
Conclusão: � tem pontos de inflexão quando � � 0 √55 e � � √55 
 
g) Valores da função ���� � �W 0 *�) $ 1 nos pontos de inflexão: 
� +√11 - � +
√1
1 -
W
0 * +√11 -
)
$ 1 � 1 � _\#0 *
1
_ $ 1 �
#0 @$ *a
_ �
**
_ [ *F,, 
� +0√11 - � +0
√1
1 -
W
0 * +0√11 -
)
$ 1 � 1 � _\#0 *
1
_ $ 1 �
# 0 @ $ *a
_ �
**
_ [ *F,, 
��9	�8	9�	����V�™			 +0√11 F
**
_ - 		�		ž +
√1
1 F
**
_ -			 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Nos pontos de inflexão há a mudança de 
concavidade no gráfico da função. 
O intervalo .i, / contém um mínimo 
relativo, portanto, o gráfico de � é 
côncavo para cima (� ����� { 0� no 
intervalo ~02,0√3/3. 
O intervalo ., ž/ contém um máximo 
relativo, portanto, o gráfico de � é 
côncavo para baixo (� ����� y 0� no 
intervalo ~0√3/3,√3/3. 
O intervalo .ž,v/ contém um mínimo 
relativo, portanto, o gráfico de � é 
côncavo para cima (� ����� { 0� no 
intervalo ~√3/3, √3. 
 
2�		���� � �W 0 8�
5
3 				�M					 %0
3
2	, 	3&		 
a) Pontos Críticos: �S 	 ∈ 	 /
, U.			�			� ���S� � 0	 ou 	� ���S�	∄ 
����� � 4	�5 0 8�) � 0					é definida em todo intervalo 
����� � 0	 → 		4�5 0 8�) � 0			 → 					4�)	�� 0 2� � 0 
4	�) 	 � 0				 ∴ 				� � 0									��						� 0 2 � 0						 ∴ 				� � 2 
Como a função �	é contínua no intervalo /03/2	, 3. e os pontos � � 0	 
e		� � 2	 pertencem a esse intervalo e � ��0� � � ��2� � 0, � � 0, �	 � 2		 são 
pontos críticos do domínio de �. 
b) Valor da função nos pontos críticos 
��0� � 0	 
��2� � �2�W 0 8�2�
5
3 � 0
16
3 ≅ 05,33 
c) Extremos relativos de � em �01	, 3� 
������ � 12�) 0 16	�							 
Em � � 0	 → 		� ���0� � 0 
Como � ���0� � 0, o teste da derivada segunda não é conclusivo. Vamos 
determinar os extremos pelo teste da derivada primeira. 
� y 0 0 y � y 2 � { 2 
� ��01� � 012 y 0 �′�1� � 04 y 0 � ��2,5� � 12.5 { 0 
decrescente decrescente crescente 
Como em � � 0 �′ não muda de sinal, � não tem ponto extremo em � � 0. 
Como em � � 2 a função muda de decrescente para crescente, ��2� é 
mínimo relativo. ��9	�	"�	Mí9�M�	��
	���: �2,05,33� 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
d) Valor da Função nos extremos do intevalo 
��03/2� � '032(
W
0 83'0
3
2(
5
� 22516 ≅ 14,06					��9	�	9�	��á��V�:	�01,5		, 		14,06� 
��3� � �3�W 0 8�3�
5
3 � 9																																													��9�	9�	���V�:	�3	, 9� 
e) Extremos Absolutos de � em .03/2	, 3/ 
O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em � � 03/2, 
portanto, ��03/2� ≅ 14,06 é o valor máximo absoluto da função no 
intervalo .03/2	, 3/. 
O menor valor da função ocorre quando � � 2, portanto ��2� � 05,33 é 
valor máximo relativo e absoluto. 
f) Pontos de Inflexão: � ����� � 0	condição necessária, mas não suficiente. 
������ � 12�) 0 16	�									 ∴ 			12	�) 0 16	� � 0 
�	�12	� 0 16� � 0					 → 					� � 0					��					12� 0 16 � 0 
� � 0							��					� � 43 ≅ 1,33 
Análise da Concavidade 
� y 0 0 y � y 4/3 � { 4/3 
� ���01� � 28 { 0 � ���1� � 04 y 0 � ���2� � 16 { 0 
côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima 
 
Em � � 0 e em � � 4/3 o gráfico de � muda sua concavidade, portanto 
são pontos de inflexão. 
g) Valor da função nos Pontos de Inflexão ��0� � 0				 
6���� � '43(
W 0 83 '43(
5 � 		0 25681 ≅ 03,16 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
16. Problemas de Otimização 
Nestes problemas buscamos soluções que sejam “ótimas”, do ponto de vista 
matemático. Procuramos, de acordo com o problema, a solução que 
minimize ou maximize a função analisada. 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular 
de cartolina, medindo 8 cm de largura e 15 cm de comprimento. Uma 
caixa sem tampa é construída dobrando os lados para cima nas linhas 
pontilhadas. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que 
devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
`�
�M�	 � Á��
	"
	U
8�	.		š
	��
 
`��� � �150 2��.�8 0 2��.� 
`��� � 120	� 0 46	�)$ 4	�5 
Sabemos que se a função ` possuir pontos de máximo, então eles ocorrem 
nos Pontos Críticos, então devemos ter `���� � � �� � 0. 
"`
"� � 1200 92	� $ 12	�) "`"� � 1200 92	� $ 12	�) � 0 
¡�9�M�¢
çã� 0 	£M
	��9çã�	�		��á	�M	�

��	Mí9�M�	�M	�¤	¥	�
, U��8�	�S	���	Z�9	�	"�	Mí9�M�	��
	��� → 				����S� � 0					�				�����S� { 0�
¡
��M�¢
çã� 0 	£M
	��9çã�	�			��á	�M	�

��	Má��M�	�M	�¤¥	�
, U��8�	�S	���	Z�9	�	"�	M�M�	��
	��� → 				� ���S� � 0					�				�����S� y 0�
u›I: u8	��	��M�8	
U8�
�	�8	8�	9ã�	�V����M	9�	�9	�����	"�	�9	���

�,		�
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�V����M	9
8	��	��M�"
"�8	"�	�9	���

�	��V�
"�	.
, U/��
�	
�	
150 2�	
8 0 2�	
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
1200 92	� $ 12	�) � 0				 ∴ 					� � 53 						��			� � 6 
Devemos observar que para a construção da caixa devemos ter 0 y � y 4	. 
Assim o domínio da função ` é o intervalo /0, 4., portanto � � 6 não pertence 
ao domínio e somente � � 5/3 é ponto crítico em /0, 4.. 
Devemos verificar se � � 5/3 é ponto de máximo ou de mínimo o que pode 
ser feito pelo teste da segunda derivada de `. 
")`"�) � 092$ 24	�				�9	ã�						 "
)`"�)¦�§]/5 � 092 $ 24	'
53( �	042 y 0 
Como em � � 5/3 tem-se `� � 0 e `�� y 0, então � � 5/3 é ponto de máximo 
local. Portanto 5/3 é o valor que � deve ter para que o volume seja máximo. 
`��� � 120	� 0 46	�)$ 4	�5 	 ∴	 
`�
�M�	M�M� � 	` '53( � 120'53( 0 46'53(
) $ 4 '53(
5 ≅ 90.74	VM5 
 
2) Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as 
dimensões que minimizarão o custo do metal utilizado para produzir a 
lata. 
• Queremos encontrar as dimensões da lata que armazena 1 litro (V=1 
litro=1000 cm3) que tenha a menor superfície (ou área S) 
 I � š¨�23 $		š=�©ª� $ š«�=3¬�« 
I � 2­	�)$ 	2­	�	�												�							` � 1000 � 	­	�)	�				 → 				� � 1000­	�) 
I � 2­	�)$ 	2­	� '1000­	�) ( 										→ 							I��� � 2­	�)$ 2000� 											 
Sabemos que se a função I possuir pontos de máximo, então eles ocorrem 
nos Pontos Críticos, então devemos ter I���� � 0. 
I���� � 4­	� 0 2000�) � 4­	�
50 2000�) � 0				 → 						� � ®20004­5 P 5,42	VM 
Verificação de ponto máximo ou mínimo 
I����� � 4­ $ 4000�5 	{ 0			¯�

¯���	"�	8�°
	�	, Z��8		� { 0 8�	I��5,42� � 0	�	I���5,42� { 0, �9	ã�	� � 5,42	é	Z�9	�	"�	Mí9�M�	 
I�	� � 5,42			�9	ã�		� � 1000­	�) � 1000­	�5,42�) P 10,84	VM 
R: A menor área é a produzida pelo cilindro de � � 5,42	VM e � � 10,84	VM.

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