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André do Nascimento Barbosa 3 Potencial elétrico Uma característica fundamental do campo elétrico vem do fato que, de acordo com a análise vetorial, se um campo vetorial qualquer respeita a seguinte relação: ∇ ×F = 0 Então dizemos que o campo F é um campo conservativo. Um campo conservativo também é conhecido como campo grandiente, pois sabe-se que o rotacional operando sobre o vetor gradiente de qualquer função escalar f (x, y, z) será nulo da mesma forma. Sendo assim, podemos supor que o campo elétrico coulombiano é o gradiente de uma função chamada potencial. Ou seja E = ∇ f 3.1 Equação do potencial elétrico Podemos identificar U diretamente. Lembrando que o campo elétrico de uma distribuição de cargas é dada por E(r) = 1 4 πϵ0 V ' ρ(r ') (r - r ')|| r - r ' ||3 ⅆV ' Lançando mão de outro resultado da análise vetorial, temos que(r - r ')|| r - r ' ||3 = -∇ 1|| r - r ' || Assim, substituindo na equação do campo, E(r) = - 1 4 πϵ0 V ' ρ(r ')∇ 1|| r - r ' || ⅆV ' Colocando o operador nabla para fora da integral, obtemos E(r) = -∇ 1 4 πϵ0 V ' ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV ' Chamamos a integral acima de potencial elétrico. Definindo formalmente, V (x, y, z) = 1 4 πϵ0 V ' ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV 'Volume (1) Logo E = -∇V (2) A função potencial é uma função escalar. Sob diversos aspectos, calcular o potencial elétrico é uma maneira mais eficaz de encontrar campos, uma vez que basta usar (2) para tal. Também, o potencial obedece ao princípio de superposição, então, para varias distribuições fixas no espaço, temos Vtotal = V1 + V2 + ... + Vn Para ilustrar o cálculo do campo elétrico usando o potencial, vamos usar como exemplo o problema da esfera maciça que calculamos de forma direta usando o campo. Lembre-se que para resolver aquele problema, as integrais que apareceram foram dolorasamente complexas. Exemplo 1: Potencial de uma esfera maciça carregada uniformemente de raio R e seu gradiente. Vamos utilizar o mesmo esquema que usamos no campo, mas desta vez, vamos calcular primeiro o potencial elétrico. z x yO r r ' r - r ' Esquema de uma esfera sólida e seus vetores notáveis.. Solução: Como em todos os exemplos anteriores, a primeira coisa a fazer é determinar os vetores que vão mapear a distribuição de cargas e o vetor direção. Já supondo uma rotação de conveniencia, obtemos r = z ez r ' = r ' Cos θ ' Sen ϕ ' ex + r ' Sen θ ' Sen ϕ ' e y + r ' Cos ϕ ' ez onde 0 ⩽ r ' ⩽ R, 0 ⩽ θ ' ⩽ 2 π e 0 ⩽ ϕ ' ⩽ π Vamos determinar agora a diferença e o módulo entre os vetores: r - r ' = -r ' Cos θ ' Sen ϕ ' ex - r ' Sen θ ' Sen ϕ ' e y + (z - r ' Cos ϕ ') ez || r - r ' || = z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ '1/2 Agora, como vamos integrar sobre todo o volume, não precisamos simplificar ⅆV’. Entretanto, diferente do campo, vamos embutir na equação apenas o módulo. Lembrando que ρ é costante neste problema, obtemos V = 1 4 πϵ0 V ' ρ(r ')|| r - r ' || ⅆV ' = ρ4 πϵ0 V ' 1 z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆV 'Volume transofrmando para coordenadas esfericas, temos V = ρ 4 πϵ0 0 2 ππ 0 0 R r '2 Sen ϕ ' z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆ r ' ⅆθ ' ⅆϕ ' = ρ 2 ϵ0 π 0 0 R r '2 Sen ϕ ' z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆ r ' ⅆϕ ' Resolvendo primeiro para o angulo ϕ’, V = ρ 2 ϵ0 0 r '2 R π 0 Sen ϕ ' z2 + r ' 2 - 2 z r ' Cos ϕ ' ⅆϕ ' ⅆ r ' = ρ 2 ϵ0 0 R r '2 z r ' (r ' + z - || r ' - z ||) ⅆ r ' Se r’>z, temos que a integral será V = ρϵ0 z R r ' ⅆ r ' Se r’<z, ficamos com outra integral: 2 3 Potencial elétrico.nb V = ρϵ0 z R r '2 z ⅆ r ' (3) Usando o princípio de superposição, temos V = ρϵ0 z R r ' ⅆ r ' + ρϵ0 0 z r '2 z ⅆ r ' = ρ 6 ϵ0 3 R2 - z2 Assim, o potencial na direção z será V = ρ 6 ϵ0 3 R2 - z2 Por simetria, V (r) = ρ 2 ϵ0 R2 - r23 Ainda, lembrando que Qtotal é dado por Qtotal = V ' ρ ⅆV ' ⇒ ρ = 3 Qtotal 4 π R3 Substituindo em V, V (r) = Qtotal 8 πϵ0 R 3 - r2R2 Para calcular o campo elétrico da esfera, basta aplicar o operador gradiente em V. Para regiões dentro da esfera, obtemos E = Qtotal 8 πϵ0 R¨3 ∇r2 = Qtotal4 πϵ0 R¨3 r Para regiões externas, E = Qtotal 4 πϵ0 r¨3 r 3.2 Integral de linha de um campo elétrico Para um campo elétrico dado, é interessante estudar o comportamento de sua integral de linha. Como já verificamos que o campo elétrico tem natureza conservativa, já podemos supor o que queremos. Entretanto, vamos revisitar este problema e estuda-lo pelo caminho das integrais. Suponha que queiramos calcular a seguitne integral abaixo: I = C E ·ⅆ r Onde o campo é dado para uma carga pontual: E = q 4 πϵ0 r3 r Considerando o elemento de linha em coordenadas esfericas, acabamos obtendo que 3 Potencial elétrico.nb 3 I = C E ·ⅆ r = C q 4 πϵ0 r2 ⅆ r Integrando entre pontos quaisquer ra e rb, temos I = ra rb q 4 πϵ0 r2 ⅆ r = q4 πϵ0 ra - q4 πϵ0 rb É se tivermos uma integral fechada, teremos o caso que I = C q 4 πϵ0 r2 ⅆ r = q4 πϵ0 ra - q4 πϵ0 ra = 0 Então, para qualquer integral fechada de um campo de carga puntiforme C E ·ⅆ r = 0 Lançando mão do princípio de superposição, podemos considerar um capo de uma distribuição de cargas puntiformes, assim C i Ei ·ⅆ r = 0 (4) Como C E ·ⅆ r = S ∇ ×E ·ⅆS Obtemos novamente ∇ ×E = 0 Podemos substituir o a equação do campo usando (2), assim I = C E ·ⅆ r = - C ∇U ·ⅆ r (5) 3.3 Equação de Poisson e Laplace Vamos lembrar a equação de Gauss para o campo eletrostático: ∇ ·E = ρϵ0 Vamos usar o fato que o campo elétrico é o gradiente do potencial, -∇ ·∇U = ρϵ0 Logo ∇2U = - ρϵ0 (6) A equação 6 é conhecida como Equação de Poisson. Em regiões onde não existem cargas, temos apenas∇2U = 0 (7) que é a equação de Laplace. Vamos utilizar as equações de Poisson e Laplace pra calcular campos elétricos mais elaborados no fututo. Aqui, temos o foto que, dependendo de onde estejamos calculando o campo, a equação de Laplace ou Poisson devem ser sempre satisfeitas. 4 3 Potencial elétrico.nb
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