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André do Nascimento Barbosa
3 Potencial elétrico
Uma característica fundamental do campo elétrico vem do fato que, de acordo com a análise vetorial, se um campo vetorial qualquer respeita a
seguinte relação: ∇ ×F = 0
Então dizemos que o campo F é um campo conservativo. Um campo conservativo também é conhecido como campo grandiente, pois sabe-se
que o rotacional operando sobre o vetor gradiente de qualquer função escalar f (x, y, z) será nulo da mesma forma. Sendo assim, podemos supor
que o campo elétrico coulombiano é o gradiente de uma função chamada potencial. Ou seja
E = ∇ f
3.1 Equação do potencial elétrico
Podemos identificar U diretamente. Lembrando que o campo elétrico de uma distribuição de cargas é dada por
E(r) = 1
4 πϵ0 
V '
ρ(r ') (r - r ')|| r - r ' ||3 ⅆV '
Lançando mão de outro resultado da análise vetorial, temos que(r - r ')|| r - r ' ||3 = -∇ 1|| r - r ' ||
Assim, substituindo na equação do campo,
E(r) = - 1
4 πϵ0 
V '
ρ(r ')∇ 1|| r - r ' || ⅆV '
Colocando o operador nabla para fora da integral, obtemos
E(r) = -∇ 1
4 πϵ0 
V '
ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV '
Chamamos a integral acima de potencial elétrico. Definindo formalmente,
V (x, y, z) = 1
4 πϵ0 
V '
ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV 'Volume (1)
Logo
E = -∇V (2)
A função potencial é uma função escalar. Sob diversos aspectos, calcular o potencial elétrico é uma maneira mais eficaz de encontrar campos,
uma vez que basta usar (2) para tal. Também, o potencial obedece ao princípio de superposição, então, para varias distribuições fixas no espaço,
temos
Vtotal = V1 + V2 + ... + Vn
Para ilustrar o cálculo do campo elétrico usando o potencial, vamos usar como exemplo o problema da esfera maciça que calculamos de forma
direta usando o campo. Lembre-se que para resolver aquele problema, as integrais que apareceram foram dolorasamente complexas.
Exemplo 1: Potencial de uma esfera maciça carregada uniformemente de raio R e seu gradiente.
Vamos utilizar o mesmo esquema que usamos no campo, mas desta vez, vamos calcular primeiro o potencial elétrico.
z
x
yO
r
r ' r

-
r '
Esquema de uma esfera sólida e seus vetores notáveis..
Solução:
Como em todos os exemplos anteriores, a primeira coisa a fazer é determinar os vetores que vão mapear a distribuição de cargas e o vetor
direção. Já supondo uma rotação de conveniencia, obtemos
r
 = z ez
r
 ' = r ' Cos θ ' Sen ϕ ' ex + r ' Sen θ ' Sen ϕ ' e y + r ' Cos ϕ ' ez
onde 0 ⩽ r ' ⩽ R, 0 ⩽ θ ' ⩽ 2 π e 0 ⩽ ϕ ' ⩽ π
Vamos determinar agora a diferença e o módulo entre os vetores:
r
 - r ' = -r ' Cos θ ' Sen ϕ ' ex - r ' Sen θ ' Sen ϕ ' e y + (z - r ' Cos ϕ ') ez
|| r - r ' || = z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ '1/2
Agora, como vamos integrar sobre todo o volume, não precisamos simplificar ⅆV’. Entretanto, diferente do campo, vamos embutir na equação
apenas o módulo. Lembrando que ρ é costante neste problema, obtemos
V = 1
4 πϵ0 
V '
ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV ' = ρ4 πϵ0 
V '
1
z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆV 'Volume
transofrmando para coordenadas esfericas, temos
V = ρ
4 πϵ0 0
2 ππ
0

0
R
r '2 Sen ϕ '
z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆ r ' ⅆθ ' ⅆϕ ' =
ρ
2 ϵ0 
π
0

0
R
r '2 Sen ϕ '
z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆ r ' ⅆϕ '
Resolvendo primeiro para o angulo ϕ’,
V = ρ
2 ϵ0 0 r '2
R π
0
Sen ϕ '
z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆϕ ' ⅆ r ' =
ρ
2 ϵ0 0
R
r '2
z r '
(r ' + z - || r ' - z ||) ⅆ r '
Se r’>z, temos que a integral será
V = ρϵ0 
z
R
r ' ⅆ r '
Se r’<z, ficamos com outra integral:
2 3 Potencial elétrico.nb
V = ρϵ0 
z
R
r '2
z
ⅆ r ' (3)
Usando o princípio de superposição, temos
V = ρϵ0 
z
R
r ' ⅆ r ' + ρϵ0 0
z
r '2
z
ⅆ r ' = ρ
6 ϵ0 3 R2 - z2
Assim, o potencial na direção z será
V = ρ
6 ϵ0 3 R2 - z2
Por simetria,
V (r) = ρ
2 ϵ0 R2 - r23
Ainda, lembrando que Qtotal é dado por
Qtotal =
V '
ρ ⅆV ' ⇒ ρ = 3 Qtotal
4 π R3
Substituindo em V,
V (r) = Qtotal
8 πϵ0 R 3 - r2R2
Para calcular o campo elétrico da esfera, basta aplicar o operador gradiente em V. Para regiões dentro da esfera, obtemos
E = Qtotal
8 πϵ0 R¨3 ∇r2 = Qtotal4 πϵ0 R¨3 r
Para regiões externas, 
E = Qtotal
4 πϵ0 r¨3 r
3.2 Integral de linha de um campo elétrico
Para um campo elétrico dado, é interessante estudar o comportamento de sua integral de linha. Como já verificamos que o campo elétrico tem
natureza conservativa, já podemos supor o que queremos. Entretanto, vamos revisitar este problema e estuda-lo pelo caminho das integrais.
Suponha que queiramos calcular a seguitne integral abaixo:
I =
C
E ·ⅆ r
Onde o campo é dado para uma carga pontual:
E = q
4 πϵ0 r3 r
Considerando o elemento de linha em coordenadas esfericas, acabamos obtendo que
3 Potencial elétrico.nb 3
I =
C
E ·ⅆ r =
C
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r
Integrando entre pontos quaisquer ra e rb, temos
I =
ra
rb
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r = q4 πϵ0 ra - q4 πϵ0 rb
É se tivermos uma integral fechada, teremos o caso que
I =
C
q
4 πϵ0 r2 ⅆ r = q4 πϵ0 ra - q4 πϵ0 ra = 0
Então, para qualquer integral fechada de um campo de carga puntiforme

C
E ·ⅆ r = 0
Lançando mão do princípio de superposição, podemos considerar um capo de uma distribuição de cargas puntiformes, assim

C

i
Ei ·ⅆ r = 0 (4)
Como

C
E ·ⅆ r =
S
∇ ×E ·ⅆS
Obtemos novamente ∇ ×E = 0
Podemos substituir o a equação do campo usando (2), assim
I =
C
E ·ⅆ r = -
C
∇U ·ⅆ r (5)
3.3 Equação de Poisson e Laplace
Vamos lembrar a equação de Gauss para o campo eletrostático:
∇ ·E = ρϵ0
Vamos usar o fato que o campo elétrico é o gradiente do potencial,
-∇ ·∇U = ρϵ0
Logo
∇2U = - ρϵ0 (6)
A equação 6 é conhecida como Equação de Poisson. Em regiões onde não existem cargas, temos apenas∇2U = 0 (7)
que é a equação de Laplace. Vamos utilizar as equações de Poisson e Laplace pra calcular campos elétricos mais elaborados no fututo. Aqui,
temos o foto que, dependendo de onde estejamos calculando o campo, a equação de Laplace ou Poisson devem ser sempre satisfeitas.
4 3 Potencial elétrico.nb

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