Lista de Álgebra Linear: Matrizes e Sistemas Lineares

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Lista 01 de a´lgebra linear: Matrizes e Sistemas Lineares:
Turma 05 - Prof Simone Batista - 2015
1. Sejam A =
 1 2 3
2 1 −1
 , B =
 −2 0 1
3 0 1
 , C =

−1
2
4
 e D = [ 2 −1 ], calcule, se poss´ıvel:
(a) A+B. (b) A−B. (c) A.C. (d) C.A. (e) B.C. (f) C.D.
(g) D.A. (h) D.B. (i) −A. (j) −D. (k) 2A− 5D. (l) A.B.
Resp. (a) A+B =
 −1 2 4
5 1 0
. (c) A.C =
 15
−4
. (e) C.A =
 6
1
. (g) D.A = [ 0 3 7 ].
(i) −A =
 −1 −2 −3
−2 −1 1
. (k) Imposs´ıvel.
2. Sejam: A =
 2 1 0
1 2 1
 , B =
 0 0 2
6 4 2
 e C =
 3 2 0
0 1 1
, matrizes de M2×3(R).
Calcular: 3
(
A− 1
2
B
)
+ C. Resp.
 9 5 3
−6 1 0
.
3. Determinar a matriz X ∈M2×3(R) tal que 1
2
(
X +A
)
= 3
(
X +
(
B−A))−C, sendo A, B e C as matrizes
do exerc´ıcio anterior. Resp.
 4 115 − 125
− 295 − 85 − 35
.
4. Seja A =
 2 x2
2x− 1 0
. Se At = A, enta˜o x = . . . . Resp. x = 1.
5. Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o A−At = . . . . Resp. A e´ a matriz nula.
6. Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o At e´ = . . . . Resp. At e´ uma matriz
triangular inferior.
7. Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o At e´ = . . . . Resp. A = At.
8. Verdadeiro ou falso ?
(a)
(−A)t = −(A)t. (b) (A+B)t = Bt +At.
(c) Se A.B = O, (O e´ a matriz nula), enta˜o A = O ou B = O. (d)
(
αA
)(
βB) = (αβ)A.B.
(e) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o A.B = B.A. (f)
(−A)(−B) = −(A.B).
(g) Se existe A.A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
(h) Se A.B = O, (O e´ a matriz nula), enta˜o B.A = O.
Resp. (a) V. (b) V. (c) F. (d) V. (e) F. (f) F. (g) V. (h) F.
9. Se A2 = A.A, enta˜o
 −2 1
3 2
2 = . . . . Resp. A2 =
 7 0
0 7
.
10. Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o A2 e´ . . . . Resp. A2 e´ triangular superior.
11. Ache x, y, z, w se
 x y
z w
 2 3
3 4
 =
 1 0
0 1
. Resp. x = −4, y = 3, z = 3 e w = −2.
12. DadasA =

1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
, B =

1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =

2 1 −1 −2
3 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
. Mostre que A.B = A.C.
13. Dadas as matrizes reais de uma linha e treˆs colunas, A =
(
1 0 0
)
, B =
(
0 1 0
)
e
C =
(
0 0 1
)
, determinar as matrizes X,Y e Z de M1×3(R), tais que:
S :

2X − Y + Z = A
X − 2Y + Z = B
3X + Y − Z = C
Resp:
Y =
(
4
5 1 − 15
)
,
X =
(
1
5 0
1
5
)
e
Z =
(
7
5 −3 − 35
)
14. Dadas as matrizes A e B abaixo, determinar os produtos A.B e B.A:
A =

2 1
1 0
0 1
 e B =
 1 0 1
0 1 1
 Resp. A.B =

2 1 3
1 0 1
0 1 1
 e B.A =
 2 2
1 1
.
15. Suponha que A 6= O e A.B = A.C,temos:
(onde A,B,C sa˜o matrizes tais que as multiplicac¸o˜es existam e O e´ a matriz nula)
(a) B = C ?.
(b) Se existir uma matriz Y , tal que Y.A = I, onde I e´ a matriz identidade, enta˜o B = C ?
Resp. (a) Falso, podemos ter A.B = A.C, com A 6= 0 e ter B 6= C (ver exemplo no exerc´ıcio 17).
(b) Verdadeiro, pois A.B = A.C ⇒ Y.(A.B) = Y.(A.C) ⇒ (Y.A).C = (Y.A).C → I.A = I.C ⇒ A = C.
16. Explique por que, em geral, (A+B)2 6= A2 + 2A.B +B2 e (A+B).(A−B) 6= A2 −B2.
(Onde A,B sa˜o matrizes tais que as operac¸o˜es estejam definidas).
Resp. (A + B)2 = (A + B).(A + B) = A.A + A.B + B.A + B.B = A2 + A.B + B.A + B2, como, em geral
A.B 6= B.A, temos: (A+B)2 6= A2 + 2A.B +B2.
17. Dadas A =

2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
, B =

−1 3 5
1 −3 −5
−1 3 5
 e C =

2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
, temos:
(a) Mostre que A.B = B.A = O, A.C = A, e C.A = C.
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que:
A.C.B = C.B.A, A2 −B2 = (A−B).(A+B), (A+B)2 = A2 +B2 e (A−B)2 = A2 +B2.
18. Se A =
 3 −2
−4 3
, ache B, de modo que B2 = A.
Resp. B =
 1 −1
−2 1
 , ou B =
 −1 1
2 −1
 , ou B =
 √2 −
√
2
2
−√2 √2
 , ou B =
 −√2
√
2
2
√
2 −√2
.
19. Para cada nu´mero real α consideremos a matriz: Tα =
 cosα −senα
senα cosα
.
(a) Mostrar que TαTβ = Tα+β .
(b) Calcular T−α. Resp. T−α =
 cosα senα
−senα cosα
 = T tα.
20. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz A =
 1 1
0 0
, ou seja, todas as matrizes
X ∈M2×2(R), tais que A.X = X.A . Resp. X =
 x y
0 x− y
 , x, y ∈ R.
21. Dada a matriz A =
 2 1
1 1
 determinar uma matriz X ∈ M2(R) de maneira que A.X = I2, onde I2 e´ a
matriz identidade de ordem 2. Resp. X =
 1 −1
−1 2
.
22. Considere as seguintes matrizes de M3(R): A

1 0 0
0 2 0
0 0 4
 e B =

4 0 0
0 2 0
0 0 1
.
(a) Mostre que A.B = B.A .
(b) Pode-se concluir de (a) que e´ va´lida a propriedade comutativa da multiplicac¸a˜o em M3(R) ?
23. Uma matriz quadrada A se diz anti-sime´trica se At = −A. O produto de duas matrizes anti-sime´tricas de
mesma ordem e´ uma matriz anti-sime´trica ? Justifique sua resposta.
Resp. Na˜o, Se A =
 0 3
−3 0
 , B =
 0 2
−2 0
, temos que A e B sa˜o anti-sime´tricas e A.B na˜o e´ anti-
sime´trica.
24. Efetue os produtos A.B e B.A sendo: A =

2
1
1
 B = ( 1 2 1 ).
Resp. A.B =

2 4 2
1 2 1
1 2 1
 e B.A =
[
5
]
.
25. Mostrar que se A
 2 3
1 4
, enta˜o A2 − 6A + 5I2 = O, onde I2 e´ a matriz identidade de ordem 2 e O e´ a
matriz nula de ordem 2.
26. Mostrar que as matrizes
 1 1y
y 1
 onde y e´ um nu´mero real na˜o nulo, verificam a equac¸a˜o: X2 = 2X.
27. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com as matrizes

a 1 0
0 a 1
0 0 a
, onde a e´
um nu´mero real.
Resp.

x y z
0 x y
0 0 x
 , x, y, z ∈ R.
28. Se A e B sa˜o matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz
 0 1
−1 0
 mostre que A.B = B.A.
Resp. A e B sa˜o da forma:
 x y
−y x
. Agora e´ so´ tomarmos duas matrizes desta forma e mostrar que comutam.
29. Se A,B ∈ Mn(R) sa˜o tais que A.B = O (matriz nula), pode concluir que B.A tambe´m e´ a matriz nula ?
Prove ou deˆ contra exemplo.
Resp. Na˜o. E´ so´ apresentar um contra-exemplo. Por exemplo: A =
 2 1
1 12
 e B =
 1 0
−2 0
.
30. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e colonial. As quanti-
dades de materiais empregadas em cada tipo de casa sa˜o dadas pela matriz:
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13

.
( qualquer semelhanc¸a dos nu´meros com a realidade e´ mera coincideˆncia.)
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respectivamente, quantas
unidades de cada material sera˜o empregadas ? (Fac¸a usando operac¸o˜es entre matrizes).
(b) Suponha agora que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente,
R$15,00, R$8,00, R$5,00, R$1,00 e R$10,00. Qual o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa ?
(c) Qual o custo total do material empregado para construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e
colonial, respectivamente.
Resp. (a) 146 de ferro, 526 de madeira, 260 de vidro, 158 de tinta e 388 de tijolo. (b) R$ 492,00 moderno,
R$ 528,00 moderno e R$ 465,00 colonial. (c) R$ 11.736,00.
31. Uma rede de comunicac¸a˜o tem cinco locais com transmissores de poteˆncias distintas. Estabelecemos que
aij = 1, na matriz abaixo, significa que a estac¸a˜o i pode transmitir diretamente para estac¸a˜o j, e que aij = 0 significa
que a transmissa˜o da estac¸a˜o i na˜o alcanc¸a a estac¸a˜o j. Observe que a diagonal principal e´ nula, significando que uma
estac¸a˜o na˜otransmite diretamente para si mesma.
A =

0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

.
Qual seria o significado da matriz A2 = A.A ?
Seja A2 =
(
cij
)
. Calculando o elemento c42, temos: =
5∑
k=1
a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
Note que a u´nica parcela na˜o nula veio de a43a32 = 1. Isto significa que a estac¸a˜o 4 transmite para a estac¸a˜o 2
atrave´s da estac¸a˜o 3, embora na˜o exista uma transmissa˜o direta de 4 para 2.
(a) Calcule A2.
(b) Qual o significado de c13 = 2 ?
(c) Discuta o significado dos termos nulos, termos iguais a 1, e termos maiores que 1 de A@, de modo a justificar
a afirmac¸a˜o: ”A matriz A2 representa o nu´mero de caminhos dispon´ıveis para se ir de uma estac¸a˜o a outra com uma
u´nica retransmissa˜o.”
(d) Qual o significado das matrizes: A+A2, A3 e A+A2 +A3 ?
(e) Se A fosse sime´trica, o que significaria ?
32. Existem 3 marcas de automo´veis dispon´ıveis no mercado: O Jacare´, o Piranha e o Urubu. O termos aij da
matriz A abaixo e´ a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar
um carro novo.

J P U
J 0, 7 0, 2 0, 1
P 0, 3 0, 5 0, 2
U 0, 4 0, 4 0, 2

Os termos da diagonal da˜o a probabilidade de se comprar um carro novo da mesma marca.
Calcule A2 e interprete.
Operac¸o˜es Elementares:
(1) Permuta de linha i coma linha j. Li ↔ Lj .
(2) Multiplicac¸a˜o da linha i por um nu´mero real α na˜o nulo. Lj → αLj .
(3) Substituic¸a˜i da linha i pela soma da linha i mais α vezes a linha j. Li → Li + αLj .
Matriz na forma Escada
Uma matriz m× n e´ linha reduzida a` forma escada se:
(1) O primeiro elemento na˜o nulo, de uma linha na˜o nula, e´ 1.
(2) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha,
tem todos seus outros elementos iguais a zero.
(3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas.
(4) Se as linhas 1, 2, . . . , r sa˜o as linhas na˜o nulas,
e se o primeiro elemento na˜o nulo da linha i ocorre na coluna Ki, enta˜o K1 < K2 < · · · < KR.
Ou seja, o nu´mero de zeros que precede o primeiro elemento na˜o nulo de uma linha aumenta a cada linha.